tuilatrai123

CMR: Voi moi $a,b,c>0, n\geq 1$, ta co:
$ \frac{a^{n}}{b^{n}}+\frac{b^{n}}{c^{n}}+\frac{c^{n}}{a^{n}}\geq \frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}+\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}+\frac{c^{n-1}}{a^{n-1}}\geq 3$
Ta co
$(n-1)\frac{a^{n}}{b^{n}}+1\geq n\sqrt[n]{\frac{a^{n(n-1)}}{b^{n(n-1)}}}=n.\frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}$
Tuong tu ta co:
$(n-1)\frac{b^{n}}{c^{n}}+1\geq n.\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}$
$(n-1)\frac{c^{n}}{a^{n}}+1\geq n.\frac{c^{n-1}}{a^{n-1}}$
Cong lai ta co
$(n-1)(\frac{a^{n}}{b^{n}}+\frac{b^{n}}{c^{n}}+\frac{c^{n}}{a^{n}})+3\geq n(\frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}+\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}+\frac{c^{n-1}}{a^{n-1}})$
ma`$ \frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}+\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}+\frac{c^{n-1}}{a^{n-1}}\geq 3$ (Cosy thoi)
=>$(n-1)(\frac{a^{n}}{b^{n}}+\frac{b^{n}}{c^{n}}+\frac{c^{n}}{a^{n}})\geq (n-1)(\frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}+\frac{b^{n-1}}{c^{n-1}}+\frac{c^{n-1}}{a^{n-1}})$
=>dpcm

Cái này là do em tự nghĩ ra khi làm bdt :
$ \frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{c^{3}}+\frac{c^{3}}{a^{3}}\geq \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}$
Các anh chị xem có đúng không?

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2x &+2y &=5 \\ xy& =1 & \end{matrix}\right.$

Ta có thể áp đụng định lí Viet đảo ngay
x, y là nghiệm của phương trình
$A^{2}-2.5A+1=0 <=>2A^{2}-5A+2=0$ <=> $A=0.5$ hoặc $ A=2$
Vậy x=0.5 và y=2 hoặc x=2 và y=0.5

Bài 487:Cho $a,b,c\in R^{+}$.Chứng minh:
a)$$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$$
Bài 487 a)Em dùng Bunhiacopxki.Ta có:
$<=>(a+b+c)[\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}]\geq \frac{9}{4}$
Áp dụng Bunhiacopxki, ta có:
$VT\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geq (\frac{3}{2})^{2}$
Em vừa mới tìm ra cách khác
$\frac{a(a+b+c)}{(b+c)^{2}}+\frac{b(a+b+c)}{(c+a)^{2}}+\frac{c(a+b+c)}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4}$
$<=>\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{9}{4}$
BDT trên đúng vì
$\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{1}{3}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$

Bài 342:
cho 3 số thực dương a,b,c và a+b+c=3. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{ab+b^{3}}\geq \frac{3}{2}$

$\sum \frac{a}{ab+b^{3}}=\sum (\frac{1}{a}-\frac{b}{a+b^{2}})\geq \sum \frac{1}{a}+3-3-\sum \frac{b}{2b\sqrt{a}}\geq 2\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-3=\frac{3}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-3\geq \frac{3}{2}(\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}})-3\geq \frac{3}{2}(\frac{9}{\sqrt{3(a+b+c)}})-3=\frac{3}{2}$

Lần đầu mình làm bài, có gí sai sốt thông cảm nha

Các số thực x, y, z thỏa mãn: x$^{4}$ + y$^{4}$ + z$^{4}$ = 3. Tìm GTLN của biểu thức:

P = x² (y + z) + y² (x + z) +z² (y + x)

cái bài trên cho a,b,c số thực thôi mà bạn dùng cốy, lỡ nó âm thì sao