wallunint

Biến đổi tương đương đúng là cả một nghệ thuật.

Ta có bất đẳng thức tương đương:
$ 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2bc + 2ca + \frac{{{{(a - b)}^2}}}{{13}} + \frac{{{{(b - c)}^2}}}{3} + \frac{{2{{(c - a)}^2}}}{{209}} $
$ \Leftrightarrow {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge \frac{{{{(a - b)}^2}}}{{13}} + \frac{{{{(b - c)}^2}}}{3} + \frac{{2{{(c - a)}^2}}}{{209}} $
$ \Leftrightarrow \frac{{12}}{{13}}{(a - b)^2} + \frac{2}{3}{(b - c)^2} + \frac{{207}}{{209}}{(a - b)^2} \ge 0 $

Bđt cuối cùng luôn đúng nên ta có ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
________________________________________________________________________________

Tiếp tục với mấy bài này nhé

Bài 104: Cho các số thực $a,b,c$ sao cho $a \ge b \ge c >0$. Chứng minh:
$ \frac{1}{{{{(a + b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c + a)}^2}}} \ge \frac{2}{{(a + c)(b + c)}} + \frac{1}{{4ab}} $

Bài 105: Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$ \frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{b + 3c}} + \frac{1}{{c + 3a}} \ge \frac{1}{{a + 2b + c}} + \frac{1}{{b + 2c + a}} + \frac{1}{{c + 2a + b}} $

Bài 106: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
$ \frac{1}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{4{b^2} + {c^2} + {a^2}}} + \frac{1}{{4{c^2} + {a^2} + {b^2}}} \le \frac{9}{2} $

Bài 105: Áp dụng bđt AM-GM, ta có:

$ \frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{a + 2c + b}} \ge \frac{4}{{2\left( {a + 2b + c} \right)}} $
Chứng minh tương tự, ta có đpcm
Bài 104: Biến đổi tương đương và áp dụng bđt Am-GM, ta có:
$ \frac{1}{{\left( {a + b} \right)^2 }} + \frac{1}{{\left( {b + c} \right)^2 }} + \frac{1}{{\left( {c + a} \right)^2 }} \ge \frac{1}{{4ab}} + \frac{2}{{\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)}} $

$ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{\left( {c + a} \right)}} - \frac{1}{{\left( {b + c} \right)}}} \right)^2 \ge \frac{{\left( {a - b} \right)^2 }}{{4ab\left( {a + b} \right)^2 }} $
$ \Leftrightarrow 4ab\left( {a + b} \right)^2 \ge \left( {c + a} \right)^2 \left( {b + c} \right)^2 $
do đk bài toán $ \Rightarrow 4ab \ge 4b^2 \ge \left( {b + c} \right)^2 $ và $ \left( {a + b} \right)^2 \ge \left( {c + a} \right)^2 $
Đến đây, ta có bđt cần cm.

ZZ

Một bài tương tự, tương đối mạnh và đẹp, đặc biệt hơn nó có một lời giải vô cùng ấn tượng.
Bài 69 Cho các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng
$$\dfrac{{{a^2}(b + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{{b^2}(c + a)}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \dfrac{{{c^2}(a + b)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \geq \dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^2b+b^2c+c^2a}+\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ca^2}$$
---------Lê Việt Hải-------------------

Bài này khá khó zz Nó sử dụng những khai triển sau:
$\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ca^2}+\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^2b+b^2c+c^2a}-2=\dfrac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(ab^2+bc^2+ca^2)(a^2b+b^2c+c^2a)}$

$\sum \dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} -2 = \sum \dfrac{ab(a-b)^2}{(b^2+bc+c^2)(a^2+ac+c^2)}$

$(b^2+bc+c^2)(a^2+ac+c^2)(a^2+ab+b^2)-3(ab^2+bc^2+ca^2)(a^2b+b^2c+c^2a)=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$

Ngày cuối tuần rồi Các bạn hãy giải thử bài này zz Nó cần sự khéo léo là chính:

Bài 49: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a \ge b \ge c \ge 0$. Chứng minh rằng:
$$ a + 4b + 7c \leqslant 4\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right) $$

