Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


hoangtrong2305

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 26-10-2019 - 14:17
****-

#726633 Phương pháp d'Hondt trong bầu cử

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 19-10-2019 - 23:24

Nghị viện Châu Âu tổ chức cuộc bầu cử vào tháng 5/2019 để bầu đại diện của các quốc gia trong châu Âu cũng như của các đảng phái, dựa vào tỉ lệ của kết quả trúng cử. Ý tưởng để xác định số ghế đại diện của 1 đảng đó là nếu đảng có $x\text{%}$ tổng số phiếu bầu thì đảng sẽ lấy $x\text{%}$ ghế. Tuy nhiên, cách lấy tỉ lệ $\text{%}$ này đôi khi dẫn đến kết quả không phải là số nguyên dương, ví dụ nếu như ta có $600000$ cử tri bầu chọn ra $100$ nghị sĩ đến từ $3$ đảng, kết quả mỗi đảng có $200000$ phiếu bầu, thì mỗi đảng sẽ lấy $1/3$ trong tổng số ghế, tức $100/3 \approx 33.33$ ghế, điều này là phi thực tế.

 

flags.jpg

 

 

Để giải quyết vần để này, ta cần một phương pháp để chuyển đổi tỉ lệ phần trăm sang số ghế. Trong cuộc bầu cử Nghị viện châu Âu 2019, Nghị viện dùng phương pháp d'Hondt, ý tưởng của phương pháp này đó là một ghế trong Nghị viện có giá trị tương ứng với một số lượng phiếu bầu, mỗi đảng có thể "mua" nhiều ghế dựa vào giá trị số phiếu bầu họ có, nếu bầu theo cách chia tỉ lệ rồi làm tròn sẽ xảy ra hiện tượng một đảng nhận ít (hoặc nhiều) ghế hơn giá trị phiếu họ có, điều này hiển nhiên thiếu công bằng, nếu một đảng "mua" hết ghế, tức trong Nghị viện không được thừa ghế trống nào cả.

 

Xác định giá trị thích hợp cho 1 ghế trong Nghị viện có vẻ như khá phức tạp, nhưng ta có một quy trình lặp có thể giúp ta có được giá trị mong muốn. Ta sẽ bắt đầu bằng cách cho mỗi đảng số lượng phiếu bầu lớn nhất có thể để có được 1 ghế, sau đó, với mỗi đảng, ta tính giá trị sau

$$N=\frac{V}{(s+1)}$$

trong đó $V$ là số phiếu bầu mà đảng có sau khi bỏ phiếu và $s$ là số ghế mà đảng đã có (ở thời điểm ban đầu mọi đảng đều có $s=0$, ngoại trừ đảng có nhiều phiếu nhất có $s=1$). Ghế thứ 2 dành cho đảng có giá trị $N$ lớn nhất. Sau đó ta tiếp lục lặp lại quy trình tính $N$ với $s$ tăng theo tương ứng, và ghế thứ 3 dành cho đảng có giá trị $N$ lớn nhất. Quy trình này kết thúc khi không còn ghế trống nào nữa.

 

Do cách trúng cử theo tỉ lệ đòi hỏi ta phải làm tròn lên hoặc xuống số lượng ghế mà mỗi đảng có, cho nên không có phương pháp nào thực sự hiệu quả. Ví dụ như phương pháp d'Hondt có xu hướng thiên về các đảng phái lớn so với đảng nhỏ hơn. Do đó, việc áp dụng phương pháp bầu cử nào đó phụ thuộc vào mục đích mà bạn mong muốn.

 

Ví dụ

 

Giả sử ta có 3 đảng $A, B$ và $C$ ứng cử vào $5$ ghế Nghị sĩ và số lượng cử tri là $60$, giả sử kết quả bầu cử là

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số phiếu bầu} & \text{% tổng số phiếu} \\
\hline
 \text{Đảng A} & 20 & 33.33\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng B} & 15 & 25\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng C} & 25 & 41.66\text{%}\\
\hline
\end{array}$$

 

Nếu ta lấy tỉ lệ, khi đó đảng $A$ sẽ lấy $1.66$ ghế, đảng $B$ lấy $1.25$ ghế, và đảng $C$ lấy $2.083$ ghế. Đây không phải là số nguyên dương nên cách lấy tỉ lệ này không hợp lý, hãy sử dụng phương pháp d'Hondt xem sao.

 

Đảng $C$ có nhiều phiếu bầu nhất, khi đó đảng này sẽ khởi đầu với $1$ ghế. Lúc này ta có:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 0 & 0 & 20/1=20\\
\hline
 \text{Đảng B} & 0 & 0 & 15/1=15\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

 

Đảng có giá trị $N$ lớn nhất là đảng $A$, nên đảng này được $1$ ghế. Bây giờ ta có

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 0 & 0 & 15/1=15\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

Lúc này đảng $B$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được $1$ ghế. Bây giờ ta có

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 1 & 15/2=7.5\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

 

Đảng $C$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được thêm $1$ ghế. Bây giờ ta có:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 1 & 15/2=7.5\\
\hline
 \text{Đảng C} & 2 & 2 & 25/3=8.33\\
\hline
\end{array}$$

Đảng $A$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được thêm $1$ ghế. Lúc này Nghị viện không còn ghế trống nên quy trình chọn ghế kết thúc, kết quả cuối cùng là

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & \text{% tổng số ghế} & \text{% tổng số ghế theo tỉ lệ phiếu bầu} \\
\hline
 \text{Đảng A} & 2 & 40\text{%} & 33.33\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 20\text{%} & 25\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng C} & 2 & 40\text{%} & 41.66\text{%}\\
\hline
\end{array}$$

Kết quả này cho thấy đảng có số phiếu bầu ít nhất (đảng $B$) có tỉ lệ ghế ít hơn so với tỉ lệ phiếu bầu, trong khi đó đảng $A$ có tỉ lệ ghế nhiều hơn tỉ lệ phiếu bầu, còn đảng $C$ có tỉ lệ ghế xấp xỉ với tỉ lệ phiếu bầu. Điều này ứng với giá trị của mỗi ghế là 9 đến 10 phiếu bầu. Bạn có thể kiểm tra bằng cách thay đổi giá trị của một ghế với số lượng phiếu bầu khác 9 hoặc 10 có thể dẫn đến trường hợp thừa hoặc thiếu ghế.

 

Bài viết dịch từ Maths in a minute: The d'Hondt method, trích từ sách Understanding numbers. Xem bản gốc tiếng Anh của bài viết này tại https://plus.maths.o...e-dhondt-method




#726626 Ảnh thành viên

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 19-10-2019 - 20:57

Xin chào mọi người, mình là mem mới, rất vui được làm quen với mọi người

23509327_10155055103073342_6799968902351996145_o.jpg




#726593 Tìm cá voi bằng định lý Pythagoras

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 18-10-2019 - 20:44

Hiện nay cá voi đang chịu nhiều sự đe dọa, ví dụ như nạn săn cá voi, môi trường sống bị suy giảm, nước biển bị ô nhiễm, ảnh hưởng từ thiết bị phát hiện tàu ngầm, hay biến đổi khí hậu. Ngoài ra, cá voi có thể bị mắc kẹt vào tàu cá. Do đó, để tránh cá voi, thủy thủ trên tàu phải biết vị trí của cá voi để tránh. Để giải quyết bài toán này ta cần sử dụng đến một định lý đã có từ thời xa xưa và rất quen thuộc với các bạn học sinh: Định lý Pythagoras.

whales.jpg

Cá voi beluga

 

I. ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS

 

Cho một tam giác vuông như hình dưới, định lý Pythagoras nói rằng diện tích hình vuông ở cạnh huyền $c^{2}$ bằng với tổng 2 diện tích của 2 hình vuông ở 2 cạnh góc vuông, tức $a^{2}+b^{2}$

595px-pythagorean.png

Định lý Pythagoras

Hay nói cách khác

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Định lý này được đặt tên theo nhà Toán học tên là Pythagoras đến từ vùng Samos vào thời Hi Lạp cổ đại.

 

II. TÌM CÁ VOI

 

Một cách để xác định vị trí của cá voi đó là dùng máy thủy âm định vị để phát ra âm thanh và thu lại tiếng vang. Tuy nhiên, cá voi rất ghét âm thanh này vì nó làm cho cá voi bị nhầm tín hiệu với cá voi khác, làm đảo lộn hành vi của cá voi, thậm chí có cá voi phải bơi lên cạn để tránh âm thanh này. Do đó, thay vì sự dụng máy thủy âm định vị phát ra âm thanh trực tiếp đến cá voi, ta hãy lắng nghe chính âm thanh phát ra từ cá voi, hay nói cách khác là nghe cá voi "hát" giống như clip dưới đây

Nếu cá voi bơi gần bề mặt mặt biển và cách tàu một khoảng $L$, thì thời gian $T$ để âm thanh từ cá voi phát ra đi đến tàu là:

$$T=\frac{L}{C}$$

với $C$ là tốc độ âm thanh trong nước biển, khoảng $1500 \text{m/s}$. Bài toán đặt ra là làm thế nào để xác định giá trị của $L$?

whaleship.jpg

 

Để giải được bài toán này, ta cần nghe 2 âm thanh, một âm phát ra trực tiếp từ cá voi đến tàu và âm vang từ đáy biển vọng lên, từ sai số này, ta có thể tính khoảng cách $L$ đến cá voi. Đầu tiên, ta cần tính độ sâu xuống đáy biển xung quanh tàu bằng cách sử dụng máy thủy âm định vị, phát ra một sóng xung hướng thẳng đứng xuống đáy biển và thu lại âm vang, ảnh dưới đây là biểu đồ sóng của tín hiệu thu được từ sóng xung (màu xanh) và âm vang tương ứng (màu đỏ).

soundwave1.jpg

 

Giả sử thời gian để phát ra sóng xung và nhận lại âm vang là $D$, khi đó sóng di chuyển với quãng đường là $2H$ với $H$ là độ sâu từ tàu xuống đáy biển.

depth.jpg

 

điều này có nghĩa

$$D=\frac{2H}{C}$$

chuyển vế, ta được

$$H=\frac{CD}{2}$$

ta có thể ước lượng được $D$ cũng như có giá trị của $C$ nên ta cũng tính được giá trị của $H$.

