hxthanh

Tham khảo thêm cách này nhé!
Đặt $f(k)=k(k+1)(k+2)$ suy ra $\Delta f= (k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)=3(k+1)(k+2)$
Đặt $g(k)=\dfrac{k}{3}$ suy ra $\Delta g = \dfrac{1}{3}$
Khi đó:
$S=\sum\limits_{k=1}^{2010}k(k+1)(k+2)=\sum\limits_{k=1}^{2010} g(k)\Delta f=g(k)f(k)\left|\begin{matrix}{}^{2011} \\ {}_{k=1}\end{matrix}\right.-\sum\limits_{k=1}^{2010} f(k+1)\Delta g\quad\text{(SAI PHÂN TỪNG PHẦN)}$
$S=\dfrac{k^2(k+1)(k+2)}{3}\left|\begin{matrix}{}^{2011} \\ {}_{k=1}\end{matrix}\right.-\sum\limits_{k=1}^{2010} \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$
$S=\dfrac{2011^2.2012.2013}{3}-\dfrac{1^2.2.3}{3}-\sum\limits_{k=2}^{2011} \dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}$
$S=\dfrac{2011^2.2012.2013}{3}-\dfrac{1^2.2.3}{3}-\dfrac{2011.2012.2013}{3}+\dfrac{1.2.3}{3}-\sum\limits_{k=1}^{2010} \dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}$
$S=\dfrac{2010.2011.2012.2013}{3}-\dfrac{1}{3}S$

$\dfrac{4S}{3}=\dfrac{2010.2011.2012.2013}{3}$

$S=\dfrac{2010.2011.2012.2013}{4}$

Cách khác vậy
$S=6\sum\limits_{k=3}^{2012} C_k^3 = 6\sum\limits_{k=3}^{2012}( C_{k+1}^4-C_{k}^4)=6C_{2013}^4=\dfrac{2013.2012.2011.2010}{4}$

Tính giá trị của biểu thức sau: $S=1.2.3+2.3.4+....+2010.2011.2012$

Một cách giải khác!
Ta có:
$k(k+1)(k+2)=\dfrac{k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]}{4}=\dfrac{1}{4}\big(k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\big)$
Thay lần lượt $k=1,2,...,2010$, ta được:
$1.2.3=\dfrac{1}{4}(1.2.3.4-0.1.2.3)$
$2.3.4=\dfrac{1}{4}(2.3.4.5-1.2.3.4)$
$...$
$2010.2011.2012=\dfrac{1}{4}(2010.2011.2012.2013-2009.2010.2011.2012)$
Cộng lại vế theo vế
ta có: $S=\dfrac{1}{4}(2010.2011.2012.2013)$
-------
@WWW: giống của em rồi.

Một số bài toán (sưu tầm)

$\fbox{Bài 19}$
Tính:

$S=\dfrac{3^3+1^3}{2^3-1^3}+\dfrac{5^3+2^3}{3^3-2^3}+\dfrac{7^3+3^3}{4^3-3^3}+...+\dfrac{4012^3+2006^3}{2007^3-2006^3}$

- Huỳnh Quang Lâu -

$\fbox{Bài 20}$
Dãy $\{S_n\}$ được định nghĩa bởi
$S_n=1+\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+...+\dfrac{1}{1+2+...+n}\quad(n=1,2,...)$

Tìm số hữu tỉ $r$ nhỏ nhất sao cho: $S_n<r,\;\;\;\forall n\in\mathbb N^*$

- Nguyễn Tiến Lâm -

$\fbox{Bài 21}$
Tính:
$S_n=\sum\limits_{k=1}^n \arctan\left(\dfrac{1}{1+k+k^2}\right)$

- Sưu tầm -

$\fbox{Bài 22}$
Tính:
$S_n=\sum\limits_{k=1}^n \ln\left(\dfrac{k(2k+1)}{(k+1)(2k-1)}\right)$

- Sưu tầm -

Giải thích như vậy là chuẩn rồi còn gì...

Vi phân $\mathrm df = \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.\Delta x$ khi $\Delta x \to 0$
hay $\mathrm df=f'(x)\mathrm dx$

Nếu $f$ có đơn vị là mét; $x$ có đơn vị là giây, thì rõ ràng $f'(x)$ có đơn vị là mét/giây
Nếu bỏ hết vi phân đi, thì từ $f'(x)$ ta suy ra $f(x)$ bằng đơn vị nào?

