perfectstrong

Perfectstrong xin giải bài 4 của đội $\Delta$.
Lời giải 1:
Quy ước trong bài làm: "False" là "vô lý"
=================================================
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a,b,c \in \mathbb{N}$ và $0 \leq a;b;c \leq 9$ ($a \neq 0$).
Nếu trong 3 chữ số $a,b,c$ có ít nhất 2 số lớn hơn hoặc bằng 6 thì
\[ \overline{abc}=a!+b!+c! \geq 0!+6!+6!=1441: False \]
Suy ra, trong $a,b,c$ có nhiều nhất 1 số bằng 6.
Nếu $a=6$ thì
\[
\begin{array}{l}
\overline {abc} = \overline {6bc} = 6! + b! + c! = 720 + b! + c! \\
\overline {6bc} \le 655 \Rightarrow 720 + b! + c! \le 655:False \\
\end{array}
\]
Nếu $b=6$ thì
\[
\begin{array}{l}
\overline {abc} = \overline {a6c} = 6! + a! + c! = 720 + a! + c! \\
\overline {a6c} \le 565 \Rightarrow 720 + b! + c! \le 565:False \\
\end{array}
\]
Nếu $c=6$ thì
\[
\begin{array}{l}
\overline {abc} = \overline {ab6} = 6! + b! + a! = 720 + a! + c! \\
\overline {ab6} \le 556 \Rightarrow 720! + a! + b! \le 556:False \\
\end{array}
\]
Do đó, không có chữ số nào bằng 6. Nên $a;b;c \leq 5 \Rightarrow b!+c!\leq 2.5!=240$(*).
TH1:

\[
\begin{array}{l}
a = 5 \Rightarrow \overline {abc} = \overline {5bc} = 5! + b! + c! = 120 + b! + c! \\
\overline {5bc} \ge 500 \Rightarrow 120 + b! + c! \ge 500 \Rightarrow b! + c! \ge 480 > 240:False \\
\end{array}
\]
TH2:

\[
\begin{array}{l}
a = 4 \Rightarrow \overline {abc} = \overline {4bc} = 4! + b! + c! = 24 + b! + c! \\
\overline {4bc} \ge 400 \Rightarrow 24 + b! + c! \ge 400 \Rightarrow b! + c! \ge 376 > 240:False \\
\end{array}
\]
TH3:
\[
\begin{array}{l}
a = 3 \Rightarrow \overline {abc} = \overline {3bc} = 3! + b! + c! = 6 + b! + c! \\
\overline {3bc} \ge 300 \Rightarrow 6 + b! + c! \ge 300 \Rightarrow b! + c! \ge 294 > 240:False \\
\end{array}
\]
TH4:
\[
\begin{array}{l}
a = 2 \Rightarrow \overline {abc} = \overline {2bc} = 2! + b! + c! = 2 + b! + c! \\
\overline {2bc} \ge 200 \Rightarrow 2 + b! + c! \ge 200 \Rightarrow b! + c! \ge 198 \Rightarrow c! \ge 198-b! \\
\end{array}
\]
Nếu $b=5 \Rightarrow c! \ge 198-b!=78 \Rightarrow c=5$. Thử lại $\overline{abc}=255$ không thỏa.
Nếu $b \le 4 \Rightarrow c! \ge 198-b! \ge 198-4!=174$ : vô lý vì $c! \le 5!=120$.
TH5: $a=1$.
Nếu $b \le 4$ và $c \le 4 \Rightarrow \overline{abc}=1!+b!+c! \leq 1+4!+4!=49<100$ : vô lý.
Do đó, có 1 trong 2 chữ số $b;c$ bằng 5.
Nếu $b=5$. Thử chọn $c \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}$ thì ta chọn được $c=5$ thỏa $\Rightarrow \overline{abc}=145$.
Nếu $c=5$. Thử chọn $b \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}$ thì không có chữ số $b$ thỏa mãn.