Trở lại định lý Pythagoras, khi nghe âm thanh phát ra từ cá voi, ta có thể xác định sai số thời gian $\Delta$ của âm thanh đó với âm vang của nó phản xạ từ đáy biển bằng cách nghe hết miền âm vang và xác định quy luật dựa vào thống kê.

depth.jpg

 

Vị trí tàu, vị trí cá voi, và vị trí đáy biển nơi mà âm phát ra từ cá voi chạm đến tạo thành tam giác cân, ta có thể chia tam giác cân này thành 2 hình vuông như giản đồ dưới đây

depth2.jpg

 

Áp đụng định lý Pythagoras vào một tam giác vuông bất kỳ, ta được

$$S^{2}=H^{2}+\frac{L^{2}}{4}$$

do đó

$$S = \sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}$$

Tổng quãng đường mà âm thanh phản xạ lên mặt biển là $2S$, ta viết lại phương trình toán

$$2S=2\sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}=\sqrt{4H^{2}+L^{2}}$$

Do đó, thời gian để âm vang từ cá voi đi đến con tàu là

$$T_\text{âm vang}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{2}$$

Sai số giữa thời gian âm thanh $T$ từ cá voi đến tàu và âm vang $T_\text{âm vang}$ của cá voi phản xạ từ đáy biển là

$$T_\text{âm vang}-T=\Delta=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}-\frac{L}{C}$$

Chuyển vế, ta được

$$\Delta+\frac{L}{C}=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}$$

Bình phương 2 vế

$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}+\frac{L^{2}}{C^{2}}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{C^{2}}$$

Trừ $L^{2}/C^{2}$ ở hai vế, ta được

$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}=\frac{4H^{2}}{C^{2}}$$

vậy

$$L=\frac{2H^2}{\Delta C}-\frac{\Delta C}{2}$$

Do ta biết giá trị của $H$, $\Delta$ và $C$ cũng như hướng phát ra âm thanh của cá voi, ta có thể xác định chính xác vị trí của cá voi, từ đó thủy thủ sẽ điều khiển tàu để tránh cá voi đụng phải.

 

Cảm ơn Pythagoras!

 

Bài viết dịch từ Saving whales using Pythagoras của tác giả Chris Budd. Xem bản tiếng Anh tại https://plus.maths.o...sing-pythagoras

 




#720992 Giải 101 bài tích phân liên tục trong vòng 6 tiếng

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 20-03-2019 - 13:35

Vào ngày 3/3/2019, một người dùng Youtube có tên blackpenredpen đã đăng tải một clip dài gần 6 tiếng quay lại cảnh giải 101 bài tích phân liên tục chỉ trong 1 cảnh quay, không cắt ghép. Mục đích của anh chàng này nhằm cổ động tinh thần cho người bạn tên Lars hiện đang chiến đấu với căn bệnh ung thư. Blackpenredpen bắt đầu giải bài đầu tiên vào lúc 15 giờ 32 phút 30 giây và hoàn tất bài thứ 101 vào lúc 21 giờ 17 phút 20 giây (dựa theo đồng hồ treo tường trong clip).
 
Danh sách 101 bài nguyên hàm - tích phân các bạn xem tại https://docs.wixstat...f7e0c70ad17.pdf
 
Và dưới đây là clip ghi lại quá trình giải 101 bài này của blackpenredpen

 




#691965 Cây kem ốc quế của Archimedes

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 31-08-2017 - 18:10

Trong thế giới thực, đôi khi ta gặp những tình huống yêu cầu ta phải tối ưu hoá không gian để đạt được một ưu thế nhất định, ví dụ như sự phân nhánh và mọc lá của cây thường theo cấu trúc fractal nhằm tối đa hoá diện tích bề mặt hấp thụ nắng và các chất dinh dưỡng. Đây là một trong những nguyên do vì sao đường cong và hình dạng trong tự nhiên thường nhấp nhô, trong khi các kỹ sư thiết kế cánh máy bay hay vành xe hơi phải trơn nhằm tối ưu hoá vấn đề khác.

 

Ta quan sát một tình huống khác với mục tiêu là tối thiểu hoá diện tích bề mặt vào thể tích cho trước. Ví dụ, nếu ta sản xuất lon thiếc để chứa đậu xanh thì khi đó ta muốn tối thiểu diện tích thiếc gần bằng với thể tích $V$ cho trước để chứa đậu xanh. Giả sử lon có đầu và đáy hình tròn có bán kính $r$ và chiều cao $h$, khi đó tổng diện tích bề mặt (hai hình tròn có bán kính $r$ và hình trụ có đường kính $2\pi $ và chiều cao $h$) là

                                                    $$A=2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh$$

beans.png

Do thể tích lon có công thức là $V=\pi {{r}^{2}}h$, ta viết lại công thức diện tích bằng cách thay $h=V/\pi {{r}^{2}}$ như sau

                                                      $$A=2\pi {{r}^{2}}+2V/r$$

Giá trị thể tích là cố định nên để tìm diện tích nhỏ nhất của thiếc thì ta tính đạo hàm

                                     $$\frac{dA}{dr}=4\pi r-\frac{2V}{{{r}^{2}}}$$

và cho kết quả này bằng 0 và kiểm tra bất đẳng thức ${{d}^{2}}A/d{{r}^{2}}>0$ nhằm đảm bảo kết quả nhỏ nhất là chính xác.

 

Do đó ta cần

                                                           $$V=2\pi {{r}^{3}}$$

mặt khác, vì $V=h\pi {{r}^{2}}$ nên ta cần $h=2r$. Từ đó ta thấy rằng trong thực tế đa số lon thiếc có chiều cao bằng với đường kính đáy.

Nếu bạn muốn làm một cái ly hình trụ thì tỉ lệ tốt nhất là $h=r$. Nếu bạn đi siêu thị và quan sát trên kệ bán hàng, bạn sẽ thấy một số lon thiếc thiết kế tối ưu với chiều cao bằng đường kính, nhưng một số lon thì không thiết kế như vậy, chắc nhà sản xuất muốn tạo nên sự khác biệt chăng?

 

Nhân tiện, nếu ta thay đổi bài toán thành tìm hình dạng để thể tích đạt giá trị lớn nhất khi cho trước giá trị diện tích, khi đó hình dạng sẽ như thế nào? Cuối cùng, do đây là mùa hè nóng bức thích hợp để ăn kem ốc quế, hãy tự hỏi rằng khi kinh doanh, ta nên thiết kế bánh ốc quế như thế nào để kinh tế nhất. Archimedes vào thế kỷ 225 trước Công Nguyên, nếu đỉnh của một hình nón mở là hình tròn có bán kính $r$ và chiều cao đến đỉnh là $h$, khi đó thể tích cây kem bao bởi bánh hình nón là

                                                 $$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$$

và diện tích bề mặt là

                                           $$A=\pi r\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$$

optimals_labelled.png

 

Bây giờ quay lại bài toán lon thiếc, ta thay $h=3V/\pi {{r}^{2}}$ vào công thức $A$, tính $dA/dr$ và chi kết quả bằng 0, ta được

$$\frac{dA}{dr}=\pi {{\left( {{r}^{2}}+\frac{9{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}} \right)}^{1/2}}+\frac{\pi r}{2}{{\left( {{r}^{2}}+\frac{9{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left( 2r-\frac{36{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{5}}} \right)$$

Cho biểu thức trên bằng 0, thu được kết quả là

                                  $${{r}^{3}}=3V/\pi \sqrt{2}={{r}^{2}}h/\sqrt{2}$$

và do đó tỉ lệ tối ưu giữa chiều cao và bán kính khi thiết kế vỏ hình nón cho cây kem ốc quế là $h/r=\sqrt{2}$. Vì vậy, vì $r/h=1/\sqrt{2}$ là $\tan \left( \alpha  \right)$ nên góc $\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( 1/\sqrt{2} \right)~=0.6$ radian, tương ứng với ${{35.26}^{o}}$ hay ${{35}^{o}}15'$. Theo nghĩa nào đó thì đây là phần vỏ kem ốc quế “kinh tế” nhất.

 

Những vùng mờ khác nhau ở ảnh trên biểu diễn 3 cây kem ốc quế với thể tích khác nhau, nhưng mỗi cây kem có giá trị $\alpha $ nhằm đảm bảo diện tích bề mặt nhỏ nhất ứng với thể tích tương ứng.

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ent/outer-space




#691771 Biến đổi Fourier trong ảnh

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 29-08-2017 - 02:27

Âm thanh mà ta nghe được, dù đó là nhạc, lời nói hay những tiếng ồn trong đám đông đều là kết quả của sự dao động trong màng nhĩ lỗ tai, được mô phỏng bằng sóng âm lan truyền trong không khí phát ra từ tai nghe, âm thanh nhạc cụ, tiếng nói của con người hay từ một kẻ vô duyên nói luyên thuyên sau lưng bạn khi xem phim ngoài rạp. Khi vẽ đồ thị những dao động này theo cường độ hay áp suất theo thời gian, ta được biểu diễn hình ảnh của âm thanh.

 

tuningfork.png

speech.png

Sóng âm thanh phát ra từ âm thoa (ảnh trên) và sóng âm thanh phát ra khi con người nói (ảnh dưới)

 

Đồ thị sóng âm phát ra từ cây âm thoa hình chữ $A$ là ví dụ cho sóng sine, ký hiệu toán học là $\sin \left( x \right)$, còn đồ thị sóng âm của tiếng nói thì có dạng phức tạp hơn. Tuy nhiên, bất kỳ sóng âm nào, hay có thể nói bất kỳ hàm tuần hoàn nào cũng đều có thể tách thành một số các sóng sine với những tần số và cường độ khác nhau. Kết quả này là công trình nghiên cứu của nhà Toán học người Pháp có tên Joseph Fourier, ông sinh vào thế kỷ 18 trong cuộc Cách mạng Pháp. Biểu thức của sóng âm hay bất kỳ tín hiệu thay đổi theo thời gian được biểu diễn theo các sóng sine được gọi là biểu diễn Fourier của tín hiệu đó.

