wallunint

Đây là 2 bài đa thức hay, mong nhận đc nhiều lời giải

Bài 1: Cho $P\left( x \right) \in \mathbb{Z}\left[ x \right]$. Giả sử $m,n$ thỏa $P\left( m \right)P\left( n \right) = - {\left( {m - n} \right)^2}$. Chứng minh:
$$P\left( m \right) + P\left( n \right) = 0$$

Bài 2: Cho $p$ là nguyên tố lớn hơn 5. Với $m > n$ và $m,n \in \left\{ {1,2,...,p - 1} \right\}$. Tìm số các đa thức $P\left( x \right) = {x^p} + p{x^m} + p{x^n} + 1$ sao cho $P\left( x \right)$ ko thể phân tích thành tích 2 đa thức trong $\mathbb{Z}\left[ x \right]$


ps: còn 1 bài mình chưa làm đc nên chưa post

1 bài lượng giác khủng T.T
Mong tìm đc 1 lời giải sơ cấp cho bài toán này (ko xét hàm nhá)

Cho tam giác $ABC$ bất kì và hằng số $k \le \frac{8}{7}$. Chứng minh:
\[\frac{{3\sqrt 3 }}{{2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}} + 8k\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \ge 4 + k\]

Bài 1: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mản $a+b+c=3$. Chứng minh:

\[\frac{a}{2a+bc}+\frac{b}{2b+ca}+\frac{c}{2c+ab}\ge \frac{9}{10}\]

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh:

\[\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+d}}+\sqrt{\frac{2d}{d+a}}\le \frac{4(a+b+c+d)}{\sqrt{(a+c)(b+d)}}\]




Ps: bài 1 có cách giải khá đẹp

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

BTC yêu cầu MSS24 ra đề vào topic này.
Nhớ đọc kĩ chủ đề trước khi ra đề

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

b. Luật Loại trực tiếp: Luật chỉ áp dụng khi có $n >20$ toán thủ tham gia thi đấu.
- Sau mỗi trận, $k$ toán thủ có số điểm ít nhất sẽ bị loại. Trong trường hợp có nhiều toán thủ cùng điểm số, toán thủ nào có thời gian bỏ thi đấu dài nhất sẽ ưu tiên bị loại.
$$k=\frac{\left \{(n-10) - [(n-10) \mod 10] \right \}}{10}$$
- Toán thủ bị loại sẽ không đuợc đăng kí lại
- Khi Chỉ còn 20 toán thủ, Luật này ko còn hiệu lực

BTC lưu ý:
1) trận 16 có 33 toán thủ tham gia nên sau trận này, 02 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Cm:
\[\sqrt{\frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{a+1}}+\sqrt{\frac{{{\left( b+c \right)}^{3}}}{b+2}}+\sqrt{\frac{{{\left( c+a \right)}^{3}}}{c+3}}\ge 12\]

Bài 2: Cho $a,b,c\ge 0$ sao cho $ab+bc+ca\ne 0$. Cm:
\[ \frac{a^{2}+bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+ac}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}+ab}{a^{2}+b^{2}}\ge 2+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \]