Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Ispectorgadget

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 08:30
****-

#729533 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 02-02-2020 - 09:57

$\boxed{\text{Bài toán 494}}$

 

CMR với mỗi số nguyên dương $n$ đều tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $k.5^n=\overline{a_n.a_{n-1}...a_2a_1}$ viết trong hệ thập phân thỏa $i$ và $a_i$ cùng tính chẵn lẻ với $i=\overline{1,n}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 495}}$

 

Có $n$ ngọn đèn $L_{0},L_{1},...,L_{n-1}(n>1)$ được đặt trên $1$ đường tròn.Ta dùng $L_{n+k}$ đẻ chỉ $L_{k}$.Ở mọi thời điểm,mỗi đèn có thể sáng hoặc bị tắt.Ban đầu tất cả đều sáng

Ta biểu thị các bước $s_0,s_1,...$ như sau :tại bước $s_i$ nếu $L_{i-1}$ đang tắt thì ta đổi chiều trạng thái của $L_i$ còn nếu $L_{i-1}$ đang sáng thì không làm gì cả

CMR

  • Tồn tại số nguyên dương $M(n)$ sao cho sau $M(n)$ bước thì tất cả đèn đều sáng
  • Nếu $n=2^k$ thì ta có thể chọn $M(n)=n^2-1$
  • Nếu $n=2^{k+1}$ ta có thể chọn $M(n)=n^2-n+1$

$\boxed{\text{Bài toán 496}}$

Cho dãy $(a_n)$ với $a_1=3,a_2=17;a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n$.Tìm $\lim \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}-3(-1)^{k}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 497}}$

Tìm $x,y \in N^{*}$ sao cho $y^x \mid x^y-1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 498}}$

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 499}}$

Gọi $F_n$ là số hạng thứ $n$ của dãy Fibonacci. Xét đa thức

$$P_n(x)=F_n^2x^n+F_{n+1}^2x^{n-1}+F_{n-2}^2x^{n-2}+...+F_1^2x+F_{n-1}^2$$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì đa thức $P(x)$ luôn bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 500}}$

Chứng minh rằng : Dãy số sau chứa vô hạn các số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau

$$t_{n}=\frac{1}{k!}n\left (  n+1\right )\left ( n+k-1 \right )$$

với mọi $n,k\in \mathbb{Z^{+}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 501}}$

Giả sử ta có các số thực dương $x_1,x_2,...,x_k$ thỏa mãn điều kiện:

$x_1^2+x_2^2+...+x_k^2<\frac{x_1+x_2+...+x_k}{2}$

$x_1+x_2+...+x_k<\frac{x_1^3+x_2^3+...+x_k^3}{2}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ và với giá trị $k$ đó, hãy chỉ ra một bộ số $(x_1,x_2,...,x_k)$ thỏa mãn điều kiện trên.




#720249 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 17-02-2019 - 10:24

$\boxed{\text{Bài toán 473}}$

Chứng minh rằng tồn tại dãy số $(a_{n})$ thỏa mãn:

$i) \exists c_{1},c_{2} \in \mathbb{R}: c_{1} \leq a_{n} \leq c_{2} \forall n \in \mathbb{N}^{*};$
$ii) \forall m,n \in \mathbb{N}^{*},m \neq n, |a_{m}-a_{n}| \geq \frac{1}{m-n}.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 474}}$

Chứng minh rằng:

$$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 475}}$

Cho dãy $S_n$ như sau

$S_1=a_1+a_2+..., S_2=a_1 a_2+.... ,...., S_n=a_1 a_2 ... a_n$ Với $a_1 ,a_2 ....\in [0;1]$

Chứng minh  bất đẳng thức sau :

$\frac{1}{1+S_1}+\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{2i+2}.S_{2i+1}\leq 1+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i+1}.S_{2i}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 476}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $A,B,C.M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng: $XM,YN,ZP$ đồng quy.

 

$\boxed{\text{Bài toán 477}}$

Cho $\sum_{i=1}^{1990}|x_i-x_{i+1}|=1991.$

Đặt $s_n=\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=|s_1-s_2|+|s_2-s_3|+...+|s_{1990}-s_{1991}|$

 

$\boxed{\text{Bài toán 478}}$

Tất cả các số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự :  $p_{1} =2$,$p_{2} =3$,$p_{3}=5$,.....

Tìm tất cả các cặp số nguyên $a,b$ với $ a-b\geq 2$ mà $p_{a}-p_{b}\vdots 2(a-b)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 479}}$

Bài toán :

Cho $n \vdots 2, \, n\geq 4, \, A \subset \{1;2;,,,,;n\}.$

Xét các tổng $\sum^{3}_{i=1} a_i x_i$ với :

  • $x_i \in A ,\, i=\overline{1;3}$
  • $a_i\in \{-1;0;1\}$
  • $\sum^{3}_{i=1} a_i \neq 0$
  • $x_i=x_j$ thì $a_i.a_j\neq -1$

Tập $A$ được gọi là "tốt" nếu mọi tổng như vậy $\not \vdots n$.

