Đến nội dung

duong vi tuan

duong vi tuan

Đăng ký: 23-10-2010
Offline Đăng nhập: 20-05-2018 - 17:14
-----

#398809 CMR :$\frac{1}{ab} + \frac{1}...

Gửi bởi duong vi tuan trong 21-02-2013 - 15:17

mình xin đưa thêm 1 lời giải giống bạn Oral1020
bdt trên tương đương : $9\geq 3abc(a^2+b^2+c^2)$
$VP=3abc(a^2+b^2+c^2)=abc(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{3}(\frac{2(ab+ca+cb)+a^2+b^2+c^2}{3})^3=\frac{(a+b+c)^6}{3^4}=9$


#398806 $a^2+b^2+c^2 \geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Gửi bởi duong vi tuan trong 21-02-2013 - 15:03

chết !!!!! mình gõ nhầm rồi @@ ! a,b,c thành ,x,y,z .
mình nói sơ qua cái cách đặt ẩn phụ này:
xuất phát từ 1 hằng đẳng thức.
$1=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{ab(b+c)+ca(c+a)+bc(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
rồi đặt như mình sẽ đưa phải toán về dạng thuần nhất .
2 điều kiện $x^2+y^2+z^2+2xyz=1$ hoặc $xy+yz+xy+xyz=4$ được xuất phát từ hằng đẳng thức trên ( -hình như thế =)) ).Nên mình làm vậy để đưa bài đó về dạng ban đầu của nó.


#398757 Tìm min $\text{P}= x+y+z$

Gửi bởi duong vi tuan trong 21-02-2013 - 09:01

cách tìm max:
$82=6x^2 +\frac{41}{6}+3y^2 +\frac{41}{3}+2z^2 +\frac{41}{2}\geq 2\sqrt{41}x+2\sqrt{41}y+2\sqrt{41}z=2\sqrt{41}(x+y+z)$
MIn không tồn tại trong trường hợp này ( cho y,z tiến về 0 thì P tiến về $\frac{\sqrt{41}}{6}$ - tiến về thôi chứ dấu = ko xảy ra đc do y,z>0 ....... :mellow:


#398495 $\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}...

Gửi bởi duong vi tuan trong 20-02-2013 - 07:36

khai tiển ra ta thấy : $(1+x)^5-(1+5x)=x^2(x^3+5x^2+10x+10)$
từ đó => 1) =10

2)$\frac{\sqrt{1+4x}\sqrt{1+6x}-1}{x}=\frac{(\sqrt{1+4x}-1)(\sqrt{1+6x})}{x}+\frac{\sqrt{1+6x}-1}{x}=\frac{4(\sqrt{1+6x})}{(\sqrt{1+4x}+1)}+\frac{6}{(\sqrt{1+6x}+1)}$





...............


#394334 chứng minh $\frac{(b+c-a)(c+a-b)}{a+b}+\fr...

Gửi bởi duong vi tuan trong 07-02-2013 - 14:33

đặt ẩn: $x=a+b-c$ ; $y=b+c-a$ và $z=c+a-b$
bdt trở thành $\sum \frac{yz}{2x+y+z}\leq \frac{x+y+z}{4}$
$\frac{yz}{2x+y+z}\leq \frac{yz}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})$ làm tương tự rồi cộng lại ta có đpcm


#394330 $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^...

Gửi bởi duong vi tuan trong 07-02-2013 - 14:24

áp dụng :$$a^3+1\leq (\frac{a^2+2}{2})^2$$ ta chứng minh:
$$\sum 4\frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+(ab)^2+(cb)^2+(ac)^2\geq 72$$
bất đẳng thức cuối đúng theo AM_GM


#394318 Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a^2$+$b^2$+$c^2$=3.CMR:

Gửi bởi duong vi tuan trong 07-02-2013 - 13:59

giả sử b là số ở giữa a và c ta có
$(a-b)(b-c)\geq 0\Leftrightarrow ac+b^2\leq ab+bc\Leftrightarrow a^2c+b^2a\leq a^2b+abc$
do đó ta cần cm $a^2b+abc +bc^2\leq 2+abc\Leftrightarrow b(a^2+c^2)\leq 2\Leftrightarrow b(3-b^2)\leq 2\Leftrightarrow (b-1)^2(b+2)\geq 0$ (đúng )


#393055 $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3$

Gửi bởi duong vi tuan trong 04-02-2013 - 10:31

$1)a^5+1+1+1+1\geq 5a$ tương tự ta có điều phải cm
2)$a^4+a^4+a^4+1\geq 4a^3$
giống câu 1) ta có $\sum a^3\geq 3$
$3\sum a^4 +3\geq 4\sum a^3\geq 3\sum a^3+3$


#393044 Tìm tất cả các hàm số f:$\left [ 0,1 \right ]\rightarrow...