Fourier_transform.gif

Hàm $f$ thay đổi theo thời gian biểu diễn sóng âm. Quy trình biến đổi Fourier dùng hàm $f$ và phân rã thành các sóng sine tương ứng với cường độ và tần số riêng biệt. Ta biểu diễn biến đổi Fourier thành các đỉnh gai trong miền tần số, chiều cao mỗi đỉnh gai biểu diễn biên độ sóng của tần số đó

 

Bạn có thể xem hình ảnh là một hàm biến đổi, tuy nhiên, hàm biến đổi này không biến đổi theo thời gian mà biến đổi theo không gian 2 chiều của ảnh. Đối với ảnh xám, mỗi điểm ảnh có giá trị từ 0 đến 255 biểu diễn cường độ ảnh. Do đó, cường độ của điểm ảnh là một hàm số theo toạ độ trục tung và trục hoành tương ứng với vị trí của điểm ảnh đó. Bạn có thể xem ảnh như một cảnh có những gợn sóng nhấp nhô, với chiều cao của cảnh tương ứng với giá trị của điểm ảnh.

 

R%2BM-surf.jpg

Một tấm ảnh số được đăng trên tạp chí Plus, mỗi điểm ảnh có giá trị từ 0 đến 255 biểu diễn mức xám của điểm ảnh. Ảnh bên phải là hàm ảnh của ảnh bên trái, với mỗi giá trị xám $u\left( x,y \right)$ là chiều cao của bề mặt trong mặt phẳng $\left( x,y \right)$

 

Ta có thể biểu diễn ảnh thành tổng các sóng sine, nhưng thay vì biểu diễn theo sóng một chiều thì ta biểu diễn theo hai chiều, giống như những gợn sóng trên sông.

 

Sóng sine 2 chiều được viết là

                                                    $$z=a\sin \left( hx+ky \right)$$

với $x$ và $y$ là toạ độ của điểm trên “sông”, $z$ là độ cao (hay cường độ) của sóng tại điểm đó, còn $a$ là biên độ (độ cao lớn nhất) của sóng, còn $h$ và $k$ là số lần sóng lặp lại theo chiều $x$ và $y$ riêng biệt (tức tần số $x$ và $y$).

sinx-sin2y-sinx%2By.jpg

Đồ thị sóng $\sin \left( x \right),\sin \left( 2y \right)$ và $\sin \left( x+y \right)$

 

Khi $k=0$, sóng sine chỉ dao động dọc theo trục $x$. Khi $h=0$, sóng sine chỉ dao động theo trục $y$. Nhưng nếu $k$ và $h$ khác 0, sóng sine dao động theo chiều chéo theo mặt phẳng theo hướng góc nhất định (vuông góc với sóng trước) và độ dốc là $h/k$.

 

Cộng những sóng này lại tương đương với cộng những giá trị riêng biệt (hay độ cao) của sóng tại mỗi điểm ảnh. Các sóng này giao thoa cùng pha tạo thành sóng cuối cùng có giá trị cao hơn tại điểm đó hay giao thoa ngược pha và triệt tiêu nhau. Nếu biên độ của một trong các sóng cao hơn các sóng còn lại thì sóng đó sẽ có ưu thế hơn.

sinx%2By-5sinx-5siny.jpg

Các sóng $\sin \left( x \right)+\sin \left( y \right),5\sin \left( x \right)+\sin \left( y \right)$ và $\sin \left( x \right)+5\sin \left( y \right)$. Bạn có thể thấy độ lớn của biên độ sóng $5\sin \left( x \right)$ ở ảnh giữa và $5\sin \left( y \right)$ ở ảnh phải chiếm ưu thế trong sóng cuối

 

Biến đổi Fourier của ảnh sẽ tách hàm ảnh thành tổng các sóng sine tương ứng. Giống như sóng âm, biến đổi Fourier có đồ thị theo tần số còn trong ảnh thì miền tần số là 2 chiều, đó là tần số $h$ và $k$ theo chiều $x$ và $y$, do đó biến đổi Fourier có đồ thị không phải dạng chuỗi các đỉnh nhọn mà là một ảnh cùng chiều và kích thước điểm ảnh như ảnh ban đầu.

 

Mỗi điểm ảnh trong biến đổi Fourier có toạ độ $\left( h,k \right)$ nhằm biểu diễn sóng sine theo tần số $h$ ở trục $x$ và tần số $k$ ở trục $y$ trong biến đổi Fourier. Toạ độ tâm biểu diễn sóng $\left( 0,0 \right)$, tức một mặt phẳng không gợn sóng và cường độ (tức độ sáng của màu theo thang xám) là giá trị trung bình của các điểm ảnh trong ảnh. Điểm nằm bên trái và bên phải của điểm trung tâm biểu diễn sóng sine biến đổi theo trục $x$ (tức $k=0$). Độ sáng của những điểm này biểu diễn cường độ của sóng sine với tần số của điểm đó theo biến đổi Fourier (cường độ này là biên độ của sóng sine bình phương). Những sóng thẳng đứng ở trên và dưới điểm trung tâm biểu diễn các sóng sine thay đổi theo $y$ nhưng không đổi theo $x$ (tức $h=0$) và những điểm khác trong biến đổi Fourier biểu diễn mức đóng góp của sóng chéo.

 

sinx-ft-zoom.jpg

Sóng $\sin \left( x \right)$ được biểu diễn dưới ảnh xám và biến đổi Fourier của ảnh xám đó

 

Ví dụ, xem ảnh bên trái, đây là ảnh xám của sóng $\sin \left( x \right)$ hai chiều, ảnh kế bên là biến đổi Fourier của ảnh xám này, ảnh biến đổi có cùng kích thước với ảnh xám, đa số là màu đen ngoại trừ những vùng sát với tâm ảnh thì có vài điểm ảnh sáng. Nếu ta phóng to vào tâm ảnh biến đổi (ảnh bên phải), bạn thấy có chính xác 3 điểm ảnh không phải màu đen, một điểm sáng nằm ở điểm tâm ảnh có toạ độ $\left( 0,0 \right)$ biểu diễn mức đóng góp của sóng $\left( 0,0 \right)$ trong ảnh, một điểm có toạ động $\left( 1,0 \right)$ và điểm đối xứng nằm ở $\left( -1,~0 \right)$ biểu diễn mức đóng góp của sóng $\left( 1,0 \right)$ (sóng sine ở ảnh trái), còn các điểm ảnh còn lại có màu đen do ảnh xám ban đầu chỉ sử dụng sóng $\left( 1,~0 \right)$.

 

Eg-simpleFTs.jpg

Ảnh trên: Sóng $\sin \left( 20x \right)+\sin \left( 10y \right)$ và ảnh biến đổi Fourier cho thấy 2 cặp điểm ảnh tại toạ độ $\left( 20,0 \right)$ và $\left( 0,10 \right)$ và toạ độ đối xứng biểu diễn mức đóng góp của 2 sóng này.

Ảnh dưới: Sóng $\sin \left( 100x+50y \right)$ và ảnh biến đổi Fourier cho thấy cặp các điểm ảnh sáng tại toạ độ $\left( 100,50 \right)$ và toạ độ đối xứng

 

Biến đổi Fourier của các tổ hợp sóng đơn giản chỉ có vài điểm sáng, nhưng với những ảnh phức tạp hơn như ảnh kỹ thuật số thì có nhiều điểm sáng hơn khi biến đổi Fourier do ảnh dùng nhiều sóng để biểu diễn ảnh.

 

Biến đổi Fourier ở nhiều ảnh số mà ta thường gặp, thông thường cường độ ở trục $x$ và $y$ sẽ mạnh khi biến đổi, cho thấy các sóng sine chỉ biến đổi dọc theo các trục này có vai trò rất lớn trong ảnh cuối cùng bởi vì trong một ảnh sẽ chức rất nhiều đặc trưng theo chiều ngang và dọc và đối xứng, như ảnh chụp bức tường, cạnh bàn, kể cả cơ thể người cũng có tính đối xứng theo chiều dọc. Bạn có thể quan sát điều này bằng cách xoay ảnh một chút, khoảng $45^{o}$, khi đó biến đổi Fourier sẽ có cường độ mạnh tại cặp các đường thẳng vuông góc dã được xoay cùng một lượng với góc xoay của ảnh.

 

Plus-FT.jpg

Ảnh xám trong tạp chí Plus và ảnh sau khi biến đổi Fourier cho thấy chuỗi các mức đóng góp của sóng dọc biểu diễn bởi các điểm sáng dọc theo trục tung.

 

Plus45-FT.jpg

Ảnh trong tạp chí Plus xoay một góc ${{45}^{o}}$ và biến đổi Fourier

 

Biến đổi Fourier là một công cụ tuyệt diệu khi phân tích và sử dụng âm thanh hay hình ảnh. Đối với ảnh, biến đổi Fourier là công cụ toán học quan trọng khi nén ảnh (ví dụ như chuẩn ảnh JPEG), lọc ảnh hay giảm mờ, nhiễu ảnh.

 

Ảnh sóng sine 2 chiều, bề mặt sóng và biến đổi Fourier được tạo bởi phần mềm toán học MATLAB, nếu bạn muốn tự trải nghiệm với ảnh của bạn, bạn có thể dùng đoạn code tại https://plus.maths.o...rola/MATLAB.TXT

 

Một bài tiểu luận nhỏ của tôi về lọc ảnh trong miền tần số có sử dụng đến biến đổi Fourier, sử dụng code trên MATLAB: https://www.academia..._lọc_Contourlet

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ansforms-images




#688473 Sơ nét về phân phối Nhị thức

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 23-07-2017 - 23:26

Để tìm hiểu về phân phối Nhị thức, ta hãy chơi trò chơi sau: Tôi tung đồng xu $n$ lần, nến xuất hiện mặt sấp $k$ lần thì bạn thắng 1 triệu đồng, nếu không, bạn thua tôi 1 triệu đồng. Hỏi với các giá trị $n$ và $k$ khác nhau thì xác suất tương ứng bạn thắng là bao nhiêu? 