Tìm max $|A|$ sao cho $A$ "tốt"

 

$\boxed{\text{Bài toán 480}}$

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 481}}$

Cho $n \vdots 2, \, n\geq 4, \, A \subset \{1;2;,,,,;n\}.$

Xét các tổng $\sum^{3}_{i=1} a_i x_i$ với :

  • $x_i \in A ,\, i=\overline{1;3}$
  • $a_i\in \{-1;0;1\}$
  • $\sum^{3}_{i=1} a_i \neq 0$
  • $x_i=x_j$ thì $a_i.a_j\neq -1$

Tập $A$ được gọi là "tốt" nếu mọi tổng như vậy $\not \vdots n$.

Tìm max $|A|$ sao cho $A$ "tốt"

 

$\boxed{\text{Bài toán 482}}$

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

 

$\boxed{\text{Bài toán 483}}$

Trong một trận đấu bóng đá có $2n+1$ đội tham gia và đá theo thể thức vòng tròn một lượt . Một tập 3 đội được gọi là tốt nếu tập đó tuân theo điều kiện : A thắng B , B thắng C , C thắng A . Tìm số lớn nhất các tập tốt trong trận bóng đá đó 

 

$\boxed{\text{Bài toán 484}}$

Tìm hàm $f:R\to R$ thỏa mãn: $f(x)=\max\limits_{y\in R}\{ xy-f(y)\},\forall x\in R$

 

$\boxed{\text{Bài toán 485}}$

Cho a,b,c là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$$c[ \frac{c}{ab}]- [\frac{c}{a} ][\frac{c}{b} ] \leq c.\min\{ \frac{1}{a} ;\frac{1}{b}\}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 486}}$

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$

 

$\boxed{\text{Bài toán 487}}$

Giả sử trong tập hữu hạn $X$ chọn được $50$ tập con $A_1,A_2,A_3,...,A_{50},$ mà mỗi tập con này đều chứa quá nửa số phần tử của tập $X.$ Tìm số tự nhiên $k$ bé nhất sao cho tồn tại tập con $B$ của $X$ sao cho $B$ có $k$ phần tử và $B\ \cap\ A_i\geq 1\ (1\leq i\leq50).$

 

$\boxed{\text{Bài toán 488}}$

Cho $a,b>1$ là các số nguyên dương.Dãy $(x_n)_{n=0}^{+\infty}$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x_0=0,x_1=1\\x_{2n}=ax_{2n-1}-x_{2n-2} \\x_{2n+1}=bx_{2n}-x_{2n-1} \end{matrix}\right.\ \ (n\ge 1)$

$\text{CMR}$ $\forall m,n\in \mathbb{N}^*$ thì $x_mx_{m-1}\mid x_{n+m}.x_{n+m-1}...x_{n+1}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 489}}$

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ với mọi $r\in (0;1)$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 490}}$

Cho $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_j$ là các điểm nằm trên mặt cầu bán kính $1$. Chứng minh rằng $$\max\left (\min_{1\leq i,j\leq 5}A_{i,j}\leq \sqrt{2}  \right )$$

Tìm tất cả các vị trí của $A_i \quad (i=1,2,3,4,5)$ để dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 491}}$

Cho dãy số thực $u_1,u_2,...u_n$ chứng minh tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $$\left | \sum\limits_{i=1}^ku_i-\sum\limits_{i={k+1}}^{n}u_i \right |\le \max\limits_{1\le i\le n}|u_i|$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 492}}$

Cho $f$ là hàm đa thức xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện

$f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)$ , $\forall n \in \mathbb{R}$ thì dãy $\left \{ f(n) \right \}_n$ là một cấp số cộng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 493}}$

Trong một hình vuông cạnh $100$ đặt $n$ đường tròn bán kính $1$ biết rằng bất kì một đoạn thẳng độ dài $10$ nào nằm hoàn toàn trong hình vuông cũng cắt ít nhất một đường tròn đã cho. Tìm GTNN của $n$.




#716182 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 30-09-2018 - 23:33

$\boxed{\text{Bài toán 462}}$

Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn với mọi số nguyên dương $n$, $P(n)$ là tổng của hai số chính phương. Chứng minh tồn tại hai đa thức với hệ số hữu tỉ $P_{1}(x)$ và $P_{2}(x)$ sao cho $$P(x)=P_{1}(x)^{2}+P_{2}(x)^{2}$$

$\boxed{\text{Bài toán 463}}$

 

Cho dãy $a_1,a_2,...,a_{2006}$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số nguyên dương $a$ có tính chất

$a-2006=\sum\limits_{i=1}^{2006}b_ia_i$ với $b_i$ là ước của $a$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 464}}$

 

Cho $k,n \geqslant 1$ là các số tự nhiên và $A$ là tập hợp gồm $(k-1)n+1$ số nguyên dương, mỗi số này đều không vượt quá $kn$. Chứng minh rằng có ít nhất một phần tử của $A$ có thể biểu diễn như tổng của $k$ phần từ trong $A$. ($k$ phần tử này không nhất thiết phải khác nhau)

 

