Phạm Hữu Bảo Chung

Câu 1. (Hơi dài)

Đặt $A_i$: "Chọn được công nhân thứ i" (i = 1, 2, 3)

H: "Trong 4 sản phẩm công nhân đó làm ra trong lượt đầu tiên, có 1 sản phẩm là phế phẩm"

Ta thấy {$A_1, A_2, A_3, A_4$} là nhóm đầy đủ biến cố. 

Theo giả thiết: 

$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \dfrac{1}{3}$

$P(H/A_1) = P(H/A_2) = C_4^1.0,1.0,9^3, \,\,\, P(H/A_3) = C_4^1.0,2.0,8^3$

Vậy, áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P(A_1/H) = \dfrac{P(A_1).P(H/A_1)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,294$

$P(A_2/H) = \dfrac{P(A_2).P(H/A_2)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,294$

$P(A_3/H) = \dfrac{P(A_3).P(H/A_3)}{P(A_1).P(H/A_1) + P(A_2).P(H/A_2) + P(A_3).P(H/A_3)} = 0,412$

Đặt $B_i$:: "Người sản xuất 4 sản phẩm thì có 1 phế phẩm là công nhân thứ i" (i = 1, 2, 3)

Ta có {$B_1, B_2, B_3$) là nhóm đầy đủ biến cố.

Đặt G: "Trong 4 sản phẩm tiếp theo, cả 4 sản phẩm là chính phẩm"

Ta có:
$P(B_1) = P(B_2) = P(A_1/H) = P(A_2/H)= 0,294; \,\, P(B_3) = P(A_3/H) = 0,412$

$P(G/B_1) = P(G/B_2) = 0,9^4; \,\, P(G/B_3) = 0,8^4$

Vậy, áp dụng công thức xác suất đầy đù, xác suất cần tìm là:
$P(G) = P(B_1).P(G/B_1) + P(B_2).P(G/B_2) + P(B_3).P(G/B_3) = 0,555$ 

Giải

Đặt: $\text{A}_i$: "Người thứ i ngồi đúng vị trí". (i = 1,2....100)

A:" Có ít nhất 1 người ngồi đúng vị trí của mình".

Ta có: $P(A) = P(A_1 + A_2 +... + A_n) = \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)}  - \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} + ... - P(A_1.A_2....A_n) $

Ta tính lần lượt: 
$P(A_i) = \dfrac{1.99!}{100!} = \dfrac{1}{100} \Rightarrow \sum_{i = 1}^{100}{P(A_i)} = 100.\dfrac{1}{100} = 1$

$P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_i/A_j) = \dfrac{1}{100}.\dfrac{1.98!}{99!} = \dfrac{1}{99.100}$ 

$\Rightarrow \sum_{1 \leq i < j \leq 100}{P(A_iA_j)} = C_{100}^2.\dfrac{1}{99.100} = \dfrac{1}{2!}$

....

$P(A_1.A_2...A_{100}) = \dfrac{1}{100!}$

Như vậy: 
$P(A) = 1 - \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} - .... - \dfrac{1}{100!}$

Do đó, xác suất cần tìm là: 
$P(\bar{A}) =  1 - P(A) = \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!} + .... + \dfrac{1}{100!}$

Giải

- Hàm số có điểm bất thường: x = 0

- Khi $x \rightarrow 0 $ thì: $\ln{(x + 1 + \sqrt{x^2 + x})} \sim x + \sqrt{x^2 + x} \sim \sqrt{x} > 0$

Mà $\int_{0}^{1}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}$ hội tụ.

Do đó tích phân ban đầu hội tụ.

Bài 2.

ĐK: $x \geq 0$

- Nhận thấy: x = 0 là 1 nghiệm của phương trình

- Với $x > 0$, phương trình tương đương:

$$2^{\log_2{x}} + 3^{\log_2{x}} = 5^{\log_2{x}}$$

Đặt $\log_2{x} = t$, phương trình trở thành: $2^t + 3^t = 5^t \Leftrightarrow \left (\dfrac{2}{5} \right )^t + \left (\dfrac{3}{5} \right )^t = 1$

Hàm $f(t) = \left (\dfrac{2}{5} \right )^t + \left (\dfrac{3}{5} \right )^t $ nghịch biến.

Phương trình $f(t) = 0$ có nghiệm duy nhất t = 1.

Vậy x = 2.

Giải

Bài 1.

