Đến nội dung

perfectstrong

perfectstrong

Đăng ký: 30-09-2010
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 15:06
****-

#744412 $DF$ luôn đi qua 1 điểm cố định

Gửi bởi perfectstrong trong Hôm qua, 23:15

Lời giải rất cẩn trọng và đáng nể :D Bởi thế mới thấy nếu sử dụng góc định hướng thì cả 7 TH đều quy về 1 :)




#744401 Đề thi chọn đội tuyển Olympic quốc tế (TST) năm 2024

Gửi bởi perfectstrong trong Hôm qua, 17:24

Năm nay đa thức là mốt mới à :D Tới những 3 bài liên quan tới đa thức.




#744393 Chứng minh rằng: $F;H;K$ thẳng hàng.

Gửi bởi perfectstrong trong Hôm qua, 02:43

Một cách "trâu bò" theo cấp 2 (vắn tắt):

Vẽ $DH$ cắt $CK$ tại $G$, $AH$ cắt $BK$ tại $I$. Dễ thấy $GHIK$ là hình bình hành.

2024-03-26_20h42_44.png

Ta sẽ chứng minh bằng Menelaus đảo cho tam giác $GDC$ với cát tuyến $H,K,F$:

\begin{equation}\label{eq_target} \frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}}\frac{{FC}}{{FD}} = 1\end{equation}

Trước hết, ta sẽ tính từng tỉ số một, chú ý các cặp song song: $DD' \parallel BB'$ và $AA' \parallel CC'$.

\begin{equation}\label{eq_frac_1}\frac{{HD}}{{HG}} = \frac{{A'D}}{{A'C'}}\end{equation}

\begin{equation}\label{eq_frac_2} \frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{B'D'}}{{B'C}}\end{equation}

Vậy từ \eqref{eq_frac_1} và \eqref{eq_frac_2}, ta có được:

\begin{equation}\label{eq_frac_1_2} \frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{A'D}}{{A'C'}}\frac{{B'D'}}{{B'C}} = \frac{{A'D}}{{B'C}}\frac{{B'D'}}{{A'C'}} \end{equation}

Tiếp tục tìm cách xử lý từng tỉ số:

\[\frac{{ED'}}{{ED}} = \frac{{EB'}}{{EB}} = \frac{{ED' + EB'}}{{ED + EB}} = \frac{{B'D'}}{{BD}} \Rightarrow B'D' = BD\frac{{ED'}}{{ED}}\]

Tương tự, ta có $A'C' = AC\frac{{EA'}}{{EA}}$ nên $\frac{{B'D'}}{{A'C'}} = \frac{{BD}}{{AC}}\frac{{ED'}}{{ED}}\frac{{EA}}{{EA'}} = \frac{{BD}}{{AC}}$ (chú ý rằng $\Delta EAA' \sim \Delta EDD' \Rightarrow ED'.EA = EA'.ED$)

Lại có $A'B'\parallel CD \Rightarrow \frac{{A'D}}{{B'C}} = \frac{{EA'}}{{EB'}} = \frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{AD}}{{BC}}$ (do $\Delta EDA \sim \Delta ECB$)

Từ \eqref{eq_frac_1_2}, ta có được \[\frac{{HD}}{{HG}}\frac{{KG}}{{KC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\frac{{BD}}{{AC}}\]

Vậy để có \eqref{eq_target}, ta chỉ cần cm \[\frac{{FD}}{{FC}} = \frac{{AD}}{{BC}}\frac{{BD}}{{AC}}\]

Mà điều này thì chỉ cần sử dụng $\Delta FCB \sim \Delta FAD$  và $\Delta FBD \sim \Delta FCA$. Ta có đpcm.




#744360 CM $ab+1$ là số chính phương biết $a=\overline{11...

Gửi bởi perfectstrong trong 25-03-2024 - 20:02

Cho $a=\overline{11\ldots 11}$ (2024 chữ số 1)và $b=\overline{40\ldots 08}$ (2023 chữ số 0).Chứng minh rằng $ab+1$ là số chính phương

Đây là đề thi giải toán qua thư trong tạp chí Toán Tuổi Thơ 2 số 254 tháng 3/2024. Bạn đã vi phạm quy định của VMF nhiều lần liên tiếp nên sẽ bị ban.




#744272 Chứng minh: Nếu chọn 31 số trong tập hợp {1,2,...,60} thì 2 trong s...

Gửi bởi perfectstrong trong 20-03-2024 - 19:24

Bạn nghĩ sâu quá rồi, chỉ cần 1 cặp chẵn lẻ là nguyên tố cùng nhau rồi! Chọn ra 31 số thì phải có 1 cặp chẵn lẻ theo Dirichlet

$\{6,9\}$ đâu có nguyên tố cùng nhau đâu thầy :D. Đúng là dùng Dirichlet nhưng phải chia $60$ số đã cho thành $30$ cặp số tự nhiên liên tiếp: $\{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}, \ldots, \{59,60\}$. Khi đó mới đảm bảo là tồn tại 2 số nguyên tố cùng nhau.
——
@perfectstrong : Nhiều lúc cũng “lú” thật!