$\boxed{\text{Bài toán 465}}$

Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định, $A$ thay đổi trên $(O)$. $E, F$ thay đổi trên $AC, AB$ sao cho tứ giác $EFBC$ nội tiếp. Kí hiệu $(w)$ chỉ đường tròn tâm $B$ bán kính $BE$.$(w)$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CF$ tại hai điểm $M, N$. $(w)$ cắt $(O)$ tại hai điểm $U$, $V$. $UV$ cắt $ MN$ tại $I$. Chứng minh rằng $AI$ luôn đi qua điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 466}}$

Có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa 

$x_{1}=x_{2014}=1;x_{i}\in (1,2,3) x_{i}\neq x_{i+1}(i=\bar{1,2013})$

 

$\boxed{\text{Bài toán 467}}$

Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 468}}$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả mãn :

$$f(x^2+yf(x))+f(y^2+xf(y))=(x+f(y))(y+f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 469}}$

Biện luận theo $n$ ($n$ nguyên dương) và $a$ (a là số thực) về số nghiệm của phương trình: $x^{n}-[x+n]=a$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 470}}$

Trong hình chữ nhật có kích thước $1\times 2$ lấy $6n^2+1$ điểm ($n\in \mathbb{N}^*$)

Chứng minh rằng tồn tại 1 đường tròn có bán kính là $\frac{1}{n}$ chứa không ít hơn 4 trong số các điểm đã cho.

 

$\boxed{\text{Bài toán 471}}$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thoả mãn nếu $a,b$ là các số tự nhiên thoả mãn $a+b$ chính phương thì $P(a)+P(b)$ cũng là số chính phương.

 

$\boxed{\text{Bài toán 472}}$

Với mỗi tập hợp $X$ các số nguyên dương, ta kí hiệu $S_X$ thay cho tổng các phần tử của $X$. Một tập $A$ các số nguyên dương được gọi là tập "nguyên tố" nếu với mọi tập con thực sự $B$ khác rỗng của $A$ thì

$gcd\left( S_A,S_B\right) =1$

Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\left\{ (a+b)^2,(a+2b)^2,\ldots ,(a+nb)^2\right\}$ là một tập "nguyên tố".

 

$\boxed{\text{Bài toán 473}}$

Cho tam giác ABC có F,L là 2 điểm thuộc đoạn AC sao cho $AF=LC< \frac{AC}{2}$ .Giả sử $AB^2+BC^2=AL^2+LC^2$

Tính số đo góc $\widehat{FBL}$




#705861 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 14-04-2018 - 20:39

$\boxed{\text{Bài toán 442}}$

Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và

$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 443}}$

Cho tam giác $ABC$.Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$.Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B',C'$. Gọi $A", B",C"$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP,PM,MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A",B",C"$ thứ tự song song với $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 444}}$

 

Ch0 $p$ là số nguyên tố lẻ và dãy $\{a_n\}_{(n\geq 0)}$ xác định bởi : $a_0=0,a_1=1,a_2=2,...,a_{p-2}=p-2$. $\forall n\geq p-1$, $a_n$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n-1}$ sao cho trong dãy $\{a_n\}$ không có dãy con $p$ phần tử nào tạo thành cấp số cộng.

Chứng minh rằng $\forall \,\, n, \, a_n$ nhân được bằng cách viết $n$ dưới dạng cơ số $p-1$ nhưng lại đọc trong cơ số $p$

 

$\boxed{\text{Bài toán 445}}$

Cho $P_1,P_2,...,P_n$ là $n$ điểm trên mặt phẳng.

$A=\, \{M\, | \, MP_1.MP_2....MP_n\leq 1\}$

Chứng minh có thể phủ $A$ bởi $n$ hình tròn có tổng bán kính $\leq 6$

 

$\boxed{\text{Bài toán 446}}$

Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_{n}$

 

 $\boxed{\text{Bài toán 447}}$

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$

 

 $\boxed{\text{Bài toán 448}}$

Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thoả mãn :  $ n^2 \mid 3^{n} + 1 $

 

 $\boxed{\text{Bài toán 449}}$

Chứng minh rằng dãy ${u_n}$ tuần hoàn (cộng tính) chu kì 2 khi và chỉ khi dãy có dạng
${u_n}=\frac{1}{2}(a+b+(a-b)(-1)^{n+1})$,a,b là các số thực

 

 $\boxed{\text{Bài toán 450}}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.

 

 $\boxed{\text{Bài toán 451}}$

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Trong đó a là số thực cho trước.

 

$\boxed{\text{Bài toán 452}}$

Chứng minh rằng không tồn tại $n\in \mathbb{N},10^{3n+1}=a^{3}+b^{3}\;\;(a,b\epsilon \mathbb{N}^*)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 453}}$

Cho số nguyên $n > 1$
CMR: $$\sqrt{n^2-1} +\sqrt{n^2-2^2} +... +\sqrt{n^2-(n-1)^2} < \pi .\frac{n^2}{4}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 454}}$

Gọi n là 1 số nguyên dương và : $ x_{1} ,...,x_{n}, y_{1} ,..., y_{n} $ là các số thực dương thỏa mãn tính chất sau :
Với mỗi tập con khác rỗng $S \subset {1,2,...,n} $ thì tồn tại một tập con khác không rỗng $T \subset {1,2,...,n} $ và :
$ \dfrac{ \sum _{i \in T} x_{i} }{ \sum _{i \in T} y_{i} }=\dfrac{ \sum _{i \in S} y_{i} }{ \sum _{i \in S} x_{i} } $.
Chứng minh rằng: Với mọi $i=1,2,...,n$ thì tồn tại $j$ sao cho :
$ x_{j} = y_{i} $ và : $ y_{j} = x_{i}. $

 

$\boxed{\text{Bài toán 455}}$

Xét bảng ô vuông $4\times 4 $. Ngưòi ta điền vào mỗi ô của bảng một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng $0$. Hỏi có bao nhiêu cách ?