Trong ký hiệu $\int f(x)\mathrm dx$, vi phân $\mathrm dx$ là đại lượng cho biết hàm $f(x)$ được lấy nguyên hàm theo biến nào ($x$)
Ví dụ $\int f(x)\mathrm d(2x)$ thì hàm cần lấy nguyên hàm $f(x)$ phải được lấy theo biến $(2x)$; $(2x)$ mới là biến chứ $x$ vẫn còn là hàm!
Thế mới có chuyện đổi biến, từng phần, đạo hàm hàm hợp, ...

Đề bài không khó, nhưng khá dài, thí sinh không phân bố thời gian cho tốt, dễ dẫn tới ... hết giờ!
Gặp những đề như thế này ... mình hơi nản!

Ví dụ như Câu 9a, Đề không cho luôn $n=7$ mà cho
$5C_{n}^{n-1}=C_{n}^3$ với $n\in \mathbb{N}^*$

Khi đó đề bài yêu cầu tìm số hạng chứa $x^5$ của khai triển

$\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{x}\right)^7=\dfrac{(x^3-2)^7}{2^7x^7}=\dfrac{\sum\limits_{k=0}^7 C_{7}^{7-k}.(-1)^k2^k(x^3)^{7-k}}{2^7x^7}$

Như vậy ta chỉ cần tìm số hạng chứa $x^{12}$ trong Khai triển tử số

$HS=\dfrac{-2^3C_7^3}{2^7}=-\dfrac{35}{16}$

Thời gian đăng ký đã hết, BQT cần ổn định tổ chức và phát Giấy Mời, vì vậy topic này sẽ đóng tại đây.

Cách chứng minh của bạn khá hay, nếu mình nhớ không nhầm thì người ta gọi nó là chứng minh đệ quy (truy hồi), về bản chất nó có cấu trúc như quy nạp.
Bản thân từ phương pháp quy nạp, người ta cũng "chế" ra thành nhiều kiểu quy nạp khác nhau. Ví dụ:
"Quy nạp modul-m"
- Đầu tiên ta cần kiểm tra biểu thức với $m$ giá trị liên tiếp của biến cần quy nạp ($m$ giá trị đầu tiên)
- Giả sử biểu thức đúng với $n$, từ đó chứng minh biểu thức cũng đúng với $n+m$
- Kết thúc chứng minh.
...
v.v...

Gợi ý!
Chứng minh BĐT: $\dfrac{3}{2}\left(\sqrt[3]{(k+1)^2}-\sqrt[3]{k^2}\right)<\dfrac{1}{\sqrt[3]{k}}<\dfrac{3}{2}\left(\sqrt[3]{k^2}-\sqrt[3]{(k-1)^2}\right),\quad (k\ge 1)$

Ta có: $S=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{5}}+..+\dfrac{1}{\sqrt[3]{1000000}}=\sum\limits_{k=4}^{10^6}\dfrac{1}{\sqrt[3]{k}}$

$\Rightarrow \dfrac{3}{2}\left(\sqrt[3]{(10^6+1)^2}-\sqrt[3]{4^2}\right)<S<\dfrac{3}{2}\left(\sqrt[3]{(10^6)^2}-\sqrt[3]{3^2}\right)$

$\Rightarrow \lfloor S\rfloor=14996$

Do (2k + 3) - (2k - 1) = 4 nên ta có:
$S=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)(2k+3)}=\frac{1}{4}\left [(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7})-(\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}) \right ]$
__________________________________________________________
@hxthanh: Tiếc là bài này sai mất rồi!
___________________________________
Cảm ơn bạn. Mình đã sửa rồi. @_^

Lời giải:

Đặt $f(k)=\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}$
ta có:
$\Delta(f(k))=\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}-\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{-4}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}$
Đặt $g(k)=-\dfrac{2k+1}{4}$ suy ra $\Delta(g(k))=-\dfrac{2k+3}{4}+\dfrac{2k+1}{4}=-\dfrac{1}{2}$
Theo công thức Sai phân từng phần ta có:

$\begin{align*}S&=\sum\limits_{k=1}^n \left(-\dfrac{2k+1}{4}\right)\Delta\left(\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}\right) \\ &= \left(-\dfrac{2k+1}{4}\right)\left(\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}\right)\left|\begin{matrix}{}^{n+1} \\ {}_{k=1}\end{matrix}\right. -\sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}\right)\left(\dfrac{-1}{2}\right) \\ &= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4(2n+1)}+\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right) \\ &= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4(2n+1)}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2n+3}\right) \\ &= \dfrac{n(4n+5)}{3(2n+1)(2n+3)}\end{align*}$

Áp dụng phương pháp lấy tổng SAI PHÂN TỪNG PHẦN giải các bài tập sau:

$\fbox{Bài 13}$
Tính:
$S=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

$\fbox{Bài 14}$
Tính:
$S=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{4k}{(k+n)(k+n+1)(k+n+2)}$

$\fbox{Bài 15}$
Tính:
$S=\sum\limits_{k=1}^n k^2 3^k$

$\fbox{Bài 16}$
Tính:
$S=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+3)}$

$\fbox{Bài 17}$
Tính:
$S=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{(2k-1)(2k+3)}$

$\fbox{Bài 18}$
Tính:
$S=\sum\limits_{k=2}^n \dfrac{n-k}{k^3-k}$

...
Bài 3:
...
2\ Phân chia 9 số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm tùy í, mỗi nhóm ba số. Gọi $T_1$ là tích của ba số nhóm thứ nhất, $T_2$ là tích ba số nhóm thứ hai, $T_3$ là tích ba số nhóm thứ ba. Hỏi tổng $T_1+T_2+T_3$ có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu

Bài này cũng cũ rồi!
Với $\{a_1,a_2,...,a_9\} = \{1,2,...,9\}$
Ta có:
$T=T_1+T_2+T_3=a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9 \ge 3\sqrt[3]{a_1a_2...a_9}=3\sqrt[3]{9!}\approx 213,89...$
Như vậy tổng $T$ đạt nhỏ nhất khi các số hạng gần với $\dfrac{213,89}{3}\approx 71$ nhất
Bằng cách phân chia, ta có thể thực hiện được việc này, chẳng hạn
$T_1=1.8.9=72$
$T_2=2.5.7=70$
$T_3=3.4.6=72$

Vậy $\min T=214$

Tìm phần nguyên của $A$ biết rằng $$A =\sqrt{2}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}}+\sqrt[4]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[2010]{\frac{2010}{2009}}$$

Bài này "xưa" rồi em!

Ta có: $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}} < \dfrac{\dfrac{k}{k-1}+k-1}{k}=1+\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\quad\text{(Theo AM GM)}$

Lấy tổng hai vế BĐT trên từ $k=2$ đến $k=2010$, ta được

$A=\sum\limits_{k=2}^{2010} \sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}<2009+1-\dfrac{1}{2010}<2010$

Mặt khác dễ thấy $A>2009$ do $\sqrt[k]{\dfrac{k}{k-1}}>1$

Vậy $\lfloor A \rfloor =2009$

ongtroi chắc chưa hiểu ý định của daothanhoai rồi!

$\int \dfrac{x^n-1}{x-1}dx = \dfrac{x^n}{n}+\dfrac{x^{n-1}}{n-1}+...+\dfrac{x^2}{2}+x+C=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{x^k}{k} + C$

Tác giả muốn tìm nguyên hàm trực tiếp của Vế Trái, với mục đích tính tổng ở Vế Phải khi cho $x$ một giá trị cụ thể.
Tuy nhiên, rất tiếc là nguyên hàm của hàm lấy tích phân ở Vế Trái, có biểu diễn "sơ cấp" duy nhất là Vế Phải. Trong khi đó tổng ở Vế Phải lại không tính trực tiếp được bằng các hàm sơ cấp!