Kết luận:
\[ \boxed{\overline{abc}=145} \]
=================================================
=================================================
Lời giải 2:
Quy ước trong bài làm: "False" là "vô lý"; "True" là "thỏa"
=================================================
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ với $a,b,c \in \mathbb{N}$ và $0 \leq a;b;c \leq 9$ ($a \neq 0$).
Nếu trong 3 chữ số $a,b,c$ có ít nhất 2 số lớn hơn hoặc bằng 6 thì
\[ \overline{abc}=a!+b!+c! \geq 0!+6!+6!=1441: False \]
Suy ra, trong $a,b,c$ có nhiều nhất 1 số bằng 6.
Nếu $a=6$ thì
\[
\begin{array}{l}
\overline {abc} = \overline {6bc} = 6! + b! + c! = 720 + b! + c! \\
\overline {6bc} \le 655 \Rightarrow 720 + b! + c! \le 655:False \\
\end{array}
\]
Nếu $b=6$ thì
\[
\begin{array}{l}
\overline {abc} = \overline {a6c} = 6! + a! + c! = 720 + a! + c! \\
\overline {a6c} \le 565 \Rightarrow 720 + b! + c! \le 565:False \\
\end{array}
\]
Nếu $c=6$ thì
\[
\begin{array}{l}
\overline {abc} = \overline {ab6} = 6! + b! + a! = 720 + a! + c! \\
\overline {ab6} \le 556 \Rightarrow 720! + a! + b! \le 556:False \\
\end{array}
\]
Do đó, không có chữ số nào bằng 6. Nên $a;b;c \leq 5 \Rightarrow a!;b!;c!\leq 5!=120$(*).
Nếu cả 3 chữ số $a,b,c$ đều nhỏ hơn hoặc bằng 4 thì $\overline{abc} \leq 3.4!=72<100:False$.
Suy ra, trong 3 chữ số $a,b,c$ phải có 1 chữ số bằng 5.
TH1:
\[
\begin{array}{l}
a = 5 \Rightarrow \overline {abc} = \overline {5bc} = 5! + b! + c! = 120 + b! + c! \\
\overline {5bc} \ge 500 \Rightarrow 120 + b! + c! \ge 500 \Rightarrow b! + c! \ge 480 > 240:False \\
\end{array}
\]
TH2:
\[
\begin{array}{l}
b = 5 \Rightarrow \overline {abc} = \overline {a5c} = a! + c! + 5! \le 3.5! = 360 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\} \\
*a = 1 \Rightarrow \overline {a5c} = \overline {15c} = 1! + 5! + c! = 121 + c! \\
\overline {15c} \ge 150 \Rightarrow 121 + c! \ge 150 \Rightarrow c! \ge 29 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow \overline {abc} = 155:False \\
*a = 2 \Rightarrow \overline {a5c} = \overline {25c} = 2! + 5! + c! = 122 + c! \\
\overline {25c} \ge 250 \Rightarrow 122 + c! \ge 250 \Rightarrow c! \ge 128:False \\
*a = 3 \Rightarrow \overline {a5c} = \overline {35c} = 3! + 5! + c! = 126 + c! \\
\overline {35c} \ge 350 \Rightarrow 126 + c! \ge 350 \Rightarrow c! \ge 224:False \\
\end{array}
\]
TH3:
\[
\begin{array}{l}
c = 5 \Rightarrow \overline {abc} = \overline {ab5} = a! + b! + 5! = a! + b! + 120 \le 3.5! = 360 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\} \\
*a = 1 \Rightarrow \overline {ab5} = \overline {1b5} = 1! + 5! + b! = 121 + b! \\
\end{array}
\]
Thử chọn $b \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\} \Rightarrow b = 4 \Rightarrow \overline {abc} = 145:True$
\[
\begin{array}{l}
*a = 2 \Rightarrow \overline {ab5} = \overline {2b5} = 2! + 5! + b! = 122 + b! \\
\overline {2b5} \ge 205 \Rightarrow 122 + b! \ge 205 \Rightarrow b! \ge 83 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow \overline {abc} = 255:False \\
*a = 3 \Rightarrow \overline {ab5} = \overline {3b5} = 3! + 5! + b! = 126 + b! \\
\overline {3b5} \ge 305 \Rightarrow 126 + b! \ge 305 \Rightarrow b! \ge 179:False \\
\end{array}
\]
Kết luận:
\[ \boxed{\overline{abc}=145} \]

Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.
Chứng minh rằng:
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 4\left( {\frac{1}{{x^2 + 1}} + \frac{1}{{y^2 + 1}} + \frac{1}{{z^2 + 1}}} \right) \ge 10
\]