ĐK: $x > 0$

Phương trình tương đương:

$x^{log_2{(2 + \sqrt{2})}} + x. x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}} = 1 + x^2$

$\Leftrightarrow x^{log_2{(2 + \sqrt{2})} - 1} + x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}} = x + \dfrac{1}{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{ x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}}} + x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}} = x + \dfrac{1}{x}$

Đặt $x^{log_2{(2 - \sqrt{2})}} = y \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} = y + \dfrac{1}{y}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = y\\xy = 1\end{matrix}\right.$

Còn lại chắc cũng không phức tạp lắm ^^

Giải

Hệ ban đầu tương đương:

$\left\{\begin{matrix}(2x^2 + y)(x + y) + 2x^2 + y + x + y = 7\\2(2x^2 + y) + x + y = 7\end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}a = 2x^2 + y\\b = x + y\end{matrix}\right.$, ta được: $\left\{\begin{matrix}ab + a + b = 7\\2a + b = 7\end{matrix}\right.$

Hệ này dễ dàng giải được bằng phương pháp thế.

Bài 2.

Giải

Hệ ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{matrix}(x^2 - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4\\(x^2 + 2)(y + 1) = 24\end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x^2 - 2 = a\\y - 3 = b\end{matrix}\right.$, ta được: $\left\{\begin{matrix}a^2 + b^2 = 4\\(a + 4)(b + 4) = 24\end{matrix}\right.$

Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1!

Giải

Ta có:
$\sqrt{\dfrac{2a}{a + b}} + \sqrt{\dfrac{2b}{b + c}} + \sqrt{\dfrac{2c}{c + a}}$

$= \dfrac{a^2}{\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}}} + \dfrac{b^2}{\sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}}} + \dfrac{c^2}{\sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}}} \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} + \sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}} + \sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}}}$

Ta sẽ chứng minh:
$\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} + \sqrt{\dfrac{b^3(b + c)}{2}} + \sqrt{\dfrac{c^3(c + a)}{2}} \leq a^2 + b^2 + c^2 \, (1)$

Thật vậy:
$\sqrt{\dfrac{a^3(a + b)}{2}} = \sqrt{\dfrac{a^2(a^2 + ab)}{2}} \leq \dfrac{3a^2 + ab}{4}$

Từ đó suy ra:
$VT_{(1)} \leq \dfrac{3(a^2 + b^2 + c^2) + ab + ac + bc}{4} \leq a^2 + b^2 + c^2$

Do đó, ta có điều phải chứng minh.

Giải

Ta có:
$\cos{\alpha} = \dfrac{GB^2 + GC^2 - BC^2}{2GB.GC} = \dfrac{\dfrac{4}{9}(m_b^2 + m_c^2) - a^2}{2\dfrac{2}{3}m_b\dfrac{2}{4}m_c}$

$= \dfrac{\dfrac{4}{9}\left (a^2 + \dfrac{b^2 + c^2}{4}\right ) - a^2}{\dfrac{8}{9}m_bm_c } = \dfrac{b^2 + c^2 - 5a^2}{8m_bm_c}$

Ta có: $5bc\cos{A} - 2(b^2 + c^2) = \dfrac{5(b^2 + c^2 - a^2)}{2} - 2(b^2 + c^2) = \dfrac{b^2 + c^2 - 5a^2}{2}$

Vì vậy: $\cos{\alpha} = \dfrac{5bc\cos{A} - 2(b^2 + c^2)}{4m_bm_c}$

Trong tam giác GBC:
$\dfrac{\sin{\alpha}}{a} = \dfrac{\sin{BCG}}{\dfrac{2}{3}m_b}$

Mặt khác:
$\dfrac{\sin{BCG}}{\dfrac{c}{2}} = \dfrac{\sin{B}}{m_c} = \dfrac{b\sin{A}}{am_c}$

$\Rightarrow \sin{BCG} = \dfrac{bc\sin{A}}{2am_c}$

Vậy:
$\sin{\alpha} = \dfrac{a. \dfrac{bc\sin{A}}{2am_c}}{\dfrac{2}{3}m_b } = \dfrac{3bc\sin{A}}{4m_bm_c}$

Do đó: $\cot{\alpha} = \dfrac{5bc\cos{A} - 2(b^2 + c^2)}{3bc\sin{A}}$

Giải

ĐK: $xy \geq 0$

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$xy^2 + 2y^2\sqrt{2xy} + 2y^3 + \sqrt[3]{y + 8} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow y(xy + 2y\sqrt{xy} + 2y^2) + \dfrac{y}{\sqrt[3]{(y + 8)^2} + 2\sqrt[3]{y + 8} + 4} = 0$

