Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Nguyenhuyen_AG

Đăng ký: 09-09-2010
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 23:43
****-

#672217 Cho ba số a,b,c>0. CMR:

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 20-02-2017 - 20:48



Cho ba số a,b,c>0. CMR: 

$ \frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq 5 $

 

Bài này có thể biểu diễn dưới dạng các tổng bình phương nhưng hệ số rất xấu

 

201743ea9452-b6b9-4c76-a829-33c47249aaa2




#672101 $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 19-02-2017 - 17:24

em tách thế này

$x^2+2y^{2}+5z^{2}-xy+yz+zx=\frac{(x+3z)^{2}}{3}+\frac{(2x-3y)^{2}}{6}+\frac{(y+2z)^{2}}{2}\geq 0\Leftrightarrow 2x=-3y=-6z$

 

Cách này anh nghĩ dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vì phần tìm giá trị lớn nhất có thể giải bằng Cauchy-Schwarz. Anh đoán vậy thôi còn không biết em tìm nó ra thế nào.

 

Em vẫn thắc mắc là cơ sở nào để anh nhân lượng $\frac{11\left ( 5+\sqrt{5} \right )}{10}$ ấy vào biểu thức hay là anh dựa trên kết quả rồi nhân vào ạ !

 

Xét biểu thức

\[P = xy-yz-zx+k \cdot \frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}.\]

Áp dụng công thức $ax^2+bx+c = a\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{4ca-b^2}{4a}$ ta viết $P$ lại dưới dạng tam thức bậc hai theo $x$ lại như sau

\[\frac{(kx+11y-11z)^2}{22k}+\frac{2k^2y^2+5k^2z^2-22kyz-121y^2+242yz-121z^2}{22k}.\]

Tương tự ta có

\[\begin{aligned} 2k^2y^2+5k^2z^2-22kyz&-121y^2+242yz-121z^2 \\& = \frac{(2k^2y-11kz-121y+121z)^2}{2k^2-121}+\frac{2k(k+11)(5k^2-55k+121)z^2}{2k^2-121}\end{aligned}\]

Như vậy nếu $k(k+11)(5k^2-55k+121) = 0$ tức $k = \left\{-11,\,\frac{55+11\sqrt5}{10},\,\frac{55-11\sqrt5}{10}\right\}$ thì ta có thể biểu diễn được $P$ thành tổng của các bình phương.

  • Để có giá trị nhỏ nhất thì ta cần chọn $k > 0, 2k^2-121 > 0$ tức $k = \frac{55+11\sqrt5}{10}.$ 
  • Để có giá trị lớn nhất thì $k < 0, 2k^2-121 < 0$ tức $k = -11.$



#672096 $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 19-02-2017 - 16:52

Ta có

\[\begin{aligned}xy-yz-zx & + \frac{55+11\sqrt5}{10} \cdot \frac{x^{2}+2y^{2}+5z^{2}}{22} \\& = \frac{5+\sqrt5}{80}\left[2x-(\sqrt5-5)y+(\sqrt5-5)z\right]^2 + \frac{7\sqrt5-15}{80}(3z\sqrt5+5z+2y)^2 \geqslant 0.\end{aligned}\]

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{x}{z} = 5+2\sqrt5, \;\frac{y}{z} = -\frac{3\sqrt5+5}{2},\,z \ne 0.$ Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất.

 

theo cách của anh ,,,,ta chỉ tìm được max thôi ,,, em cũng tách thành tổng 3 bình phương nhưng lại ra max,,,ko biết có nhầm đề ko

 

Em tách như thế nào?

 

P/s : Anh Huyện có thể chỉ em cách tách thế nào là hợp lý như anh không?

 

Anh tách dựa theo tam thức bậc hai.




#672079 $(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 19-02-2017 - 13:20

Cho $a,b,c>0$.  Chứng minh rằng:

$(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$

 

Ta có

\[(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab) - abc(a+2b)(b+2c)(c+2a) = \frac23\sum bc(4a^2+2ab+3c^2)(a-b)^2 \geqslant 0.\]




#672078 $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 19-02-2017 - 12:54

Tìm Min của $M=xy-yz-zx$, với $x$, $y$, $z$, là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}=22$.

 

Ta có

\[\frac{x^2+2y^2+5z^2}{22}-\frac{1}{11}(xy-yz-zx) = \frac{1}{22}(x-y+z)^2+\frac{1}{22}(y+2z)^2 \geqslant 0.\]




#671924 TÌM MIN CỦA A=....

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 17-02-2017 - 21:07

những tính toán của anh làm em hoang mang quá ,,,, tách hạng tử to vậy có phần mềm gì hỗ trợ ko ạ ,,,anh dẫn link cho em với

 

Anh dùng phần mềm do anh viết trên Maple. Nếu em muốn cách thuần túy thì có thể xem ở đây.