 

Để trả lời câu hỏi này, ta sẽ dùng đến phân phối Nhị thức, phân phối này giúp bạn xác định xác suất $k$ lần thành công (tức được mặt sấp) trong tổng cộng $n$ lần thử (tức số lần tung đồng xu). Để hiểu về xác suất này, ta cần biết về xác suât thành công, trong ví dụ tung đồng xu thì xác suất tung được mặt sấp là $0.5$ với điều kiện đồng xu đồng chất, còn nếu đồng xu không đồng chất thì xác suất sẽ khác đi. Để biết xác suất tổng quát, ta ký hiệu $p$ là xác suất bạn thắng, khi đó, xác suất ta đạt được một chuỗi thành công và thất bại theo một trình tự riêng biệt bằng với tích các xác suất riêng lẻ. Ví dụ, xác suất đạt được chuỗi trình tự thành công, thành công, thất bại là

$$p \times p \times (1-p)$$

binomial.png

Phân phối Nhị thức với các cặp $n$ và $k$ khác nhau. Đồ thị biểu diễn xác suất xảy ra $k$ trong $n$ lần thử là thành công

 

Nhưng ta không quan tâm đến trình tự thành công và thất bại mà ta chỉ quan tâm đến số lần thành công, khi đó ta cần cộng các chuỗi trình tự xác suất, từ đó ta được xác suất thành công. Quay lại ví dụ tung đồng xu với 3 lần tung và 2 lần thành công, khi đó trường hợp có thể xảy ra là

  • Thành công, thành công, thất bại
  • Thành công, thất bại, thành công
  • Thất bại, thành công, thành công

Mỗi trường hợp có xác suất $p \times p \times (1-p)$, do đó xác suất xảy ra 1 trong 3 trường hợp này là

$$3 \times p \times p \times (1-p) = 3p^{2}(1-p)$$

Viết tổng quát hơn

$$P(k\text{ thành công từ } n \text{ lần thử })=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k}$$

Giá trị $k$ có thể nhận giá trị $0,1,2$ cho đến $k$, hệ số đầu tiên là hệ số nhị thức

$$\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Dấu chấm than là ký hiệu của phép tính giai thừa, định nghĩa là

$$n! = n\times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$$

Ta có thể xem hệ số nhị thức là số cách chọn $k$ phần tử không theo thứ tự từ $n$ phần tử. Phân phối nhị thức có trung bình là $np$ và phương sai là $np(1-p)$.

 

Bài viết dịch từ https://plus.maths.o...ntent/node/6855




#674324 Cô dâu bỏ đám cưới vì chú rể giải toán sai

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 15-03-2017 - 12:53

Một cô dâu ở Ấn Độ thẳng thừng bỏ về giữa đám cưới sau khi chú rể trả lời sai phép toán đơn giản 15 cộng 6 bằng bao nhiêu. 

 

Theo Times of Indian, vụ việc xảy ra ở bang Uttar Pradesh hôm 11/3. Khi đó, gia đình hai họ cùng bà con, dân làng đều đã tập trung đông đủ ở một nhà hàng để tham dự đám cưới của chú rể Ram Baran.
 
Tuy nhiên, vì nghi ngờ về trình độ học vấn của Baran, anh em họ của cô dâu đã yêu cầu anh giải một phép toán đơn giản, đó là 15 cộng 6 bằng bao nhiêu.
 
Họ được một phen sốc nặng khi thay vì đáp án 21, Baran lại trả lời là 17. Cô dâu rất tức giận và từ chối tiếp tục làm đám cưới với anh.
 
Khi hôn lễ sắp được cử hành, cô tuyên bố không thể kết hôn với một người thất học. Gia đình chú rể đã cố gắng thuyết phục cô dâu ở lại nhưng cô không chấp nhận và bỏ đi.
 
"Bất cứ học sinh lớp 1 nào cũng có thể trả lời bài toán đơn giản này. Gia đình chú rể đã giấu chúng tôi về học vấn của anh ta", ông Mohar Singh, cha của cô dâu nói. "Thật xấu hổ khi chúng tôi đã chuẩn bị chu đáo để đến đây. Nó cũng ảnh hưởng đến uy tín của chúng tôi. Chúng tôi đã bị lừa".
 
Những người họ hàng của cô dâu sau đó trình báo vụ việc với cảnh sát. Sau khi được giảng hòa, gia đình hai bên đã đi đến thỏa thuận sẽ trả lại số sính lễ và trang sức mà họ trao đổi trong lễ đính hôn.
 
"Hai gia đình đã giải quyết ổn thỏa vụ việc", một cảnh sát nói.
 
Tháng trước, một cô dâu khác ở Uttar Pradesh đã cưới một khách đến dự tiệc sau khi chú rể bị ngất giữa buổi lễ. Gia đình anh này không tiết lộ chuyện anh ta bị động kinh. Trong khi chú rể được đưa tới bệnh viện, cô dâu đã yêu cầu một trong những vị khách thay thế hôn phu của mình.
 
Hầu hết các đám cưới ở Ấn Độ đều do gia đình sắp đặt. Ngoài các cuộc gặp mặt chóng vánh, các cặp tân lang, tân nương hiếm khi hiểu nhau trước khi về chung sống.
 



#674243 Học toán ở Mỹ dễ như... ăn kẹo

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 14-03-2017 - 13:37

Hồi tôi còn ở Việt Nam, khi có dịp phỏng vấn các em du học sinh về chương trình toán mà các em được học tại Mỹ, tất cả đều trả lời rằng “rất dễ!”. Khi ấy tôi vẫn không thể hình dung cái sự dễ dàng “như ăn kẹo” ấy như thế nào, cho đến khi cơ hội đẩy đưa tôi ghi danh vào một trường CĐ cộng đồng ở Mỹ.

“You don’t care” (Bạn không quan tâm đến kết quả)

Khi ấy, tôi lần lữa hoài vẫn chưa muốn chọn học môn toán cho học kỳ đầu tiên, vì nỗi ám ảnh học toán ở phổ thông vẫn còn đeo đẳng tôi. Thế nhưng, toán là một trong những môn bắt buộc cho kỳ thi đầu vào (placement test) ở tất cả trường học CĐ, ĐH tại Mỹ.

Hơn 20 năm chưa đụng đến toán, từ khi tốt nghiệp THPT, kiến thức toán của tôi rơi rụng rất nhiều... Tuy nhiên, tôi vẫn đậu được vào lớp, cao thứ nhì của kỳ thi đầu vào, với các phép tính chủ yếu về cộng, trừ, nhân, chia!

Giáo sư dạy toán của lớp tôi có phong cách rất bình dân, ông thường mặc quần short khi vào lớp. Ông cũng rất linh động (trong sự dễ dãi) khi lùi thời hạn cuối nộp bài tập cho những sinh viên bận rộn hoặc lười biếng.

Với một bài toán khó, giáo sư thường hài hước hỏi sinh viên giơ tay nếu nghĩ kết quả A hay B đúng, hoặc “you don’t care” (không quan tâm đến kết quả).

Giờ học toán trôi qua rất nhẹ nhàng khi giáo sư luôn tận tình giải những bài toán khó trên bảng. Nếu sinh viên vẫn chưa hiểu thì có thể hỏi ông hoặc một trợ giảng môn toán luôn có mặt ở lớp, để cùng ông thầy giúp sinh viên nắm được cách giải toán trước khi bước ra khỏi lớp.

Lớp toán tôi đang học - “Intermediate Algebra” (trung cấp đại số) là lớp cuối cùng cho sinh viên chuyên ngành kinh tế bắt buộc phải học (sinh viên những chuyên ngành khác không đòi hỏi trình độ toán cao hơn thì có thể chọn những lớp thấp hơn), nhưng thật ra kiến thức tương đương với toán bậc THCS ở Việt Nam, với các yêu cầu giải đơn thức, nhị thức, đa thức, học về hệ số, số mũ, phân số.

Hằng đẳng thức đáng nhớ thì chỉ mới học ba dạng đơn giản nhất như (a + b)2, (a - b)2, a2 - b2. Vẽ đồ thị thì vô cùng đơn giản, vì có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay TI-83, hoặc TI-84 (sinh viên được khuyến khích sử dụng máy, có thể mướn máy ở trường với giá 10 USD/học kỳ), nên chỉ cần nhập phương trình y là máy tự động vẽ đồ thị và tính toán tọa độ (x, y).

Điều tôi muốn nói chính là học toán ở Mỹ rất nhẹ nhàng và hứng thú. Giáo viên không gây sức ép với học sinh, trong khi ở Việt Nam, nhiều học sinh phải đi học thêm mới hiểu bài và qua được các kỳ kiểm tra 15 phút, 1 tiết hóc búa, chỉ những ai học thêm tại nhà thầy cô mới có bí quyết giải.

Học toán ở Việt Nam thật sự là nỗi ám ảnh kinh hoàng đối với tôi (thỉnh thoảng ác mộng còn trở lại, cho dù tôi đã tốt nghiệp 5-10 năm sau).

Không thể dở toán ở Mỹ

Định kiến “học toán quá khó và thiếu tính thực tế” của tôi đã bị phá vỡ khi tôi bắt đầu học toán ở Mỹ. Tôi chẳng thể ngờ có một ngày việc giải toán lại trở nên cuốn hút tôi, khiến tôi có thể thức khuya để giải cho xong những bài toán khó, với cảm giác hạnh phúc khi chạm đến “chân lý”.

Học toán tại Mỹ khác ở Việt Nam không chỉ vì kiến thức dễ hơn (chỉ so sánh tổng quát), mà còn vì phương pháp học. Mỗi sinh viên bắt buộc phải mua một tài khoản online của nhà xuất bản để đăng ký khóa học với giáo sư của mình. Tài khoản này thường có giá trị trong một học kỳ và tự động hết hiệu lực sau khi một học kỳ kết thúc.

Khi đã có tài khoản đăng ký, sinh viên sẽ vào lớp toán của mình, giải bài tập online hằng tuần. Số tiền bỏ ra rất đáng đồng tiền bát gạo, vì ở website này không chỉ có nội dung kiến thức của sách giáo khoa, mà còn có video hướng dẫn giải toán rất chi tiết của các giáo sư từ nhiều trường CĐ, ĐH Mỹ.

Đặc biệt, trong mỗi câu hỏi của bài tập luôn có ví dụ đi kèm, giúp người học nghiên cứu cách giải.

Nếu xem xong ví dụ mà vẫn chưa giải được thì sinh viên có thể chọn thanh công cụ “giúp tôi giải bài toán này” (thông thường sinh viên phải giải 2 chuyên đề mỗi tuần, mỗi chuyên đề có từ 22 - 30 câu hỏi).

Nếu vẫn còn “bí” nữa thì email trực tiếp cho giáo sư của mình để nhờ giải bài toán khó. Tôi chưa từng phải email hỏi giáo sư, vì thường giải được hết bài sau khi xem ví dụ, hoặc nhờ website hướng dẫn giải từng bước.

Học toán ở Mỹ bắt buộc sinh viên phải đến một nơi gọi là “Learning Center” (trung tâm học tập) ít nhất ba tiếng cho một học kỳ. Có giáo sư còn khuyến khích sinh viên đến nơi này để nhận thêm điểm cộng, nếu học trò “vượt chỉ tiêu”.

“Trung tâm học tập” là nơi luôn có giáo sư hoặc gia sư “tutor” - những sinh viên giỏi toán được trường mướn để giúp học trò giải các bài toán hóc búa, hoặc ôn lại kiến thức mất căn bản.

Cho dù bạn lười biếng, bạn cũng không thể dở toán ở Mỹ, vì phương tiện và nhân lực luôn có sẵn để hỗ trợ việc học của bạn. Còn việc giỏi toán hay không lại là một phạm trù khác, phụ thuộc vào năng khiếu của mỗi người.

Hãy để toán là “thứ học được”

Từ toán học “mathematics” trong tiếng Anh bắt nguồn từ “máthema” tiếng Hi Lạp cổ, nghĩa là “thứ học được”. Toán học là một môn khoa học thiết yếu liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, y học và tài chính.

Học sinh Việt Nam cần một nền toán học ứng dụng để “học được”, để ít nhất sau khi ra trường có thể tính được những bài toán căn bản thực tế, như cần mua bao nhiêu gạch nếu phải sửa nhà. Để học sinh không ghét hoặc có định kiến về toán học thì cần những cải tổ thật sự hiệu quả từ Bộ GD-ĐT.

 

 

Trích báo Tuổi Trẻ, đăng ngày 14/03/2017: http://tuoitre.vn/ti...eo/1279739.html




#671680 Hình học và thời gian

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 15-02-2017 - 00:55

HÌNH HỌC VÀ THỜI GIAN

 

Hình học phẳng và hình học không gian trong chương trình toán phổ thông đều là hình học Euclide. Thêm một chiều thời gian vào hình học chúng ta sẽ có hình học không thời gian hay còn gọi là hình học Minkowski với những nhận thức mới về thế giới xung quanh. Một trong phát hiện quan trọng của hình học không thời gian có ảnh hưởng tới sự phát triển của nhân loại là công thức năng lượng của Einstein. Công nghệ định vị toàn cầu GPS sẽ không thể chính xác nếu không tính đến các quan niệm mới về khoảng cách và thời gian. Hình học không thời gian ra đời khi hình học Euclide không thể giải thích được các quan sát thực nghiệm về vận tốc ánh sáng. Einstein, Lorentz, Poincaré và Minkowski đã tìm ra hình học không thời gian khi đi tìm một mô hình toán học để giải thích thí nghiệm Michelson-Morley. Ứng dụng toán học vào thực tiễn trước tiên là phải chọn mô hình toán học phù hợp và không ràng buộc các quan niệm của chúng ta vào bất cứ lý thuyết toán học nào.

 

1. Nguyên lý cộng vận tốc

Giả sử có một con tàu chạy với vận tốc $v$, trên tàu có một hành khách đi với vận tốc $u'$. Người quan sát trên sân ga sẽ thấy hành khách chuyển động với vận tốc $u$ là bao nhiêu? Bài toán này tuy rất đơn giản đối với học sinh phổ thông, nhưng chúng ta sẽ thử thận trọng kiểm tra từng bước lập luận. Nhiều ý tưởng khoa học vĩ đại cũng đã ra đời khi xem xét các ví dụ đơn giản như vậy. Nếu chúng ta đánh dấu một điểm $X$ bất kỳ trên con tàu, trong một khoảng thời gian $t$, người quan sát trên sân ga sẽ thấy điểm $X$ dịch chuyển một đoạn đường $x=vt$. So với điểm $X$, hành khách sẽ đi được một đoạn đường là $x'=u't$. Trong hình học Euclide, khoảng cách mà hành khách di chuyển so với sân ga là $s = s_1 + s_2 = (v + u')t$. Như vậy vận tốc của hành khách là $u = v + u'$. Đó chính là nguyên lý cộng vận tốc (Hình 1).

 

Capture1.PNG

Hình 1: Nguyên lý cộng vận tốc.

 

Nguyên lý cộng vận tốc được ứng dụng rộng rãi trong đời sống và tỏ ra khá chính xác với các vận tốc trong đời thường, nhỏ so với vận tốc ánh sáng $c = 300.000 \text{ km/c}$. Toán học đẹp đẽ ở chỗ giúp ta biết trước được các kết quả đo đạc bằng cách sử dụng các công thức toán. Lập luận của nguyên lý cộng vận tốc chỉ dựa trên việc cộng khoảng cách dường như hiển nhiên là đúng. Tuy nhiên, những chân lý được cho là hiển nhiên nhiều lần đã đánh lừa cả những bộ óc vĩ đại nhất. Ví dụ như, năm 1922, Elie Cartan đã đưa ra một lý thuyết tổng quát cho hình học Riemann. Ngay lập tức, ông đã nghĩ tới việc áp dụng lý thuyết này để mở rộng lý thuyết tương đối của Einstein. Do sử dụng một công thức sai mà Cartan cho là đúng "hiển nhiên", ông đã đi đến những hệ quả mâu thuẫn với thực tiễn. Điều đó làm việc ứng dụng lý thuyết Cartan vào thực tế bị chậm lại gần nửa thế kỷ.

 

Chúng ta hãy thử xét thêm một bài toán khác. Giả sử trên tàu chuyển động với vận tốc $v$ có một nguồn sáng. Biết rằng ánh sáng truyền với vận tốc xấp xỉ $c = 300.000 \text{ km/s}$. Nếu áp dụng nguyên lý cộng vận tốc, người quan sát trên sân ga sẽ thấy ánh sáng chuyển động với vận tốc $c+v$ (Hình 2).

 

Capture2.PNG

Hình 2: Vận tốc ánh sáng không đổi khi nguồn sáng chuyển động.

 

Mặc dù trong lập luận nêu trên, chúng ta chỉ dựa trên nguyên lý cộng vận tốc, nhưng chúng ta sẽ thấy kết luận của nó khác xa với thực tế.

 

2. Thí nghiệm Michelson-Morley

 

Năm 1887, Albert Michelson và Edward Morley đã tiến hành một thí nghiệm cho thấy rằng ánh sáng truyền theo mọi phương với vận tốc không đổi, không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn sáng. Theo kết quả thí nghiệm Michelson-Morley, nguyên lý cộng vận tốc không thể áp dụng cho ánh sáng. Cụ thể, trong ví dụ nêu trên, người quan sát đứng trên sân ga sẽ phải thấy vận tốc ánh sáng cũng bằng c giống như hành khách trên tàu. Điều đó có gì mâu thuẫn hay không? Thí nghiệm hay lập luận về nguyên lý cộng vận tốc đã có sai sót? Trong thực tế, thí nghiệm MichelsonMorley đã được lặp lại nhiều lần, loại bỏ mọi sai số và đều dẫn đến kết luận như nhau, không thể lầm lẫn.

 

Chúng ta sẽ còn phải biện luận một khả năng nữa. Thí nghiệm Michelson-Morley được thực hiện trong phòng thí nghiệm đặt trên Trái Đất. Vì thế, nếu Trái Đất đứng yên tuyệt đối như trong thuyết địa tâm của Nhà Thờ Trung cổ, thí nghiệm Michelson-Morley cũng sẽ cho thấy ánh sáng truyền theo mọi phương với vận tốc không đổi. Tuy vậy, chúng ta có những bằng chứng khác để chắc chắn rằng Trái Đất không đứng yên và thực hiện nhiều chuyển động quay khác nhau. Khi một vật bất kỳ chuyển động quay, sẽ có một lực Coriolis tác động lên vật chuyển động trên bề mặt của nó. Trong thực tế người ta đã quan sát được lực này trên hai bán cầu của Trái Đất theo hai hướng khác nhau như trong Hình 3.

 

Capture3.PNG

Hình 3: Lực Coriolis chứng tỏ Trái Đất không đứng yên.

 

Chúng ta sẽ đi tìm một lời giải thích khác cho thí nghiệm Michelson-Morley.

 

3. Phép biến đổi Lorentz

 

Như vậy, chúng ta cần phải có một công thức cộng vận tốc mới có thể áp dụng được cả cho trường hợp nguồn sáng chuyển động. Công thức mới phải đảm bảo vận tốc ánh sáng đối với người quan sát trên sân ga cũng giống như đối với người quan sát trên tàu và đều bằng $c$ vừa có thể bao gồm cả nguyên lý cộng vận tốc cũ ở một mức độ chính xác nào đó. Để làm được điều này, chúng ta sẽ xét lại các giả thiết "ngầm định" trong lập luận nêu trên về cộng vận tốc. Thậm chí, chúng ta có thể phải thay đổi các quan niệm về khoảng cách, thời gian, hoặc cả hai trong nguyên lý cộng vận tốc mới.

 

Người đầu tiên làm được điều đó vào năm 1892 là nhà vật lý người Hà Lan Henrik Lorentz (giải thưởng Nobel năm 1902). Ông giải thích việc vận tốc ánh sáng không thay đổi khi nguồn sáng chuyển động bằng cách cho rằng thời gian và khoảng cách do người quan sát trên sân ga và trên tàu đo được là khác nhau. Cụ thể người quan sát trên sân ga sẽ đo được khoảng thời gian và quãng đường một đối tượng bất kỳ (kể cả ánh sáng) đi được trong khoảng thời gian lần lượt là $t$và $x$. Trong khi đó người quan sát đứng yên trên tàu sẽ đo được các đại lượng này là $t'$và $x'$. Lorentz đã tìm được liên hệ giữa các đại lượng do hai người quan sát được thông qua phép biến đổi Lorentz sau đây
$$\begin{equation} x'=\beta (-vt+x), \,t'=\beta \left(t-\frac{v}{c^2} x \right ) \end{equation}$$
trong đó $\beta = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ là hệ số Lorentz. Trước tiên, chúng ta hãy kiểm tra xem phép biến đổi Lorentz có thỏa mãn các yêu cầu đã đề ra hay không.

 

Dễ dàng thử được,công thức biến đổi Lorentz (1) thỏa mãn hệ thức
$$\begin{equation} x^2-c^2t^2=x'^2-c^2t'^2 \end{equation}$$
Hệ thức (2) có ý nghĩa rất quan trọng: Đại lượng $x^2 - c^2t^2$ luôn là một số không đổi không phụ thuộc người quan sát khi họ chuyển động so với nhau.

 

Trong trường hợp số không đổi này bằng 0, đối tượng quan sát sẽ chuyển động với vận tốc ánh sáng đối với cả hai người quan sát bất kỳ
$$\begin{equation} u=x/t=u'=x'/t'=c \end{equation}$$
đây chính là trường hợp nguồn sáng chuyển động không làm thay đổi vận tốc của ánh sáng trong thí nghiệm Michelson-Morley.
Chúng ta hãy tìm công thức cộng vận tốc mới từ công thức biến đổi Lorentz (1) như sau:
$$\begin{equation} x'/t'=\frac{-v+x/t}{1-v/c^2x/t} \end{equation}$$
hoặc một cách tường minh hơn
$$\begin{equation} u'=\frac{-v+u}{1-v/c^2u},\, u=\frac{u'+v}{1+v/c^2u'} \end{equation}$$
Đối với những vật chuyển động với vận tốc nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng $v/c^2 \approx 0$, chúng ta có nguyên lý cộng vận tốc cũ $u = v + u'$. Như vậy, nếu thời gian và quãng đường do hai người quan sát bất kỳ đo được liên hệ với nhau bởi phép biến đổi Lorentz (1), chúng ta sẽ có nguyên lý cộng vận tốc mới thỏa mãn mọi yêu cầu của thực nghiệm. Điểm cốt lõi nhất trong phép biến đổi Lorentz là thời gian và quãng đường đi được của đối tượng do hai người quan sát là khác nhau. Đặc biệt khái niệm "thời gian địa phương" của người quan sát của Lorentz được nhà toán học Henri Poincaré đánh giá là ý tưởng "tài tình nhất".

 

4. Hệ quy chiếu và bất biến

 

4.1. Biến đổi tọa độ không gian

 

Trong hình học Euclide, chúng ta đã quen thuộc với việc sử dụng phép biến đổi tọa độ không gian. Để đơn giản chúng ta chỉ xem xét không gian hai chiều, tuy mọi tính chất toán học quan trọng mà chúng ta quan tâm sẽ không thay đổi trong không gian nhiều chiều hơn. Một điểm $P$ cho trước được mô tả bằng các tọa độ $(x_1, x_2)$ trong hệ tọa độ thứ nhất và $(x_1', x_2')$ trong hệ tọa độ thứ hai quay đi một góc $\theta$ so với hệ tọa độ thứ nhất như trong Hình 4.

 

Capture4.PNG

Hình 4: Phép quay không gian bảo toàn khoảng cách

 

Sử dụng kiến thức hình học và lượng giác phổ thông, chúng ta có thể tìm ra công thức biến đổi quay hệ tọa độ như sau
$$\begin{equation} x_1'=\cos \theta x_1+\sin \theta x_2,\, x_2'=\sin \theta x_1-\cos \theta x_2 \end{equation}$$
Hiển nhiên khoảng cách của đoạn OP không thay đổi khi ta quay hệ tọa độ. Do đó
$$\begin{equation} OP^2=x_1^2 + x_2^2 = x_1^{'2} + x_2^{'2} \end{equation}$$
Không những thế, khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ $P$ và $Q$ cũng không thay đổi với phép quay hệ tọa độ theo trục bất kỳ trong hình học Euclide.

 

Theo ngôn ngữ của toán học, khoảng cách bất biến với phép quay. Trong không gian Euclide 2 chiều chỉ có một phép quay, trong không gian 3 chiều có 3 phép quay độc lập theo ba trục không gian vuông góc với nhau. Tổng quát, trong không gian $n$ chiều có $n(n-1)/2$ phép quay độc lập. Như vậy, chúng ta sẽ hiểu tại sao trong các giáo trình toán cao cấp, định nghĩa hình học Euclide bao gồm các phép biến đổi quay hệ tọa độ và tính chất bất biến khoảng cách. Trong sách giáo khoa phổ thông, các thuộc tính bất biến được "ngầm định" xem như đúng hiển nhiên, không phát biểu thành tiên đề. Các tính chất bất biến với phép quay này được sử dụng trong các bài toán dựng hình và khi chứng minh các trường hợp bằng nhau của tam giác.

 

Về mặt vật lý, người ta "lý giải" về khả năng ứng dụng hình học Euclide với bất biến khoảng cách là do không gian có tính đồng nhất và đẳng hướng. Nếu trong không gian có một phân bố không đồng đều của các chất, nó sẽ không còn thuần nhất và đẳng hướng nữa. Các hình sẽ bị "méo đi" khi bị dịch chuyển trong các không gian như vậy. Chẳng hạn khi trong không gian có trường hấp dẫn khá mạnh, các đường thẳng sẽ bị uốn cong. Khi đó người ta sẽ phải sử dụng hình học Riemann thay cho hình học Euclide. Như vậy, bất biến khoảng cách không phải là một chân lý hiển nhiên bất di bất dịch. Khoa học không đặt niềm tin mù quáng vào bất cứ chân lý được thừa nhận nào của quá khứ.

 

4.2. Hệ quy chiếu

 

Khi có thêm chiều thời gian trong hình học, chúng ta sẽ có khái niệm hệ quy chiếu, bao gồm các tọa độ không gian và thời gian. Thời gian là một số thực, do đó chúng ta sẽ có 4 biến thực khác nhau. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy hình học không thời gian có tính chất khác không gian Euclide 4 chiều ở tính bất biến về khoảng cách. Trong hình học không thời gian, bất biến về khoảng cách bị thay thế bất biến khoảng không thời gian được định nghĩa như sau
$$\begin{equation} ds^2=(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2-c^2(\tau-t)^2 \end{equation}$$
đối với hai sự kiện xảy ra tại các tọa độ không gian $(x_1, x_2, x_3),\, (y_1, y_2, y_3)$ và tại các thời điểm lần lượt là $t$ và $\tau$.

 

Điều làm khoảng cách có thể thay đổi trong hình học không thời gian không phải là do không gian mất tính đồng nhất và đẳng hướng, mà chính là do các chuyển động với vận tốc lớn. Điều này chúng ta chưa hề biết trong vật lý cổ điển, khi hình học Euclide được coi là duy nhất và hiển nhiên là đúng với thực tiễn. Khoảng cách và thời gian đo được sẽ thay đổi khi người quan sát chuyển động với vận tốc lớn cho phép vận tốc ánh sáng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Đó chính là ý nghĩa sâu xa của bất biến khoảng không thời gian.

 

Trong không gian ba chiều chúng ta sẽ có 3 phép biến đổi Lorentz độc lập tương tự như trong công thức (1), ứng với 3 tọa độ không gian khác nhau. Như vậy, chúng ta có 3 phép quay tọa độ độc lập trong không gian và 3 phép biến đổi Lorentz độc lập. Poincaré là người đầu tiên nhận ra phép biến đổi Lorentz có tính chất giống như phép quay. Điều khác biệt chỉ là thay các hàm lượng giác thông thường trong công thức (6) bằng các hàm lượng giác hyperbole. Như vậy trong mặt phẳng $(ct, x)$ chúng ta có phép quay hyperbole.
$$\begin{equation} ct'=\cosh \theta ct-\sinh \theta x\, x'=-\sinh \theta ct+\cosh \theta x \end{equation}$$
Chúng ta sẽ tìm hiểu ý nghĩa của các hàm lượng giác hyperbole khi liên hệ với các hàm lượng giác bình thường như sau: Nếu trong công thức Moivre
$$\begin{equation} e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta \end{equation}$$
sử dụng biến số thuần ảo $\zeta = -i \theta$ chúng ta sẽ có
$$\begin{equation} e^{\zeta }=\cosh \zeta+\sinh \zeta \end{equation}$$
Do đó,
$$\begin{equation} \cosh \zeta = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\; \sinh \zeta = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \end{equation}$$
Hàm lượng giác hyberbole có tính chất sau
$$\begin{equation} \cosh^{2}\zeta -\sinh^{2}\zeta=1 \end{equation}$$
Sử dụng tính chất này chúng ta sẽ kiểm tra được khoảng không thời gian $x_2 - c_2 t_2$ bất biến với các phép quay hyperbole (9). Mặt khác, chúng ta cũng kiểm tra được phép biến đổi Lorentz trong công thức (1) chính là phép quay hyperbole với tham số quay $\theta$ xác định qua vận tốc tương đối giữa hai hệ quy chiếu
$$\begin{equation} \tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{v}{c} \end{equation}$$
Trong vật lý, phép quay Lorentz còn gọi là phép ném do biến đổi một hệ quy chiếu thành một hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc $v$ so với nó.

