Đến nội dung


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 12:47
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

18-07-2017 - 17:42

$\boxed{\text{Bài toán 412}}$

Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$

Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002  \end{array} \right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 413}}$

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 414}}$

Gọi tổng của một tập hợp là tổng các phần tử của tập hợp đó. Gọi S là tập các số nguyên dương không vượt quá 15. Giả sử rằng không có 2 tập con nào của S có tổng bằng nhau. Tìm GTLN của tổng S?

 

$\boxed{\text{Bài toán 415}}$

Cho dãy số thực $x_{n}$ được xác định bởi: $x_{0}=1,x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}}\forall n\epsilon N$

Ta xác định dãy $y_{n}$ bởi công thức $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i},\forall n\epsilon N^{*}$. Tìm công thức tổng quát của dãy $y_{n}$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 416}}$

Cho đa giác lồi $A_{1}A_{2}...A_{n}$, O là tâm tỉ cự hệ điểm $(A_{1};A_{2};...;A_{n})$ với hệ số (1;1;...;1). Đặt $d=OA_{1}+OA_{2}+...+OA_{n}$; p là chu vi đa giác.

CMR: 

+) Nếu n chẵn thì $\frac{4}{n}d\geq p$

+) Nếu n lẻ thì $p\geq \frac{4nd}{n-1}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 417}}$

Cho đường tròn (O;13) và hai dây cung AB, CD cố định ko cắt nhau. Xét điểm I trên đoạn CD. Cho AI, BI cắt (O) tại E, F. AF, BE cắt CD tại M, N. BIết ID = 10, IN = 6 và $3CM^{2}+5CM=MI^{2}$. Tính độ dài dây CD.


Trong chủ đề: Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

28-05-2017 - 23:44

Khảo sát sự hội tụ của dãy số $x_n$ với
$$\begin{cases}x_0 \geq 0 \\ x_{n+1}=\frac{6}{2+x_n^2} \end{cases} \ \ \ n \geq 0$$
 
Cho $P(x)\in \mathbb{Z}[x], \text{deg}P\geq 2$.

CMR: Tồn tại $m\in \mathbb{Z^+}$ để $P(m!)$ là hợp số.

 

$\boxed{\text{Bài toán 407}}$

Cho hai tam giác $ABC$ ($AB=AC$) và $DEF$ ($DE=DF$) trong đó $B$, $C$, $E$, $F$ thẳng hàng, $BC>EF$. Hãy vẽ một đường thẳng song song với $BC$ sao cho hai đoạn thẳng bị hai cạnh bên của mỗi tam giác cắt ra là bằng nhau.

 

$\boxed{\text{Bài toán 408}}$

CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 409}}$

Xét khai triển hàm số sau:

$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.

$\boxed{\text{Bài toán 410}}$

Chứng minh: $[kx]+[x+\frac{k}{k+1}]= [kx+x]$ ( $k\epsilon \mathbb{N}$)

 

$\boxed{\text{Bài toán 411}}$

Một tỷ phú có $100$ chiếc xe hơi đắt tiền.Cứ mỗi ngày anh ta chọn ngẫu nhiên một chiếc để sử dụng.

Tính xác suất để trong $100$ ngày liên tiếp có ít nhất $30$ chiếc xe được chọn từ $2$ lần trở lên ?


Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

25-11-2016 - 20:07

$\boxed{\text{Bài toán 386}}$

Gọi $S$ là một tập con bất kỳ chứa $k$ phần tử của tập $\{1,2,3,...,24\}.$ Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $S$ luôn chứa ít nhất 2 tập con sao cho mỗi tập con đó chứa 2 phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập con bằng nhau.

 

$\boxed{\text{Bài toán 387}}$

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Điểm $D$ nằm ở miền trong tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) $CD = d$

2) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $CD$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$ thì $A', B, C$ thẳng hàng.

 

Hãy tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$

 

$\boxed{\text{Bài toán 388}}$

 

Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 389}}$

 

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Một đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng AB, CD lần lượt tại N, M. (I) cắt (O) tại 2 điểm H và S. AC, BD cắt MN lần lượt tại Q, P. Chứng minh: P, Q, H, S cùng thuộc 1 đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với AC và BD.

 

$\boxed{\text{Bài toán 390}}$

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

 

$\boxed{\text{Bài toán 391}}$

Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0,1,2,..,9. Lấy ngẫu nhiên bốn thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên chẵn. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 392}}$

Chứng minh PT sau có ít nhất một nghiệm:

$$ \sqrt{5+4\sqrt{9-2\sqrt{x}}}=2\sqrt{13}(13-x)$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 393}}$

Một "bàn cờ" kích thước $1\times (m+n)$ ô. Có $n$ quân tốt đứng ở $n$ ô đầu tiên của bàn cờ. Cần phải tịnh tiến $n$ quân tốt đến $n$ ô cuối cùng (mỗi quân tiến $m$ bước). Mỗi bước đi chỉ được phép di chuyển 1 quân tốt bất kỳ tiến 1 ô về phía cuối bàn cờ nhưng không được "dẫm đạp" lên quân tốt khác. Gọi $S(n,m)$ là số cách di chuyển $n$ quân tốt tịnh tiến $m$ bước.

