RS16

Cho m,n,p thực thỏa
$\left\begin{cases} m + n + p = 0 \\ m \ge n \ge p\\ m - n - p < 1 \end{cases}\right$
C/m
$\sqrt {\dfrac{{m + 1}}{{2np + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{n + 1}}{{2mp + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{p + 1}}{{2mn + 1}}} \ge 3$

p/s: Đánh dấu ngoặc của hệ trong MathType thế nào vậy?

hix, trước nay ít post bài quá, hôm nay đóng góp 1 chùm bài cho ae thoải mái chém
1)Cho 1 đa giác lồi có S>1, chứng minh có thể đặt được trọng đa giác đó 1 tam giác có:
a. S>1/4
b. S>3/8

2)Cho một số hình tròn có hợp S>1. CM trong số các hình tròn đã cho có thể chọn được 1 số hình tròn từng đôi một có S>1/9

3)Tô các điểm trên mp bằng 3 màu. CM tồn tại 2 điểm cùng màu có diện tích bằng 1

4)1 tam giác đều được chia thành n^2 tam giác đều bằng nhau trong đó 1 số tam giac được đánh số 1,2,3...m sao cho các tam giác với các số liên tiếp có cạnh chung. CM $m \le {n^2} - n + 1$

5)Trên bàn cờ vua 3x3 có 2 con mã trắng đứng ở 2 góc trên và 2 con mã đen đứng ở 2 góc dưới. Hỏi có thể đổi chỗ 2 con mã đen lên vị trí 2 con mã trắng và 2 con mã trắng xuống 2 con mã đên sao cho các con mã vẫn ở phía trái hoặc phải của bàn cờ như cũ được ko?

6)Trong 1 mặt phẳng cho 48 điểm trong đó không có 3 điểm nào thằng hàng. CM có thể vẽ được 16 tam giác không có điểm chung mà đỉnh là các điểm đã cho

7)Cho lục giác lồi biết không thể đặt 1 tam giác có S=1 nằm hoàn toàn trong lục giac. CM lục giác có thể nằm trong 1 tam giác có S=4

8)Cho 12-giác A1A2...A12. Tại đỉnh A1 đặt dấu -, tại các đỉnh còn lại đặt dẫu +. Đổi dấu đồng thời 6 đỉnh liên tiếp. CM sau hữu hạn lần đổi dấu, ko thể được đỉnh A2 có dấu-, các đỉnh khác có dấu +.

9)Trong mặt phẳng có 2003 điểm trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng và ko có 4 điểm nào thuộc cùng 1 đường tròn. CM tồn tại 2 điểm mà đường tròn đi qua chúng chứa đúng 1000 điểm trong các điểm đã cho nằm trong nó, 1000 điểm còn lại nằm ngoài nó.

10)Hãy chỉ ra 1 cách sơn mặt phẳng bằng 7 màu sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ cùng màu ko bao h` bằng 1


Xong, ae chém vô tư nha!

Tình hình là hum nay tui thi HSG, có 2 bài này khá hóc, nhờ mọi người cùng giải:
1) Cho a,b,c [1/2;2]. C/M:
$\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} \ge \dfrac{{22}}{{15}}$
2) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) có 2 đường cao AH, BD, E là trung điểm HD, M là trung điểm AB. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH.
CM giao (I) tại K, CE giao (O) tại R.C/M: AB là đường trung trực KR

Năm mới mừng diễn đàn 3 bài khá đẹp, 1 số post roài đấy, thứ tự đễ đến khó nhá (em mới làm dc 2 bài đầu thoai ^^):
1) Tìm 2 số nguyên dương x,y khác nhau sao cho ${x^y} = {y^x}$
2)Chứng minh với mọi n nguyên dương thì luôn có $\left[ {n\sqrt 3 } \right]\left\{ {n\sqrt 3 } \right\} > \dfrac{1}{3}$
3)Tìm các chữ số a,b,c khác 0 sao cho
$a*\overline {bc} + b*\overline {ac} + c*\overline {ab} = {a^2}(b + c) + {b^2}(a + c) + {c^2}(a + b)$

haizzz
cho a,b,c,x,y,z 0 và a+x=b+y=c+z=1997
chứng minh ay+bz+cx 1997^2