Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


perfectstrong

Đăng ký: 30-09-2010
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 00:35
****-

#742141 Bài toán dự đoán trong trí tuệ nhân tạo

Gửi bởi perfectstrong trong 16-01-2021 - 16:52

Điều bạn đang nói chính là Linear Regression.

https://en.wikipedia...near_regression

https://en.wikipedia...r_least_squares




#742140 $f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R...

Gửi bởi perfectstrong trong 16-01-2021 - 16:48

Phụ chú:

Để ý rằng $f(x) > 0 \forall x \in \mathbb{R}^+$ nên $f(x+y) > f(x) \forall x \in \mathbb{R}^+ \forall y \in \mathbb{R}^+$, tức $f$ đơn điệu tăng.

Kết hợp với tính chất cộng tính, có thể suy ra $f(x) = ax \forall x \in \mathbb{R}^+$ với $a \in \mathbb{R}^+$. Thử lại sẽ thấy $a=2$, tức $f(x) = 2x \forall x \in \mathbb{R}^+$




#742114 $f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R...

Gửi bởi perfectstrong trong 15-01-2021 - 20:10

 

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R}^{+} \quad (1)$
Chứng minh rằng: $f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2}).$

Thay $y$ bằng $y+f(z)$, ta có: \[f\left( {x + f\left( {y + f\left( z \right)} \right)} \right) = f\left( {x + y + f\left( z \right)} \right) + f\left( {y + f\left( z \right)} \right)\]

Chú ý rằng, theo (1) thì $VT = f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right)$.

Còn $VP = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( z \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + 2f\left( z \right)$

Nên \[f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right) = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + 2f\left( z \right)\left( * \right)\]

Mặt khác, \[f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right)\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + z + f\left( {y + z} \right)} \right) + f\left( z \right)\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} f\left( {x + z + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + 2z} \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)\left( {**} \right)\]

Từ (*) và (**), ta có $f\left( {x + y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + 2z} \right)$, tức \[f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)\left( 2 \right)\]

Thay $y$ bằng $x$ thì từ (2) $f(2x)=2f(x)$. Vì vậy \[2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)\]




#742108 Dự đoán: chứng minh với mọi đa thức P(x) có bậc là số nguyên dương; P(x)=0 vô...

Gửi bởi perfectstrong trong 15-01-2021 - 17:57

Cái điều kiện "không cắt trục hoành" thực ra là một diễn giải hình học của $f(x) \ne 0 \forall x$. Vậy nên nếu $f$ liên tục thì mệnh đề em đưa ra sẽ luôn đúng, nếu không thì sẽ trái với định lý giá trị trung bình Cauchy.

 

Chứng minh đa thức liên tục: đa thức là tổng các đơn thức $a_nx^n$, mà bản thân mỗi đơn thức là một hàm liên tục, thì tổng các hàm liên tục cũng sẽ là hàm liên tục.




#742080 Dự đoán: chứng minh với mọi đa thức P(x) có bậc là số nguyên dương; P(x)=0 vô...

Gửi bởi perfectstrong trong 13-01-2021 - 23:21

Thay đa thức $P(x)$ bằng một hàm $f(x)$ liên tục và có giá trị tuyệt đối không bị chặn ($|f(x)| \rightarrow + \infty$) thì kết luận vẫn đúng.




#741933 Biểu diễn số

Gửi bởi perfectstrong trong 06-01-2021 - 17:20

Năm dương lịch 2020 sắp hết rồi. Mời các bạn giải trí với câu đố sau :

 

Hãy biểu diễn hai số $20,20$ và $20,21$ trong hệ nhị phân (làm tròn và lấy $6$ chữ số sau dấu phẩy)

 

Chúc các bạn thành công !

 

$$HAPPY\  NEW\  YEAR\  2021$$

$20.20_{10} \approx 10100.001100_{2}$

$20.21_{10} \approx 10100.001101_{2}$

Để ý thì hai biểu diễn nhị phân chỉ bắt đầu khác nhau ở hàng $2^{-6}$ :D




#741889 Liệu có tồn tại nhiều bộ số a;b sao cho $a^2+b^2=c$

Gửi bởi perfectstrong trong 04-01-2021 - 15:27

\[c = {a^2} + {b^2} = {a^2} - {\left( {ib} \right)^2} = \left( {a - ib} \right)\left( {a + ib} \right)\]

Như vậy chỉ cần đếm số các ước số phức của $c$ trên $\mathbb{Z}[i]$ là có thể suy ra số bộ $(a;b)$ thỏa đề. Còn đếm thế nào thì phải dựa vào phân tích thừa số trên $\mathbb{Z}[i]$. Trong link wikipedia mình đưa trên đã có giới thiệu và hướng dẫn rồi.




