Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Nguyenhuyen_AG

Đăng ký: 09-09-2010
Offline Đăng nhập: 10-01-2019 - 16:22
****-

#700708 $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 23-01-2018 - 13:34

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$b) \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-c)^2}{a+b+c}$ 

 

Ta có

\[\text{VT - VP} = \frac{a(b^2-ca)^2+c(a^2-2ab+bc)^2+b(ab-2ca+c^2)^2}{abc(a+b+c)} \geqslant 0.\]




#694385 Cực Trị Nâng cao

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 08-10-2017 - 20:01

Tìm giá trị nhỏ nhất của E = x + y biết x2 + y2 = 50 và 1 $\leq$ x $\leq$ 7; 1 $\leq$ y $\leq$ 7

 

Ta có

\[x+y = \sqrt{16 + \frac{2[(7x+27)(x-1)+(20x+7y)(y-1)+y(7-x)]}{19}} \geqslant  \sqrt{16} = 8.\]




#694236 $\sum {{x^3}} + 2\sum {{x^2...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 05-10-2017 - 20:48

Cho $x,y,z \ge 0$. Chứng minh :${x^3} + {y^3} + {z^3} + 2({x^2}y + {y^2}z + {z^2}x) \ge 3(x{y^2} + y{z^2} + z{x^2})$

 

Lời giải: https://diendantoanh...ào/#entry474480




#694234 $2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2}$

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 05-10-2017 - 20:39

cho x,y,z>0 : xy+yz+xz=3. tìm min

A= $2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2}$

 

Bài đẹp nhưng kết quả không đẹp. Đặt

\[P = 2x^{2} +3y^{2} + 4z^{2} - k(xy+yz+zx),\]

khi đó

\[P=\frac18\left( ky+kz-4\,x \right) ^{2}+{\frac{( {k}^{2}y+{k}^{2}z+4kz-24y) ^{2}}{24-{k}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}( {k}^{3}+9{k}^{2}-96) }{24-{k}^{2}}}.\]

Như vậy nếu chọn $k$ sao cho ${k}^{3}+9{k}^{2}-96=0,k^2<24$ thì $P \geqslant 0$ tức $P$ có giá trị nhỏ nhất là $3k.$




#693766 $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 26-09-2017 - 22:25

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{c^2}+\frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}\ge \frac{5}{2}(a^2+b^2+c^2)-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$

 

Viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất

\[f(a,b,c) = \sum \frac{a+b}{c^2} - \frac{5(a^2+b^2+c^2) -ab-bc-ca}{2abc} \geqslant 0.\]

Giả sử $x,y,z$ là ba số thực dương, áp dụng phép thế Ravi ta có

\[f(a,b,c) = f(x+y,y+z,z+x) \equiv f(x,y,z),\]

\[f(x,y,z)= \frac{1}{2(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2} \sum (x^3+3x^2y+5xy^2+y^3+2x(x+y-z)^2)(x-y)^2 \geqslant 0.\]




#693604 $\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} >9$

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 23-09-2017 - 22:02

Bạn lấy x=9 hoặc bất kỳ đi 

VT ko bằng VP

 

Mình vẫn thấy nó đúng với $x=9$. :(




#693600 $\frac{x}{2}+\frac{8x^{3}}{(x-2)(x+2)^{2}} >9$

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 23-09-2017 - 21:38

bạn phân tích sai rồi

 

Mình kiểm tra thấy đúng mà nhỉ. :(




#693593 Bất đẳng thức AM-GM

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 23-09-2017 - 21:15

Bài 1: Cho các số thực a,b,c thỏa ab+7bc+ca=188. Tìm GTNN $P= 5a^{2}+11b^{2}+5c^{2}$

Bài 2: Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Tìm GTNN P = a2+b2+c3

 

Bài 1. Ta có

\[5a^2+11b^2+5c^2-2(ab+7bc+ca) = \frac15(5a-b-c)^2+\frac65(3b-2c)^2 \geqslant 0.\]

Bài 2. Đặt $z = \frac{\sqrt{37}-1}{6} > 0,$ theo bất đẳng thức AM-GM ta có $c^3 \geqslant \frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2},$ và

\[a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2 - \frac{27z}{2(3z+1)} \cdot \frac{(a+b+c)^2}{9} = \frac{(3az-3bz-3cz+2a)^2+(3z+1)(2b-3cz)^2}{(3z+2)(6z+2)} \geqslant 0.\]

Do đó

\[P \geqslant a^2+b^2+\frac{3z}{2}c^2-\frac{z^3}{2} \geqslant \frac{27z}{2(3z+1)} - \frac{z^3}{2} = \frac{541-\sqrt{37^3}}{108}.\]

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{19-\sqrt{37}}{12},c=\frac{\sqrt{37}-1}{6}.$




#693209 Cho $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 17-09-2017 - 15:08

Cho $a^2+b^2<1$. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm

$(a^2+b^2-1)x^2 -2(ac+bd-1)x+c^2+d^2-1=0$

 