#744271 Chứng minh rằng: $\frac{AH}{A'H'}=...

Gửi bởi perfectstrong trong 20-03-2024 - 19:22

À xin lỗi, mình quên ghi rõ. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.


  • MHN yêu thích


#744167 Học toán ở nước ngoài hay VN cái nào tốt hơn?

Gửi bởi perfectstrong trong 15-03-2024 - 03:25

Nếu có điều kiện thì vẫn nên đi, dù ngắn hay dài, xa hay gần. Ông bà mình cũng bảo là "Đi một ngày đàng học một sàng khôn" mà :D




#744166 Xin góp ý về phương pháp tư duy trong hình học

Gửi bởi perfectstrong trong 15-03-2024 - 03:23

Hình học hay phần nào khác cũng cần làm nhiều để quen tay.

Ngoài ra, một mẹo nhỏ mà thầy mình truyền lại là hãy vẽ các đường thẳng thay cho đoạn thẳng, để cho chúng giao nhau xem có tính chất gì hay.




#744124 Chứng minh rằng:$N;K;I;H$ thẳng hàng.

Gửi bởi perfectstrong trong 13-03-2024 - 03:31

$N,K,I$ tạo thành đường thẳng Steiner, còn $G,J,I$ tạo thành đường thẳng Simpson. Có rất nhiều bài toán thú vị về hai khái niệm này :D Các bạn có thể tìm hiểu thêm :)




#744123 Cho hình chóp S.ABCD... Tìm $x$ để diện tích thiết diện lớn nhất

Gửi bởi perfectstrong trong 13-03-2024 - 03:18

Đấy đơn giản là một đa thức bậc 2 $f(x)=ax^2+bx+c$ với hệ số bậc cao nhất $a$ là số âm. Bạn có thể dùng cauchy, đạo hàm hoặc tách tổng bình phương để tìm đỉnh của parabol.

Nếu tách tổng bình phương thì sẽ có $f(x)=a\left( {x+\frac{b}{2a}} \right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \le c - \frac{b^2}{4a}$




#744122 Học toán ở nước ngoài hay VN cái nào tốt hơn?

Gửi bởi perfectstrong trong 13-03-2024 - 03:09

Xin hỏi bạn đang ở cấp độ học nào thế? Trung học hay đại học? Hay cao học?




#744087 Chứng minh rằng:$S_{m+n}+S_{m-n}=S_{m}.S_...

Gửi bởi perfectstrong trong 11-03-2024 - 15:14

Để ý rằng cặp số $(\sqrt 2 +1; \sqrt 2 -1)$ không hề có vai trò nào khác ngoài đẳng thức $(\sqrt 2 + 1)(\sqrt 2 - 1)=1$. Vậy thì ta hoàn toàn có thể thay thế bằng một bộ $\left( {\alpha; \frac{1}{\alpha}} \right)$.




#744024 Số nghiệm $x_{1} + x_{2} + ... + x_{m} = n...

Gửi bởi perfectstrong trong 08-03-2024 - 01:31

N* nha bạn

Chỉ việc thay $x_i = y_i + 1$ là quy về bài toán chia kẹo kinh điển. Đáp số là $C_{n-1}^{m-1}$




#743968 Ước nguyên tố của $a_i + a_j$ lớn hơn $l$

Gửi bởi perfectstrong trong 05-03-2024 - 09:16

Chọn $l > 2a_n$ thì sao bạn?




#743911 Tìm vô cùng bé tương đương của tổng hiệu hai vô cùng bé

Gửi bởi perfectstrong trong 01-03-2024 - 10:58

Mở đầu ta xem xét định lí sau:

Định lý
Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)\cdot v(x)$

Qua định lí này ta thấy rằng dễ dàng tìm vô cùng bé tương đương cho một tích bằng thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số nhưng đối với tổng hoặc hiệu thì điều này trở nên "nguy hiểm". Ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ
Ta biết $\tan x \stackrel{x \to 0}{\sim}$ và $x \stackrel{x \to 0}{\sim} x$ nhưng $\tan x - x \stackrel{x \to 0}{\not\sim} x- x =0$ nhưng trên thực tế $\tan x -x \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{x^3}{3}$

Hàm $f(x)=0$ vẫn thỏa mãn điều kiện trong lân cận quanh $x=0$, và $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{3} = 0$ thì đâu khác gì $\lim_{x \to 0} f$ ?

Mình lại nghĩ ví dụ này đúng, chỉ là tùy tình huống mà sẽ có lợi hay không.