Nguyễn Hoàng Lâm

Em xin góp một cách khác, không thực sự hay lắm nhưng cũng đáng để thử, cách này thuần túy dạng đại số:
Gọi $ M(x;y) $ , Ta có: $ MA=\sqrt{(x+3)^2+(y+2)^2} (1) \\ (x-1)^2+(y-2)^2=8 (2) $
$ (1) \Leftrightarrow MA^2 = (x+3)^2+(y+2)^2 \Leftrightarrow MA^2 = (x-1)^2+(y-2)^2+8+8(x+y) \\
\Leftrightarrow MA^2= 40+8[(x-1)+(y-2)] $
Áp dụng BĐT BCS ta có : $ -\sqrt{2[(x-1)^2+(y-2)^2]} \leq (x-1)+(y-2) \leq \sqrt{2[(x-1)^2+(y-2)^2]} \\ \Leftrightarrow -4 \leq (x-1)+(y-2) \leq 4 $
Từ đó ta có : $ 8 \leq MA^2 \leq 72 \Leftrightarrow 2\sqrt2 \leq MA \leq 6\sqrt2 $
Từ đây ta có thể kết luận được Min, Max của MA và đẳng thức xảy ra của BĐT BCS để tìm điểm $ M $

Cho $n \ge 2,n \in N$. Chứng minh:
\[{\left( {C_n^1} \right)^2} + 2\left( {C_n^2} \right) + ... + n{\left( {C_n^n} \right)^2} = \frac{1}{2}n.C_{2n}^2\]

Xét khai triển $ (x+1)^ n = C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n $
Đạo hàm 2 vế ta được : $ n(x+1)^{n-1}= C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1} $
Lại thấy : $ (x+1)^ n=C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1} + ...+c_n^n $
Suy ra : $ n(x+1)^{n-1}(x+1)^ n=n(x+1)^{2n-1}= (C_n^1+2C_n^2x+...+nC_n^nx^{n-1})(C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1} + ...+c_n^n) $
Như vậy : $ S= ( C_n^1)^2+ 2(C_n^2)^2+...+n(C_n^n)^2 $ là hệ số của $ x^{n-1} $ .
Do vậy ta có : $ S =n.C_{2n-1}^{n-1}=\frac{1}{2}n.C_{2n}^n $
P/s : Mình có sai phần nào không mà khác với đáp án cần chứng mình nhỉ ?

haizzz! Lí + Hóa V tính sơ sơ được khoảng 19, nhưng mà toán sai 3 câu, ngu quá]

thôi! thế là hết rồi!

Vương mà làm tốt môn Toán là VMF có thủ khoa khối A -2012 rồi !

Bài 27 Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm min:
$A=\frac{a^2+b}{c+b}+\frac{b^2+c}{a+c}+\frac{c^2+a}{b+a}$

Xét $ P= \frac{a^2}{b+c}+ \frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} $
Giả sử $ a\geq b\geq c $ Ta sẽ chứng minh :
$ P\geq \frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b} $
Một cách tổng quát xét bđt :
$ a_1.b_1+a_2b_2+a_3b_3 \geq a_1b_2+a_2b_3+a_3b_1 $ Với $\begin {align} &a_1 \geq a_2 \geq a_3 , & b_1 \geq b_2 \geq b_3 \end{align} $
$ \Leftrightarrow a_1(b_1-b_2)+a_2(b_2-b_3)+a_3(b_3-b_1) \geq 0 $
$ \Leftrightarrow VT = (b_1-b_2)(a_1-a_2)+ (b_1-b_3)(a_2-a_3) \geq 0 $ (Đúng theo giả thiết )
Từ đó Ta có :
Với $ a^2 \geq b^2 \geq c^2 $ và $ \frac{1}{b+c} \geq \frac{1}{c+a} \geq \frac{1}{a+b} $
Ta có:
$ P \geq \frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{a+c}+\frac{b^2}{a+b} $
Đến đây ta có $ 2P \geq \frac{c^2+a^2}{b+c}+\frac{a^2+b^2}{a+c}+\frac{b^2+c^2}{a+b} \geq \frac{2ac}{b+c}+\frac{2ab}{a+c}+\frac{2bc}{a+b} $
$\Leftrightarrow P \geq \frac{ac}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+b}$
Từ đó ta có :
$ A \geq \frac{ac+b}{c+b}+\frac{ba+c}{a+c}+\frac{cb+a}{b+a} = \frac{ac+b(a+b+c)}{c+b}+\frac{ba+c(a+b+c)}{a+c}+\frac{cb+a(a+b+c)}{b+a} =2(a+b+c)=2 $
Vậy $ A \geq 2 $
Đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c = \frac{1}{3} $

