tuanlshb1

chung minh rang:
$ \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{ x_{i}^2 + \dfrac{1}{x_{i}^2}} \geq (n+\dfrac{1}{n})\sqrt{n^2+\dfrac{1}{n^2}}( \sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{x_{i}}{1+x_{i}^2})$

và
có ý nghĩa là gì và đọc là gì vậy! mình học cơ bản chẳng hay dùng! từ ngày học BDT thức mới nhìn thấy nhưng chẳng hiểu
mọi người nhớ chỉ rõ dùng trong trường hợp nào nhé

Vì BDT thì thường gắn với đk đã cho trướca, vd $a,b,c>0$ rồi thì đương nhiên có thể giản uớc được $a+b+c$ chẳng hạn thôi!
riêng với BPT thì khi giản ước đều phải xem xét kĩ lưỡng trước,
vd: $x^2 \pm x + > 0$ với mọi x nên có thể giản ước nhưng với $x^2 - 3x +2$.... chẳng hạn thì phải xét đk trước khi chia hay khử
vd: $\dfrac{x-1}{x-3} > \dfrac{1}{x-3}$
muốn xóa đi $x - 3$ đi thì cũng phải xét $x-3 > 0$ hay $< 0$ trước, sau đó ........
để tránh xét TH ta thường đặt nhân tử chung: $BPT \Leftrightarrow frac{x-2}{x-3} > 0 \to sulution!$
p/s: một cách khác, vì giải bpt là đi tìm đk của x đẻ bpt có nghiẹm chứ không phải là có đk rồi đi Cm như BDT!

thank bạn nhé! vậy khi mình giản ước như vậy. VD như thi DH thì có cần phải lập luận gì không hay bem lun

Cổ à, quyển này NG Trần Phương viết trong vòng 3 năm , dày hơn 2200 trang, mới xuất bản năm 2008- 2009 thôi.
Nó có đầy đủ các Kỹ thuật CM như S.O.S, dồn biến .. rất hay

theo mình được biết thì hình như bạn đang nói đến quyển những viên kim cương

Bài 3:
Có $P=\dfrac{(xy+1)(yz+1)(zt+1)(tx+1)}{xyzt}=\dfrac{(xy+4.\dfrac{1}{4})(yz+4.\dfrac{1}{4})(zt+4.\dfrac{1}{4})(tx+4.\dfrac{1}{4})}{xyzt}$
$ \geq \dfrac{5^4.\sqrt[5]{x^2y^2z^2t^2.\dfrac{1}{4^{16}}}}{xyzt}$(BĐT AM-GM)
$=\dfrac{5^4}{\sqrt[5]{4^{16}}}.\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^3y^3z^3t^3}}$
$ \geq \dfrac{5^4}{\sqrt[5]{4^{16}}}.\dfrac{1}{\sqrt[5]{\dfrac{(x+y+z+t)^{12}}{4^{12}}}}$(BĐT AM-GM)
$ \geq \dfrac{5^4}{\sqrt[5]{2^{16}}}$
$P_{min}=\dfrac{5^4}{\sqrt[5]{2^{16}}} \Leftrightarrow x=y=z=t=\dfrac{1}{2}$
Bài 2 :
Có $P=\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y} \leq \sqrt{2(2+x+y)}$
$\leq \sqrt{2(2+\sqrt{2(x^2+y^2)})}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
(BĐT Cauchy-Schwarz)
$P_{max}=\sqrt{4+2\sqrt{2}} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

1 chút ý kiến về bài 3 là: nếu thay x=y=z=t=0,5 Pmin= 625/16 ?!

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y}$: $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c} \ge \dfrac{4}{2b+a+c}$

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:$2b \le b^2+1$ và $a+b+c \le 3$

Khi đó, ta có:
$\dfrac{4}{2b+a+c} \ge \dfrac{4}{b+3} \ge \dfrac{8}{b^2+7}$

Suy ra: $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c} \ge \dfrac{8}{b^2+7}$

Làm tương tự những cái còn lại, cộng vế theo vế, ta có đpcm.

bài này mình làm rùi! hình như dồn biến không ra! nhân đây hỏi lun
có ai có thể giải thích cho mình làm thế nào để phân biệt bất đẳng thức hoán vị với bdt đối xứng!
thank trước