#741853 Liệu có tồn tại nhiều bộ số a;b sao cho $a^2+b^2=c$

Gửi bởi perfectstrong trong 02-01-2021 - 17:09

Mình chưa suy nghĩ nhiều nhưng nếu bạn tìm hiểu về số nguyên Gauss (có dạng $a+bi$) thì có lẽ tiếp cận bài toán hoàn chỉnh.

 

https://en.wikipedia...aussian_integer




#735316 $P_n(x)=F_n^2x^n+F_{n+1}^2x^{n-1}+F_{n-2}^...

Gửi bởi perfectstrong trong 19-05-2020 - 13:13

Lời giải đã có ở bên đây:

https://diendantoanh...711#entry639711

 

 

Lời giải bài toán 6.

Ta có bổ đề sau: Cho $F_n$ là dãy $Fibonacci$. Khi đó với mọi $n$ nguyên dương ta có:

$F_{1}^2+F_{2}^2+......+F_{n}^2=F_n.F_{n+1}$

Chứng minh bổ đề:

Ta chứng minh quy nạp theo $n$, dễ thấy đẳng thức đúng với $n=1$. Giả sử đẳng thức đã cho đúng tới $n=k, k\in N$, tức là:

$F_{1}^2+F_{2}^2+.......+F_{k}^2=F_k.F_{k+1}.$

Xét $n=k+1$ ta có:

$F_{1}^2+F_{2}^2+......+F_{k+1}^2$

$=(F_{1}^2+F_{2}^2+.........+F_{k}^2) + F_{k+1}^2$

$= F_k.F_{k+1} +F_{k+1}^2$

$=F_{k+1}(F_k+F_{k+1})$

$=F_{k+1}.F_{k+2}$.

Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1$

Bổ đề được chứng minh.

Ta có một tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức như sau:

Tiêu chuẩn Perron:

Cho đa thức nguyên $P(x)= \sum_{i=0}^{k} a_{i}x^{i} $ có $a_0 \ne 0$. Khi đó nếu

$|a_{n-1}| > |a_0|+|a_1|+....+|a_{n-2}| +|a_n|$

thì đa thức này bất khả quy.

Tiêu chuẩn này được chứng minh trong nhiều sách và tài liệu.

Quay trở lại bài toán

Theo tiêu chuẩn $Perron$ ta chỉ cần chứng minh

$F_{n+1}^2 > F_{1}^2+F_{2}^2+.......+F_{n}^2$

Mà theo bổ đề trên thì ta quy về $F_{n+1}^2 > F_n.F_{n+1}$ hay $F_{n+1} >F_{n}$ (luôn đúng với mọi $n$ nguyên dương)

Vậy bài toán được chứng minh.



 




#735266 ĐĂNG KÍ LÀM ĐHV DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

Gửi bởi perfectstrong trong 18-05-2020 - 15:51

Xét thấy sự năng nổ và chất lượng bài viết, BQT quyết định chấp nhận đơn của bạn spirit1234 vào vị trí ĐHV THCS. Chúc bạn hoàn thành nhiệm vụ và tiếp tục niềm đam mê của mình.




#735231 Quỹ tích là giao của tiếp tuyến

Gửi bởi perfectstrong trong 17-05-2020 - 17:24

Kết quả là một đường ellipse. Cách đơn giản nhất là dùng hình học tọa độ.

 

Đặt hệ trục tọa độ sao cho $O(0;0); A(0;a)$ và phương trình đường tròn tâm O là $x^2 + y^2 = 1$.