Đã sửa

Lăng xăng chút xíu
Bài 14:
$x^y+1=z$ (1)
Nếu $x>2 \Rightarrow x^y+1>4 \Rightarrow z>4 \Rightarrow z$ lẻ.
Mặt khác, $x^y+1 \vdots 2 \Rightarrow z=2$: vô lý.
Vậy $x=2$. (1) trở thành: $2^y+1=z$ (2).
Với $y=2$ thì $z=5$: thỏa.
Với $y>2 \Rightarrow z>3$. Mặt khác
\[
2^y + 1 = 2^{2k + 1} + 1 = 4^k .2 + 1 \equiv 1^k .2 + 1 \equiv 0\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow 3|z:False
\]
Vậy $y>2$ thì pt vô nghiệm nguyên tố.
Kết luận: $x=y=2;z=5$.
Bài 16: a) Đề thách đấu của Beta gửi Gamma trận I
http://diendantoanho...ndpost&p=279666

Phương trình đã cho tương đương với:
$x^6+z^3+(y^2+5)^3=3x^2z(y^2+5)$
Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số dương $x^6,y^3,(y^2+5)^3$, ta có:
$x^6+z^3+(y^2+5)^3 \ge 3 \sqrt[3]{x^6z^3(y^2+5)^3}=3x^2z(y^2+5)$

Do đó phương trình đã cho tương ứng với trường hợp xảy ra dấu bằng:

$\begin{cases}x^6=z^3 \\x^6=(y^2+5)^3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2=z \\x^2=y^2+5\;\;\;(1)\end{cases}$
Vì $x,y,z>0$
$(1)\;\;\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=5=1.5 \Rightarrow x=3;\;y=2 \Rightarrow z=9$

Phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương duy nhất là: $(x,y,z)=(3,2,9)$

Bài 18: http://diendantoanho...ndpost&p=309447

Lời giải:
$x^3+y^3=p^n$ (1)
TH1: $p=2$. Chọn $(x;y;n)=(1;1;1)$ thì (1) thỏa.
TH2: $p=3$. Chọn $(x;y;n)=(1;2;2)$ thì (1) thỏa.
TH3: $p>3 \Rightarrow p \geq 5$. Cố định $p$. Trong tất cả các bộ $(x;y;n)$ thỏa (1), ta chọn bộ $(x;y;n)$ sao cho $n$ nhỏ nhất. (*)
\[
\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x^2 + y^2 - xy} \right) = p^n \\
x + y > 1;x^2 + y^2 - xy > 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = p^k \\
x^2 + y^2 - xy = p^l \\
\end{array} \right.\left( \begin{array}{l}
k,l \in N \\
k + l = n \\
\end{array} \right) \\
p^l = x^2 + y^2 - xy = \left( {x + y} \right)^2 - 3xy \\
\left. \begin{array}{l}
\Rightarrow p|3xy \\
\left( {p;3} \right) = 1 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow p|xy \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
p|x \\
p|y \\
\end{array} \right. \\
p|x + y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
p|x \\
p|y \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
Đặt $x=px_1;y=py_1$, (1) trở thành:
\[
p^3 x_1^3 + p^3 y_1^3 = p^n \Rightarrow n \ge 3 \Rightarrow x_1^3 + y_1^3 = p^{n - 3}
\]
Do đó, bộ $(x_1;y_1;n-3)$ vẫn thỏa (1) mà $n-3<n$: trái với cách chọn $n$. Do đó, $p>3$ thì không yêu cầu đề không thỏa.
Kết luận: $p=2$ hoặc $p=3$.

Bài 2:
Gọi $t$ giờ là khoảng thời gian dự định. Suy ra năng suất ban đầu là $\dfrac{150}{t}$(sản phẩm/giờ)
Năng suất mới là $\dfrac{150}{t}+2$(sản phẩm/giờ).
Số sản phẩm còn lại sau 2h làm với năng suất gốc là: $150-2.\dfrac{150}{t}$
Từ gt, ta có pt:
\[
t - \frac{1}{2} = 2 + \frac{{150 - 2.\frac{{150}}{t}}}{{\frac{{150}}{t} + 2}} \Leftrightarrow t^2 - \frac{5}{2}t - \frac{{75}}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 5 \\
t = \frac{{15}}{2} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{{15}}{2}
\]
Suy ra, năng suất gốc là 20 (sản phẩm/giờ)

Câu 3
1. xét a= 0 luôn đúng
với a> 0 mới áp dụng sôsi
bạn thiếu một trường hợp

BĐT cauchy đúng cho mọi số KHÔNG ÂM.

