Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


hxthanh

Đăng ký: 30-10-2010
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#721581 Chuyên đề Đẳng thức Tổ hợp

Gửi bởi hxthanh trong 20-04-2019 - 05:30

Lâu lắm rồi không "ngó" đến chủ đề này. Qua một khoảng thời gian tương đối lâu tôi thử tìm kiếm trên mạng về các bài viết, tài liệu hướng dẫn, luyện thi, vân vân... liên quan đến các đẳng thức hệ số tổ hợp thì chợt nhận ra rằng: Hầu hết các tài liệu đó đều mang tính khuôn mẫu, na ná như nhau và rất nhàm chán!
Chẳng hạn như: "Ứng dụng đạo hàm và tích phân để chứng minh và tính tổng các hệ số nhị thức"
Theo tôi thấy nó chỉ "tiện" chứ không nêu lên được bản chất nội tại của nó như quy tắc hút hay đảo chiều, v.v...
Hay như việc nhận biết và đưa vào một số thủ thuật nhỏ trong "dấu hiệu" của tổng (viết dưới dạng liệt kê) chỉ đơn thuần là các phép biến đổi cơ bản khi viết tổng dưới dạng $\sum$
Rất nhiều tài liệu, phương pháp trên mạng không thể giải quyết nổi dù là một bài tập trong ĐTTH ở đây bạn có tin không?
Không bàn đến "độ khó" mà là phương thức tiếp cận một bài toán cần phải "linh động" hơn, đôi khi chẳng cần phải đạo hàm, tích phân hay biến đổi gì đó mà chỉ cần tìm cách "đếm" là đủ!
ĐTTH đã tồn tại một thời gian khá lâu mà chưa có một cuốn sách nào một tài liệu (tiếng Việt) tương đương nào xứng "tầm" với nó, quả thực là một điều đáng buồn!
Đôi lời cảm nhận cá nhân, bạn thấy thế nào? (Gạch đá quăng hết vào đây :D)


#721212 Tồn tại ba đoạn thẳng ghép thành một tam giác

Gửi bởi hxthanh trong 01-04-2019 - 14:56

Cần nói rõ là 8 đoạn thẳng phân biệt có độ dài là các số tự nhiên nhé
Giả sử trái lại nếu có 8 số tự nhiên phân biệt $10\le a_1<a_2<...<a_8<210$ mà không có 3 số nào tạo thành độ dài 3 cạnh 1 tam giác thì:
$a_8>a_7+a_6>2a_6+a_5>3a_5+2a_4>5a_4+3a_3>8a_3+5a_2>13a_2+8a_1\ge 13\times 11+8\times 10=210$
Vô lý!


#718335 Tính xác suất để 3 đoạn này lập thành 3 cạnh của 1 tam giác

Gửi bởi hxthanh trong 11-12-2018 - 17:29

Bạn phân tích lời giải rất chính xác. Mặc dù vậy cũng có điều thú vị qua "lời giải" kia

Một cách cảm tính thì có thể coi P(A)=1
Vì bẻ ngẫu nhiên thì khả năng để hai đoạn hoàn toàn bằng nhau gần như không có, cho dù là đo đạc cắt cẩn thận còn khó nữa là!?
Còn P(N/C)=1/2 ? Có lý đấy chứ?


#699718 Hình dạng của chiếc gối?

Gửi bởi hxthanh trong 04-01-2018 - 23:45

Đã bao giờ bạn nhìn vào chiếc gối đầu bằng ngôn ngữ của Toán học chưa?
Làm sao để biết được chiếc túi giấy nhỏ (đóng kín)lại chứa được 200ml sữa? Hoặc là với kích thước cố định của chiếc túi giấy (đóng kín) thì thể tích tối đa mà nó có được là bao nhiêu?
...
Bài toán ta cần xem xét cần đến một số yếu tố như sau:
- Một chiếc túi kín được tạo thành từ hai hình chữ nhật cùng kích thước và chất liệu được dán trùng biên với nhau.
- Coi như biên là "trơn" và chất liệu là không dãn, nghĩa là diện tích bề mặt chiếc túi luôn không đổi dù ở bất cứ trạng thái hình dạng nào.
- Dùng "xi lanh" bơm (không khí chẳng hạn) vào chiếc túi cho đến khi "căng" thì thôi.
Bây giờ có hai câu hỏi cần tìm lời giải đáp:

1. "Giải tích hóa" hình dạng của chiếc túi khi được bơm căng?
2. Thể tích tối đa của chiếc túi là bao nhiêu? (với $a\times b$ là kích thước của hình chữ nhật ban đầu)


#693064 cho tập $A=\left \{ 1;2;3;...;n \right \}...

