Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 08:30
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

02-02-2020 - 09:57

$\boxed{\text{Bài toán 494}}$

 

CMR với mỗi số nguyên dương $n$ đều tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $k.5^n=\overline{a_n.a_{n-1}...a_2a_1}$ viết trong hệ thập phân thỏa $i$ và $a_i$ cùng tính chẵn lẻ với $i=\overline{1,n}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 495}}$

 

Có $n$ ngọn đèn $L_{0},L_{1},...,L_{n-1}(n>1)$ được đặt trên $1$ đường tròn.Ta dùng $L_{n+k}$ đẻ chỉ $L_{k}$.Ở mọi thời điểm,mỗi đèn có thể sáng hoặc bị tắt.Ban đầu tất cả đều sáng

Ta biểu thị các bước $s_0,s_1,...$ như sau :tại bước $s_i$ nếu $L_{i-1}$ đang tắt thì ta đổi chiều trạng thái của $L_i$ còn nếu $L_{i-1}$ đang sáng thì không làm gì cả

CMR

  • Tồn tại số nguyên dương $M(n)$ sao cho sau $M(n)$ bước thì tất cả đèn đều sáng
  • Nếu $n=2^k$ thì ta có thể chọn $M(n)=n^2-1$
  • Nếu $n=2^{k+1}$ ta có thể chọn $M(n)=n^2-n+1$

$\boxed{\text{Bài toán 496}}$

Cho dãy $(a_n)$ với $a_1=3,a_2=17;a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n$.Tìm $\lim \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}-3(-1)^{k}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 497}}$

Tìm $x,y \in N^{*}$ sao cho $y^x \mid x^y-1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 498}}$

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 499}}$

Gọi $F_n$ là số hạng thứ $n$ của dãy Fibonacci. Xét đa thức

$$P_n(x)=F_n^2x^n+F_{n+1}^2x^{n-1}+F_{n-2}^2x^{n-2}+...+F_1^2x+F_{n-1}^2$$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì đa thức $P(x)$ luôn bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 500}}$

Chứng minh rằng : Dãy số sau chứa vô hạn các số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau

$$t_{n}=\frac{1}{k!}n\left (  n+1\right )\left ( n+k-1 \right )$$

với mọi $n,k\in \mathbb{Z^{+}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 501}}$

Giả sử ta có các số thực dương $x_1,x_2,...,x_k$ thỏa mãn điều kiện:

$x_1^2+x_2^2+...+x_k^2<\frac{x_1+x_2+...+x_k}{2}$

$x_1+x_2+...+x_k<\frac{x_1^3+x_2^3+...+x_k^3}{2}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ và với giá trị $k$ đó, hãy chỉ ra một bộ số $(x_1,x_2,...,x_k)$ thỏa mãn điều kiện trên.


Trong chủ đề: Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

17-02-2019 - 10:24

$\boxed{\text{Bài toán 473}}$

Chứng minh rằng tồn tại dãy số $(a_{n})$ thỏa mãn:

$i) \exists c_{1},c_{2} \in \mathbb{R}: c_{1} \leq a_{n} \leq c_{2} \forall n \in \mathbb{N}^{*};$
$ii) \forall m,n \in \mathbb{N}^{*},m \neq n, |a_{m}-a_{n}| \geq \frac{1}{m-n}.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 474}}$

Chứng minh rằng:

$$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 475}}$

Cho dãy $S_n$ như sau

$S_1=a_1+a_2+..., S_2=a_1 a_2+.... ,...., S_n=a_1 a_2 ... a_n$ Với $a_1 ,a_2 ....\in [0;1]$

Chứng minh  bất đẳng thức sau :

$\frac{1}{1+S_1}+\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{2i+2}.S_{2i+1}\leq 1+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i+1}.S_{2i}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 476}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $A,B,C.M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng: $XM,YN,ZP$ đồng quy.

 

$\boxed{\text{Bài toán 477}}$

Cho $\sum_{i=1}^{1990}|x_i-x_{i+1}|=1991.$

Đặt $s_n=\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=|s_1-s_2|+|s_2-s_3|+...+|s_{1990}-s_{1991}|$

 

$\boxed{\text{Bài toán 478}}$

Tất cả các số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự :  $p_{1} =2$,$p_{2} =3$,$p_{3}=5$,.....