Lời giải:
\[
f\left( x \right) = mx^2 - 2\left( {m + 1} \right)x - m + 5
\]
Nếu $m=0$ thì
\[
f\left( x \right) = - 2x + 5 > - 2.\left( { - 1} \right) + 5 > 0,\forall x < 1
\]
Xét $m \neq 0$. Đặt $t=x-1(t<0)$. Ta có:
\[
f\left( x \right) = g\left( t \right) = mt^2 - 2\left( {m + 1} \right)t + 3
\]
Ta cần tìm $m$ sao cho $g(t)>0, \forall t<0$.
$g(t)$ là parabol, có đỉnh là $t_0=\dfrac{m+1}{m}$.
\[
g\left( t \right) > 0,\forall t < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0 \\
\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
g\left( 0 \right) \ge 0 \\
0 \le t_0 \\
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{l}
t_0 < 0 \\
g\left( t \right) > 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0
\]
Kết luận: $m \geq 0$.

Lời giải:
Ta lưu ý:
\[
\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 1
\]
Do đó
\[
\begin{array}{l}
S_{m + n} + S_{m - n} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{m + n} + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{m - n} + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{m + n} + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{m - n} \\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^m \left[ {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n + \frac{1}{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n }}} \right] + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m \left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n + \frac{1}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n }}} \right] \\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)^m \left[ {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n } \right] + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m \left[ {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n } \right] \\
= \left[ {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^n } \right]\left[ {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^m + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)^m } \right] = S_m .S_n \\
\end{array}
\]

Lời giải:

ME, MF thứ tự cắt đường thẳng qua A song song với BC tại P,N.
Theo định lý Thales, ta có:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{AP}}{{BM}} = \frac{{AE}}{{BE}} \Leftrightarrow AP = \frac{{EA}}{{EB}}.BM \\
\frac{{AN}}{{MC}} = \frac{{FA}}{{FC}} \Leftrightarrow AN = \frac{{FA}}{{FC}}.MC \\
\end{array}
\]
MA là phân giác $\angle FME$
\[
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \tan AMP = \tan AMN \Leftrightarrow \frac{{AP}}{{AM}} = \frac{{AN}}{{AM}} \Leftrightarrow AP = AN \\
\Leftrightarrow \frac{{EA}}{{EB}}.BM = \frac{{FA}}{{FC}}.MC \Leftrightarrow \frac{{EA}}{{EB}}.\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{FC}}{{FA}} = 1 \\
\end{array}
\]
$\Leftrightarrow$ AM,BF,CE đồng quy (định lý Céva đảo).

Bài 2:
Đặt \[
\frac{{CA'}}{{CB}} = x;\frac{{AB'}}{{AC}} = y;\frac{{BC'}}{{BA}} = z\left( {x;y;z \in \left( {0;1} \right)} \right)
\]
Chú ý
\[
\begin{array}{l}
\frac{{BA'}}{{BC}} = 1 - x \Rightarrow \frac{{CA'}}{{BA'}} = \frac{x}{{1 - x}} \\
\frac{{C'B}}{{C'A}} = \frac{z}{{1 - z}};\frac{{B'A}}{{B'C}} = \frac{y}{{1 - y}} \\
\end{array}
\]
Do AA';BB';CC' đồng quy tại M nên
\[
\begin{array}{l}
\frac{{A'C}}{{A'B}}.\frac{{C'B}}{{C'A}}.\frac{{B'A}}{{B'C}} = 1 \Leftrightarrow xyz = \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)\left( {1 - z} \right) \le \left( {\frac{{1 - x + 1 - y + 1 - z}}{3}} \right)^3 = \left( {1 - \frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3 \\
\Rightarrow xyz \le \left( {1 - \frac{{3\sqrt[3]{{xyz}}}}{3}} \right)^3 = \left( {1 - \sqrt[3]{{xyz}}} \right)^3 \Rightarrow \sqrt[3]{{xyz}} \le 1 - \sqrt[3]{{xyz}} \Rightarrow \sqrt[3]{{xyz}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow xyz \le \frac{1}{8} \\
\Rightarrow AB'.CA'.BC' \le \frac{{AB.BC.CA}}{8} \\
\end{array}
\]
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow$ AA';BB';CC' là các đường trung tuyến $\Leftrightarrow M \equiv G$: đpcm.

câu a:
Đặt $y = 2 - 3x^2$, từ pt đã cho, ta có hệ:
\[
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y^2 = 2 \\
y + 3x^2 = 2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow x - y - \left( {3x^2 - 3y^2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {1 - 3\left( {x + y} \right)} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y \Leftrightarrow 2 - 3x^2 = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1 \\
x = \frac{2}{3} \\
\end{array} \right. \\
- 3y - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow 9x^2 - 3x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{6} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]