Tham khảo thêm ở đây: Vế Trái, Vế Phải với $x=2$

Tóm lại là... bó tay!

$$\fbox{Phương pháp tính tổng SAI PHÂN TỪNG PHẦN}$$
Dùng sai phân để tính tổng, chắc hẳn các bạn cũng từng được nghe nói, thậm chí là quá quen thuộc với phương pháp này trong những bài toán tính tổng. Có một điều thú vị, mà ít ai để ý tới đó là ta có thể dùng phương pháp này để tách từng phần (nghe như tích phân từng phần vậy! ) tổng cần tính thành một tổng đơn giản hơn:

Đi luôn vào vấn đề:

$\begin{array}{|c|}
\hline
\sum\limits_{k=a}^b g(k).\Delta f(k)= g(k)f(k)\left|{}_{k=a}^{{}^{b+1}}\right.- \sum\limits_{k=a}^b f(k+1).\Delta g(k)\\
\text{trong đó:}\\
\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)\\
\Delta g(k)=g(k+1)-g(k)\\
\hline
\end{array}\qquad(14)$

Chứng minh:

Đặt $h(k)=g(k).f(k)$, ta có
$\begin{eqnarray*}\Delta h(k)&=& g(k+1).f(k+1)-g(k).f(k)\\ &=& g(k+1).f(k+1)-g(k).f(k+1)+g(k).f(k+1)-g(k)f(k)\\ &=& f(k+1)\Delta g(k)+ g(k)\Delta f(k)\end{eqnarray*}$

Suy ra: $g(k)\Delta f(k)=\Delta h(k) - f(k+1)\Delta g(k)$

Lấy tổng hai vế từ $a$ đến $b$, ta có điều phải chứng minh.

Áp dụng $(14)$

$\fbox{Ví dụ 8:}$
Tính $S=\sum\limits_{k=0}^{2012} (k.2^k)$

Lời giải:
Ta có $\begin{cases}&\Delta (2^k)=2^{k+1}-2^k=2^k \\ &\Delta (k)=k+1-k=1\end{cases}$

Áp dụng công thức tổng sai phân từng phần ta có:

$\begin{eqnarray*}S&=&\sum\limits_{k=0}^{2012} (k.2^k)\\ &=& k.2^k\left|{}_{k=0}^{{}^{2013}}\right. -\sum\limits_{k=0}^{2012} 2^{k+1} \\ &=& 2013.2^{2013}-(2^{2014}-2)\\ &=&2011.2^{2013}+2\end{eqnarray*} $

(Các bạn có thấy nó giống tích phân từng phần không? )

Một số sai phân đáng chú ý!

$\Delta (c^k) = (c-1)c^k$
$\Delta k(k-1) = 2k$
$\Delta k(k-1)(k-2) = 3k(k-1)$
...
Nếu đặt
$k(k-1)...(k-m+1)=k^{\underline m}$ thì ta chứng minh được:
$\Delta (k^{\underline m})=m k^{\underline {m-1}}$ (Nhìn cho nó giống đạo hàm! )
Tương tự:
$\Delta (\dfrac{1}{(k+1)(k+2)})=-\dfrac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}$
...
Và nếu đặt: $k^{\underline{ -m}}=\dfrac{1}{(k+1)(k+2)...(k+m)}$
thì ta cũng có:
$\Delta (k^{\underline{ -m}})= -m k^{\underline {-m-1}}$
Tóm lại là:
$\Delta (k^{\underline m})= m k^{\underline {m-1}}$

$\fbox{Ví dụ 9}$
Tính $S=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(k+1)(k+3)}$

Lời giải:
Đặt $f(k)=\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$, ta có:
$\Delta f(k)=\dfrac{1}{(k+2)(k+3)}-\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{-2}{(k+1)(k+2)(k+3)}$
Đặt $g(k)=\dfrac{-(k+2)}{2}$ suy ra $\Delta g(k)=\dfrac{-1}{2}$
Theo công thức SAI PHÂN TỪNG PHẦN TA CÓ:
$\begin{align*}S&=\sum\limits_{k=1}^n \left(-\dfrac{k+2}{2}\right)\left(\dfrac{-2}{(k+1)(k+2)(k+3)}\right) \\ &= -\dfrac{k+2}{2}.\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\left|\begin{matrix}{}^{n+1} \\ {}_{k=1}\end{matrix}\right.-\sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{(k+2)(k+3)}\right)\left(\dfrac{-1}{2}\right) \\ &= -\dfrac{1}{2(n+2)}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+3}\right) \\ &= \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2(n+2)}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2(n+3)} \\ &= \dfrac{n(5n+13)}{12(n+2)(n+3)}\end{align*}$