Ispectorgadget

Sắp tới chắc thầy cô kéo nhau mở lớp dạy thêm toán Casio.

Tìm số nghiệm nguyên của hệ phương trình: 

$$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5} = 25\\1 \le {x_i} \le 6,i \in \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\end{array} \right.$$

Spoiler

[Lời giải mang tính chất tham khảo không chắc lắm về mặt kết quả ]

$|A|=|B|=|C|=|D|=|E|=0$ (phương trình này vô nghiệm thấy lạ lạ ...)

Chứng minh rằng một vành con $A$ của vành $X$ là idean của X khi và chỉ khi $A$ là hạt nhân của một đồng cấu $f:X\to Y$, với $Y$ là một vành nào đó.

Nguồn FB  

Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}$

Xét phương trình $\cos 4x=\cos 3x \Leftrightarrow (\cos x-1)(8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1)=0$

$\Leftrightarrow \cos x=1\vee 8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1=0$
Nhận thấy $t_1=2\cos \frac{2\pi}{7};t_2=2\cos \frac{4\pi}{7};t_3=2\cos\frac{6\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình $t^3+t^2-2t-1=0$
Theo định lý Viet ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} + {t_3} = - 1\\
{t_1}{t_2} + {t_3}{t_2} + {t_1}{t_3} = - 2\\
{t_1}{t_2}{t_3} = 1
\end{array} \right.\]
Đặt $A=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}+\sqrt[3]{t_3}$
$B=\sqrt[3]{t_1t_2}+\sqrt[3]{t_3t_2}+\sqrt[3]{t_1t_3}$
Ta có $A^3=3AB-4$ và $B^3=3AB-5$
$\Rightarrow A^3B^3=(3AB-4)(3AB-5)\Rightarrow (AB-3)^3+7=0\Rightarrow AB=3-\sqrt[3]{7}$
$\Rightarrow A^3=5-3\sqrt[3]{7}\Rightarrow A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}$

Từ đây ta có đpcm. 

$\boxed{\text{Bài toán 359}}$

Cho đường tròn $(O)$.Hai đường tròn $(C1)$ và $(C2)$ tiếp xúc trong với $(O)$ lần lượt tại $A$ và $F$.Hai đường tròn này cắt nhau tại 2 điểm D và E phân biệt.Gọi K là hình chiếu của A lên DE.H là trung điểm của AK.M là trung điểm $DE$.Chứng minh góc $HMK$ bằng $\frac{1}{2}$ số đo cung nhỏ $AF$ của $(O)$.

$\boxed{\text{Bài toán 359}}$

Một tứ giác lồi được chia bởi các đường chéo thành 4 tam giác. Chứng minh rằng: đường thẳng nối các trọng tâm của 2 tam giác đối nhau vuông góc với đường thẳng nối các trực tâm của 2 tam giác còn lại. 

$\boxed{\text{Bài toán 360}}$

Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho : $\cos(\cos(\cos(\cos x))))=\sin(\sin(\sin(\sin x)))$

$\boxed{\text{Bài toán 361}}$

Cho $a_1;a_2;...;a_n$ là dãy các số nguyên không âm. Với $k=1,2,....,n$,đặt $ m_k =\max_{1\le l\le k}\frac{a_{k-l+1}+a_{k-l+2}+\cdots+a_k}{l}. $

Chứng minh rằng với mỗi $\alpha>0$,số giá trị của $k$ thỏa mãn $m_k>\alpha$ luôn bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$

$\boxed{\text{Bài toán 362}}$

Cho bảng $8\times 6$,các ô của bảng được tô bởi $n$ màu sao cho mỗi cặp 2 màu chỉ xuất hiện cùng nhau không quá một hàng. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$?