Gửi bởi hxthanh trong 14-09-2017 - 23:59

cho tập $A=\left \{ 1;2;3;...;n \right \}$ hỏi có bao nhiêu tập con của A khác rỗng không có 2 số liền kề nhau.

Xét tập con $k$ phần tử thỏa yêu cầu đề $\{a_1,a_2,...,a_k\}$
Ta có:$1\leq a_1<a_2-1<...<a_k-k+1\leq n-k+1$
Có $C_{n-k+1}^k$ tập con như vậy.
Số tập con cần tìm là
$S=\sum_{1\leq k \leq \left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor} C_{n+1-k}^k=F_{n+2}-1$
($\{F_n\}$ là dãy Fibonacci, Bạn tự tính nhé!)


#691998 Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ các hình vuông nhỏ liền nhau.

Gửi bởi hxthanh trong 31-08-2017 - 23:25

Cho hình vuông $n$x$n$ tạo bởi $n^2$ hình vuông nhỏ. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ các hình vuông nhỏ liền nhau.

Một hình vuông $n\,\times\,n$ sẽ tạo ra $(n+1)^2$ điểm.
Một cặp hai điểm phân biệt không cùng hàng cùng cột sẽ tạo ra hai đỉnh chéo của một hình chữ nhật(bao gồm cả hình vuông)
Số cách chọn hai điểm phân biệt như vậy là $\frac{n^2(n+1)^2}{2}$
Do tính đối xứng nên luôn có hai cặp điểm xác định cùng một hình chữ nhật.
Do đó số hình chữ nhật là $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$
Số hình vuông thì dễ thấy là bằng $1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Kết quả của bài toán
$\frac{n^2(n+1)^2}{4}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{12}$


#687581 Tính xác suất có ít nhất $30$ chiếc xe được chọn từ $2$ l...

Gửi bởi hxthanh trong 15-07-2017 - 10:45

Bài toán tác giả nêu có vẻ không khả thi để giải trên giấy. Vì các con số lớn quá rất khó kiếm chứng. (Có thể sử dụng ngôn ngữ lập trình để giải quyết)
Bài toán như sau có thể sẽ khả thi hơn.
Có 10000 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100, mỗi số 100 thẻ. Bốc ngẫu nhiên (một lần) 100 thẻ.
Tính xác suất để trong 100 thẻ đó có ít nhất 30 loại thẻ mỗi loại xuất hiện nhiều hơn một lần.


#687207 Tính xác suất có ít nhất $30$ chiếc xe được chọn từ $2$ l...

Gửi bởi hxthanh trong 11-07-2017 - 10:52

Một tỷ phú có $100$ chiếc xe hơi đắt tiền.Cứ mỗi ngày anh ta chọn ngẫu nhiên một chiếc để sử dụng.

Tính xác suất để trong $100$ ngày liên tiếp có ít nhất $30$ chiếc xe được chọn từ $2$ lần trở lên ?

Mạn phép tác giả cho chế lại bài này với các con số nhỏ hơn:

Một tỷ phú có $7$ chiếc xe hơi đắt tiền.Cứ mỗi ngày anh ta chọn ngẫu nhiên một chiếc để sử dụng.
Tính xác suất để trong $7$ ngày liên tiếp có ít nhất $2$ chiếc xe được chọn từ $2$ lần trở lên?
 
Sở dĩ để các con số be bé để các bạn tiện kiểm tra tính đúng sai và tìm phương hướng
 
Giả sử xe $x_i$ được chọn $k_i$ lần
TH1: $k_1,k_2>1;\;$ các xe khác được chọn nhiều nhất $1$ lần
Như vậy ta có $\begin{cases} 4\leq k_1+k_2\leq 7 \\ k_1,k_2>1\end{cases}$
Hay $(k_1,k_2)\in \{(2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,2); (3,3); (3,4); (4,2); (4,3)\}$
Có tất cả $C_7^2\sum_{k_1,k_2\geq 2}C_7^{k_1}C_{7-k_1}^{k_2}A_5^{7-k_1-k_2}$ khả năng
 
TH2: $k_1,k_2,k_3>1;\;$ các xe khác được chọn nhiều nhất $1$ lần
$(k_1,k_2,k_3)\in \{(2,2,2); (2,2,3); (2,3,2); (3,2,2)\}$
Có tất cả $C_7^3\sum_{k_1,k_2,k_3\geq 2}C_7^{k_1}C_{7-k_1}^{k_2}C_{7-k_1-k_2}^{k_3}A_4^{7-k_1-k_2-k_3}$ khả năng
 

Không gian mẫu có $7^7$ khả năng.