Để topic được tiếp tục, có lẽ mình sẽ tự giải bài này vậy
(Đã xóa bởi wallunint)


ps: Bỏ qua bài 50. Các bạn post tiếp bài 51 đi nhé
Bài này giải bằng p,q,r khá phức tạp. Bạn nào muốn thử sức thì cứ làm thử theo và gợi ý sau:
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại như sau:
$ \left( {1 - q - c - ab} \right)\left( {1 - q - a - bc} \right)\left( {1 - q - b - ca} \right) \leqslant \dfrac{1}{{32}} $
$ \Leftrightarrow {q^2} - 2{q^3} - r\left( {2 + r - 4q} \right) \leqslant \dfrac{1}{{32}} $

Ngày cuối tuần rồi Các bạn hãy giải thử bài này zz Nó cần sự khéo léo là chính:

Bài 49: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a \ge b \ge c \ge 0$. Chứng minh rằng:
$$ a + 4b + 7c \leqslant 4\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right) $$

Mong các bạn trao đổi tích cực hơn trong topic này

Bài 33: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ a+b+c=2 $.CMR
$$ \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \le 2 $$
Nguồn:Mathlink.ro

Ta có một bất đẳng thức cũng giống bdt trên, nhưng các bạn hãy thử giải bài này bằng p,q,r.


Bài 50: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ a+b+c=1 $.CMR
$$ \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) \le \dfrac{1}{32} $$

Lâu ngày mới quay lại topic này Thấy các bạn hăng hái quá zz Chắc mình về hưu thôi

Bài 43: (bài toán làm mạnh từ bài 41 mà tôi sưu tầm được)
Với mọi số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0$, ta luôn có :
$$ \dfrac{{a(b + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \dfrac{{b(a + c)}}{{c^2+ca+a^2}} + \dfrac{{c(a + b)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2 + \dfrac{{3{{[(a - b)(b - c)(c - a)]}^2}}}{{({a^2} + ab + {b^2})({b^2} + bc + {c^2})(c^2+ca+a^2)}}. $$
Ngoài ra bài 41 ấy có thể chứng minh bằng AM GM

Bằng phép biến đổi tương đương, ta được:
$$ \sum {\dfrac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} - 2 = \sum {\dfrac{{ab{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + ca + {a^2}} \right)}}} $$
Sử dụng kết quả trên, ta dễ dàng có (đpcm).

Tóm lại điều ta cần ở bài 42 là bổ đề
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$.CMR
$$ \dfrac{1}{{{a^2} + a + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + b + 1}} + \dfrac{1}{{{c^2} + c + 1}} \ge 1 $$
Đây là một bổ đề quen thuộc và có nhiều ứng dụng
Vài ví dụ mà mình sưu tầm được
Bài 43: cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$.CMR
$$ \dfrac{1}{{3{a^2} + {{(a - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{b^2} + {{(b - 1)}^2}}} + \dfrac{1}{{3{c^2} + {{(c - 1)}^2}}} \ge 1 $$
Bài 44: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ thì
$$ \dfrac{a}{{2{a^3} + 1}} + \dfrac{b}{{2{b^3} + 1}} + \dfrac{c}{{2{c^3} + 1}} \le 1 $$
Bài 45: chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + \dfrac{1}{4}ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + \dfrac{1}{4}bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + \dfrac{1}{4}ca + {a^2}}}} \le 2 $$
Bài 46: Cho các số thực dương $a,b,c$ .CMR
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 7ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 7bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 7ca + {a^2}}}} \ge 2 $$
Bài 47: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca>0$.CMR
$$ \sqrt {\dfrac{{{a^6} + 2}}{{a({a^3} + 2)}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^6} + 2}}{{b({b^3} + 2)}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^6} + 2}}{{c({c^3} + 2)}}} \ge a + b + c $$
Vẫn còn rất nhiều các bất đẳng thức là hệ qur của bài toán trên các bạn hãy tiếp tục bổ sung thêm

Bài 43, 46: 2 bài này cũng khá quen thuộc và đơn giản, ta sẽ sử dụng một số đánh giá đơn giản và bổ đề trên:
- bài 43: $$ \dfrac{1}{{3{a^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}} \geqslant \dfrac{1}{{{a^4} + {a^2} + 1}} $$
- bài 45: Đặt $$ x = \sqrt {\dfrac{a}{b}} ,y = \sqrt {\dfrac{b}{c}} ,z = \sqrt {\dfrac{c}{a}} $$
và $$ \dfrac{1}{{\sqrt {{x^4} + 7{x^2} + 1} }} \geqslant \dfrac{1}{{{x^2} + x + 1}} $$

