Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 01:58
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

25-11-2016 - 20:07

$\boxed{\text{Bài toán 386}}$

Gọi $S$ là một tập con bất kỳ chứa $k$ phần tử của tập $\{1,2,3,...,24\}.$ Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $S$ luôn chứa ít nhất 2 tập con sao cho mỗi tập con đó chứa 2 phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập con bằng nhau.

 

$\boxed{\text{Bài toán 387}}$

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Điểm $D$ nằm ở miền trong tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) $CD = d$

2) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $CD$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$ thì $A', B, C$ thẳng hàng.

 

Hãy tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$

 

$\boxed{\text{Bài toán 388}}$

 

Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 389}}$

 

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Một đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng AB, CD lần lượt tại N, M. (I) cắt (O) tại 2 điểm H và S. AC, BD cắt MN lần lượt tại Q, P. Chứng minh: P, Q, H, S cùng thuộc 1 đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với AC và BD.

 

$\boxed{\text{Bài toán 390}}$

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

 

$\boxed{\text{Bài toán 391}}$

Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0,1,2,..,9. Lấy ngẫu nhiên bốn thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên chẵn. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 392}}$

Chứng minh PT sau có ít nhất một nghiệm:

$$ \sqrt{5+4\sqrt{9-2\sqrt{x}}}=2\sqrt{13}(13-x)$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 393}}$

Một "bàn cờ" kích thước $1\times (m+n)$ ô. Có $n$ quân tốt đứng ở $n$ ô đầu tiên của bàn cờ. Cần phải tịnh tiến $n$ quân tốt đến $n$ ô cuối cùng (mỗi quân tiến $m$ bước). Mỗi bước đi chỉ được phép di chuyển 1 quân tốt bất kỳ tiến 1 ô về phía cuối bàn cờ nhưng không được "dẫm đạp" lên quân tốt khác. Gọi $S(n,m)$ là số cách di chuyển $n$ quân tốt tịnh tiến $m$ bước.

Chứng minh rằng: $$S(n,m)=\frac{1!2!...(n-1)!}{m!(m+1)!...(m+n-1)!}\times(mn)!$$

 

Ví dụ: $S(2,3)=\dfrac{1!}{3!4!}\times (2.3)!=5$

 

$\boxed{\text{Bài toán 394}}$

Cho $a,b >0$ thỏa mãn $a+b=2$ và $n \in \mathbb{N}$ Chứng minh:

$$(ab)^{\frac{n(n+1)}{2}}.(a^n+b^n)\le 2$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 394}}$

-Lấy $Q[\sqrt{5}]$ là tập các số biểu diễn được dưới dạng: $x+y\sqrt{5}$ ( Với $x,y$ là các số hữu tỉ )
-Định 2 số $u,v\in Q[\sqrt{5}]$ sao cho: $u^4+v^4=2+\sqrt{5}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 395}}$

Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

$$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$


Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

10-10-2016 - 21:59

$\boxed{\text{Bài toán 377}}$

Gỉa sử rằng trên mặt phẳng toạ độ cho đường cong là đồ thị của hàm số đa thức: $P(x)=x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s,P\in \mathbb{R}[x]$.

Một đường thẳng trên mặt phẳng ấy gọi là nằm ngang nếu nó song song với trục hoành và cắt đường cong tại 4 điểm A, B, C, D (tính từ trái sang phải).Ngoài ra nếu độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AD có thể lấy làm độ dài các cạnh của một tam giác nào đó, thì đường thẳng như vậy còn được gọi là "đường tam giác". Chứng minh rằng chỉ có thể xảy ra trường hợp hoặc tất cả các đường thẳng nằm ngang là "đường tam giác", hoặc tất cả các đường thẳng ấy ko là "đường tam giác".

 

$\boxed{\text{Bài toán 378}}$

Cho tam giác $ABC$,$P$ là một điểm trong tam giác.Gọi $E,F$ là giao điểm  của $PB,PC$ với $AC,AB$.Đường thẳng $AP$ cắt $(ABC)$ tại $D$,gọi $L$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi,$DL$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 379}}$

Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ là ước của $a^{3}+b^{3}$ và $a-b$ là số nguyên tố. Chứng minh: $a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 380}}$

Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thỏa mãn $5$ điều kiện sau đây:

$(1) f(1)=1;$

$(2)f(-1)=-1;$

$(3)f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$

$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$

$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$

 

$\boxed{\text{Bài toán 381}}$

 

Cho $n \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:

$$n!<n^{n+\dfrac{1}{2}}.e^{1-n}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 382}}$

Một điểm được gọi là nguyên trên mặt phẳng tọa độ Oxy nếu cả hoành độ và tung độ nó đều là những số nguyên
Xét phát biểu : Một điểm nguyên $A$ được gọi là có thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ khi và chỉ khi trên đoạn $OA$ không chứa bất kì 1 điểm nguyên nào khác 
Chứng minh rằng . Với $n \in N^*$ thì ta có thể dựng được 1 hình vuông có kích thước $n*n$ sao cho các điểm nguyên trên biên và cả trong hình vuông đều không thể nào nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$

 

$\boxed{\text{Bài toán 383}}$

 

Cho $k$ là số nguyên dương chẵn. $N$ là tích của $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,...,p_k$.  $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho $a \leq b \leq N$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là hai tập thỏa mãn:$ S_1=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố chẵn $\}$, $ S_2=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố lẻ $\}$. Chứng minh rằng: $\left | S_1 \right |-\left | S_2 \right |\leq C_{k}^{\frac{k}{2}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 384}}$

 

Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1};k \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 385}}$

Cho dãy số thực vô hạn $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ thỏa mãn :
Dãy số $ a_1 + 2a_2 ; a_2 + 2a_3 ; .....; a_n + 2a_{n+1} ;....$ là dãy hội tụ
Chứng minh rằng dãy $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ cũng hội tụ


Trong chủ đề: Thăm dò ý kiến về việc thi trắc nghiệm môn toán

09-09-2016 - 12:27

:)) Sắp tới chắc thầy cô kéo nhau mở lớp dạy thêm toán Casio.


Trong chủ đề: Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình:

28-08-2016 - 10:22

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình: 

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

Spoiler

 

Đặt $y_i=x_i-1;\forall i=\overline{1,5}$. Từ giả thiết suy ra $0\le y_i\le 5$
Ta có hệ
$$(I) \; \left\{\begin{matrix}y_1+y_2+...+y_5=20\;\;\;\; (1)\\ 0\le y_i\le 5\; ; \forall i=\overline{1,5}\end{matrix}\right.$$
 
Gọi |X| là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) ta có $|X|=C_{24}^4$.
Gọi $|A|,|B|,|C|,|D|,|E|$ lần lượt là tập tất cả các nghiệm của 5 hệ
$$\left\{\begin{matrix}y_1+y_2+...+y_5=20\\ y_i\ge 6\; ;\forall i\in \{1,2,3,4,5\}\end{matrix}\right.$$
Bằng cách đặt $k_i=y_i-6$ và áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta dễ dàng tính được 
$|A|=|B|=|C|=|D|=|E|=0$ (phương trình này vô nghiệm :)) thấy lạ lạ ...)
 
$$|A\cap B| = |A\cap C| = |A\cap D| = |A\cap E| = |B\cap C| = |B\cap D| = |B\cap E| = |C\cap D| = |C\cap E| = |D\cap E| =0$$
$$|A\cap B\cap C| = |A\cap B\cap  D| = |A\cap B \cap E| = |A\cap C\cap D| = |A\cap C\cap E| = |A\cap D\cap E| = |B\cap C\cap D| =0$$
$|B\cap C\cap E| + |B\cap D\cap E| + |C\cap D\cap E| =0$
$$|A\cap B\cap C\cap D| = |A\cap B\cap C\cap E| = |A\cap B\cap D\cap E| = |A\cap C\cap D\cap E| = |B\cap C\cap D\cap E| =0$$
$$ |A\cap B\cap C\cap D\cap E| =0$$
 
Theo nguyên lý bù trừ ta có số nghiệm hệ (I) là
$$X-(|A| + |B| + |C| + |D| + |E| - |A\cap B| - |A\cap C| - |A\cap D| - |A\cap E| - |B\cap C| - |B\cap D| - |B\cap E| - |C\cap D| - |C\cap E| - |D\cap E| + |A\cap B\cap C| + |A\cap B\cap D| + |A\cap B\cap E| + |A\cap C\cap D| + |A\cap C\cap E| + |A\cap D\cap E| + |B\cap C\cap D| + |B\cap C\cap E| + |B\cap D\cap E| + |C\cap D\cap E| - |A\cap B\cap C\cap D| - |A\cap B\cap C\cap E| - |A\cap B\cap D\cap E| - |A\cap C\cap D\cap E| - |B\cap C\cap D\cap E| + |A\cap B\cap C\cap D\cap E| )$$
$$=C_{24}^4=10626. \;\; \blacksquare$$

Trong chủ đề: [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

08-08-2016 - 19:24

$\boxed{\text{Bài toán 369}}$

Tính tổng sau:

$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{2^k-1-{n\choose k}}{k}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 370}}$

$A,B,C$ mỗi người lần lượt có 10, 30, 50 quả táo cùng loại. Họ mang ra chợ bán. Hãy nêu phương án để họ bán hết số táo đó với giá bán bằng nhau và cuối cùng thu về số tiền bằng nhau.

 

Ba người này không được bán táo cho nhau, không cho táo, không ăn táo.

 

Giải thích cho rõ: 

- Bán giá bằng nhau: Nếu trong một thời điểm nào đó, A bán táo với giá a đồng/ quả thì B và C cũng phải bán với giá a đồng/ quả.

 

$\boxed{\text{Bài toán 371}}$ 

Giả sử có $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng. Có vòng tròn với bán kính $r$ và tâm $O$ trên mặt phẳng. Ít nhất một trong các điểm nằm trong vòng tròn. Chúng ta làm các hướng dẫn sau đây. Tại mỗi bước chúng ta di chuyển $O$ đến trọng tâm của các điểm trong vòng tròn. Chứng minh rằng vị trí của $O$ là không đổi sau khi một số hữu hạn bước.

 

$\boxed{\text{Bài toán 372}}$ 

Cho $x_i\in (a,b)$, $p_i\in (0,1), \sum_{i=1}^{n}p_i=1$, $i=\overline{1,n}$, Chứng minh rằng: $$(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i^2)-(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i)^2\leq (\dfrac{b-a}{2})^2$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 373}}$

Cho tam giác $ABC$.Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$.Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B',C'$. Gọi $A", B",C"$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP,PM,MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A",B",C"$ thứ tự song song với $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$

 

$\boxed{\text{Bài toán 374}}$

Cho dãy ${a_n}$ không giảm trong $\left[ { - 1;1} \right]$. Chứng minh: \[\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sqrt {1 - {a_i}{a_{i + 1}} \pm \sqrt {\left( {1 - a_i^2} \right)\left( {1 - a_{i + 1}^2} \right)} } < \frac{{\pi \sqrt 2 }}{2}} \]

 

$\boxed{\text{Bài toán 375}}$

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua $G$, cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam giác $AMN$

 

$\boxed{\text{Bài toán 376}}$

Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn tính chất sau không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào gồm 1999 số hạng mà cấp số cộng đó chưa đúng $n$ số nguyên.