Chứng minh rằng: $$S(n,m)=\frac{1!2!...(n-1)!}{m!(m+1)!...(m+n-1)!}\times(mn)!$$

 

Ví dụ: $S(2,3)=\dfrac{1!}{3!4!}\times (2.3)!=5$

 

$\boxed{\text{Bài toán 394}}$

Cho $a,b >0$ thỏa mãn $a+b=2$ và $n \in \mathbb{N}$ Chứng minh:

$$(ab)^{\frac{n(n+1)}{2}}.(a^n+b^n)\le 2$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 394}}$

-Lấy $Q[\sqrt{5}]$ là tập các số biểu diễn được dưới dạng: $x+y\sqrt{5}$ ( Với $x,y$ là các số hữu tỉ )
-Định 2 số $u,v\in Q[\sqrt{5}]$ sao cho: $u^4+v^4=2+\sqrt{5}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 395}}$

Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

$$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 396}}$

Cho dãy Fibonaci $F_n$
đặt $P(x)=\left\{(m,n)|1 \leq m \leq n \leq x, (F_m,F_n)=1 \right \}$
Tính $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{x^2}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 397}}$

Chứng minh dãy số sau đây có giới hạn và tìm giới hạn đó:

$\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 2011 \\ u_n = \dfrac{1}{2}\left( {u_{n - 1} + \dfrac{{216}}{{u_{n - 1}^2 }}} \right),\forall n \ge 1 \\ \end{array} \right.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 398}}$

Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.

 

$\boxed{\text{Bài toán 399}}$

Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn: 

  $a^{n}(b-c)+b^{n}(c-a)+c^{n}(a-b)$ chia hết cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca$.

         với $a,b,c$ là các số thực bất kì.

 

$\boxed{\text{Bài toán 400}}$

Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^{o}$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất


Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

10-10-2016 - 21:59

$\boxed{\text{Bài toán 377}}$

Gỉa sử rằng trên mặt phẳng toạ độ cho đường cong là đồ thị của hàm số đa thức: $P(x)=x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s,P\in \mathbb{R}[x]$.

Một đường thẳng trên mặt phẳng ấy gọi là nằm ngang nếu nó song song với trục hoành và cắt đường cong tại 4 điểm A, B, C, D (tính từ trái sang phải).Ngoài ra nếu độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AD có thể lấy làm độ dài các cạnh của một tam giác nào đó, thì đường thẳng như vậy còn được gọi là "đường tam giác". Chứng minh rằng chỉ có thể xảy ra trường hợp hoặc tất cả các đường thẳng nằm ngang là "đường tam giác", hoặc tất cả các đường thẳng ấy ko là "đường tam giác".

 

$\boxed{\text{Bài toán 378}}$

Cho tam giác $ABC$,$P$ là một điểm trong tam giác.Gọi $E,F$ là giao điểm  của $PB,PC$ với $AC,AB$.Đường thẳng $AP$ cắt $(ABC)$ tại $D$,gọi $L$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi,$DL$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 379}}$

Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ là ước của $a^{3}+b^{3}$ và $a-b$ là số nguyên tố. Chứng minh: $a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 380}}$

Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thỏa mãn $5$ điều kiện sau đây:

$(1) f(1)=1;$

$(2)f(-1)=-1;$

$(3)f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$

$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$

$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$

 

$\boxed{\text{Bài toán 381}}$

 

Cho $n \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:

$$n!<n^{n+\dfrac{1}{2}}.e^{1-n}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 382}}$

Một điểm được gọi là nguyên trên mặt phẳng tọa độ Oxy nếu cả hoành độ và tung độ nó đều là những số nguyên
Xét phát biểu : Một điểm nguyên $A$ được gọi là có thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ khi và chỉ khi trên đoạn $OA$ không chứa bất kì 1 điểm nguyên nào khác 
Chứng minh rằng . Với $n \in N^*$ thì ta có thể dựng được 1 hình vuông có kích thước $n*n$ sao cho các điểm nguyên trên biên và cả trong hình vuông đều không thể nào nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$

 

$\boxed{\text{Bài toán 383}}$

 

Cho $k$ là số nguyên dương chẵn. $N$ là tích của $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,...,p_k$.  $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho $a \leq b \leq N$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là hai tập thỏa mãn:$ S_1=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố chẵn $\}$, $ S_2=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố lẻ $\}$. Chứng minh rằng: $\left | S_1 \right |-\left | S_2 \right |\leq C_{k}^{\frac{k}{2}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 384}}$

 

Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1};k \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 385}}$

Cho dãy số thực vô hạn $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ thỏa mãn :
Dãy số $ a_1 + 2a_2 ; a_2 + 2a_3 ; .....; a_n + 2a_{n+1} ;....$ là dãy hội tụ
Chứng minh rằng dãy $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ cũng hội tụ


Trong chủ đề: Thăm dò ý kiến về việc thi trắc nghiệm môn toán

09-09-2016 - 12:27

:)) Sắp tới chắc thầy cô kéo nhau mở lớp dạy thêm toán Casio.