 

$\boxed{\text{Bài toán 456}}$

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$

 

$\boxed{\text{Bài toán 457}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(\omega )$. $I$ là tâm nội tiếp $\Delta ABC$. $AI,BI,CI$ cắt $(\omega )$ ở $A',B',C'$. M thuộc cạnh $AB$. Đường qua M song song $AI$ cắt đường qua B vuông góc $BI$ ở $A_{1}$. Đường qua M song song $BI$ cắt đường qua A vuông góc $AI$ ở $B_{1}$.

CMR: $A'A_{1};B'B_{1};C'M$ đồng quy.

 

$\boxed{\text{Bài toán 458}}$

Tìm tất cả các hàm $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 459}}$

Cho các số nguyên tố $ p ; q $ và số nguyên dương $r$ thỏa mãn các điều kiện :

$ p > r^{q-1} \ ; \ q| (p-1) \ ; \ q \not | r$
Giả sử tồn tại $r$ số nguyên $ a_1 ; a_2 ; ...; a_r$ sao cho : $ \sum_{i=1}^{r} a^{\dfrac{p-1}{q}}_i \ \equiv 0 \ \ ( mod \ \ p)$
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$

 

$\boxed{\text{Bài toán 460}}$

Cho đa thức $P(x)=x^{3}-6x+9$ và $P_{n}(x)=P(P(...(P(x)))...)$ (n dấu ngoặc)
Tìm số nghiệm của $P(x)$ và $P_{n}(x)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 461}}$

Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. 

Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$  để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j}  \right |\leq 2$ 




#701362 Tính tổng của kí tự

Gửi bởi Ispectorgadget trong 08-02-2018 - 15:23

Spoiler

Cho mỗi kí tự đại diện cho một số có khoảng giá trị từ $[1,19]$ và tổng của tất cả các chữ nằm sau bảng sau:

 

TESTING 69

KATALON 84 
DEVELOPMENT 120 

INTEGRITY 85

JAVASCRIPT 110

ARCHITECTURE 144

INNOVATION 97

KMS TECHNOLOGY ?

 

Hỏi Tổng của 'KMS TECHNOLOGY' là bao nhiêu?




#696685 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 16-11-2017 - 17:10

$\boxed{\text{Bài toán 430}}$

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ ta đều có $P(n)$ là ước của $2^n-1$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 431}}$  @};- 

Cho trước số nguyên dương $n $ . Xét tập hợp $ \mathcal{M} \ = \ \{ 1 ; 2 ; ....; n^2 + n +1 \} $ .

Gọi $ \mathcal{F}$ là $ 1$ tập hợp chứa 1 số tập con $ \mathcal{X} $ của $ \mathcal{M} $ ,

, nhửng tập con này thỏa mãn $ | \mathcal{X} | \ \ > n^2$ . Biết rằng với mỗi số nguyên dương $x \ \in \ \mathcal{M} $ , có nhiều hơn $n^2 $ tập con $ \mathcal{X}_i $ thỏa mãn : $x \ \in \ \mathcal{X}_i $

Chứng minh rằng tồn tại $ 2$ tập hợp$ \mathcal{A} ; \mathcal{B} \ \in \ \mathcal{F} $ sao cho :

$ \mathcal{A} \bigcup \mathcal{B} = \mathcal{M} $

 

$\boxed{\text{Bài toán 432}}$  @};- 

Cho vài (hoặc tất cả) các số $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ bằng +1 và các số còn lại của chúng bằng -1.Chứng tỏ rằng :

$$2\sin (a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^{2}}+...+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-1}}).45=a_{1}\sqrt{2+a_{2}\sqrt{2+a_{3}\sqrt{2+...+a_{n}{\sqrt{2}}}}}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 433}}$  @};- 

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và $x$ là số thực dương. Chứng minh rằng

$$\frac{a^x-b^x}{a+b}+\frac{b^x-c^x}{b+c}+\frac{c^x-a^x}{c+a} \geq 0$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 434}}$  @};- 

Gọi $x_i$ là nghiệm của bất phương trình :

$x^2 - 2a_ix + (a_i - 1)^2 \le 0 $ $(i = \bar{1;n} )$ và $\dfrac{1}{2} \le a_i\le 5 , i = 1, 2, ..., n$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{2n}} \le 1 + \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 435}}$

Cho a,b,m,n nguyên dương (a,b)=1, m>n sao cho $a^{m}-b^{m}$ và $a^{n}-b^{n}$ có cùng tập ước nguyên tố.CMR:
$m\vdots n$  và  $\frac{m}{n}= 2^{s}$ với s tự nhiên.
 