Tìm tất cả các cặp số nguyên $a,b$ với $ a-b\geq 2$ mà $p_{a}-p_{b}\vdots 2(a-b)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 479}}$

Bài toán :

Cho $n \vdots 2, \, n\geq 4, \, A \subset \{1;2;,,,,;n\}.$

Xét các tổng $\sum^{3}_{i=1} a_i x_i$ với :

  • $x_i \in A ,\, i=\overline{1;3}$
  • $a_i\in \{-1;0;1\}$
  • $\sum^{3}_{i=1} a_i \neq 0$
  • $x_i=x_j$ thì $a_i.a_j\neq -1$

Tập $A$ được gọi là "tốt" nếu mọi tổng như vậy $\not \vdots n$.

Tìm max $|A|$ sao cho $A$ "tốt"

 

$\boxed{\text{Bài toán 480}}$

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 481}}$

Cho $n \vdots 2, \, n\geq 4, \, A \subset \{1;2;,,,,;n\}.$

Xét các tổng $\sum^{3}_{i=1} a_i x_i$ với :

  • $x_i \in A ,\, i=\overline{1;3}$
  • $a_i\in \{-1;0;1\}$
  • $\sum^{3}_{i=1} a_i \neq 0$
  • $x_i=x_j$ thì $a_i.a_j\neq -1$

Tập $A$ được gọi là "tốt" nếu mọi tổng như vậy $\not \vdots n$.

Tìm max $|A|$ sao cho $A$ "tốt"

 

$\boxed{\text{Bài toán 482}}$

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

 

$\boxed{\text{Bài toán 483}}$

Trong một trận đấu bóng đá có $2n+1$ đội tham gia và đá theo thể thức vòng tròn một lượt . Một tập 3 đội được gọi là tốt nếu tập đó tuân theo điều kiện : A thắng B , B thắng C , C thắng A . Tìm số lớn nhất các tập tốt trong trận bóng đá đó 

 

$\boxed{\text{Bài toán 484}}$

Tìm hàm $f:R\to R$ thỏa mãn: $f(x)=\max\limits_{y\in R}\{ xy-f(y)\},\forall x\in R$

 

$\boxed{\text{Bài toán 485}}$

Cho a,b,c là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$$c[ \frac{c}{ab}]- [\frac{c}{a} ][\frac{c}{b} ] \leq c.\min\{ \frac{1}{a} ;\frac{1}{b}\}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 486}}$

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$

 

$\boxed{\text{Bài toán 487}}$

Giả sử trong tập hữu hạn $X$ chọn được $50$ tập con $A_1,A_2,A_3,...,A_{50},$ mà mỗi tập con này đều chứa quá nửa số phần tử của tập $X.$ Tìm số tự nhiên $k$ bé nhất sao cho tồn tại tập con $B$ của $X$ sao cho $B$ có $k$ phần tử và $B\ \cap\ A_i\geq 1\ (1\leq i\leq50).$

 

$\boxed{\text{Bài toán 488}}$

Cho $a,b>1$ là các số nguyên dương.Dãy $(x_n)_{n=0}^{+\infty}$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x_0=0,x_1=1\\x_{2n}=ax_{2n-1}-x_{2n-2} \\x_{2n+1}=bx_{2n}-x_{2n-1} \end{matrix}\right.\ \ (n\ge 1)$

$\text{CMR}$ $\forall m,n\in \mathbb{N}^*$ thì $x_mx_{m-1}\mid x_{n+m}.x_{n+m-1}...x_{n+1}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 489}}$

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ với mọi $r\in (0;1)$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 490}}$

Cho $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_j$ là các điểm nằm trên mặt cầu bán kính $1$. Chứng minh rằng $$\max\left (\min_{1\leq i,j\leq 5}A_{i,j}\leq \sqrt{2}  \right )$$

Tìm tất cả các vị trí của $A_i \quad (i=1,2,3,4,5)$ để dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 491}}$

Cho dãy số thực $u_1,u_2,...u_n$ chứng minh tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $$\left | \sum\limits_{i=1}^ku_i-\sum\limits_{i={k+1}}^{n}u_i \right |\le \max\limits_{1\le i\le n}|u_i|$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 492}}$

Cho $f$ là hàm đa thức xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện

$f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)$ , $\forall n \in \mathbb{R}$ thì dãy $\left \{ f(n) \right \}_n$ là một cấp số cộng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 493}}$

Trong một hình vuông cạnh $100$ đặt $n$ đường tròn bán kính $1$ biết rằng bất kì một đoạn thẳng độ dài $10$ nào nằm hoàn toàn trong hình vuông cũng cắt ít nhất một đường tròn đã cho. Tìm GTNN của $n$.