$\Leftrightarrow y \left [ (\sqrt{xy} + \sqrt{2}y)^2 + \dfrac{1}{\sqrt[3]{(y + 8)^2} + 2\sqrt[3]{y + 8} + 4}\right ] = 0$

$\Leftrightarrow y = 0$

Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
$x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = 0$

$\Leftrightarrow 2x^3 = (x - 2)^3 \Rightarrow x = \dfrac{2}{1 - \sqrt[3]{2}}$

Giải

ĐK: $x \geq \dfrac{1}{2}$

Phương trình tương đương:
$3x(x - 2)(\sqrt{2x - 1} + 1) = (x - 2)(2x^2 - x + 2)$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left [2x^2 - x + 2 – 3x(\sqrt{2x - 1} + 1)\right ] = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2\\2x^2 - 4x + 2 – 3x\sqrt{2x - 1} = 0 \, (1)\end{matrix}\right.$

Ta có: $(1) \Leftrightarrow 2x^2 - 3x\sqrt{2x - 1} - 2(2x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2x + \sqrt{2x - 1})(x - 2\sqrt{2x - 1}) = 0$

Còn lại bạn tự giải nhé.

Giải

ĐK: $\sin{x} + \cos{x} \neq - 1$

Nhận thấy:
$\sin{x} + \sin{3x} = 2\sin{2x}\cos{x} =2\cos{x}(\sin{x} + \cos{x} + 1)(\sin{x} + \cos{x} - 1)$

Vậy, phương trình ban đầu tương đương:
$2\cos{x}(\sin{x} + \cos{x} - 1) = \sqrt{2}\cos{3x} + 1 - 2\left (1 - 2\sin^2{\dfrac{x}{2}}\right )$

$\Leftrightarrow \sin{2x} + \cos{2x} = \sqrt{2}\cos{3x}$

$\Leftrightarrow \cos{3x} = \cos{\left ( 2x - \dfrac{\pi}{4}\right )}$

Giải

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:
$(x^3 - 2x^2y) - (15x - 30y) + (24y^2 - 12xy) = 0$
$\Leftrightarrow (x - 2y)(x^2 - 12y - 15) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x = 2y\\x^2 = 12y + 15\end{matrix}\right.$

Phương trình thứ hai của hệ tương đương:
$\dfrac{3x^2 + 16xy + 12y^2}{24y} = \sqrt{\dfrac{x^3}{3y} + \dfrac{x^2}{4}}$

Chia cả 2 vế của phương trình cho y rồi đặt $t = \dfrac{x}{y}$, ta có:
$\dfrac{t^2}{8} + \dfrac{2t}{3} + \dfrac{1}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{t^3}{3} + \dfrac{t^2}{4}}$

$\Leftrightarrow 3t^2 \pm 4|t|\sqrt{3(4t + 3)} + 4(4t + 3) = 0$

$\Rightarrow 3\dfrac{t^2}{4t + 3} \pm \dfrac{4\sqrt{3}|t|}{\sqrt{4t + 3}} + 4 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\dfrac{|t|}{\sqrt{4t + 3}} = \pm 2$

Vì $VT \geq 0 \Rightarrow \sqrt{3}\dfrac{|t|}{\sqrt{4t + 3}} = 2$

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t = 6\\t = \dfrac{-2}{3}\end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix}x = 6y\\x = \dfrac{-2}{3}y\\\end{matrix}\right.$
Kết hợp với phương trình ban đầu để suy ra nghiệm.

Liệu có nhầm lẫn không Chung??? (Cũng có thể mình sai)

Khi cậu nhân mẫu lên thì vế phải trở thành: $2(\cos^2{x} - 1)(1 + \sin{x}) = -2\sin^2{x}(1 + \sin{x})$

Giải

ĐK: $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \, (k \in Z)$

Phương trình tương đương:
$2\cos^2{x}\left (\sin{2x} - \cos{2x}\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\right ) = \sqrt{3}(\cos^2{x} - \sin^2{x})$

$\Leftrightarrow 2\cos{x}(\sin{2x}\cos{x} - \sin{x}\cos{2x}) = \sqrt{3}(\cos^2{x} - \sin^2{x})$

$\Leftrightarrow 2\sin{x}\cos{x} = \sqrt{3}\cos{2x} \Rightarrow \sin{2x} = \sqrt{3}\cos{2x}$