 
Cho tam giác ABC . M bất kì trong tam giác . CMR :

$$a.MB.MC+b.MC.MA+c.MA.MB \geq abc $$

 

$\boxed{\text{Bài toán 437}}$

 Cho dãy số nguyên dương $\{a_n \}_{1}^{\infty}$ thỏa $a_{n+2}=\left\lfloor \frac{2a_n}{a_{n+1}} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_n} \right\rfloor$.

Chứng minh tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m=4$ và $a_{m+1} \in \{3;4 \}$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 438}}$

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đa thức $\sum_{k=0}^{n}2^{k(n-k)}x^k$ có đúng $n$ nghiệm thực.

 

$\boxed{\text{Bài toán 439}}$

Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$ (n = 1, 2, ...) được xác định thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

i) $x_{n}=1$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số lẻ

ii) $x_{n}=0$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số chẵn

Trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên lớn nhất không vượt quá x

Tính tổng sau $S=x_{1975}+x_{1976}+...+x_{2015}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 440}}$

Cho đa thức $P(x)=a_0 +a_1x+...+a_nx^n$ có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p$ mà $p>n$ thì đa thức

$G(x)=a_0 +p.a_1x+p(p-1).a_2x^2+...+p(p-1)...(p-n+1)a_nx^n$ cũng có $n$ nghiệm thực phân biệt.

 

$\boxed{\text{Bài toán 441}}$

Cho $(O)$ và hệ thống các điểm $A_1,A_2,...,A_n$. S là một điểm trên $(O)$ khác $A_i (i=1,2,...,n) $Xét phép quay S biến $A_i \mapsto B_i$. chứng minh rằng các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy




#691417 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 24-08-2017 - 17:48

$\boxed{\text{Bài toán 419}}$

Cho $p\in \mathbb{R}^+$ và $k\in \mathbb{R}^+$. Giả sử đa thức $F(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+k^4$ với các hệ số thực có 4 nghiệm âm. Chứng minh $$F(p)\ge (p+k)^4.$$

$\boxed{\text{Bài toán 420}}$

Cho $n$ số nguyên dương $1\leq a_1<a_2<....<a_n<2n$ thỏa mãn $a_i \not | \ a_j \forall i\neq j$

Chứng minh rằng $a_1\geq 2^{[log_{3}(2n)]}$   (Với [ ] là kí hiệu phần nguyên)

 

$\boxed{\text{Bài toán 421}}$

Cho $ABC$ là một tam giác và $M,N,P$ các điểm nằm trên cạnh $BC,CA,AB$. Lấy $\Delta_A, \Delta_B, \Delta_C$ là các đường thẳng đi qua $M,N,P$ và $\widehat{BM\Delta_A}=\alpha, \widehat{CN\Delta_B}=\beta, \widehat{AN\Delta_C}=\theta$ (các góc nằm trong tam giác) sao cho $\alpha+\beta+\theta=270^{o}$. Tìm điều kiện cần và đủ của mệnh đề sau:

"$\Delta_A, \Delta_B, \Delta_C$ đồng quy".

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 422}}$

Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 423}}$

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$

Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$

 

$\boxed{\text{Bài toán 424}}$

Xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.

Chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$

 

$\boxed{\text{Bài toán 425}}$

Cho dãy $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_0\ge 0$ và xác định bởi $\sqrt{x_n}=\frac{x_n-x_{n+1}+1}{x_{n+1}-x_n}$. Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n^6}{n^4}.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 426}}$

 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.

Chứng minh rằng:

$$\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+b^{2}}{2}}+\frac{2b}{1+b}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+c^{2}}{2}}+\frac{2c}{1+c}} \right )^{\frac{1}{3}}\leq 3$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 427}}$

Cho 2 đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ tiếp xúc ngoài, trong đó $R<R'$. Gọi $d$ là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn. Gọi $A,B$ lần lượt là tiếp điểm của $(O),(O')$ với $d$. Trên tia $BO'$ lấy $F$ sao cho $BF=\sqrt{R.R'}$.

 

Từ $F$ kẻ đường thẳng song song $AB$ cắt $OO'$ tại $K$. Hạ $KH \perp AB$ ($H\in AB$). Trên tia $KH$ lấy điểm $M$ sao cho $HM=4\sqrt{R.R'}$.

 

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABM$. Đường tròn này cắt $HK$ tại $I$.

 

Chứng minh rằng $I$ là tâm đường tròn tiếp xúc với $(O),(O')$ và $AB$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 428}}$

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z+xyz=4$,chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \left ( \frac{17\sqrt{17}-47}{8} \right )(x+y+z)+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 429}}$

 

Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$




#687940 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 18-07-2017 - 17:42

$\boxed{\text{Bài toán 412}}$

Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$

Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002  \end{array} \right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 413}}$

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 414}}$

Gọi tổng của một tập hợp là tổng các phần tử của tập hợp đó. Gọi S là tập các số nguyên dương không vượt quá 15. Giả sử rằng không có 2 tập con nào của S có tổng bằng nhau. Tìm GTLN của tổng S?