 

Xác suất cần tính sau khi bấm máy tính bằng $\frac{589911}{7^7}=\frac{12039}{16807}\approx 0.716$

__________________________________________

NX: Cách làm như thế này chắc chắn không giải quyết được bài toán gốc. Bây giờ ta sẽ phải xây dựng phép đếm chấp nhận lặp rồi loại bỏ những phần thừa, thêm vào những phần thiếu, v.v...




#676682 Tính khoảng cách xa nhất cá hồi bơi ngược dòng đến nơi đẻ trứng

Gửi bởi hxthanh trong 09-04-2017 - 00:26

Vận tốc con cá khi bơi trong nước yên lặng là $v(t)=s'(t)=-\frac{t}{5}+4$ (km/h)
Gọi vận tốc và khoảng đường con cá khi bơi ngược dòng lần lượt là $V(t)$ và $S(t)$
$V(t)=v(t)-v_{nuoc}=-\frac{t}{5}+2$ (km/h)
$S(t)=\int V(t)dt=-\frac{t^2}{10}+2t+C=-\frac{t^2}{10}+2t$ (km)
(Chọn $C=0$ vì khi $t=0$ thì $S(0)=0$)
$S'(t)=V(t)=0\Leftrightarrow t=10$ (s)
$\Rightarrow$ Khoảng cách xa nhất con cá bơi được là $S(10)=-\frac{10^2}{10}+2.10=10$ (km).

Có gì đó không thực tế lắm
10s - 10km, 1km/s gấp 3 lần vận tốc âm thanh thì phải?


#675196 Tìm công thức tổng quát của u_{n}

Gửi bởi hxthanh trong 23-03-2017 - 22:50

Cho $u_{n}$ được xác định bởi $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1; u_{2}=2 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}\left (u_{n}+u_{n-1} \right )&\forall n\geq1 \end{matrix}\right.$.
Tìm công thức tổng quát của u_{n}
thank trước @};-  @};- @};-

Ta có:
$u_{n}+\frac{1}{2}u_{n-1}=u_{n-1}+\frac{1}{2}u_{n-2}=…=u_2+\frac{1}{2}u_1=\frac{5}{2}$
Mặt khác
$u_{n}-u_{n-1}=-\frac{1}{2}(u_{n-1}-u_{n-2})=…=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-2}(u_2-u_1)=\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-2}$
Lấy đt trên nhân 2 rồi cộng vế theo vế đt dưới ta được:
$3u_n=5+\frac{(-1)^n}{2^{n-2}}$

Vậy $u_n=\frac{5}{3}+\frac{4(-1)^n}{3.2^{n}}$


#675089 $S = \left ( \frac{C_{2013}^0 }{1...

Gửi bởi hxthanh trong 23-03-2017 - 00:45

$S=\sum_{k=0}^{2013}\dfrac{\binom{2013}{k}^2}{(k+1)^2}$
$S=\dfrac{1}{2014^2}\sum_{k=0}^{2013}\binom{2014}{k+1}^2$
$S=-\dfrac{1}{2014^2}+\dfrac{1}{2014^2}\sum_{k=0}^{2014}\binom{2014}{k}^2$
$S=-\dfrac{1}{2014^2}+\dfrac{1}{2014^2}\sum_{k=0}^{2014}\binom{2014}{k}\binom{2014}{2014-k}$
$S=-\dfrac{1}{2014^2}+\dfrac{1}{2014^2}\binom{4028}{2014}\qquad$ (Vandermonde)


#675087 Định nghĩa về số e và các phương pháp tính số e.