Gửi bởi duong vi tuan trong 04-02-2013 - 09:31

Tìm tất cả các hàm số f:$\left [ 0,1 \right ]\rightarrow R$ liên tục va thỏa mãn điều kiện sau:
$f\left ( x \right )=\frac{1}{2008}\left [ f\left ( \frac{1}{2008} \right )+f\left ( \frac{x+1}{2008} \right )+...+f\left ( \frac{x+2007}{2008} \right ) \right ]$
với mọi $x\in \left [ 0,1 \right ]$

Do f liên tuc trên[0,1] nên tồn tại a,b thuôc [0,1] sao cho f(a)=minf , f(b)=maxf
thay a vào pt trên ta dễ suy ra đc $f(\frac{1}{2008})=f(a)=minf)$
thay b vào pt trên ta dễ suy ra đc $f(\frac{1}{2008})=f(b)=maxf)$
do minf=maxf nên
Suy ra f là 1 hàm hằng :D


#392496 CMR $\frac{1}{a(b+c)}+\frac{1}...

Gửi bởi duong vi tuan trong 02-02-2013 - 16:04

Áp dụng $2a(b+c) \le \frac{(2a+b+c)^2}{4}$.

rồi sao nữa :D . cho a=1 , b=1/2 , c=2 Vt=1,4 <1,5 => bdt sai


#392459 $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq 4$

Gửi bởi duong vi tuan trong 02-02-2013 - 11:07

Cho $a,b,c\geq 0$ và thoả mãn a+b+c = 3.
CMR $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq 4$
Dấu bằng xảy ra khi nào ?

giả sử là số ở giữa b và c ta có $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} + abc \leq a(b+c)^2=4\frac{a(b+c)^2}{4}\leq 4(\frac{a+\frac{b+c}{2}+\frac{b+c}{2}}{3})^3=4$
dẫu = xay ra khi (a,b,c)=(1,2,0 và các hoán vị cua nó


#391706 CMR ${U_{n}}$ là dãy tăng

Gửi bởi duong vi tuan trong 30-01-2013 - 14:33

Cho $x_{1};x_{2};...;x_{2013}$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^{2013}x_{i}\geq 2013$
Đặt $U_{n}=\sum_{i=1}^{2013}x_{i}^{n}$
CMR ${U_{n}}$ là dãy tăng


ta có bất đẳng thức sau : $(x_{i}^{n-1}-1)(x_{i}-1)\geq 0\Leftrightarrow x_{i}^{n}+1\geq x_{i}^{n-1}+x_{i}$

lấy tông 2 vê lên ta đc $\sum x_{i}^{n}+2013\geq \sum x_{i}^{n-1}+\sum x_{i}\geq \sum x_{i}^{n-1}+2013$

=> Un là dãy tăng :D
  • NLT yêu thích


#390999 Cauchy-Schwarz

Gửi bởi duong vi tuan trong 28-01-2013 - 08:20

Góp vui vài bài:
Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
CMR
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

từ điều kiện ta có $a+b+c\leq 3$
$\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sum \frac{\sqrt{a^2(1+b+c)}}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}\sum \sqrt{a(a+ab+ac)}\leq \frac{1}{a+b+c}\sqrt{(a+b+c)(a+b+c+2(ab+bc+ca)))}\leq \frac{1}{a+b+c}\sqrt{(a+b+c)(a+b+c+2\frac{(a+b+c)^2}{3}))}=\sqrt{1+\frac{2(a+b+c)}{3}}\leq \sqrt{3}$


#389677 Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]

Gửi bởi duong vi tuan trong 24-01-2013 - 20:19

Bài 22: Chứng minh dãy số sau hội tụ và tìm giới hạn của nó:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} > 0;\,{x_1} > 0\\
{x_n} = \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 1}}}} + \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 2}}}}
\end{array} \right.\]

xét dãy $a_{n+2}=2\sqrt[2011]{a_{n+1}}$
và $a_{0}=a_{1}=max(x_{0},x_{1},\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2})$

và $b_{n+2}=2\sqrt[2011]{b_{n+1}}$

$b_{0}=b_{1}=min(x_{0},x_{1},\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2})$

ta có : $b_{n}\leq x_{n} \leq a_{n}$ .
dãy $b_{n}$ tăng và hội tụ đên $\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2}$
dãy $a_{n}$ giảm ht và $\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2}$
từ đó ....


#389520 Kỹ thuật sử dụng bdt Cauchy-Schwart trong tích phân

Gửi bởi duong vi tuan trong 24-01-2013 - 09:46

Mình không hiểu bạn định nói gì ở đây??


à mình chọn hàm f(x) =1 thì thấy chiều bdt ngược ???