 

$\boxed{\text{Bài toán 415}}$

Cho dãy số thực $x_{n}$ được xác định bởi: $x_{0}=1,x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}}\forall n\epsilon N$

Ta xác định dãy $y_{n}$ bởi công thức $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i},\forall n\epsilon N^{*}$. Tìm công thức tổng quát của dãy $y_{n}$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 416}}$

Cho đa giác lồi $A_{1}A_{2}...A_{n}$, O là tâm tỉ cự hệ điểm $(A_{1};A_{2};...;A_{n})$ với hệ số (1;1;...;1). Đặt $d=OA_{1}+OA_{2}+...+OA_{n}$; p là chu vi đa giác.

CMR: 

+) Nếu n chẵn thì $\frac{4}{n}d\geq p$

+) Nếu n lẻ thì $p\geq \frac{4nd}{n-1}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 417}}$

Cho đường tròn (O;13) và hai dây cung AB, CD cố định ko cắt nhau. Xét điểm I trên đoạn CD. Cho AI, BI cắt (O) tại E, F. AF, BE cắt CD tại M, N. BIết ID = 10, IN = 6 và $3CM^{2}+5CM=MI^{2}$. Tính độ dài dây CD.

 

$\boxed{\text{Bài toán 418}}$

Cho $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$

Chứng minh rằng :
$$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$$




#682261 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 28-05-2017 - 23:44

Khảo sát sự hội tụ của dãy số $x_n$ với
$$\begin{cases}x_0 \geq 0 \\ x_{n+1}=\frac{6}{2+x_n^2} \end{cases} \ \ \ n \geq 0$$
 
Cho $P(x)\in \mathbb{Z}[x], \text{deg}P\geq 2$.

CMR: Tồn tại $m\in \mathbb{Z^+}$ để $P(m!)$ là hợp số.

 

$\boxed{\text{Bài toán 407}}$

Cho hai tam giác $ABC$ ($AB=AC$) và $DEF$ ($DE=DF$) trong đó $B$, $C$, $E$, $F$ thẳng hàng, $BC>EF$. Hãy vẽ một đường thẳng song song với $BC$ sao cho hai đoạn thẳng bị hai cạnh bên của mỗi tam giác cắt ra là bằng nhau.

 

$\boxed{\text{Bài toán 408}}$

CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 409}}$

Xét khai triển hàm số sau:

$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.

$\boxed{\text{Bài toán 410}}$

Chứng minh: $[kx]+[x+\frac{k}{k+1}]= [kx+x]$ ( $k\epsilon \mathbb{N}$)

 

$\boxed{\text{Bài toán 411}}$

Một tỷ phú có $100$ chiếc xe hơi đắt tiền.Cứ mỗi ngày anh ta chọn ngẫu nhiên một chiếc để sử dụng.

Tính xác suất để trong $100$ ngày liên tiếp có ít nhất $30$ chiếc xe được chọn từ $2$ lần trở lên ?




#674556 Cập nhật list Những bài toán trong tuần (400-500)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 17-03-2017 - 20:16

$\boxed{\text{Bài toán 400}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Phân giác trong $AD$  ($D$ trên cạnh $BC$),hai điểm $P,Q$ trên cạnh $AD$ thoả mãn $\angle CBP=\angle ABQ$. $M$ là hình chiếu của $Q$ trên $BC$, $N$ đối xứng với $I$ qua $AD$. Chứng minh $MN \perp OP$

 

$\boxed{\text{Bài toán 401}}$

Cho $a_{1}, a_{2},..., a_{n}\in \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n^{2}$

$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\leq n^{3}+1$

Chứng minh: $n-1\leq a_{k}\leq n+1 \forall 1\leq k\leq n$

 

$\boxed{\text{Bài toán 402}}$

Cho các đường tròn $(O_{1};R_{1});(O_{2};R_{2})$ sao cho tiếp tuyến chung ngoài $M_{1}M_{2}$ vuông góc với tiếp tuyến chung trong $N_{1}N_{2}$ tại A. Gọi tiếp tuyến chung trong thứ hai là $P_{1}P_{2}$ (các tiếp điểm $M_{1};N_{1};P_{1}\in (O_{1})$ và các tiếp điểm $M_{2};N_{2};P_{2}\in (O_{2})$). Tính diện tích $\Delta AP_{1}P_{2}$ theo $R_{1};R_{2}$. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 403}}$

 

Cho tam giác $ABC$. Một điểm O nằm trong tam giác thỏa mãn $OA= OB + OC$. Gọi $Y,Z$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $AOC$ và $AOB$ của đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOC và $AOB$. Chứng minh rằng: $(BOY)$ tiếp xúc với $(COZ)$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 404}}$

Cho $a_1;a_2;...;a_n$ là dãy các số nguyên không âm. Với $k=1,2,....,n$,đặt $ m_k =\max_{1\le l\le k}\frac{a_{k-l+1}+a_{k-l+2}+\cdots+a_k}{l}. $

Chứng minh rằng với mỗi $\alpha>0$,số giá trị của $k$ thỏa mãn $m_k>\alpha$ luôn bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$




#664728 Tính $\lim\limits_{n\to +\infty} n\le...

