Deux

Giả sử AB < AC
AH là đường cao, cho AH = 1
Cho các điểm B, M, N, C sắp xếp theo thứ tự đó, trường hợp sắp xếp theo kiểu B, N, M, C tương tự.
Đặt $\widehat{BAM} = \widehat{NAC} = \alpha $

Ta xét 2 trường hợp là góc B tù và góc B nhọn.
1) Nếu góc B tù thì :
$AM - AB = \dfrac{1}{{\cos \left( {\alpha + \widehat{HAB}} \right)}} - \dfrac{1}{{\cos \widehat{HAB}}} = \dfrac{{\cos \widehat{HAB} - \cos \left( {\alpha + \widehat{HAB}} \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \widehat{HAB}} \right)\cos \widehat{HAB}}} = \dfrac{{ - 2\sin \left( {\dfrac{{\alpha + 2\widehat{HAB}}}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{{ - \alpha }}{2}} \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \widehat{HAB}} \right)\cos \widehat{HAB}}} = \dfrac{{2\sin \left( {\dfrac{{\alpha + 2\widehat{HAB}}}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \widehat{HAB}} \right)\cos \widehat{HAB}}} < \dfrac{{2\sin \left( {\dfrac{{\alpha + 2\widehat{HAN}}}{2}} \right)\sin \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right)}}{{\cos \left( {\alpha + \widehat{HAN}} \right)\cos \widehat{HAN}}} = AC - AN$

Suy ra AB + AC > AM + AN
(Chú ý, khi góc tăng thì cos giảm, sin tăng)

2) Nếu góc B nhọn, trên BC lấy B’ sao cho AB = AB’, ta lại xét 2 trường hợp nhỏ :
a) Nếu M (hoặc N) nằm trong BB’ thì rõ ràng bài toán đúng.
b) Nếu M và N nằm ngoài BB’ thì coi AB’ là AB, ta quay lại trường hợp 1).