Trong chủ đề: Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

30-09-2018 - 23:33

$\boxed{\text{Bài toán 462}}$

Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn với mọi số nguyên dương $n$, $P(n)$ là tổng của hai số chính phương. Chứng minh tồn tại hai đa thức với hệ số hữu tỉ $P_{1}(x)$ và $P_{2}(x)$ sao cho $$P(x)=P_{1}(x)^{2}+P_{2}(x)^{2}$$

$\boxed{\text{Bài toán 463}}$

 

Cho dãy $a_1,a_2,...,a_{2006}$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số nguyên dương $a$ có tính chất

$a-2006=\sum\limits_{i=1}^{2006}b_ia_i$ với $b_i$ là ước của $a$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 464}}$

 

Cho $k,n \geqslant 1$ là các số tự nhiên và $A$ là tập hợp gồm $(k-1)n+1$ số nguyên dương, mỗi số này đều không vượt quá $kn$. Chứng minh rằng có ít nhất một phần tử của $A$ có thể biểu diễn như tổng của $k$ phần từ trong $A$. ($k$ phần tử này không nhất thiết phải khác nhau)

 

$\boxed{\text{Bài toán 465}}$

Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định, $A$ thay đổi trên $(O)$. $E, F$ thay đổi trên $AC, AB$ sao cho tứ giác $EFBC$ nội tiếp. Kí hiệu $(w)$ chỉ đường tròn tâm $B$ bán kính $BE$.$(w)$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CF$ tại hai điểm $M, N$. $(w)$ cắt $(O)$ tại hai điểm $U$, $V$. $UV$ cắt $ MN$ tại $I$. Chứng minh rằng $AI$ luôn đi qua điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 466}}$

Có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa 

$x_{1}=x_{2014}=1;x_{i}\in (1,2,3) x_{i}\neq x_{i+1}(i=\bar{1,2013})$

 

$\boxed{\text{Bài toán 467}}$

Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 468}}$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả mãn :

$$f(x^2+yf(x))+f(y^2+xf(y))=(x+f(y))(y+f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 469}}$

Biện luận theo $n$ ($n$ nguyên dương) và $a$ (a là số thực) về số nghiệm của phương trình: $x^{n}-[x+n]=a$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 470}}$

Trong hình chữ nhật có kích thước $1\times 2$ lấy $6n^2+1$ điểm ($n\in \mathbb{N}^*$)

Chứng minh rằng tồn tại 1 đường tròn có bán kính là $\frac{1}{n}$ chứa không ít hơn 4 trong số các điểm đã cho.

 

$\boxed{\text{Bài toán 471}}$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thoả mãn nếu $a,b$ là các số tự nhiên thoả mãn $a+b$ chính phương thì $P(a)+P(b)$ cũng là số chính phương.

 

$\boxed{\text{Bài toán 472}}$

Với mỗi tập hợp $X$ các số nguyên dương, ta kí hiệu $S_X$ thay cho tổng các phần tử của $X$. Một tập $A$ các số nguyên dương được gọi là tập "nguyên tố" nếu với mọi tập con thực sự $B$ khác rỗng của $A$ thì

$gcd\left( S_A,S_B\right) =1$

Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\left\{ (a+b)^2,(a+2b)^2,\ldots ,(a+nb)^2\right\}$ là một tập "nguyên tố".

 

$\boxed{\text{Bài toán 473}}$

Cho tam giác ABC có F,L là 2 điểm thuộc đoạn AC sao cho $AF=LC< \frac{AC}{2}$ .Giả sử $AB^2+BC^2=AL^2+LC^2$

Tính số đo góc $\widehat{FBL}$


Trong chủ đề: Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

14-04-2018 - 20:39

$\boxed{\text{Bài toán 442}}$

Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và

$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 443}}$

Cho tam giác $ABC$.Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$.Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B',C'$. Gọi $A", B",C"$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP,PM,MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A",B",C"$ thứ tự song song với $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 444}}$

 

Ch0 $p$ là số nguyên tố lẻ và dãy $\{a_n\}_{(n\geq 0)}$ xác định bởi : $a_0=0,a_1=1,a_2=2,...,a_{p-2}=p-2$. $\forall n\geq p-1$, $a_n$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n-1}$ sao cho trong dãy $\{a_n\}$ không có dãy con $p$ phần tử nào tạo thành cấp số cộng.