#671911 TÌM MIN CỦA A=....

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 17-02-2017 - 20:35

ai biết thì giúp em. đề bài như sau ạ:

  • Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 21ab+2bc+8ac $\leq$12

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A=$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

 

Lời giải.




#671910 Tìm Min của $P=(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 17-02-2017 - 20:34

Cho $a,b,c \geq 0$ và $a+b+c=3$. Tìm Min của

$P=(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}$

 

Ta có

\[\sum (a-1)^3 = \sum a(3-2a)^2 - \frac34 \geqslant \frac34.\]




#671811 cho số thực x, y, z bất kì. Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong 3 số (x-y)^2, (y-...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 16-02-2017 - 19:36

cho số thực x, y, z bất kì. Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong 3 số $\left ( x-y \right )^{2}$, $\left ( y-z \right )^{2}$, $\left ( z-x \right )^{2}$. CM m $\leq$ $\frac{1}{2}\left ( x^{2} +y^{2}+z^{2}\right )$

 

Chú ý rằng

\[\min\{(x-y)^2,(y-z)^2,(z-x)^2\} \leqslant \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{3},\]

nên ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{3} \leqslant \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2),\]

bất đẳng thức này tương đương với

\[\frac{1}{30}\left( 5y+2x+2z \right) ^{2}+{\frac {1}{70}}\left( 7x+2z \right) ^{2}+{\frac{9}{14}{z}^{2}} \geqslant 0.\]

Ta có điều phải chứng minh.




#671791 CMR: $-4\leq a^2b+b^2c+4ca^2-5abc\leq 128$

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 16-02-2017 - 17:04

Cho $a,b,c\geq 0$ : $a+b+c=6$

CMR: $-4\leq a^2b+b^2c+4ca^2-5abc\leq 128$

 

Viết vế phải lại như sau

\[a^2b+b^2c+4ca^2-5abc\leq \frac{16}{27}(a+b+c)^3.\]

Bất đẳng thức này tương đương với

\[\begin{aligned}\frac{1}{27}16b(a-b+2c)^{2}&+\frac{1}{432}(256c+37a)(2a+2b-c)^2+\frac{1}{16}a(2a-2b-c)^2\\&+\frac{1}{54}b(128ab+42bc+83ca+96c^2) \geqslant 0.\end{aligned}\]

Hiển nhiên đúng.

 

Vế trái mình vẫn chưa phân tích được do đẳng thức lệch nhau và lệch biên nhưng vẫn có thể chứng minh bằng bất đẳng thức AM-GM.




#671790 $(3-\frac{b+c}{a})(3-\frac{a+c}...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 16-02-2017 - 16:25

a) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:

$(3-\frac{b+c}{a})(3-\frac{a+c}{b})(3-\frac{a+b}{c})\leq 1$

 

Giả sử $c = \max\{a,b,c\}$ khi đó

\[1 - \prod \left(3-\frac{b+c}{a}\right) = \frac{[a+b+3(a+b-c)](a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+7(2c-a-b)(a-b)^2}{abc} \geqslant 0.\]




#671789 $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 16-02-2017 - 16:14

cho $a,b,c>0$ chứng minh răng $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}} \geq \frac{3}{2}(\frac{\sum a^{3}}{\sum a^{2}})$

 

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

\[\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}} \geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+c^3(a^2+b^2)},\]

\[2(a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2) - 3\displaystyle \sum a^3(b^2+c^2) = \sum (a+b)(a^2+ab+b^2)(a-b)^2 \geqslant 0.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.




#671696 $(ab)^{\frac{n(n+1)}{2}}.(a^n+b^n)...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 15-02-2017 - 14:30

Cho $a,b >0$ thỏa mãn $a+b=2$ và $n \in \mathbb{N}$ Chứng minh:

$(ab)^{\frac{n(n+1)}{2}}.(a^n+b^n)\le 2$

 

Thuần nhất hai vế và chuẩn hóa $b=1$ ta sẽ được câu bất đẳng thức trong đề thi quốc gia năm 2011.




#671606 Epsilon số 13

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 14-02-2017 - 13:47

Đây là số cuối cùng của tạp chí, bạn nào quan tâm có thể tải về ở đây.




#671118 $y=\left ( \frac{2x}{x^{2}+1}...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 11-02-2017 - 17:46

bạn có thể chỉ cho mình cách biến đổi ko?

 

Đặt $a = \frac{2x}{x^2+1}$ thì $$y = a^2 - a + 1 = \frac14(2a-1)^2+\frac34.$$