Bài 46: Ngoài cách sử dụng bổ đề trên, ta có thể chứng minh bài toán bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:
$$ \sum {\dfrac{a}{{\sqrt {{b^2} + \dfrac{{bc}}{4} + {c^2}} }}} = \sum {\dfrac{{{a^2}}}{{a\sqrt {{b^2} + \dfrac{{bc}}{4} + {c^2}} }}} \geqslant \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } }} $$
Vậy ta chỉ cần chứng minh: $ {\left( {a + b + c} \right)^2} \geqslant 2\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } $
Áp dụng bdt Cauchy-Schwarz, ta có:
$$ {\left( {\sum {\sqrt a \sqrt {a{b^2} + \dfrac{{abc}}{4} + a{c^2}} } } \right)^2} \leqslant \left( {\sum a } \right)\left( {\dfrac{3}{4}abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} } \right) $$
Bất đẳng thức quy về chứng minh:
$$ \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{4} \geqslant \dfrac{3}{4}abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} $$
$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \geqslant \sum {ab\left( {a + b} \right)} $$

Bài 44 thì khá khó và bài 47 thì giải tương tự bài 42 của bboy114crew

ps: Anh chị nào là ĐHV Olympic thì xóa dùm mấy bài bị trùng trong topic này nha

Bài này cũng không khó lắm zz Tốt nhất là cứ tính trước điểm rơi của nó

Ta có: $z=\dfrac{2x+4y}{2xy-7}$ nên $P = x + y + \dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$ P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \left( {y - \dfrac{7}{{2x}}} \right) + \left( {\dfrac{{2x + 4y}}{{2xy - 7}} - \dfrac{2}{x}} \right) $$
$$ \Leftrightarrow P = x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2xy - 7}}{{2x}} + \dfrac{{2{x^2} + 7}}{{2xy - 7}} $$
$$ \Leftrightarrow P \geqslant x + \dfrac{{11}}{{2x}} + \dfrac{{2\sqrt {{x^2} + 7} }}{x} $$
Đến đây đã dồn biểu thức về 1 biến và có thể giải bằng nhiều cách
Đáp án: $ {P_{\min }} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow x = 3,y = \dfrac{5}{2},z = 2 $

Đề kiểm tra chọn đội tuyển
Thời gian: 180 phút

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên $a,b$ sao cho $\dfrac{{{a}^{2}}b+b}{a{{b}^{2}}+9}$ là số nguyên.

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:
$$ \dfrac{1}{2-a}+\dfrac{1}{2-b}+\dfrac{1}{2-c} \ge 3 $$
Bài 3: Trên mặt bàn có 2009 đồng xu có kích thước như nhau, mỗi đồng xu có 2 mặt xanh và đỏ. Tất cả các đồng xu đều ngửa mặt xanh lên trên. Bây giờ, ta sẽ tiến hành lật các đồng xu lên. Mỗi lần lật, ta được phép lật 4 đồng bất kì. Hỏi sau 2010 lần như thế, ta có thể lật tất cả các đồng xu thành mặt đỏ được không ? Giải thích.

Bài 4: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $\left( O \right)$ và một điểm $M$ bất kì trong tam giác. Các cạnh $AM,BM,CM$ lần lượt cắt đường tròn tại ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$. Tiếp tuyên của đường tròn tại ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ cắt $BC,CA,AB$ tại ${{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}$. Chứng minh rằng ${{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}$ thẳng hàng.

Bài 5: Một con Robot được đặt trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ tại ô có $(2009,2010)$. Khi di chuyển, Robot sẽ tiến tới ô có tọa độ $(x',y')=\left( \dfrac{x+y}{2},\dfrac{2xy}{x+y} \right)$ với $(x,y)$ là tọa độ của Robot trước khi di chuyển. Chứng minh rằng, Robot không thể di chuyển vào bên trong vòng tròn có tâm là gốc tọa độ $O$ và có bán kính là 2840.


ps: Còn một bài phương trình rất khó nhưng mình quên mất đề zz sẽ post vào lần khác.

Chào mọi người. Cho em hỏi, em năm tới lên lớp 8, sau này muốn được thi IMO thì giờ cần học những phần nào? Hiện tại em đã đọc qua qua hết bộ sách GK toán đến lớp 8 đến lớp 12. Thanks

Em giỏi thật đấy zz Hồi anh học lớp 8 thầy cũng bảo anh đọc trước sách giáo khoa nhưng mà ko có đọc đến lớp 12 như em )

Phục em thật đấy! Nhưng theo anh nghĩ, em nên nghe lời anh perfectstrong thì hơn em ạ Học kĩ thì có lẽ tốt hơn em ạ

Như anh Lê Hữu Phước (Đà Nẵng) thủ khoa TST năm vừa rồi Lớp 8,9,10 là năm đổ bêtông. Sau đó dành thời gian bay bổng vào năm 11,12.