$x,y,z\geq 0; xy+yz+zx\leq 3$
chứng minh $\frac{2}{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)}\geq 3$

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số :
$ P= \frac{1 }{\sqrt{xyz}}+ \frac{1 }{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)} \geq 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)^2(2x+y)(2y+z)(2z+x)}} \\
\Leftrightarrow P \geq 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)(2xz+yz)(2yx+zx)(2zy+xy)}} $
Lại có: $ (2xz+yz)(2yx+zx)(2zy+xy) \leq [\frac{(2xz+yz)+(2yx+xz)+(2yz+xy)}{3}]^3 \leq 27 $
Và $ xyz = \sqrt{(xy.yz.xz)} \leq \sqrt { (\frac{xy+yz+zx}{3})^3 } \leq 1 $
Do đó$ 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)(2xz+yz)(2yx+zx)(2zy+xy)}} \geq 3 \\
\Rightarrow P \geq 3 $
Đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c =1 $

Giải phương trình $\sqrt[3]{x-1} + \sqrt[3]{x+1}=x\sqrt[3]{2}$

Lập phương hai vế của phương trình ta được :
$ 2x+3\sqrt[3] {x+1}.\sqrt[3] {x-1} (\sqrt[3] {x+1}+\sqrt[3] {x-1})=2x^3 $
$ \Rightarrow 2x+3\sqrt[3] {x+1}.\sqrt[3] {x-1} .\sqrt[3]{2} .x=2x^3 $
$ \Leftrightarrow x(2x^2-2-3\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{x^2-1})=0 $
$ \Leftrightarrow x.\sqrt[3] {x^2-1}.[2(\sqrt[3]{x^2-1})^2-3\sqrt[3]{2})=0 $
Đến đây chỉ cần rút nhận tử rồi giải ra nghiệm , lưu ý thử lại nhé !

Giải các phương trình sau:

a)$2sin(x+\frac{\pi}{4})+sin(x-\frac{\pi}{4})=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Phương trình tương đương với: $ 2[sin (x+\frac{\pi}{4}) -sin \frac{\pi}{4} ] + [sin ( x-\frac{\pi}{4})- sin \frac{\pi}{4}] =0 $
$ \Leftrightarrow 4Cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}).sin \frac{x}{2} -2cos \frac{x}{2}.sin (\frac{x}{2} -\frac{\pi}{4}) =0 (*) $
Mà $ Sin( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})= Sin ((x+\frac{\pi}{4}) -\frac{\pi}{2} )=-cos ( \frac{x}{2} +\frac{\pi}{4} ) $
Nên $ (*) \Leftrightarrow Cos (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})[4sin \frac{x}{2}-2Cos \frac{x}{2} ) =0 $
Đến đây có lẽ ai cũng làm được .

Giải phương trình:

$ 2\sqrt{(2-x)(5-x)}=x+\sqrt{(2-x)(10-x)} $

Càng nhiều lời giải hay càng tốt nhé !