Gửi bởi Ispectorgadget trong 15-12-2016 - 19:36

Cho dãy số $x_0=1; x_{n+1}^2=x_n+2$ với $n\ge 1$. Hãy tính $$\lim\limits_{n\to +\infty} n\left(\frac{\pi^2}{9}+4^n(x_n-2) \right )$$




#663035 [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 25-11-2016 - 20:07

$\boxed{\text{Bài toán 386}}$

Gọi $S$ là một tập con bất kỳ chứa $k$ phần tử của tập $\{1,2,3,...,24\}.$ Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $S$ luôn chứa ít nhất 2 tập con sao cho mỗi tập con đó chứa 2 phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập con bằng nhau.

 

$\boxed{\text{Bài toán 387}}$

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Điểm $D$ nằm ở miền trong tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) $CD = d$

2) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $CD$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$ thì $A', B, C$ thẳng hàng.

 

Hãy tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$

 

$\boxed{\text{Bài toán 388}}$

 

Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
$$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 389}}$

 

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Một đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng AB, CD lần lượt tại N, M. (I) cắt (O) tại 2 điểm H và S. AC, BD cắt MN lần lượt tại Q, P. Chứng minh: P, Q, H, S cùng thuộc 1 đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với AC và BD.

 

$\boxed{\text{Bài toán 390}}$

Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]

 

$\boxed{\text{Bài toán 391}}$

Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0,1,2,..,9. Lấy ngẫu nhiên bốn thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên chẵn. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 392}}$

Chứng minh PT sau có ít nhất một nghiệm:

$$ \sqrt{5+4\sqrt{9-2\sqrt{x}}}=2\sqrt{13}(13-x)$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 393}}$

Một "bàn cờ" kích thước $1\times (m+n)$ ô. Có $n$ quân tốt đứng ở $n$ ô đầu tiên của bàn cờ. Cần phải tịnh tiến $n$ quân tốt đến $n$ ô cuối cùng (mỗi quân tiến $m$ bước). Mỗi bước đi chỉ được phép di chuyển 1 quân tốt bất kỳ tiến 1 ô về phía cuối bàn cờ nhưng không được "dẫm đạp" lên quân tốt khác. Gọi $S(n,m)$ là số cách di chuyển $n$ quân tốt tịnh tiến $m$ bước.

Chứng minh rằng: $$S(n,m)=\frac{1!2!...(n-1)!}{m!(m+1)!...(m+n-1)!}\times(mn)!$$

 

Ví dụ: $S(2,3)=\dfrac{1!}{3!4!}\times (2.3)!=5$

 

$\boxed{\text{Bài toán 394}}$

Cho $a,b >0$ thỏa mãn $a+b=2$ và $n \in \mathbb{N}$ Chứng minh:

$$(ab)^{\frac{n(n+1)}{2}}.(a^n+b^n)\le 2$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 394}}$

-Lấy $Q[\sqrt{5}]$ là tập các số biểu diễn được dưới dạng: $x+y\sqrt{5}$ ( Với $x,y$ là các số hữu tỉ )
-Định 2 số $u,v\in Q[\sqrt{5}]$ sao cho: $u^4+v^4=2+\sqrt{5}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 395}}$

Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

$$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 396}}$

Cho dãy Fibonaci $F_n$
đặt $P(x)=\left\{(m,n)|1 \leq m \leq n \leq x, (F_m,F_n)=1 \right \}$
Tính $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{x^2}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 397}}$

Chứng minh dãy số sau đây có giới hạn và tìm giới hạn đó:

$\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 2011 \\ u_n = \dfrac{1}{2}\left( {u_{n - 1} + \dfrac{{216}}{{u_{n - 1}^2 }}} \right),\forall n \ge 1 \\ \end{array} \right.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 398}}$

Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.

 

$\boxed{\text{Bài toán 399}}$

Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn: 

  $a^{n}(b-c)+b^{n}(c-a)+c^{n}(a-b)$ chia hết cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca$.

         với $a,b,c$ là các số thực bất kì.

 

$\boxed{\text{Bài toán 400}}$

Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^{o}$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất




#657469 [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

Gửi bởi Ispectorgadget trong 10-10-2016 - 21:59

$\boxed{\text{Bài toán 377}}$

Gỉa sử rằng trên mặt phẳng toạ độ cho đường cong là đồ thị của hàm số đa thức: $P(x)=x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s,P\in \mathbb{R}[x]$.

Một đường thẳng trên mặt phẳng ấy gọi là nằm ngang nếu nó song song với trục hoành và cắt đường cong tại 4 điểm A, B, C, D (tính từ trái sang phải).Ngoài ra nếu độ dài các đoạn thẳng AB, AC, AD có thể lấy làm độ dài các cạnh của một tam giác nào đó, thì đường thẳng như vậy còn được gọi là "đường tam giác". Chứng minh rằng chỉ có thể xảy ra trường hợp hoặc tất cả các đường thẳng nằm ngang là "đường tam giác", hoặc tất cả các đường thẳng ấy ko là "đường tam giác".