Lời giải:

\[
\begin{array}{l}
\angle MAN = 90^o + \frac{\alpha }{2} = \angle MDA = \angle NEA \\
\Rightarrow \vartriangle MDA \sim \vartriangle MAN \sim \vartriangle AEN\left( {g.g.} \right) \Rightarrow \frac{{MD}}{{AE}} = \frac{{DA}}{{EN}} \Leftrightarrow \frac{{MD}}{{EC}} = \frac{{DB}}{{EN}} \\
\angle MDB = \angle NEC \Rightarrow \vartriangle MDB \sim \vartriangle CEN\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle MBD = \angle MNP \Rightarrow DNPB:tgnt \\
\Rightarrow \angle BPC = \angle BDM = 90^o - \frac{\alpha }{2} \\
\end{array}
\]

Lời giải:
\[
\begin{array}{l}
\sqrt 2 \alpha ^2 + \alpha - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \alpha ^2 = 1 - \alpha > 0 \Rightarrow 0 < \alpha < 1 \\
2\alpha ^4 = \left( {1 - \alpha } \right)^2 = \alpha ^2 - 2\alpha + 1 \\
2\alpha ^4 - 2\alpha + 3 = \alpha ^2 - 4\alpha + 4 = \left( {\alpha - 2} \right)^2 \\
\Rightarrow A = \frac{{2\alpha - 3}}{{\sqrt {2\left( {\alpha - 2} \right)^2 } + 2\alpha ^2 }} = \frac{{2\alpha - 3}}{{\sqrt 2 \left( {2 - \alpha } \right) + 2\alpha ^2 }} = \frac{{2\alpha - 3}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 \alpha ^2 + \alpha - 1} \right) - \sqrt 2 \left( {2\alpha - 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \\
\end{array}
\]

Lời giải: $a \neq 0$
\[
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
ax_2^2 + bx_2 + c = 0 \\
ax_1 + bx_2 + c = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow ax_2^2 = ax_1 \Rightarrow x_2^2 = x_1 \ge 0 \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{c}{a} = x_1 x_2 = x_2^3 \\
\frac{{ - b}}{a} = x_1 + x_2 = x_2 + x_2^2 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = ax_2^3 \\
b = - a\left( {x_2^2 + x_2 } \right) \\
\end{array} \right. \\
a^2 c + ac^2 + b^3 - 3abc = a^2 .ax_2^3 + a\left( {ax_2^3 } \right)^2 - a^3 \left( {x_2^2 + x_2 } \right)^3 + 3a.ax_2^3 .a\left( {x_2^2 + x_2 } \right) \\
= a^3 \left[ {x_2^3 + x_2^6 - \left( {x_2^2 + x_2 } \right)^3 + 3x_2^3 \left( {x_2^2 + x_2 } \right)} \right] = 0 \\
\Rightarrow A = 3 \\
\end{array}
\]

Lời giải:
a) Gọi I là trung điểm CH. Dễ thấy ADEB nội tiếp (X) với ICOX là hình bình hành.
CF là trục đẳng phương của (I) và (O).
ED là trục đẳng phương của (I) và (X).
AB là trục đẳng phương của (O) và (X).
I,O,X không thẳng hàng nên CF, ED,AB đồng quy.

b) PQ là trục đẳng phương của (C) và (O).
\[
\left. \begin{array}{l}
P_{D/\left( O \right)} = \overline {DA} .\overline {DC} = - DA.DC = - DH^2 \\
P_{D/\left( C \right)} = DC^2 - CH^2 = - DH^2 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow P_{D/\left( O \right)} = P_{D/\left( C \right)} \Rightarrow \overline {P;D;Q}
\]
Tương tự, ta cũng có P,E,Q thẳng hàng. Vậy ta có đpcm.

Lời giải:
\[
\begin{array}{l}
f\left( x \right) = ax^3 + bx^2 + cx + d \\
12a + 12b + d = 0 \\
f\left( 4 \right) = 64a + 16b + 4c + d = 52a + 4b + 4c \\
f\left( { - 3} \right) = - 27a + 9b - 3c + d = - 39a - 3b - 3c \\
\Rightarrow \frac{{f\left( { - 3} \right)}}{{f\left( 4 \right)}} = \frac{{ - 3\left( {13a + b + c} \right)}}{{4\left( {13a + b + c} \right)}} = \frac{{ - 3}}{4} \\
\end{array}
\]