Bài 60. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{2^{{x^2} + 1}} - {4^{8{y^2} + \frac{1}{2}}} = 3\left( {2\sqrt y - \sqrt x } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
{2^{{{(x + y)}^2}}} + \frac{3}{2}\sqrt {x + y} = \frac{7}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$

Trích Đề thi thử ĐH 2012 lần VII - Chuyên Thái Nguyên

Xét (2) :
Đặt $t= \sqrt{x+y}, t \geq 0$ , Ta có : $ 2^{t^4}+\frac{3}{2}t-\frac{7}{2} =0 $
Xét hàm số $ f(t) = 2^{t^4}+\frac{3}{2}t-\frac{7}{2} , t \geq 0 $
$ f^' (t)=4t^3.2^{t^4}ln2+\frac{3}{2} >0 \forall x \geq 0 $
mà $ f(1) =0 $ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $ t=1 \rightarrow x+y=1 $
Biến đổi (1) thành như sau :
$ 2.2^{(\sqrt x)^4} +3\sqrt x = 2.2^{(2\sqrt{y})^4} + 3.(2\sqrt y) (3)$
Xét hàm số $ f (u)= 2.2^{u^4} +3u , u \geq 0 $
Ta có : $ f^' (u) = 8.u^3.2^{u^4}ln2 +3 >0 \forall x \geq 0 $
Dó đó $ (3) \Leftrightarrow f(\sqrt x) =f(2\sqrt y ) \Leftrightarrow \sqrt x =2\sqrt y $
Từ đó ta có hệ phương trình :
$ \left\{\begin{matrix} { x+y=1} \\ {x=2\sqrt y} \end{matrix}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} {x+y=1} \\ {x=4y} \end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} {x=\frac{4}{5} } \\ {y=\frac{1}{5}} \end{matrix}\right. $

$x+\frac{3x}{\sqrt{x^2-9}}=6\sqrt{2}$

.............................................................

Bài này mình làm như sau :

Điều kiện $ x >3 $ . Với điều kiện trên . bình phương 2 vế ta được :

$ x^2+9\frac{x^2}{x^2-9} +6\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}} = 72 $

$ \Leftrightarrow \frac{x^4}{x^2-9} +6\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}} -72 =0 $

Đặt $ u=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}} , u >0 $ , Ta có phương trình :

$ u^2+6u-72=0 \Leftrightarrow x=6 $ (Đã loại đi 1 nghiệm )

Từ đó , ta có $ \frac{x^2}{\sqrt{x^2-9}} =6 \Rightarrow x^2=6\sqrt{x^2-9} \Leftrightarrow x^4=36(x^2-9)$

$ \Leftrightarrow x^4-36x^2+324 =0 \Leftrightarrow x^2 = 18 \Leftrightarrow x=3\sqrt{2} $ hoặc $ x=-3\sqrt{2} $

Từ điều kiện phương trình ta có nghiệm của nó là $ x=3\sqrt{2} $

Bài 30:giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{4xy}}{{x + y}} = 1 + \sqrt {x + y + 5} }\\{\sqrt {x + y} = {x^2} - y}\end{array}} \right.\]
Đề thi thử ĐH-THPT Nam Đông Quan-Thái Bình

Xét phương trình 2 , $ \sqrt {x + y} = {x^2} - y $ .
Đặt $ u=\sqrt{x+y} , u \geq 0 $ Ta được $ \left\{{\begin{array}\\ {u^2=x+y } \\{ x^2=u+y } \end{array}} \right. $
Đem trừ vế cho vế ta sẽ được $ (u-x)(u+x+1)=0 $
Do $ u+x+1 =0 $ vô nghiệm nên từ phương trình trên ta chỉ có $ u=x \rightarrow \sqrt{x+y}=x $
Từ đây ta có $ \left\{{\begin{array}\\ {x+y+5 =x^2+5} \\ { y=x^2-x } \end{array}} \right. ( x \geq 0 ) $
Xét phương trình 1 . Điều kiện $ x+y \neq 0 $ và $ x+y+5 \geq 0 $ . Từ những dữ kiện thu được ở trên thay vào phương trình 1 ta đươc $ 4(x-1)=1+\sqrt{x^2+5} \Leftrightarrow 4x-5=\sqrt{x^2+5} $
$ \Leftrightarrow \left\{{\begin{array} \\ {x \geq \frac{4}{5} } \\ { 3x^2-8x+4 =0 } \end{array} } \right. $
Giải ra ta sẽ được $ x=2 \Rightarrow y= 2 $
Giờ chỉ cần kết luận là xong