Tuy chỉ được huy chương đồng trong kì IMO vừa rồi nhưng chiến dịch của anh ấy thì không tệ đâu em ạ

Theo anh nghĩ, trào lưu của IMO hay cả TST hiện nay là đánh vào các điểm yếu học sinh như:
+ Số học
+ Tổ hợp (đặc biệt là hình học tổ hợp)

Như em thấy thì bài hình tổ hợp năm nay đoàn Việt Nam rất ít người làm đc Nếu có ước mơ IMO thì em nên học kĩ và rèn luyện các vấn đề này

Mà em tên gì ấy nhỉ ? Để năm 2015,2016 anh tìm tên em trong đội tuyển Việt Nam cho nó dễ

Bài 25: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn $x^3 + y^3 = 1$. Tìm GTLN của:

$P = \sqrt x + 2\sqrt y $.

Bài này chưa có lời giải zz Có ai giải đc ko zz
Gợi ý:
+ Sử dụng bất đẳng thức $\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3}} \right) \geqslant {\left( {{axm + byn}} \right)^3}$
+ Từ đó, ta cần chứng minh: $\sqrt x + 2\sqrt y \leqslant \sqrt[6]{{{{\left( {1 + 2\sqrt[5]{2}} \right)}^5}}}$

Chú lớp 8 mà khiếp!
Bài 20 Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$(\dfrac{a}{a+b})^3+(\dfrac{b}{c+b})^3+(\dfrac{c}{a+c})^3 \geq \dfrac{3}{8}$

Đây là đề thi VMO zz
Cách giải của bạn Nguyễn Hữu Huy hình như sai zz Cẩn thận cái vai trò của các biến nhé zz
Có 1 bài toán mạnh hơn như sau:

Bài 29: Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
${\left( {\dfrac{a}{{a + b}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{b}{{c + b}}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{c}{{a + c}}} \right)^3} + \dfrac{{5abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \geqslant 1$

Giúp em bài này cái
Bài 21
Chứng minh bất đẳng thức
$\dfrac{ a^{3}}{a^{2}+ab+ b^{2}}+\dfrac{ b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\dfrac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \dfrac{a+b+c}{3}$

Bạn thử chứng minh bài toán chặt hơn như sau:

Bài 30: Cho các số$a,b,c \geq 0$ .CMR:
$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + abc + {b^3}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + abc + {c^3}}} + \dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + abc + {a^3}}} \geqslant \dfrac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$
Vì sao bất đẳng thức này lại chặt hơn ??? Các bạn tự chứng minh nhé zz


ps xusinst @: How old are you ??

ZZ

Bài 33 Cho $x,y$ thỏa mãn:
${x^2} + 2ax + 9 = 0$ với $a \geq 3$
${y^2} + 2by + 9 = 0$ với $b \geq 3$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$
Giải :
Ta có : $ A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2} \geq 0 $
Vậy $ min_A = 0 $ khi : $ x = y ; \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{y} \Rightarrow x = y \neq 0 $
Với $ x = y$, hai phương trình trên có thể đưa được về dạng :
$ x^2 + 2ax + 9 = 0 $
$ x^2 + 2bx + 9 = 0 $
Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có : $ ( x^2 + 2ax+ 9 ) - ( x^2 + 2bx + 9) = 0$
$ \Leftrightarrow 2ax - 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x( a - b ) = 0 $
Mặt khác : $ x \neq 0 $. Do đó a = b.
Vậy $ A = {\left( {x - y} \right)^2} + 3{\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} \right)^2}$ nhỏ nhất khi $ a = b \geq 3$
P/S : Không biết sao nữa ! Cho nhận xét đi ! À mà nhớ đánh số thứ tự với kìa GS.