Chứng minh rằng $\forall \,\, n, \, a_n$ nhân được bằng cách viết $n$ dưới dạng cơ số $p-1$ nhưng lại đọc trong cơ số $p$

 

$\boxed{\text{Bài toán 445}}$

Cho $P_1,P_2,...,P_n$ là $n$ điểm trên mặt phẳng.

$A=\, \{M\, | \, MP_1.MP_2....MP_n\leq 1\}$

Chứng minh có thể phủ $A$ bởi $n$ hình tròn có tổng bán kính $\leq 6$

 

$\boxed{\text{Bài toán 446}}$

Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_{n}$

 

 $\boxed{\text{Bài toán 447}}$

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$

 

 $\boxed{\text{Bài toán 448}}$

Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thoả mãn :  $ n^2 \mid 3^{n} + 1 $

 

 $\boxed{\text{Bài toán 449}}$

Chứng minh rằng dãy ${u_n}$ tuần hoàn (cộng tính) chu kì 2 khi và chỉ khi dãy có dạng
${u_n}=\frac{1}{2}(a+b+(a-b)(-1)^{n+1})$,a,b là các số thực

 

 $\boxed{\text{Bài toán 450}}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.

 

 $\boxed{\text{Bài toán 451}}$

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Trong đó a là số thực cho trước.

 

$\boxed{\text{Bài toán 452}}$

Chứng minh rằng không tồn tại $n\in \mathbb{N},10^{3n+1}=a^{3}+b^{3}\;\;(a,b\epsilon \mathbb{N}^*)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 453}}$

Cho số nguyên $n > 1$
CMR: $$\sqrt{n^2-1} +\sqrt{n^2-2^2} +... +\sqrt{n^2-(n-1)^2} < \pi .\frac{n^2}{4}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 454}}$

Gọi n là 1 số nguyên dương và : $ x_{1} ,...,x_{n}, y_{1} ,..., y_{n} $ là các số thực dương thỏa mãn tính chất sau :
Với mỗi tập con khác rỗng $S \subset {1,2,...,n} $ thì tồn tại một tập con khác không rỗng $T \subset {1,2,...,n} $ và :
$ \dfrac{ \sum _{i \in T} x_{i} }{ \sum _{i \in T} y_{i} }=\dfrac{ \sum _{i \in S} y_{i} }{ \sum _{i \in S} x_{i} } $.
Chứng minh rằng: Với mọi $i=1,2,...,n$ thì tồn tại $j$ sao cho :
$ x_{j} = y_{i} $ và : $ y_{j} = x_{i}. $

 

$\boxed{\text{Bài toán 455}}$

Xét bảng ô vuông $4\times 4 $. Ngưòi ta điền vào mỗi ô của bảng một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng $0$. Hỏi có bao nhiêu cách ?

 

$\boxed{\text{Bài toán 456}}$

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$

 

$\boxed{\text{Bài toán 457}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(\omega )$. $I$ là tâm nội tiếp $\Delta ABC$. $AI,BI,CI$ cắt $(\omega )$ ở $A',B',C'$. M thuộc cạnh $AB$. Đường qua M song song $AI$ cắt đường qua B vuông góc $BI$ ở $A_{1}$. Đường qua M song song $BI$ cắt đường qua A vuông góc $AI$ ở $B_{1}$.

CMR: $A'A_{1};B'B_{1};C'M$ đồng quy.

 

$\boxed{\text{Bài toán 458}}$

Tìm tất cả các hàm $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 459}}$

Cho các số nguyên tố $ p ; q $ và số nguyên dương $r$ thỏa mãn các điều kiện :

$ p > r^{q-1} \ ; \ q| (p-1) \ ; \ q \not | r$
Giả sử tồn tại $r$ số nguyên $ a_1 ; a_2 ; ...; a_r$ sao cho : $ \sum_{i=1}^{r} a^{\dfrac{p-1}{q}}_i \ \equiv 0 \ \ ( mod \ \ p)$
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$

 

$\boxed{\text{Bài toán 460}}$

Cho đa thức $P(x)=x^{3}-6x+9$ và $P_{n}(x)=P(P(...(P(x)))...)$ (n dấu ngoặc)
Tìm số nghiệm của $P(x)$ và $P_{n}(x)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 461}}$

Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. 

Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$  để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j}  \right |\leq 2$ 


Trong chủ đề: Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

16-11-2017 - 17:10

$\boxed{\text{Bài toán 430}}$

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ ta đều có $P(n)$ là ước của $2^n-1$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 431}}$  @};- 

Cho trước số nguyên dương $n $ . Xét tập hợp $ \mathcal{M} \ = \ \{ 1 ; 2 ; ....; n^2 + n +1 \} $ .

Gọi $ \mathcal{F}$ là $ 1$ tập hợp chứa 1 số tập con $ \mathcal{X} $ của $ \mathcal{M} $ ,

, nhửng tập con này thỏa mãn $ | \mathcal{X} | \ \ > n^2$ . Biết rằng với mỗi số nguyên dương $x \ \in \ \mathcal{M} $ , có nhiều hơn $n^2 $ tập con $ \mathcal{X}_i $ thỏa mãn : $x \ \in \ \mathcal{X}_i $

Chứng minh rằng tồn tại $ 2$ tập hợp$ \mathcal{A} ; \mathcal{B} \ \in \ \mathcal{F} $ sao cho :

$ \mathcal{A} \bigcup \mathcal{B} = \mathcal{M} $

 

$\boxed{\text{Bài toán 432}}$  @};- 

Cho vài (hoặc tất cả) các số $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ bằng +1 và các số còn lại của chúng bằng -1.Chứng tỏ rằng :

$$2\sin (a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^{2}}+...+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-1}}).45=a_{1}\sqrt{2+a_{2}\sqrt{2+a_{3}\sqrt{2+...+a_{n}{\sqrt{2}}}}}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 433}}$  @};- 

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và $x$ là số thực dương. Chứng minh rằng

$$\frac{a^x-b^x}{a+b}+\frac{b^x-c^x}{b+c}+\frac{c^x-a^x}{c+a} \geq 0$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 434}}$  @};- 

Gọi $x_i$ là nghiệm của bất phương trình :

$x^2 - 2a_ix + (a_i - 1)^2 \le 0 $ $(i = \bar{1;n} )$ và $\dfrac{1}{2} \le a_i\le 5 , i = 1, 2, ..., n$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{2n}} \le 1 + \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 435}}$

Cho a,b,m,n nguyên dương (a,b)=1, m>n sao cho $a^{m}-b^{m}$ và $a^{n}-b^{n}$ có cùng tập ước nguyên tố.CMR:
$m\vdots n$  và  $\frac{m}{n}= 2^{s}$ với s tự nhiên.
 
 
Cho tam giác ABC . M bất kì trong tam giác . CMR :

$$a.MB.MC+b.MC.MA+c.MA.MB \geq abc $$

 

$\boxed{\text{Bài toán 437}}$

 Cho dãy số nguyên dương $\{a_n \}_{1}^{\infty}$ thỏa $a_{n+2}=\left\lfloor \frac{2a_n}{a_{n+1}} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_n} \right\rfloor$.

Chứng minh tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m=4$ và $a_{m+1} \in \{3;4 \}$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 438}}$

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đa thức $\sum_{k=0}^{n}2^{k(n-k)}x^k$ có đúng $n$ nghiệm thực.

 

$\boxed{\text{Bài toán 439}}$

Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$ (n = 1, 2, ...) được xác định thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

i) $x_{n}=1$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số lẻ

ii) $x_{n}=0$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số chẵn

Trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên lớn nhất không vượt quá x

Tính tổng sau $S=x_{1975}+x_{1976}+...+x_{2015}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 440}}$

Cho đa thức $P(x)=a_0 +a_1x+...+a_nx^n$ có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p$ mà $p>n$ thì đa thức

$G(x)=a_0 +p.a_1x+p(p-1).a_2x^2+...+p(p-1)...(p-n+1)a_nx^n$ cũng có $n$ nghiệm thực phân biệt.

 

$\boxed{\text{Bài toán 441}}$

Cho $(O)$ và hệ thống các điểm $A_1,A_2,...,A_n$. S là một điểm trên $(O)$ khác $A_i (i=1,2,...,n) $Xét phép quay S biến $A_i \mapsto B_i$. chứng minh rằng các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy