Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


perfectstrong

Đăng ký: 30-09-2010
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:06
****-

#735316 $P_n(x)=F_n^2x^n+F_{n+1}^2x^{n-1}+F_{n-2}^...

Gửi bởi perfectstrong trong 19-05-2020 - 13:13

Lời giải đã có ở bên đây:

https://diendantoanh...711#entry639711

 

 

Lời giải bài toán 6.

Ta có bổ đề sau: Cho $F_n$ là dãy $Fibonacci$. Khi đó với mọi $n$ nguyên dương ta có:

$F_{1}^2+F_{2}^2+......+F_{n}^2=F_n.F_{n+1}$

Chứng minh bổ đề:

Ta chứng minh quy nạp theo $n$, dễ thấy đẳng thức đúng với $n=1$. Giả sử đẳng thức đã cho đúng tới $n=k, k\in N$, tức là:

$F_{1}^2+F_{2}^2+.......+F_{k}^2=F_k.F_{k+1}.$

Xét $n=k+1$ ta có:

$F_{1}^2+F_{2}^2+......+F_{k+1}^2$

$=(F_{1}^2+F_{2}^2+.........+F_{k}^2) + F_{k+1}^2$

$= F_k.F_{k+1} +F_{k+1}^2$

$=F_{k+1}(F_k+F_{k+1})$

$=F_{k+1}.F_{k+2}$.

Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$

Bổ đề được chứng minh.

Ta có một tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức như sau:

Tiêu chuẩn Perron:

Cho đa thức nguyên $P(x)= \sum_{i=0}^{k} a_{i}x^{i} $ có $a_0 \ne 0$. Khi đó nếu

$|a_{n-1}| > |a_0|+|a_1|+....+|a_{n-2}| +|a_n|$

thì đa thức này bất khả quy.

Tiêu chuẩn này được chứng minh trong nhiều sách và tài liệu.

Quay trở lại bài toán

Theo tiêu chuẩn $Perron$ ta chỉ cần chứng minh

$F_{n+1}^2 > F_{1}^2+F_{2}^2+.......+F_{n}^2$

Mà theo bổ đề trên thì ta quy về $F_{n+1}^2 > F_n.F_{n+1}$ hay $F_{n+1} >F_{n}$ (luôn đúng với mọi $n$ nguyên dương)

Vậy bài toán được chứng minh.



 




#735285 Cách đổi danh hiệu

Gửi bởi perfectstrong trong 18-05-2020 - 21:47

Cái đấy thì BQT mới đổi được thôi em :)




#735266 ĐĂNG KÍ LÀM ĐHV DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

Gửi bởi perfectstrong trong 18-05-2020 - 15:51

Xét thấy sự năng nổ và chất lượng bài viết, BQT quyết định chấp nhận đơn của bạn spirit1234 vào vị trí ĐHV THCS. Chúc bạn hoàn thành nhiệm vụ và tiếp tục niềm đam mê của mình.




#735231 Quỹ tích là giao của tiếp tuyến

Gửi bởi perfectstrong trong 17-05-2020 - 17:24

Kết quả là một đường ellipse. Cách đơn giản nhất là dùng hình học tọa độ.

 

Đặt hệ trục tọa độ sao cho $O(0;0); A(0;a)$ và phương trình đường tròn tâm O là $x^2 + y^2 = 1$.

Đặt $B=(x_0;y_0)$. Đi tìm tọa độ $M$ như sau:

\[\begin{array}{l}
N\left( {\frac{{{x_0}}}{2};\frac{{a + {y_0}}}{2}} \right) \Rightarrow \overline {ON} :\left( {a + {y_0}} \right)x - {x_0}y = 0\\
\overline {OB} :{y_0}x - {x_0}y = 0 \Rightarrow \overline {BM} :{x_0}x + {y_0}y = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x_0}x + {y_0}y = 1\\
\left( {a + {y_0}} \right)x - {x_0}y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0}x + {y_0}y = 1\\
y = \frac{{a + {y_0}}}{{{x_0}}}x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{a + {y_0}}}{{{x_0}}}x\\
{x_0}x + {y_0}\frac{{a + {y_0}}}{{{x_0}}}x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{{x_0}}}{{1 + a{y_0}}}\\
y = \frac{{a + {y_0}}}{{1 + a{y_0}}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow M:\left( {\frac{{{x_0}}}{{1 + a{y_0}}};\frac{{a + {y_0}}}{{1 + a{y_0}}}} \right)
\end{array}\]

Sau cùng chứng minh \[\frac{{x_M^2}}{{1 - {a^2}}} + \frac{{y_M^2}}{1} = 1\]




#734464 Xác suất chọn được bội số của $3$

Gửi bởi perfectstrong trong 02-05-2020 - 04:15

Cơ bản là phân chia trường hợp và chú ý cái số 0 khi đếm.

Hướng giải vắn tắt:

Gọi $A$ là số có $n$ chữ số khác nhau đôi một với $n \in [7;10]$. Ta xét từng trường hợp:

TH1: Nếu $n=10$. Tức là $A$ phải dùng hết toàn bộ chữ số từ 0 đến 9. Nhưng ta biết rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến 9 là 45, chia hết cho 3. Nên bất kì $A$ nào thỏa đề đều sẽ chia hết cho 3. Số lượng số $A$ thỏa mãn trong trường hợp này là $S_1 = 10! - 9!$ (xáo ngẫu nhiên 10 chữ số rồi trừ đi các trường hợp 0 đứng đầu). Và không gian mẫu của TH này là $W_1 = S_1$.

TH2: Nếu $n=9$. Gọi $k$ là chữ số không được dùng đến.

TH2.1: Nếu $k \in \{0; 3; 6; 9\}$ thì hiển nhiên $A$ sẽ luôn chia hết cho 3. Đếm số lượng $A$: nếu $k=0$ thì có $9!$, còn nếu $k \ne 0$ thì có $9! - 8!$. Vậy có tổng cộng $S_{2.1} = 9! + 3 \times (9! - 8!)$. Không gian mẫu là $W_{2.1} = S_{2.1}$.

TH2.2: Nếu $k \not \in \{0; 3; 6; 9\}$ thì $A$ sẽ không bao giờ chia hết cho 3. Tức $S_{2.2}=0$. Đếm không gian mẫu của TH này: $ W_{2.2} = 6 \times (9! - 8!)$.

TH3: Nếu $n=8$. Gọi $k_1, k_2$ là hai chữ số không được dùng đến theo thứ tự tăng dần.

TH3.1: Nếu $k_1 + k_2 \vdots 3$ thì $A$ luôn chia hết cho 3. Giờ phải đếm không gian mẫu $W_{3.1}$. Tiếp tục chia nhỏ trường hợp.

TH3.1.1: Nếu $k_1 = 0 \Rightarrow k_2 \in \{3; 6; 9\}$. Với mỗi $k_2$, ta có $8!$ số $A$ thỏa mãn. Vì thế $W_{3.1.1} = 3 \times 8!$.

TH3.1.2: Nếu $k_1 > 0$. Gọi $N_2$ là số lượng bộ $(k_1; k_2)$ sao cho $k_1 + k_2 \vdots 3$. Thành ra $W_{3.1.2} = N_2 \times (8! - 7!)$.

Tổng kết: $S_{3.1} = W_{3.1} = W_{3.1.1} + W_{3.1.2} = 3 \times 8! + N_2 \times (8! - 7!)$

TH3.2: Nếu $k_1 + k_2 \not \vdots 3$ thì $A$ không bao giờ chia hết cho 3. Tức $S_{3.2} = 0$. Còn $W_{3.2} = 6 \times 8! + (C_{9}^2 - N_2) \times (8! - 7!)$.

v.v

 

Có thể tổng quát hóa các trường hợp $n<10$ như sau (khó hiểu hơn nhưng đỡ viết nhiều):

Gọi $k_1, k_2, \cdots, k_{10-n}$ là các chữ số không dùng đến theo thứ tự tăng dần ngặt.

THa: Nếu $k_1 + k_2 + \cdots + k_{10-n} \vdots 3$ thì $A$ sẽ chia hết 3. Nên $W=S$. Ta chỉ cần đếm $S$.

Nếu $k_1 = 0$ thì $S = N_{10-n} \times n!$ với $N_{10-n}$ là số bộ chữ số $k_2, k_3, \cdots, k_{10-n}$ phân biệt lớn hơn 0 có tổng chia hết cho 3.

Nếu $k_1 > 0$ thì $S = (C_{n-1}^{10-n} - N_{10-n}) \times (n! - (n-1)!)$

Tổng kết lại $W=S=N_{10-n} \times n! + (C_{n-1}^{10-n} - N_{10-n}) \times (n! - (n-1)!)$

THb: Nếu $k_1 + k_2 + \cdots + k_{10-n} \not \vdots 3$ thì $A$ sẽ không chia hết cho 3. Nên $S=0$. Ta đếm $W$.

