Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Nguyenhuyen_AG

Đăng ký: 09-09-2010
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 23:43
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cho các số thực x,y,a,b thỏa mãn :$ax-by=\sqrt{3}$

Hôm qua, 12:03

Cho các số thực x,y,a,b thỏa mãn :$ax-by=\sqrt{3}$

 Tìm min $P=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$

 

Link: https://diendantoanh...acbd-geq-sqrt3/


Trong chủ đề: Cho ba số a,b,c>0. CMR:

20-02-2017 - 21:13

Anh dùng phần mềm do anh viết trên Maple.


Trong chủ đề: Cho ba số a,b,c>0. CMR:

20-02-2017 - 20:48



Cho ba số a,b,c>0. CMR: 

$ \frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq 5 $

 

Bài này có thể biểu diễn dưới dạng các tổng bình phương nhưng hệ số rất xấu

 

201743ea9452-b6b9-4c76-a829-33c47249aaa2


Trong chủ đề: $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4.(a+b+c+1)^{2}$

19-02-2017 - 22:39

\[\begin{aligned}(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3) - 4(a+b+c+1)^{2} & = \frac { \left[( {b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5 ) a-4b-4c-4 \right]^2}{{b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5}+\\& + \frac{( {c}^{2}+3 )  ( {b}^{2}+3 )  \left[  ( 3b{c}^{2}+5b-4c-4 ) ^{2}+3 ( 5{c}^{2}+2c+13)( c-1 )^{2}\right]}{ ( 3{c}^{2}+5 ) ({b}^{2}{c}^{2}+3{b}^{2}+3{c}^{2}+5 )} \geqslant 0.\end{aligned}\]


Trong chủ đề: $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.

19-02-2017 - 17:24

em tách thế này

$x^2+2y^{2}+5z^{2}-xy+yz+zx=\frac{(x+3z)^{2}}{3}+\frac{(2x-3y)^{2}}{6}+\frac{(y+2z)^{2}}{2}\geq 0\Leftrightarrow 2x=-3y=-6z$

 

Cách này anh nghĩ dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vì phần tìm giá trị lớn nhất có thể giải bằng Cauchy-Schwarz. Anh đoán vậy thôi còn không biết em tìm nó ra thế nào.

 

Em vẫn thắc mắc là cơ sở nào để anh nhân lượng $\frac{11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10}$ ấy vào biểu thức hay là anh dựa trên kết quả rồi nhân vào ạ !

 

Xét biểu thức

\[P = xy-yz-zx+k \cdot \frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}.\]

Áp dụng công thức $ax^2+bx+c = a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{4ca-b^2}{4a}$ ta viết $P$ lại dưới dạng tam thức bậc hai theo $x$ lại như sau

\[\frac{(kx+11y-11z)^2}{22k}+\frac{2k^2y^2+5k^2z^2-22kyz-121y^2+242yz-121z^2}{22k}.\]

Tương tự ta có

\[\begin{aligned} 2k^2y^2+5k^2z^2-22kyz&-121y^2+242yz-121z^2 \\& = \frac{(2k^2y-11kz-121y+121z)^2}{2k^2-121}+\frac{2k(k+11)(5k^2-55k+121)z^2}{2k^2-121}\end{aligned}\]

Như vậy nếu $k(k+11)(5k^2-55k+121) = 0$ tức $k = \left\{-11,\,\frac{55+11\sqrt5}{10},\,\frac{55-11\sqrt5}{10}\right\}$ thì ta có thể biểu diễn được $P$ thành tổng của các bình phương.

  • Để có giá trị nhỏ nhất thì ta cần chọn $k > 0, 2k^2-121 > 0$ tức $k = \frac{55+11\sqrt5}{10}.$ 
  • Để có giá trị lớn nhất thì $k < 0, 2k^2-121 < 0$ tức $k = -11.$