 

5. Không gian Minkowski

 

Năm 1907, nhà toán học Hermann Minkowski, vốn là thày dạy toán của Einstein, nhận thấy tất cả các công thức trong lý thuyết tương đối hẹp do Einstein, Lorentz và Poincaré xây dựng đều có thể viết lại đẹp đẽ trong không gian 4 chiều với 4 tọa độ như sau $(x_1, x_2, x_3, x_0 = ct)$. Khoảng không thời gian bất biến là
$$\begin{equation} ds^2 = dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2-dx_0^2 \end{equation}$$
trong đó $dx_\mu, \mu = 1, 2, 3, 0$ là chênh lệch về tọa độ không thời gian giữa hai sự kiện bất kỳ.

 

So với không gian Euclide 4 chiều $\mathbb{R}^4$, hình học không thời gian chỉ có thay đổi một dấu trừ trong định nghĩa khoảng bất biến. Như chúng ta sẽ thấy, khi áp dụng vào thực tiễn, chỉ dấu trừ trong định nghĩa khoảng bất biến này sẽ đảo lộn nhiều nhận thức hàng ngày của chúng ta. Có một cách quan niệm khác: Nếu thời gian là một số ảo, chúng ta sẽ có bất biến như trong hình học Euclide. Nói rộng ra: thời gian cũng là một chiều không gian ảo và ngược lại không gian là chiều thời gian ảo. Như vậy số ảo tồn tại trong thế giới thực. Khiên cưỡng với các số thực mới là phi thực tế. Học Toán là để có một tư duy cởi mở và linh hoạt chứ không phải để tự trói mình vào những kiến thức quen thuộc và lạc hậu.

 

Như vậy, không gian Minkowski đã thống nhất không gian với thời gian, các phép biến đổi Lorentz chính là các phép quay đặc biệt trong không gian 4 chiều này đã "hòa trộn" không gian với thời gian. Các sự kiện vật lý xảy ra trong thực tế đều mô tả bởi một điểm trong không gian Minkowski. Việc thống nhất không thời gian trong hình học Minkowski dẫn tới việc thống nhất rất nhiều đại lượng khác với nhau. Các vector 3 chiều trong hình học không gian đều cần được mở rộng thành các vector 4 chiều trong hình học không thời gian.

 

Trước hết chúng ta hãy xét vector vận tốc $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$. Thay cho vận tốc, trong vật lý, người ta thường dùng vector xung lượng $\vec{p} = m\vec{v}$. Trong hình học Minkowski, mọi vector đều có 4 thành phần, như vậy chúng ta cần bổ sung thêm một thành phần nữa. Thành phần thứ tư của xung lượng mở rộng chính là một đại lượng quen thuộc trong vật lý là năng lượng. Ta có vector năng xung lượng trong hình học Minkowski định nghĩa như sau:$\vec{p} = (p_1, p_2, p_3, p_0) = (p_x, p_y, p_z, E)$. Việc thống nhất năng lượng với xung lượng vào một vector năng-xung lượng có một ý nghĩa rất sâu xa. Xung lượng là gắn liền với biến thiên theo các hướng không gian. Năng lượng sẽ gắn với biến thiên theo thời gian trong cơ học lượng tử và là nền tảng cho phương trình Schrodinger nổi tiếng mô tả các hiện tượng lượng tử trong thế giới vi mô. Điều đó hàng chục năm sau Minkowski mới được các nhà vật lý hiểu rõ.

 

Một trong những vẻ đẹp nữa của hình học Minkowski là việc mô tả lý thuyết điện từ của Maxwell một cách thống nhất. Như chúng ta biết, lý thuyết điện từ do nhà vật lý người Scottland James Clerk Maxwell phát hiện vào năm 1865. Lý thuyết này bao gồm tất cả các định luật về điện và từ. Lý thuyết này tiên đoán được sự tồn tại của sóng điện từ có ứng dụng thực tế rất rộng rãi ngày nay. Ánh sáng cũng là một loại sóng điện từ đặc biệt. Trong lý thuyết Maxwell có hai đại lượng cơ bản là từ trường $\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)$ và điện trường $\vec{E} = (E_x, E_y, E_z)$. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào mô tả điện trường và từ trường trong hình học Minkowski, khi các vector trong hình học này phải có 4 chiều?

 

Khác với trường hợp của năng-xung lượng, mô tả của điện trường và từ trường không đơn giản là thêm vào thành phần thứ 4. Trong thực tế, không có đại lượng vật lý nào ứng với thành phần thứ tư của điện trường hoặc từ trường cả. Người ta đã tìm ra một vector 4 chiều trong hình học Minkowski $\vec{A} = (A_1, A_2, A_3, A_0)$ gọi là vector thế năng điện từ. Khi đó điện trường và từ trường có thể biểu diễn qua vector thế năng điện từ như sau
$$\begin{align} \begin{split} \vec{E}&=\left(F_{01},F_{02},F_{03} \right ), \, \vec{B}=\left(F_{12},F_{23}, F_{31} \right )\\ F_{\mu \nu} &= -F_{\nu \mu}=\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} \end{split} \end{align}$$
trong đó $\mu, \nu = 1, 2, 3, 0$ và $\partial_{\mu}$ là đạo hàm theo biến thứ $\mu$. Các phương trình Maxwell, vốn rất khó nhớ bây giờ có thể viết thành dạng đơn giản và đẹp đẽ tương tự như phương trình sóng đối với thế năng điện tử $A_\mu$ như sau
$$\begin{equation} \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right )A_{\mu}=0 \end{equation}$$
Điều đáng nói là trong hình học Minkowski, điện trường và từ trường được thống nhất với nhau thông qua một vector thế năng điện từ trường 4 chiều.

 

Ban đầu Einstein nghĩ rằng hình học Minkowski chỉ là một công cụ để mô tả các công thức toán học cho đẹp đẽ hơn. Nhưng ông đã nhanh chóng nhận ra ý nghĩa của hình học này trong việc thống nhất các đại lượng vật lý tưởng chừng riêng rẽ với nhau. Từ đó, ông đã có phát minh vĩ đại nhất của nhân loại là lý thuyết tương đối rộng, khi mở rộng hình học Minkowski cho các không gian không có tính đồng nhất. Năm 1915, Einstein công bố lý thuyết tương đối rộng với các công thức toán học sử dụng các vector 4 chiều rất rộng rãi. Khi đó, Minkowski đã qua đời được 6 năm, không kịp chứng kiến sự ra đời của công trình khoa học vĩ đại nhất của nhân loại do học trò của mình khám phá.

 

Ngày nay cách mô tả các đại lượng vật lý thông qua các vector 4 chiều của Minkowski trở nên phổ biến rộng rãi trong vật lý. Nhờ đó, Dirac đã tìm ra phương trình mô tả electron và positron và các hạt vật chất. Cũng nhờ đó, Yang và Mills phát hiện được phương trình Yang-Mills mô tả các tương tác giữa các vật chất.

 

6. Hình học không thời gian và thực tế

 

6.1. Công thức năng lượng của Einstein

 

Việc thống nhất năng lượng và xung lượng trong không gian Minkowski có một hệ quả vô cùng quan trọng. Tương tự như bất biến khoảng không thời gian, năng xung lượng cũng liên quan tới một đại lượng bất biến là khối lượng thông qua công thức
$$\begin{equation} p^2 = p_1^2 + p_2^2 + p_3^3 - E^2 = -m^2c^4 \end{equation}$$
Chúng ta sẽ không tìm cách dẫn ra công thức này theo cách mà Einstein và các nhà toán học và vật lý đồng thời với ông đã làm. Các cách dẫn này chứa đựng nhiều quan điểm khác nhau, kể cả sai sót, còn đang tranh luận cho tới ngày nay [2].

 

Tuy nhiên, những người quan tâm tới cơ sở toán học chặt chẽ của công thức năng xung lượng (18) có thể thấy khối lượng chính là bất biến Casimir trong lý thuyết biểu diễn nhóm Poincaré của E.P.Wigner [3]. Chính vì thế, khối lượng là đặc trưng. Chúng ta hãy viết lại công thức năng xung lượng trong hệ tọa độ Descartes $(x, y, z)$ dưới dạng
$$\begin{equation} E=\sqrt{m^2c^4 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2} \end{equation}$$
Khi xung lượng bằng 0, chúng ta có công thức năng lượng nổi tiếng của Einstein
$$\begin{equation} E=mc^2 \end{equation}$$
Công thức này có một ý nghĩa vô cùng quan trọng: Do khối lượng của vật chất tương đương với năng lượng, khi khối lượng mất đi sẽ giải phóng ra một năng lượng vô cùng lớn. Đó chính là cơ sở của năng lượng nguyên tử.

 

Capture5.PNG

Hình 5: Bom nguyên tử tại Hiroshima và Nagasaki

 

Năm 1938, người ta đã phát hiện năng lượng được giải phóng trong rã hạt nhân nguyên tử uran khi bị bắn phá bởi các hạt neutron. Bên cạnh đó, trong các phản ứng tổng hợp các hạt nhân nhẹ thành hạt nhân năng, cũng có một lượng năng lượng lớn gấp bội được giải phóng. Công thức khối lượng là thành tựu vĩ đại đáng lẽ chỉ để giải quyết vấn đề năng lượng cho loài người, nhưng tiếc thay, công thức này bị lạm dụng để làm các loại vũ khí hủy diệt chưa từng thấy trong lịch sử. Đó là vết nhơ trong lịch sử loài người. Điều đó cho thấy, để đi vào ứng dụng thực tế, các nhà khoa học cần có nền tảng đạo đức vững chắc bên cạnh kiến thức khoa học uyên thâm.

 

6.2. Quan niệm mới về thời gian và khoảng cách

 

Trong hình học không thời gian, do các khái niệm không gian và thời gian được hòa trộn, các quan niệm về khoảng cách và thời gian tuyệt đối mà chúng ta thừa nhận như các chân lý hiển nhiên không còn đúng nữa. Trước hết là ở tính đồng thời. Hai sự kiện được gọi là đồng thời nếu xảy ra tại cùng một thời điểm. Do thời gian trong các hệ quy chiếu khác nhau là khác nhau, nên hai sự kiện được coi là đồng thời trong một hệ quy chiếu sẽ không còn là đồng thời trong hệ quy chiếu khác. Điều đó cũng tương tự như có hai sự kiện đồng thời xảy ra tại thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội, nhưng đối với người trên chuyến máy bay từ Hà Nội đi thành phố Hồ Chí Minh hoặc ngược lại thì một sự kiện sẽ xảy ra trước sự kiện kia.