Tương tự THa, chia $k_1=0$ và $k_1 > 0$, ta có $W=\overline{N}_{10-n} \times n! + (C_{n-1}^{10-n} - \overline{N}_{10-n}) \times (n! - (n-1)!)$ với $\overline{N}_{10-n}$ là số bộ chữ số $k_2, k_3, \cdots, k_{10-n}$ phân biệt lớn hơn 0 có tổng không chia hết cho 3.

Chú ý rằng $\overline{N}_{10-n} + N_{10-n}=$ số cách chọn ra $9-n$ chữ số khác 0 đôi một khác nhau $=C_{9}^{9-n}=C_9^n$.

 

Cuối cùng chỉ cần tính $N_{10-n}$ rồi lấy tổng tương ứng. Hừm, mình lười nên đành dừng ở đây :D




#728932 (@HaiDangel) cách vẽ một đường thẳng chia đôi diện tích tam giác

Gửi bởi perfectstrong trong 10-01-2020 - 17:00

 

  1. cách $2$ của em thì đã trở thành trường hợp tổng quát rồi, anh chanhquocnghiem, nhờ lúc làm việc với Desmos, em nảy ra một bài toán: "Desmos sử dụng một đường link gồm $10$ kí tự cuối cùng là tổ hợp của cả thảy $36$ kí tự từ $q\rightarrow m, 1\rightarrow 0$ trên bàn phím máy tính, vậy xác suất để xuất hiện từ "vy" là bao nhiêu ? ~O) (thực ra thì mỗi lần em Save link thấy chữ "v" là em nghĩ sẽ sớm ra chữ "vy" thôi, không ngờ mất thời gian nhiều đến thế, Desmos :luoi:)."

 

Bài này quy về tổ hợp đếm.

Đặt $A$ là tập các ký tự cho phép (A-Z và 0-9, cả thảy là 36).

$S(k)$ là số lượng dãy $k$ kí tự lấy bất kỳ từ $A$ và có thể trùng, sao cho $S(k)$ có ít nhất một chữ $vy$.

$S(1) = 0; \, S(2)= 1$.

Xét $S(n)$ với $n \ge 3$. Ta phân tích thành các tổng con bằng cách xét chữ đầu tiên từ trái qua.

TH1: Nếu không phải là v thì có tất cả $(|A| - 1) \times S(n-1)$ dãy thỏa mãn.

TH2: Nếu là v thì xét tiếp chữ thứ hai.

TH2.1: Nếu là y thì phần còn lại có thể lấy bất kỳ, do đó có $|A|^{n-2}$ dãy thỏa mãn.

TH2.2: Nếu không phải y thì số dãy thỏa mãn sẽ là $(|A|-1) \times S(n-2)$.

Tổng kết lại, ta có biểu thức $S(n) = |A|^{n-2} + (|A|-1) \times (S(n-1) + S(n-2)) \, \forall n \ge 3$.

Phần còn lại là tính $S(10)$.

Còn xác suất thì chia cho không gian mẫu $|A|^n$ là xong.




#726784 $ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot...

Gửi bởi perfectstrong trong 23-10-2019 - 17:58

Mình nghi bài toán ở đây phát biểu không chính xác. Nếu thế này thì quá dễ. Có lẽ phải nói thế này:

 

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức và số thực $r\in (0;1)$ thỏa $|z_i-1|\le r \, \forall i=\overline{1,n}$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$




#724202 $f(x,y)$ liên tục trên $D \subset \mathbb{R...

Gửi bởi perfectstrong trong 25-07-2019 - 17:07

"Tiếp xúc" ở đây ý mình nói là không cắt vào biên. Trường hợp ví dụ của bạn, thì nếu điểm cho trước không phải tâm hình vuông thì kiểu gì trong 4 đường tròn bạn nêu cũng sẽ có một đường cắt vào biên.




#723929 $f(x,y)$ liên tục trên $D \subset \mathbb{R...