Bài này mình mới sửa lại đề Bạn coi lại đi nhá
Bài này giải thế là hỏng rồi Vì khi thế $a$ và $b$ vào hai phương trính trên ta không tính được giá trị của $x$ và $y$

Ta cần chú ý rằng $x$ và $y$ trái dấu
Và ${A_{\min }} = 8\sqrt 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}};y = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{3}}}$

Tiếp tục nào
Bài 9: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn$a+b+c=2$. CMR:

$\dfrac{{bc}}{{{a^2} + 1}} + \dfrac{{ac}}{{{b^2} + 1}} + \dfrac{{ab}}{{{c^2} + 1}} \leqslant 1$

*Nhận xét : Bài này có khá nhiều cách giải rất trâu bò
Các bạn có thể tìm đc bao nhiêu cách giải cho bài này ???

Bài 2: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng $0$. CMR:

$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \geqslant 1$

Các bạn nhanh chóng giải bài này đi
Gợi ý : Chỉ sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ $(Cauchy)$

Đừng post bài nữa nhá để giải xong mấy bài trên rồi post tiếp nha

2) Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đ�ồng thời bằng $0$. CMR:

$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \geqslant 1$

Lần sau anh dark templar và anh h.vuong_pdl giải rõ ra nhá Không thì em xóa bài đấy
2 cách giải sơ cấp cho bài này như sau
Cách 1: Chứng minh $\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{(b + c)}^3}}}} \geqslant \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

$ \Leftrightarrow 2{a^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^2} \geqslant a{\left( {b + c} \right)^3}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) \geqslant {\left( {b + c} \right)^2} \Leftrightarrow {\text{8}}{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^3} \geqslant {\left( {b + c} \right)^6}$

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

${a^2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + {\left( {{b^2} + {c^2}} \right)^2} \geqslant 2\sqrt {{a^2}{{\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}^3}} \geqslant a{\left( {b + c} \right)^3}$

Vậy, phép chứng minh hoàn tất.

Cách 2: sử dụng bất đẳng thức AM-GM và viết lại bất đẳng thức như sau :



ps: đi học về post tiếp

Topic về bất đẳng thức

1) Lời nói đầu :
Bất đẳng thức là một chủ đề khá thú vị trên các diển đàn hiện nay với một số lượng bài viết khá lớn. Nhưng ở VMF, số bài viết còn chưa nhiều và còn quá loảng, chủ yếu tập trung ở forum toán cấp 2 thôi Mình lấp topic này mong các bạn nhiệt tình tham gia Qua topic này, mong rằng có thể cùng các bạn thảo luận và khám phá nhiều bất đẳng thức mới.

2) Quy định post bài :
+ Chỉ được post 2 bài 1 lần. Giải xong mới được post tiếp để tránh hiện tượng Spam và loãng topic Nếu bài khó quá thì để lại từ từ giải, chuyển qua bài khác.
+ Không Spam
+ Bài giải phải đầy đủ các bước ( nói tóm tắt cũng đc).
+ Dùng từ ngữ đúng theo ngữ pháp Tiếng Việt. Và phải dùng đúng latex.
+ Bài viết vi phạm các quy định trên thì sẽ bị xóa không thương tiếc


Mở mình xin mở đầu topic bằng 2 bài toán sau

Bài 1: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng $0$. CMR:

$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^2} + ac + {a^2}}}} \geqslant \dfrac{{\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c }}{{\sqrt 3 }}$

Bài 2: Cho các số thực không âm $a,b,c$ sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng $0$. CMR:

$\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {a + c} \right)}^3}}}} + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}} \geqslant 1$

• caybutbixanh, AnnieSally, chidungdijiyeon và 1 người khác yêu thích

Đề nghị các cao thủ giải bài này theo phương pháp của THCS thôi nhé
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $abc \geq 1 $
Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}+\dfrac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2} \geq 0 $
(IMO 2005)

Kĩ thuật giải bài này gần giống cách giải bài của anh Cường trong cuốn Cauchy-Schwarz
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$\sum {\dfrac{1}{{{x^5} + {y^2} + {z^2}}}} \geqslant \dfrac{3}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có :
$\left( {{x^5} + {y^2} + {z^2}} \right)\left( {yz + {y^2} + {z^2}} \right) \geqslant \left( {\sqrt {{x^5}yz} + {y^2} + {z^2}} \right) \geqslant \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)$
Vì vây, ta có :
$\sum {\dfrac{1}{{{x^5} + {y^2} + {z^2}}}} \leqslant \sum {\dfrac{{yz + {y^2} + {z^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} \leqslant \sum {\dfrac{{\dfrac{{{y^2} + {z^2}}}{2} + {y^2} + {z^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} = \dfrac{3}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}$
Vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh xong