Cho $a,b,c,d$ là các số thực. Chứng minh rằng
$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^4 \\ 1 & d & d^2 & d^4 \end{vmatrix}=(a+b+c+d)\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^3 \\ 1 & b & b^2 & b^3 \\ 1 & c & c^2 & c^3 \\ 1 & d & d^2 & d^3 \end{vmatrix}$
Mình giải bài này như sau: đặt
$ A=\begin{vmatrix}1 & b & a^2\\ 1 & c & b^2\\ 1 & d & c^2\end{vmatrix} $
Coi a là ẩn số thì vế phải và vế trái là những đa thức bậc 4 :
Định thức của vế phải là đa thức bậc 3 thep biến a . Nếu thay a bởi ,b,c,d thì định thức =0 - tức b,c,d là nghiệm nên định thức vế phải
$ \begin{vmatrix}1 & a& a^2& a^3\\ 1& b& b^2& b^3\\ 1& c& c^2& c^3\\ 1& d& d^2& d^3\end{vmatrix} =-A(a-b)(a-c)(a-d) $
nên $ VP =- A(a+b+c+d)(a-b)(a-c)(a-d)$
xét Định thức VT . vế trái là đa thức bậc 4 theo biên a và cũng nhẩm đc 3 nghiệm b,c,d
vì hệ sô của $a^3=0$ nên theo định lí vi - ét tổng 4 nghiệm = 0 từ đó suy ra nghiệm thứ 4 là $x_4=-b-c-d$
vậy vế trái bằng phân tích thành $\begin{vmatrix}1 & a& a^2& a^4\\ 1& b& b^2& b^4\\ 1& c& c^2& c^4\\ 1& d& d^2& d^4\end{vmatrix} =-A(a+b+c+d)(a-b)(a-c)(a-d) $
suy ra VT=VP
trường hợp tổng quát giải tương tự
- vo van duc, YeuEm Zayta, PeterPal1012000 và 1 người khác yêu thích