Đặt $B=(x_0;y_0)$. Đi tìm tọa độ $M$ như sau:

\[\begin{array}{l}
N\left( {\frac{{{x_0}}}{2};\frac{{a + {y_0}}}{2}} \right) \Rightarrow \overline {ON} :\left( {a + {y_0}} \right)x - {x_0}y = 0\\
\overline {OB} :{y_0}x - {x_0}y = 0 \Rightarrow \overline {BM} :{x_0}x + {y_0}y = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x_0}x + {y_0}y = 1\\
\left( {a + {y_0}} \right)x - {x_0}y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0}x + {y_0}y = 1\\
y = \frac{{a + {y_0}}}{{{x_0}}}x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{a + {y_0}}}{{{x_0}}}x\\
{x_0}x + {y_0}\frac{{a + {y_0}}}{{{x_0}}}x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{{x_0}}}{{1 + a{y_0}}}\\
y = \frac{{a + {y_0}}}{{1 + a{y_0}}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow M:\left( {\frac{{{x_0}}}{{1 + a{y_0}}};\frac{{a + {y_0}}}{{1 + a{y_0}}}} \right)
\end{array}\]

Sau cùng chứng minh \[\frac{{x_M^2}}{{1 - {a^2}}} + \frac{{y_M^2}}{1} = 1\]




#734464 Xác suất chọn được bội số của $3$

Gửi bởi perfectstrong trong 02-05-2020 - 04:15

Cơ bản là phân chia trường hợp và chú ý cái số 0 khi đếm.

Hướng giải vắn tắt:

Gọi $A$ là số có $n$ chữ số khác nhau đôi một với $n \in [7;10]$. Ta xét từng trường hợp:

TH1: Nếu $n=10$. Tức là $A$ phải dùng hết toàn bộ chữ số từ 0 đến 9. Nhưng ta biết rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến 9 là 45, chia hết cho 3. Nên bất kì $A$ nào thỏa đề đều sẽ chia hết cho 3. Số lượng số $A$ thỏa mãn trong trường hợp này là $S_1 = 10! - 9!$ (xáo ngẫu nhiên 10 chữ số rồi trừ đi các trường hợp 0 đứng đầu). Và không gian mẫu của TH này là $W_1 = S_1$.

TH2: Nếu $n=9$. Gọi $k$ là chữ số không được dùng đến.

TH2.1: Nếu $k \in \{0; 3; 6; 9\}$ thì hiển nhiên $A$ sẽ luôn chia hết cho 3. Đếm số lượng $A$: nếu $k=0$ thì có $9!$, còn nếu $k \ne 0$ thì có $9! - 8!$. Vậy có tổng cộng $S_{2.1} = 9! + 3 \times (9! - 8!)$. Không gian mẫu là $W_{2.1} = S_{2.1}$.

TH2.2: Nếu $k \not \in \{0; 3; 6; 9\}$ thì $A$ sẽ không bao giờ chia hết cho 3. Tức $S_{2.2}=0$. Đếm không gian mẫu của TH này: $ W_{2.2} = 6 \times (9! - 8!)$.

TH3: Nếu $n=8$. Gọi $k_1, k_2$ là hai chữ số không được dùng đến theo thứ tự tăng dần.

TH3.1: Nếu $k_1 + k_2 \vdots 3$ thì $A$ luôn chia hết cho 3. Giờ phải đếm không gian mẫu $W_{3.1}$. Tiếp tục chia nhỏ trường hợp.

TH3.1.1: Nếu $k_1 = 0 \Rightarrow k_2 \in \{3; 6; 9\}$. Với mỗi $k_2$, ta có $8!$ số $A$ thỏa mãn. Vì thế $W_{3.1.1} = 3 \times 8!$.

TH3.1.2: Nếu $k_1 > 0$. Gọi $N_2$ là số lượng bộ $(k_1; k_2)$ sao cho $k_1 + k_2 \vdots 3$. Thành ra $W_{3.1.2} = N_2 \times (8! - 7!)$.

Tổng kết: $S_{3.1} = W_{3.1} = W_{3.1.1} + W_{3.1.2} = 3 \times 8! + N_2 \times (8! - 7!)$

TH3.2: Nếu $k_1 + k_2 \not \vdots 3$ thì $A$ không bao giờ chia hết cho 3. Tức $S_{3.2} = 0$. Còn $W_{3.2} = 6 \times 8! + (C_{9}^2 - N_2) \times (8! - 7!)$.

v.v

 

Có thể tổng quát hóa các trường hợp $n<10$ như sau (khó hiểu hơn nhưng đỡ viết nhiều):

Gọi $k_1, k_2, \cdots, k_{10-n}$ là các chữ số không dùng đến theo thứ tự tăng dần ngặt.

THa: Nếu $k_1 + k_2 + \cdots + k_{10-n} \vdots 3$ thì $A$ sẽ chia hết 3. Nên $W=S$. Ta chỉ cần đếm $S$.

Nếu $k_1 = 0$ thì $S = N_{10-n} \times n!$ với $N_{10-n}$ là số bộ chữ số $k_2, k_3, \cdots, k_{10-n}$ phân biệt lớn hơn 0 có tổng chia hết cho 3.

