thienlonghoangde654321

minh cung co 1 phuong phap kha hay

chứng minh
Phụ lục A: về các bất đẳng thức Carlson:2 BĐT được đề cập đến trong CD3, VD4 đều có tên chung là các BĐT Carlson, dễ thấy rằng mỗi BĐT Carlson cần đến 1 phương án giải quyết khác nhau, mặc dù kỹ thuật của chúng đều là cân bằng hệ số. Để hiểu rõ hơn về vấn đề này mời các bạn thử giải bài toán sau
BT: các BĐT sau có đúng không, nếu đúng hãy chứng minh, có thẻ làm chặt hơn không, nếu có thể hãy chỉ ra đánh giá tốt nhất:
i) $(\sum_{i=1}^{n}{x_i})^4<54(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^2})(\sum_{i=1}^{n}{i\cdot{x_{i}^2}})(\sum_{i=1}^{n}{i^2x_{i}^2})$
ii)$(\sum_{i=1}^{n}{x_i})^{15}<3\cdot{10^5}(\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^3})(\sum_{i=1}^{n}{i\cdot{x_{i}^3}})(\sum_{i=1}^{n}{i^2x_{i}^3})(\sum_{i=1}^{n}{i^3x_{i}^3})(\sum_{i=1}^{n}{i^3x_{i}^3})(\sum_{i=1}^{n}{i^4x_{i}^3})$
Phụ lục B: chứng minh định lý euler:$\lim_{n\to{\infty}}{\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{i^2}}=\dfrac{\pi^2}{6}$:
Chúng ta đã biết công thức Moivre: $\cos{nx}+i\sin{nx}=(\cos{x}+i\sin{x})^n$, cân bằng hệ số phần ảo rồi thay $n:=2n+1$ ta có
$\sin{(2n+1)x}=\sin^{2n+1}{x}(C^{1}_{2n+1}cotg^{2n}{x}-C^{3}_{2n+1}cotg^{2n-2}{x}........)$
Như thế n số $cotg^{2}{\dfrac{k\pi}{2n+1}},k=\overline{1,n}$ là tất cả các nghiệm của đa thức bậc n: $C^{1}_{2n+1}X^N-C^{3}_{2n+1}X^{n-1}..........$, như thế áp dụng định lý Viet ta có $\sum_{i=1}^{n}{cotg^2{\dfrac{k\pi}{2n+1}=\dfrac{C^{3}_{2n+1}}{C^{1}_{2n+1}}=\dfrac{n(2n-1)}{3}\Rightarrow{\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{\sin^2{\dfrac{k\pi}{2n+1}}}}=\dfrac{2n(n+1)}{3}$, áp dụng bất đẳng thức kép: $\sin{\alpha}<\alpha<tg{\alpha},\forall{\alpha\in{(0,\dfrac{\pi}{2})}}\Rightarrow{\dfrac{1}{\sin{\alpha}}>\dfrac{1}{\alpha}>cotg{\alpha}$
Dẫn tới: $\dfrac{\pi^2}{6}\cdot{[(1-\dfrac{2}{2n+1})(1-\dfrac{1}{2n+1})]<\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{1}{i^2}}<\dfrac{\pi^2}{6}\cdot{[(1+\dfrac{1}{2n+1})(1-\dfrac{1}{2n+1})]$, lấy lim 2 vế, áp dụng nguyên lý kẹp, ta có điều phải chứng minh
Tài liệu tham khảo: báo toán học và tuổi trẻ, tạp chí kvant số 6 năm 1974