hienhien

Tính diện tích tam giác ABC trong đó $ \vec{AB} = 2 \vec{m} + \vec{n}, \vec{AC} = \vec{m} - 3 \vec{n}$, biết rằng | \vec{m} | = 5, | \vec{AB} | = 2, ( \vec{m}; \vec{n} ) = 30^{0}.
Giải
Gọi $m( m_{1}, m_{2} ), n( n_{1}, n_{2} )$
$ \vec{AB} = ( 2m_{1} + n_{1}, 2m_{2} + n_{2} )$
$ \vec{AC} = ( m_{1} - 3n_{1}, m_{2} - 3n_{2} )$
$ S_{ABC} = \dfrac{1}{2}[(2m_{1} + n_{1})(m_{2} - 3n_{2}) - (2m_{2} + n_{2})(m_{1} - 3n_{1})]$
$ = -\dfrac{7}{2}(m_{1}n_{2} - m_{2}n_{1})$
Mặt khác : $| \vec{m} | = 5 \Rightarrow m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = 25$
$| \vec{n} | = 2 \Rightarrow n_{1}^{2} + n_{2}^{2} = 4$
$( \vec{m}; \vec{n} ) = 30^{0} \Rightarrow \vec{m}. \vec{n} = 5\sqrt{3} \Rightarrow \vec{ m_{1} }.\vec{ n_{1} } + \vec{ m_{2} }.\vec{ n_{2} } = 5\sqrt{3}.$
Tới chỗ này thì mình bí, nhờ các bạn giúp mình.Cảm ơn!

Cho tam giác ABC
a/ Chứng minh rằng mỗi điểm M nằm trong mp(ABC) luôn có bộ ba số $ \alpha, \beta, \sigma$ sao cho $ \alpha + \beta + \sigma = 1$ và $ \alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB} + \sigma\vec{MC} = \vec{0}$. Khi đó bộ ba số $ (\alpha, \beta, \sigma)$ được gọi là tọa độ trọng tâm của điểm M đối với tam giác ABC và viết $ M = (\alpha, \beta, \sigma)$.
b/ Chứng minh rằng : nếu $ M = (\alpha, \beta, \sigma)$ thì với mọi điểm O ta có :
$ \vec{OM} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \sigma\vec{OC}$.
c) Giả sử đối với tam giác ABC ta có $ M = (\alpha, \beta, \sigma)$. Gọi $ h_{a}, h_{b}, h_{c}$ lần lượt là các đường cao của tam giác ABC, $ d_{a}, d_{b}, d_{c}$ lần lượt là khoảng cách từ M tới các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng :
(i) $ \alpha = \pm \dfrac{ d_{a} }{ h_{a} }$ lấy dấu "+" hoặc dấu "-" tùy theo M và A cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng BC.
(ii) $ \beta = \pm \dfrac{ d_{b} }{ h_{b} }$ lấy dấu "+" hoặc dấu "-" tùy theo M và B cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng CA.
(iii) $ \sigma = \pm \dfrac{ d_{c} }{ h_{c} }$ lấy dấu "+" hoặc dấu "-" tùy theo M và A cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng BC.
d) Chứng minh rằng nếu I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì :
$ \dfrac{ \vec{IA} }{ h_{a} } + \dfrac{ \vec{IB} }{ h_{b} } + \dfrac{ \vec{IC} }{ h_{c} } = \vec{0} $ và $ a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0}$.
e) Chứng minh rằng nếu I là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC nằm trong góc A thì :
$ -\dfrac{ \vec{IA} }{ h_{a} } + \dfrac{ \vec{IB} }{ h_{b} } + \dfrac{ \vec{IC} }{ h_{c} } = \vec{0}$ và $ -a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0}$.
f) Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trong tam giác ABC thì :
$ S_{MBC}\vec{MA} + S_{MCA}\vec{IB} + S_{MAB}\vec{IC} = \vec{0}$.
Nếu điểm M nằm trong mp(ABC) nhưng nằm ngoài tam giác ABC thì công thức trên thay đổi như thế nào?
g) Chứng minh rằng nếu H là trực tâm của tam giác nhọn ABC thì :
$tgA.\vec{HA} + tgB.\vec{HB} + tgC.\vec{HC} = \vec{0}.$
h) Chứng minh rằng nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì :
$sin2A.\vec{OA} + sin2B.\vec{OB} + sin2C.\vec{OC} = \vec{0} $

Tính diện tích tam giác ABC trong đó $ \vec{AB} = 2 \vec{m} + \vec{n}, \vec{AC} = \vec{m} - 3 \vec{n}$, biết rằng | \vec{m} | = 5, | \vec{AB} | = 2, ( \vec{m}; \vec{n} ) = 30^{0}.
Giải
Gọi $m( m_{1}, m_{2} ), n( n_{1}, n_{2} )$
$ \vec{AB} = ( 2m_{1} + n_{1}, 2m_{2} + n_{2} )$
$ \vec{AC} = ( m_{1} - 3n_{1}, m_{2} - 3n_{2} )$
$ S_{ABC} = \dfrac{1}{2}[(2m_{1} + n_{1})(m_{2} - 3n_{2}) - (2m_{2} + n_{2})(m_{1} - 3n_{1})]$
$ = -\dfrac{7}{2}(m_{1}n_{2} - m_{2}n_{1})$
Mặt khác : $| \vec{m} | = 5 \Rightarrow m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = 25$
$| \vec{n} | = 2 \Rightarrow n_{1}^{2} + n_{2}^{2} = 4$
$( \vec{m}; \vec{n} ) = 30^{0} \Rightarrow \vec{m}. \vec{n} = 5\sqrt{3} \Rightarrow \vec{ m_{1} }.\vec{ n_{1} } + \vec{ m_{2} }.\vec{ n_{2} } = 5\sqrt{3}.$
Tới chỗ này thì mình bí, nhờ các bạn giúp mình.Cảm ơn!

1/Bằng định nghĩa chứng minh : $ lim \dfrac{ n^{2} + 5n + 3 }{ n^{2} + 1 } = 1$
(lưu ý là khi n tiến tới $\infty$)
2/Tìm $ lim u_{n} $ (khi n tiến tới $ \infty$) , với u_{n} là các dãy sau :
a) $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{36} + ... + \dfrac{2n + 1}{ n^{2}( n+1)^{2}} $
b) $ \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{ \sqrt{ n^{2} + 5n + k } } $

1/Trong hệ tọa độ cực, viết phương trình đường thẳng song song với trục ox và cách truc đó 1 khoảng bằng h.
2/Trong hệ tọa độ cực õ, viết phương trình đường tròn (O,R).
Cảm ơn các bạn đã vào xem.