tomoyochan3

Chứng minh rằng:Với mọi số thực dương x, y, z ta luôn có:
$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+x)(y+z)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq 1$

Giải hệ phương trình:$\begin{cases}
& x+2{y}^{2}-y\sqrt{x+3{y}^{2}}=0 \\
& 2{y}^{2}-3y-x+1+\frac{1}{6}\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+1}=0
\end{cases}$

Tính tích phân:$I=\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{xsin2x+ln(sinx)}{{cos}^{2}x}dx$

1.Chứng minh rằng với mọi a, b,c dương thỏa mãn a+b+c=3 thì:
$\frac{{a}^{2}b}{2a+b}+\frac{{b}^{2}c}{2b+c}+\frac{{c}^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$
2.Cho a, b, c là các số thực tùy ý.Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{{c}^{2}}+\frac{bc}{{a}^{2}}+\frac{ca}{{b}^{2}}\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right)$
3.Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng
$\frac{{a}^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{{b}^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{{c}^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

Cho a, b, c không âm.Chứng minh rằng:
$\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$