Gửi bởi hxthanh trong 23-03-2017 - 00:11

Đối với mỗi phép toán, người ta luôn tìm được những toán tử hằng. Chẳng hạn
Với phép cộng là số 0. Với phép nhân và mũ là số 1, với phép nhân ma trận là ma trận đơn vị, v.v...
Vì vậy với việc lấy đạo hàm người ta cũng mong muốn tìm được điều đó.
Tức là xuất phát từ phương trình
$f'(x)=f(x)$
Mà cuối cùng tìm được hàm $f(x)=e^x$
Và đó là nguyên nhân số $e$ ra đời.
Quá trình tìm $e$ thế nào thì để hôm khác rảnh mình sẽ post


#675001 Tính $A=1.2^{2}+2.3^{2}+...+n(n+1)^{2}$

Gửi bởi hxthanh trong 22-03-2017 - 01:30

Tính $A=1.2^{2}+2.3^{2}+...+n(n+1)^{2}$

Biến đổi một chút ta có:
$n(n+1)^2=n(n+1)(n+2-1)=n(n+1)(n+2)-n(n+1)$
$=n(n+1)(n+2)\dfrac{n+3-(n-1)}{4}-n(n+1)\dfrac{n+2-(n-1)}{3}$
$=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}-\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}-\frac{n(n+1)(n+2)}{3}+\frac{(n-1)n(n+1)}{3}$
Như vậy tổng phải tính là
$A=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}-\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=n(n+1)(n+2)\left(\frac{n+3}{4}-\frac{1}{3}\right)$

$=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$


#674833 Tính tổng $S {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} }$

Gửi bởi hxthanh trong 20-03-2017 - 00:33

Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$

Ngứa ngáy chân tay...

$\quad S=\sum_{n=1}^5\sum_{k=n}^{n+4}k\binom{k-1}{n-1}\binom{9-k}{5-n}=\sum_{k=1}^9\sum_{n=1}^{k}k\binom{k-1}{n-1}\binom{9-k}{5-n}\quad $ (đảo thứ tự lấy tổng)

$\quad\;=\sum_{k=1}^9 k\binom{k-1+9-k}{n-1+5-n}\quad $ (Vandermonde)

$\quad\;=\binom{8}{4}\sum_{k=1}^{9}k$

$\quad\;=\binom{8}{4}\binom{10}{2}$

y chang @chanhquocnghiem




#673566 Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất 1 chính phẩm

Gửi bởi hxthanh trong 06-03-2017 - 15:23

Có hai lô hàng. lô 1 có 8 chính phẩm và 3 phế phẩm, lô 2 có 7 chính phẩm và 2 phế phẩm. Từ lô 1 lấy ra 2 sản phẩm, từ lô 2 lấy ra 3 sản phẩm. Trong số sản phẩm lấy ra lại lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất 1 chính phẩm.

Giải bài toán trên khía cạnh "đồ thị"

$\left[\begin{matrix} (8c,3p)\\ \\(7c,2p) \end{matrix}\right. \rightarrow \begin{matrix} \left[\begin{matrix} 2c\\1c1p \\2p \end{matrix}\right. \\ \left[\begin{matrix} 3c\\2c1p \\1c2p \end{matrix}\right.\end{matrix} \rightarrow \left[\begin{matrix} 5c\\4c1p \\3c2p\\2c3p\\1c4p \end{matrix}\right. \rightarrow \left[\begin{matrix}cc&(A)\\cp&(B)\\pp&(C)\end{matrix}\right.$

$\qquad \longrightarrow \begin{matrix} \left[\begin{matrix} C_8^2 \\ C_8^1C_3^1 \\ C_3^2 \end{matrix}\right. \\ \left[\begin{matrix} C_7^3 \\ C_7^2C_2^1 \\ C_7^1C_2^2 \end{matrix} \right. \end{matrix} \rightarrow \left[ \begin{matrix} C_8^2C_7^3 &= x_1\\C_8^2C_7^2C_2^1+C_8^1C_3^1C_7^3 &= x_2 \\ C_8^2C_7^1C_2^2+C_8^1C_3^1C_7^2C_2^1+C_3^2C_7^3 &=x_3 \\C_8^1C_3^1C_7^1C_2^2+C_3^2C_7^2C_2^1&=x_4\\C_3^2C_7^1C_2^2&=x_5 \end{matrix}\right.$

 

$|A|=x_1C_5^2+x_2C_4^2+x_3C_3^2+x_4C_2^2$

$|B|=x_2C_4^1C_1^1+x_3C_3^1C_2^1+x_4C_2^1C_3^1+x_5C_1^1C_4^1$

$|C|=x_3C_2^2+x_4C_3^2+x_5C_4^2$

 

Xác suất cần tính $P=\frac{|A|+|B|}{|A|+|B|+|C|}$