$\boxed{\text{Bài toán 363}}$

Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

$$4^{-|x-k|}\log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}\log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$$

$\boxed{\text{Bài toán 364}}$

Tính tổng
$$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$

$\boxed{\text{Bài toán 365}}$

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

$\boxed{\text{Bài toán 366}}$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ ; ta có đẳng thức :

$$\frac{1}{\sin^{2} \frac{\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{3\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{5\pi}{4k+2}}+ \cdots+ \frac{1}{\sin^{2} \frac{(2k-1)\pi}{4k+2}} = 2k(k+1)$$

$\boxed{\text{Bài toán 367}}$

Cho $p>2$ là 1 số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình:

$ax^2+by^2=pz+c$.

Có nghiệm $(x,y,z)\in N$, với $a,b,c\in N$ và không chia hết cho $p$.

$\boxed{\text{Bài toán 368}}$

Tính: $$\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt[k]{k} \right )$$

$\boxed{\text{Bài toán 348}}$

Cho $\Delta ABC$ trên tia đối tia $AB, BC, CA$ lần lượt vẽ các đoạn thẳng $AD, BE, CF$ sao cho $AB + AD = BC + BE = CA + CF$ ( hay $BD = CE = AF$ ). Chứng minh rằng : Nếu $\Delta DEF$ đều thì $\Delta ABC$ đều.

$\boxed{\text{Bài toán 349}}$

Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt.Xét dãy $\{x_{n} \}:\left\{\begin{matrix} x_0=\alpha \\ x_{n}(ax_{n-1}+b)+c=0;\forall n \in \mathbb{N^*} \end{matrix}\right.$.Tính $\lim x_{n}$ theo $\alpha$.

$\boxed{\text{Bài toán 350}}$

Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:$$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$

$$\frac{1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!}{n\sqrt[n]{(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}}\geq 2\sqrt[2n]{n!}$$

$\boxed{\text{Bài toán 354}}$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. $G$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng $O, I, G$ thằng hàng. Tổng quát bài toán.

$\boxed{\text{Bài toán 355}}$

Giải phương trình: $$(\sqrt{7-x^2}-2)(x^2-1)+x^2+(x-1)^2=2$$

$\boxed{\text{Bài toán 356}}$

Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5>0$. Chứng minh rằng:
$\frac{a_1+\sqrt{a_1a_2}+\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}+\sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}}{5} \leq \sqrt[5]{a_1.\frac{a_1+a_2}{2}.\frac{a_1+a_2+a_3}{3}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}}$

$\boxed{\text{Bài toán 357}}$

Giải bất phương trình:

$$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$$

$\boxed{\text{Bài toán 358}}$

Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh:
$$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$
(với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\dfrac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)

Tính tích phân \[\int_0^\infty \frac{\sin x}{x(1+x)^2}\,dx\]

Cho ma trận $A=\begin{pmatrix}2 &-1  &0 \\  -1&2  &-1 \\  0&-1  &2 \end{pmatrix}$

$\boxed{\text{Bài toán 333}}$ 

 Cho 1 tam giác đều được chia thành $n^2$ tam giác đều bằng nhau. Một trong số đó được đánh số bởi  1,2,3,…,m sao cho các tam giác với các số liên  tiếp phải có cạnh chung. Chứng minh rằng: $m\geq n^2-n+1$

$\boxed{\text{Bài toán 334}}$ 

Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức Catalan:

$$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2(1 \le k \le n)$$

$\boxed{\text{Bài toán 335}}$ 

Cho $P,Q,R$ là các đa thức phức thỏa mãn
$$P^a+Q^b=R^c$$
Với $a,b,c$ là các số tự nhiên.
Chứng minh rằng:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} >1$

$\boxed{\text{Bài toán 336}}$ 

Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau: 

$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$
với $(p=\frac{\sum a}{2})$

Cho $n \in \mathbb{N};n \ge 1$.Ký hiệu $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$

$\boxed{\text{Bài toán 344}}$ 

Giả sử có 6 cuộc mitting A,B,C,D,E,F cần tổ chức. Mỗi cuộc mitting được tổ chức trong một buổi. Các cuộc mitting sau không được diễn đàn đồng thời: BEF,CEF,ABE,CD,AD. Hãy bố trí các cuộc mitting vào các buổi sao cho số buổi diễn ra là ít nhất.