Bài này mình làm như sau :
$ I = \int_1^e (x-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}} dx + \int_1^e e^{x+\frac{1}{x}} dx = \int_1^e x(1-\frac{1}{x^2})e^{x+\frac{1}{x}} dx +\int_1^e e^{x+\frac{1}{x}} dx $
Đặt $ \left\{\begin{matrix} {u=x } \\ {dv = (1-\frac{1}{x^2})e^{x+\frac{1}{x}} dx } \end{matrix}\right. $
$ \rightarrow \left\{\begin{matrix} { du=dx }\\{ v= e^{x+\frac{1}{x}} } \end{matrix}\right. $
Vậy $ \int_1^e x(1-\frac{1}{x^2})e^{x+\frac{1}{x}} dx = x.e^{x+\frac{1}{x}} \mid _1^e - \int_1^e e^{x+\frac{1}{x}} dx $
Từ đó ta có $ I = x.e^{x+\frac{1}{x}} \mid _1^e =e^{e+\frac{1}{e}+1} -e^2 $

Bi hài kịch ngày 8/3 tại FTU2

Sáng, tay đang cầm bông hồng trắng tinh khôi thì có một bóng dáng " quen thuộc "bước qua ; lúc đó mình đang đứng trên tầng cao, nhìn ra cầu thang phía dưới có người đi xuống. Định thần 1s rồi ......:" Cô X phải ko ạ , chờ em tí".... Hớt hải chạy xuống. Việc đầu tiên là ghỡ bông hoa ra khỏi đống giấy báo bèo nhèo ( mình vừa bắt chuyện , tay vừa giục đi cục báo để cô ko nhận ra mình xài báo dởm để bọc hoa ) ) . ( giương đông kích Tây đó mà =)) )
Cô X : Trùi ui , tặng cô làm gì , tặng cô Y là dc rùi
PSW: Cô Y đã có quà khác phù hợp body của cô ấy =) ; còn đây là quà của em gìanh cho cô =)) )
Cô X : ...... ( im lặng cảm động , tự nhiên khi không có trò đẹp trai tặng hoa)....

cả 2 im lặng 3s

Cô X : Ơ ; sao cô nghe có bạn nào đấy nói là em chê cô trên Facebook nhiều lắm mà ; nào là cô xấu xấu ; nào là cô khó tính....cô chưa lập nick FB để tra ra là may cho em đấy ...
PSW : Dạ ; làmmmmm gì có ạaaaa ( bụng chửi : Ông sẽ giết chết thằng nào dám bán đứng ông)
Cô X : ( lập lại previous sentences)
PSW : dạ cô ơi ; oan cho em lắm Mà nói nhỏ xíu đi cô ; ở đây là trốn đông người ; chết em )
Cô X : vậy thực hư ra sao ?
PSW …. ( bịa 100%) : dạ số là em được làm mai cho một con nhỏ du học sinh ; mà nó nhìn mặt giống y chang cô nên em ko “ dám làm gì “ =)) ……Đó đó ạ ; em chỉ tường thuật lại có mỗi cái chuyện đó trên FB
Cô X : Tức là ý em là cô xấu lắm phải ko ( trời ạ ; lập lại lần 3 ; sao mà phụ nữ quan tâm nhan sắc thế =)) )
PSW Dạ dạ dạ ; đâu có đâu ạ ; tại em tán con nhỏ ; mà mặt nó giống cô giáo mình quá thì em sợ thui chứ đâu có xấu đâu cô ; cô đẹp mà ….. ( Dối lòng 100% )
Cô X : ……………….(Mũi nở như quả bom ; chỉ tí nữa là bể ) =))
PSW ( Cưa bom tiếp): Cô thấy không ; hồng này rất đẹp ; nhưng không đẹp bằng cô ; nhưng em không tìm được loài hoa nào đẹp hơn …..cô ơi ; cô nhận tạm vậy nhé =))
Cô X : ………………(Mắt long lanh)

….
…
…
…
Á á á ; đau quá cô ơi – Tiếng kêu thất thanh phát ra
… PSW nhận ra tay cô vừa nhéo cái bụng mỡ của anh đau điếng
Cô X : Cho chừa cái thói dẻo mồm hơn kẹo kéo…
Huhuhuhu ; Oan quá cô ơi….