Phương trình này luôn có nghiệm $x$ bởi vì biệt thức

\[\Delta^{'}_x = \frac{(abd-b^2c-a+c)^2+(b-d)^2(1-a^2-b^2)}{1-b^2} \geqslant 0.\]




#693203 tìm max :xy+yz+zx

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 17-09-2017 - 13:54

Cho x,y,z thỏa mãn :$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-\frac{9}{16}xy$

Tìm MAX : P=xy+yz+zx

 

Xét \[P=\frac{8+12\sqrt5}{41}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{16}xy\right) - (xy+yz+zx),\] thì
\[P = {\frac { \left( 3 \sqrt{5}+2 \right)  \left( 12 \sqrt{5}y+12 \sqrt{5}z-32x-17y-8z \right) ^{2}}{10496}}+{\frac { \left( 21 \sqrt{5}+150 \right)  \left( 12 \sqrt{5}z-41y+8z \right) ^{2}}{430336}} \geqslant 0.\]

Do đó

\[xy+yz+zx \leqslant \frac{8+12\sqrt5}{41}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{16}xy\right).\]




#692250 $\sum \frac{a(3a^2+5bc)}{(b+c)^2}\geq...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 03-09-2017 - 18:57

c. $\sum \frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc}\geq 2$

 

Nếu có một số bằng $0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên. Xét trường hợp các số đều dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

\[\sum \frac{a^3+abc}{b^3+c^3+abc} \geqslant \frac{\displaystyle \left[\sum(a^3+abc)\right]^2}{\displaystyle \sum (b^3+c^3+abc)(a^3+abc)}.\]

\[\left[\sum(a^3+abc)\right]^2 -2 \sum (b^3+c^3+abc)(a^3+abc) = \sum (a^2+bc) \sum a^2(a-b)(a-c) \ge 0.\]

Ta có điều phải chứng minh.




#691818 $\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq (\frac...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 29-08-2017 - 20:47

Chỗ y đấy phải là t chứ ạ.

Em đóng góp thế thôi,chứ cách giải của anh cũng rất hay.

 

À đúng rồi, chỗ đấy anh gõ nhầm. Cám ơn em nhé.




#691604 $\sum {\frac{{a - b}}{b}...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 26-08-2017 - 20:09

Cho 3 số dương a,b,c : CMR $\sum {\frac{{a - b}}{b}}  \ge \frac{{{{(a - c)}^2}}}{{(a + b)(b + c)}}$

 

Ta có

\[\text{VT - VP}=\frac{c^2(a+b)(a-b)^2+b^2c(a-c)^2+ab(a+b)(b-c)^2}{abc(a+b)(b+c)} \geqslant 0.\]




#691602 $\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}\leq (\frac...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 26-08-2017 - 20:05

Cho các các số thực a,b,c thỏa mãn $min(xy,yz,zx)\geq 1$.

Chứng minh rằng:$\sqrt[3]{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}\leq (\frac{x+y+z}{3})^2 +1$

 

Giả sử $x \geqslant y \geqslant z$ và đặt $t=\frac{y+z}2$ thì $x\geqslant t \geqslant 1.$ Xét $f(x,y,z)$ là hiệu của vế phải và vế trái, từ bổ đề

\[(y^2+1)(z^2+1) \leqslant \left[1+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2 \right]^2,\]

ta chứng minh được $f(x,y,z) \geqslant f(x,t,t).$

 

Bây giờ ta sẽ chứng minh $f(x,t,t) \geqslant 0,$ bất đẳng thức này tương đương với

\[1+{{\left( \frac{x+2t}{3} \right)}^{2}}-\sqrt[3]{({{x}^{2}}+1){{({{t}^{2}}+1)}^{2}}}\ge 0,\]

hay là

$${{\left[ {{(x+2t)}^{2}}+9 \right]}^{3}}-729({{x}^{2}}+1){{({{t}^{2}}+1)}^{2}}\ge 0,$$

hoặc

\[\underbrace{\big[{{x}^{4}}+14{{x}^{3}}t+(87{{t}^{2}}+27){{x}^{2}}+(320{{t}^{3}}+270t)x+64{{t}^{4}}-297{{t}^{2}}-486\big]}_{P}(x-t)^2 \geqslant 0.\]

Chú ý rằng

\[\begin{aligned}P=&\left[320t^3+(87x+87)t^2+(14x^2+14x)t+x^3+x^2+28x+312\right] (x-1)\\&+(64t^3+384t^2+174t+284x+174)(t-1) \geqslant 0.\end{aligned}\]

Nên ta có điều phải chứng minh.




#691260 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2...

Gửi bởi Nguyenhuyen_AG trong 22-08-2017 - 00:02

Cho a,b,c>0 thỏa abc=1.CMR: $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[f=(a+b+c)^5 - 81(a^2+b^2+c^2) \geqslant 0.\]

Ta có

\[f = \frac12 \sum (a^3+b^3+21c^3+2a^2b+2ab^2)(a-b)^2+5\sum c(a-b)^4 \geqslant 0.\]