 

$\boxed{\text{Bài toán 378}}$

Cho tam giác $ABC$,$P$ là một điểm trong tam giác.Gọi $E,F$ là giao điểm  của $PB,PC$ với $AC,AB$.Đường thẳng $AP$ cắt $(ABC)$ tại $D$,gọi $L$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi,$DL$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 379}}$

Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ là ước của $a^{3}+b^{3}$ và $a-b$ là số nguyên tố. Chứng minh: $a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 380}}$

Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thỏa mãn $5$ điều kiện sau đây:

$(1) f(1)=1;$

$(2)f(-1)=-1;$

$(3)f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$

$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$

$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$

 

$\boxed{\text{Bài toán 381}}$

 

Cho $n \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:

$$n!<n^{n+\dfrac{1}{2}}.e^{1-n}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 382}}$

Một điểm được gọi là nguyên trên mặt phẳng tọa độ Oxy nếu cả hoành độ và tung độ nó đều là những số nguyên
Xét phát biểu : Một điểm nguyên $A$ được gọi là có thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ khi và chỉ khi trên đoạn $OA$ không chứa bất kì 1 điểm nguyên nào khác 
Chứng minh rằng . Với $n \in N^*$ thì ta có thể dựng được 1 hình vuông có kích thước $n*n$ sao cho các điểm nguyên trên biên và cả trong hình vuông đều không thể nào nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$

 

$\boxed{\text{Bài toán 383}}$

 

Cho $k$ là số nguyên dương chẵn. $N$ là tích của $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,...,p_k$.  $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho $a \leq b \leq N$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là hai tập thỏa mãn:$ S_1=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố chẵn $\}$, $ S_2=\{d| $ $ d|N, a\leq d\leq b, d $ có số ước nguyên tố lẻ $\}$. Chứng minh rằng: $\left | S_1 \right |-\left | S_2 \right |\leq C_{k}^{\frac{k}{2}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 384}}$

 

Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1};k \in \mathbb{N^*}$.Chứng minh rằng:
$$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 385}}$

Cho dãy số thực vô hạn $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ thỏa mãn :
Dãy số $ a_1 + 2a_2 ; a_2 + 2a_3 ; .....; a_n + 2a_{n+1} ;....$ là dãy hội tụ
Chứng minh rằng dãy $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ cũng hội tụ




#653461 Thăm dò ý kiến về việc thi trắc nghiệm môn toán

Gửi bởi Ispectorgadget trong 09-09-2016 - 12:27

:)) Sắp tới chắc thầy cô kéo nhau mở lớp dạy thêm toán Casio.




#651614 Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình:

Gửi bởi Ispectorgadget trong 28-08-2016 - 10:22

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình: 

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

Spoiler

 

Đặt $y_i=x_i-1;\forall i=\overline{1,5}$. Từ giả thiết suy ra $0\le y_i\le 5$
Ta có hệ
$$(I) \; \left\{\begin{matrix}y_1+y_2+...+y_5=20\;\;\;\; (1)\\ 0\le y_i\le 5\; ; \forall i=\overline{1,5}\end{matrix}\right.$$
 
Gọi |X| là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) ta có $|X|=C_{24}^4$.
Gọi $|A|,|B|,|C|,|D|,|E|$ lần lượt là tập tất cả các nghiệm của 5 hệ
$$\left\{\begin{matrix}y_1+y_2+...+y_5=20\\ y_i\ge 6\; ;\forall i\in \{1,2,3,4,5\}\end{matrix}\right.$$
Bằng cách đặt $k_i=y_i-6$ và áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta dễ dàng tính được 
$|A|=|B|=|C|=|D|=|E|=0$ (phương trình này vô nghiệm :)) thấy lạ lạ ...)
 
$$|A\cap B| = |A\cap C| = |A\cap D| = |A\cap E| = |B\cap C| = |B\cap D| = |B\cap E| = |C\cap D| = |C\cap E| = |D\cap E| =0$$
$$|A\cap B\cap C| = |A\cap B\cap  D| = |A\cap B \cap E| = |A\cap C\cap D| = |A\cap C\cap E| = |A\cap D\cap E| = |B\cap C\cap D| =0$$
$|B\cap C\cap E| + |B\cap D\cap E| + |C\cap D\cap E| =0$
$$|A\cap B\cap C\cap D| = |A\cap B\cap C\cap E| = |A\cap B\cap D\cap E| = |A\cap C\cap D\cap E| = |B\cap C\cap D\cap E| =0$$
$$ |A\cap B\cap C\cap D\cap E| =0$$
 
Theo nguyên lý bù trừ ta có số nghiệm hệ (I) là
$$X-(|A| + |B| + |C| + |D| + |E| - |A\cap B| - |A\cap C| - |A\cap D| - |A\cap E| - |B\cap C| - |B\cap D| - |B\cap E| - |C\cap D| - |C\cap E| - |D\cap E| + |A\cap B\cap C| + |A\cap B\cap D| + |A\cap B\cap E| + |A\cap C\cap D| + |A\cap C\cap E| + |A\cap D\cap E| + |B\cap C\cap D| + |B\cap C\cap E| + |B\cap D\cap E| + |C\cap D\cap E| - |A\cap B\cap C\cap D| - |A\cap B\cap C\cap E| - |A\cap B\cap D\cap E| - |A\cap C\cap D\cap E| - |B\cap C\cap D\cap E| + |A\cap B\cap C\cap D\cap E| )$$
$$=C_{24}^4=10626. \;\; \blacksquare$$