Nếu $k_1 > 0$ thì $S = (C_{n-1}^{10-n} - N_{10-n}) \times (n! - (n-1)!)$

Tổng kết lại $W=S=N_{10-n} \times n! + (C_{n-1}^{10-n} - N_{10-n}) \times (n! - (n-1)!)$

THb: Nếu $k_1 + k_2 + \cdots + k_{10-n} \not \vdots 3$ thì $A$ sẽ không chia hết cho 3. Nên $S=0$. Ta đếm $W$.

Tương tự THa, chia $k_1=0$ và $k_1 > 0$, ta có $W=\overline{N}_{10-n} \times n! + (C_{n-1}^{10-n} - \overline{N}_{10-n}) \times (n! - (n-1)!)$ với $\overline{N}_{10-n}$ là số bộ chữ số $k_2, k_3, \cdots, k_{10-n}$ phân biệt lớn hơn 0 có tổng không chia hết cho 3.

Chú ý rằng $\overline{N}_{10-n} + N_{10-n}=$ số cách chọn ra $9-n$ chữ số khác 0 đôi một khác nhau $=C_{9}^{9-n}=C_9^n$.

 

Cuối cùng chỉ cần tính $N_{10-n}$ rồi lấy tổng tương ứng. Hừm, mình lười nên đành dừng ở đây :D




#728932 (@HaiDangel) cách vẽ một đường thẳng chia đôi diện tích tam giác

Gửi bởi perfectstrong trong 10-01-2020 - 17:00

 

  1. cách $2$ của em thì đã trở thành trường hợp tổng quát rồi, anh chanhquocnghiem, nhờ lúc làm việc với Desmos, em nảy ra một bài toán: "Desmos sử dụng một đường link gồm $10$ kí tự cuối cùng là tổ hợp của cả thảy $36$ kí tự từ $q\rightarrow m, 1\rightarrow 0$ trên bàn phím máy tính, vậy xác suất để xuất hiện từ "vy" là bao nhiêu ? ~O) (thực ra thì mỗi lần em Save link thấy chữ "v" là em nghĩ sẽ sớm ra chữ "vy" thôi, không ngờ mất thời gian nhiều đến thế, Desmos :luoi:)."

 

Bài này quy về tổ hợp đếm.

Đặt $A$ là tập các ký tự cho phép (A-Z và 0-9, cả thảy là 36).

$S(k)$ là số lượng dãy $k$ kí tự lấy bất kỳ từ $A$ và có thể trùng, sao cho $S(k)$ có ít nhất một chữ $vy$.

$S(1) = 0; \, S(2)= 1$.

Xét $S(n)$ với $n \ge 3$. Ta phân tích thành các tổng con bằng cách xét chữ đầu tiên từ trái qua.

TH1: Nếu không phải là v thì có tất cả $(|A| - 1) \times S(n-1)$ dãy thỏa mãn.

TH2: Nếu là v thì xét tiếp chữ thứ hai.

TH2.1: Nếu là y thì phần còn lại có thể lấy bất kỳ, do đó có $|A|^{n-2}$ dãy thỏa mãn.

TH2.2: Nếu không phải y thì số dãy thỏa mãn sẽ là $(|A|-1) \times S(n-2)$.

Tổng kết lại, ta có biểu thức $S(n) = |A|^{n-2} + (|A|-1) \times (S(n-1) + S(n-2)) \, \forall n \ge 3$.

Phần còn lại là tính $S(10)$.

Còn xác suất thì chia cho không gian mẫu $|A|^n$ là xong.




#726784 $ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot...

Gửi bởi perfectstrong trong 23-10-2019 - 17:58

Mình nghi bài toán ở đây phát biểu không chính xác. Nếu thế này thì quá dễ. Có lẽ phải nói thế này:

 

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức và số thực $r\in (0;1)$ thỏa $|z_i-1|\le r \, \forall i=\overline{1,n}$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$




#724202 $f(x,y)$ liên tục trên $D \subset \mathbb{R...

Gửi bởi perfectstrong trong 25-07-2019 - 17:07

"Tiếp xúc" ở đây ý mình nói là không cắt vào biên. Trường hợp ví dụ của bạn, thì nếu điểm cho trước không phải tâm hình vuông thì kiểu gì trong 4 đường tròn bạn nêu cũng sẽ có một đường cắt vào biên.