Gửi bởi perfectstrong trong 19-07-2019 - 14:07

Mình mới tham gia diễn đàn, thấy bạn đề "Sáng tác" ở đầu, chắc là đề bài do bạn nghĩ ra? Theo mình thấy đề bài của bạn thật sự hay! Tuy nhiên, xin đề xuất một số thứ làm cho vấn đề sáng tỏ hơn:

- Miền liên tục bạn đề cập, có lẽ là tập liên thông trong RxR;

- Trước khi chứng minh f liên tục, cần chỉ ra f với định nghĩa đã nêu là một ánh xạ (hàm số). Ví dụ xét một điểm (x,y) thuộc biên (khi D là tập đóng, vì bạn không nói rõ D đóng hay mở) thì không thể tìm được một hình tròn tiếp xúc với biên. Nên mình đề xuất chỉ xét hàm số trên tập D trừ đi phần biên. Hoặc nếu áp hàm số trên D thì nêu riêng f(x,y)=0 với (x,y) thuộc biên;

- Theo mình, cũng nên nêu rõ khái niệm biên và tiếp xúc với biên. Bởi cần chỉ rõ rằng với một điểm (x,y) trong D, ta có thể vẽ được một vòng tròn tiếp xúc với biên. Lúc này hàm số mới xác định.

- Miền liên thông có lẽ mới đúng là thuật ngữ cần dùng như bạn nói.

- Mình quên không nhắc tới đầu đề là $D$ phải đóng. Ta áp dụng luôn khái niệm đường tròn suy biến với bán kính bằng 0 trong trường hợp điểm thuộc biên.

- Tiếp xúc với biên ở đây là khoảng cách gần nhất từ một điểm bên trong tới biên, tức là $\min d(f(x_0,y_0), (x_0, y_0))$.




#721484 Bạn học toán như thế nào? (Phần 2)

Gửi bởi perfectstrong trong 17-04-2019 - 14:23

Em thì may mắn hơn anh là được tiếp xúc với báo toán và diễn đàn toán từ sớm :) Nhưng em ngược anh ở chỗ là chỉ thích hình học. Em thích cái cảm giác cho chạy chạy các điểm trên hình vẽ bằng SketchPad rồi tìm ra những tính chất thú vị, vẽ các đường thẳng nối dài hết cỡ để xem có chi hay. Làm hình lâu nên em có một kiểu nhìn và mường tượng toàn bằng hình ảnh / hình học / sơ đồ, bất kể vấn đề gì. Tiếc là sau này không còn ngâm cứu toán hình nhiều nữa :( cơ mà cái cách tư duy thì vẫn còn đó, và em thấy nó rất hữu ích để áp dụng vô nhiều lĩnh vực khác.




#720814 Xin hỏi về việc xóa bài mục "Các bài toán và vấn đề về Hình học"

Gửi bởi perfectstrong trong 13-03-2019 - 02:38

Mình đã coi hai bài bị xóa và thấy bạn đã không viết tiếng việt đàng hoàng.




#713244 CHỨNG MINH KHÔNG CÓ SỐ HOÀN THIỆN LẺ

Gửi bởi perfectstrong trong 25-07-2018 - 23:19

Chứng minh này ngộ nhận một điều: Mọi số hoàn thiện đều có công thức $p^{n-1}q$ với $p, q$ nguyên tố và $q>p$. (1)

Toàn bộ bài viết đều dựa trên mệnh đề (1). Nếu (1) không được chứng minh đầy đủ thì chứng minh của bác là vô nghĩa.




#711913 tìm các hàm f thỏa f(x+y+xy)+f(xy)=f(x)+f(y)

Gửi bởi perfectstrong trong 03-07-2018 - 16:27

$P(x,-x): 2f(-x^{2})=0  \Rightarrow f(x)=0$ với $x<0$

Dòng này sai. Phải là $2f(-x^{2})=2f(x)$.




#699206 Thay Đổi

Gửi bởi perfectstrong trong 30-12-2017 - 21:18

Nhiệm vụ ĐHV không phải là giải toán cho cho các bạn mà đơn giản là đảm bảo mọi người tuân theo luật của VMF.




#697936 $f(x,y)$ liên tục trên $D \subset \mathbb{R...

Gửi bởi perfectstrong trong 08-12-2017 - 02:05

(Sáng tác)

Cho $D \subset \mathbb{R}^2$ là một miền liên thông đóng (tức với mọi cặp điểm $A, B$ trong $D$, kể cả biên giới, thì luôn tồn tại một đường đi "liền nét" từ $A$ tới $B$ sao cho đường đi không cắt ra ngoài $D$.)

Định nghĩa $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ như sau: Vẽ một đường tròn có tâm $(x,y)$ và bán kính $f(x,y)$ sao cho đường tròn lớn nhất có thể có và tiếp xúc với viền của $D$.

Chứng minh rằng $f(x,y)$ liên tục.