8h tối, PSW ngồi xem lại vết thương gỉ máu phát ở bụng ; các bạn hãy cầu nguyện cho anh mau khỏi bệnh. Amen =))

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}x\sqrt{x^2+2y+x+1}+4y+x+1=0 \;\;(1)\\ 2(y^3+2y-x-1)=y^2(x+1)\;\;\;\;(2)\end{cases}$

Từ $(2)$ ta có: $2(y^3+2y)=(y^2+2)(x+1)\Rightarrow 2y=x+1\;\;(3)$
Thay $(3)$ vào $(1)$, ta được phương trình:

$x\sqrt{x^2+2x+2}+3(x+1)=0 \Rightarrow \sqrt{x^2+2x+1}=\dfrac{-3(x+1)}{x}\;\;\;(4)$
Đến đây ta có $2$ hướng giải quyết:

Hướng 1: Đặt điều kiện cho $x$ rồi bình phương $2$ vế của $(4)$
Sau khi rút gọn lại ta được phương trình $\begin{cases} x^4+2x^3-7x^2-18x-9=0 \\ -1<x<0 \end{cases}$
Đến đây sử dụng phương pháp Cardano tổng quát để tìm nghiệm pt bậc 4 trên.
Kết quả là: $\boxed{x=\dfrac{\sqrt{10}-1+\sqrt{7+2\sqrt{10}}}{2}}$

Hướng 2 Đặt $x+1=\tan{t}$. Do $x+1 \in (0,1)$ nên $t\in (0,\dfrac{\pi}{4})$, ta có:
$(4)\Leftrightarrow \dfrac{1}{\cos{t}}=\dfrac{-3\tan{t}}{\tan{t}-1}\Leftrightarrow \tan{t}+3\sin{t}=1\;\;(5)$

(Ah...Huhm...)
(Không biết đã đúng ý tưởng của PSW chưa nhỉ?)
_____________________________________
Để mình nghĩ thêm về cái $(5)$ này ...!

Em nghĩ là sau bước thay $ 2y=x+1 $ Vào phương trình thứ nhất của hệ ta sẽ đương phương trình 1 ẩn sau :
$ x\sqrt{x^2+2x+2} +3x+3=0 $
Xét $ x \geq 0 $ không phải là nghiệm của phương trình .
Với $ x < 0 $ Chia cả 2 vế cho $ x^2 $ ta sẽ được :
$ -\sqrt{1+2(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2})} +3(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}) =0 $
Bây giờ đặt $ t= \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} $ Phương trình trở thành:
$ 3t=\sqrt{1+2t} $
Đây là một trong những phương trình chưa căn cơ bản .

Bài 105 Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} (x+3)\sqrt{y^2+8y+20} + (y+4) \sqrt{x^2+6x+10} = 0 \\ 4(x+5)^2 +6y+11= 3\sqrt[3]{2y+5} \end{cases}$$

Xét phương trính thứ nhất :
$ (x+3)\sqrt{y^2+8y+20} + (y+4) \sqrt{x^2+6x+10} = 0 $
Đặt $ -y-4 = 2t $ , phương trình trở thành :
$ (x+3)\sqrt{(4t^2+4} -2t\sqrt{(x+3)^2+1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{(x+3)}{\sqrt{(x+3)^2+1}}=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1} }$
Xét hàm số $ f(x)= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} $ .
$ f^{'}(x)=\dfrac{1}{(\sqrt{x^2+1})^3} $ . Suy ra hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R} $ .
Do đó phương trình tương đương với $ x+3=t \Rightarrow x+3=\dfrac{-y-4}{2} $ .
Đến đây có lẽ mọi người làm tiếp được.