 

Trong Hình 6, có một tia sáng chiếu từ giữa toa tàu đang chuyển động. Người quan sát đứng ở trên tàu sẽ thấy tia sáng chiếu đến đầu tàu và cuối tàu đồng thời. Trong khi đó, người đứng trên sân ga sẽ thấy tia sáng đến cuối tàu sớm hơn do quãng đường ánh sáng phải đi ngắn hơn. Bạn đọc có thể tự nghĩ ra rất nhiều tình huống lý thú khi tính đồng thời bị vi phạm.

 

Capture6.PNG

Hình 6: Tính đồng thời phụ thuộc vào hệ quy chiếu

 

Do thời gian trong các hệ quy chiếu khác nhau là khác nhau do phép biến đổi Lorentz, không những tính đồng thời bị vi phạm mà thời trôi đi trong hệ quy chiếu này có thể dài hoặc ngắn hơn thời gian trôi đi trong hệ quy chiếu kia. Người ta có một kịch bản giả tưởng về hai anh em sinh đôi, sống trên hai hệ quy chiếu khác nhau, người này sẽ già hơn người kia khi gặp lại. Chính vì thế câu chuyện Từ Thức gặp tiên, khi trở về quê nhà, những người thân đều đã qua đời, vẫn có phần thực tế trong hình học không thời gian. Nếu cõi tiên của Từ Thức ở trong một hệ quy chiếu chuyển động, ông sẽ thấy thời gian ngắn hơn so với hệ quy chiếu gắn với quê hương, nơi có người thân của ông sinh sống.

 

Độ dài cũng thay đổi trong các hệ quy chiếu khác nhau. Người quan sát sẽ thấy vật chuyển động ngắn lại nhờ phép biến đổi Lorentz. Điều đáng chú ý là mặc dù thời gian bị đảo lộn trong hệ quy chiếu, trong hình học không thời gian, tính nhân quả không bị đảo lộn. Nếu một sự kiện $A$ là hệ quả của một sự kiện $B$, trong mọi hệ quy chiếu sự kiện $A$ luôn là hệ quả của sự kiện $B$. Do đó, trong mọi hệ quy chiếu, người quan sát sẽ phải luôn luôn thấy cha sinh trước con.

 

7. Công nghệ GPS và thuyết tương đối

 

Các ví dụ nói trên tuy rất thú vị về mặt triết lý, nhưng đều có vẻ trừu tượng và giả tưởng. Trong phần này, chúng ta hãy xét một ví dụ về ứng dụng hình học không thời gian trong thực tế.

Công nghệ định vị toàn cầu GPS là công nghệ xác định vị trí của các vật chuyển động trên bề mặt Trái Đất nhờ các vệ tinh trong không gian. Từ các vật trên mặt đất, người ta cho phát đi sóng điện từ đến các vệ tinh, vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu sóng và qua đó tính được khoảng cách từ vật phát sóng đến vệ tinh. Nếu có nhiều vệ tinh (trong thực tế hệ thống GPS có 24 vệ tinh), từ các khoảng cách khác nhau, người ta sẽ xác định được chính xác vị trí của vật trên mặt đất (Xem Hình 7). Chính trong công nghệ này ảnh hưởng của hình học không thời gian đặc biệt quan trọng [4] Các vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo quanh Trái Đất với tốc độ $14.000 \text{ km/giờ}$. Do đó đồng hồ trên các vệ tinh sẽ chạy nhanh hơn các đồng hồ trên Trái Đất chừng 7 micro giây trong một ngày đêm. Do quỹ đạo của các vệ tinh cách mặt đất chừng $20.000 \text{ km}$, lực hấp dẫn trên vệ tinh sẽ nhỏ hơn trên mặt đất 4 lần. Các hiệu ứng hấp dẫn lại làm đồng hồ trên mặt đất chạy nhanh 45 micro giây trong một ngày đêm. Như vậy về tổng số, đồng hồ trên mặt đất sẽ chạy nhanh hơn đồng hồ trên vệ tinh 38 giây trong một ngày.

 

Capture7.PNG

Hình 7: Công nghệ định vị bằng vệ tinh

 

Để đo được vị trí của vật trên mặt đất bằng công nghệ GPS chính xác tới $15 \text{ m}$, sai số đo thời gian phải dưới 50 nanô giây. Nếu không tính tới các hiệu ứng của thuyết tương đối, mỗi ngày đêm sai số sẽ tích lũy khoảng $10 \text{ km}$, một con số rất lớn làm sai lệch việc đo khoảng cách bằng GPS. Ngày nay, hiệu chỉnh thời gian với hình học không thời gian và hình học Riemann bao gồm hiệu ứng hấp dẫn rất quan trọng trong công nghệ GPS.

 

8. Mở rộng hình học không thời gian

 

Năm 1915, Einstein đã ứng dụng hình học Riemann vào vật lý bằng cách mở rộng hình học không thời gian và bỏ qua điều kiện bất biến khoảng không thời gian. Hình học này đã mô tả sự hình thành vũ trụ và tương tác hấp dẫn từ các khoảng cách xa nhau hàng triệu năm ánh sáng.

Tuy nhiên, đó vẫn chưa phải là giới hạn cuối cùng của sự mở rộng. Ngày nay, hình học Riemann mở rộng thêm các chiều không gian và hơn một chiều thời gian cũng bắt đầu được nghiên cứu. Bên cạnh đó các tính chất hình học như độ cong, độ xoắn và các tính chất topo của không thời gian đang đem lại rất nhiều quan niệm mới mở ra những chân trời ứng dụng mới không những cho khoảng cách lớn giữa các Thiên hà mà cả ở các khoảng cách vô cùng bé, nơi các quan niệm hiện tại của chúng ta về không thời gian sẽ phải thay đổi rất nhiều.

Ứng dụng toán học là tìm và phát triển các mô hình toán học phù hợp với thực tiễn. Thực tiễn không dừng lại với bất kỳ lý thuyết toán học cụ thể nào.

 

9. Tài liệu

 

[1] Nguyễn Ái Việt, Cấu trúc không thời gian: Tập 1.Thuyết tương đối hẹp và đối xứng không thời gian (sắp xuất bản)
[2] E.Hecht, American Journal of Physics, 79 (6) (2011) 591–600
[3] V.Bargmann and E.P.Wigner, Proc. Natl. Acad. Sci. 34 (5) (1948) 211–23.
[4] C.M.Will,Stable clocks and general relativity (1995) arxiv: gr-qc/9504017

 

Nguồn: Nguyễn Ái Việt, "Hình học và thời gian", tạp chí Epsilon, số 12, 2016, https://drive.google...iew?usp=sharing




#671521 Bài toán chuyến xe bus

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 13-02-2017 - 20:41

BÀI TOÁN CHUYẾN XE BUS
1. Mở đầu
 
Xe buýt là một trong những phương tiện giao thông huyết mạch của thành phố, xấp xỉ lên đến 33 nghìn chuyến mỗi ngày. Vì vậy, lập tuyến xe buýt mới và tối ưu tuyến xe buýt cũ là một trong những ưu tiên hàng đầu của thành phố. Mỗi tuyến xe buýt thường được biểu diễn bởi một đoạn thẳng có độ dài cố định và một số trạm xe buýt nằm giữa hai đầu mút. Người dân muốn các trạm nằm sao đó để tối ưu thời gian di chuyển của họ. Vì vậy, đối tượng cần được tối ưu là thời gian di chuyển trung bình của tất cả người dân.
 
2. Mô hình
 
Chúng ta xét mô hình sau:
 
Giả sử có một con đường dài $L \text{ km}$. Dân số được phân bố đều nhau trên suốt con đường này. Chúng ta cần tìm số trạm xe buýt và vị trí tối ưu của chúng để giảm thiểu thời gian di chuyển trung bình mà một hành khách phải bỏ ra, để đi từ một điểm bất kỳ trên đường đến một điểm bất kỳ khác. Để đi từ $P$ đến $Q$, một hành khách phải đi bộ đến trạm xe buýt gần $P$ nhất, sau đó lên xe và dừng lại ở trạm xe buýt gần $Q$ nhất, rồi đi bộ đến $Q$. Nếu có hai trạm xe buýt cách $P$ một khoảng như nhau, hành khách sẽ chọn trạm để giảm thiểu số trạm phải đi (tương tự nếu có hai trạm cách $Q$ một khoảng như nhau). Tốc độ đi bộ là $W \text{ km/h}$, tốc độ của xe buýt là $B \text{ km/h}$, và một chiếc xe buýt phải dành khoảng $S$ giờ để nhận thêm hoặc bỏ ra các hành khách ở mỗi trạm. Chúng ta ký hiệu $T(P, Q)$ là thời gian mà hành khách phải bỏ ra để đi từ $P$ đến $Q$.
 
Chẳng hạn ta xét bản đồ sau với độ dài quãng đường $L = 20 km$:
Capture.PNG
Có 5 trạm xe buýt và 3 vị trí ngẫu nhiên trên bản đồ, ta tính thời gian di chuyển giữa các vị trí này:
1. Để đi từ $P$ đến $R$, hành khách cần đi $1 \text{ km}$ đến trạm 2, sau đó qua 2 trạm với độ dài $14 \text{ km}$ xuống trạm 4, rồi đi bộ $1 \text{ km}$ đến $R$. Tổng thời gian là:
$$T(P,R)=\frac{1}{W}+\frac{14}{B}+2S+\frac{1}{W}=\frac{2}{W}+\frac{14}{B}+2S$$
2. Tương tự, để đi từ $Q$ đến $R$, ta cần thời gian:
$$T(Q,R)=T(P,R)+\frac{1}{W}=\frac{3}{W}+\frac{14}{B}+2S$$
3. Để đi từ $P$ đến $Q$, hành khách sẽ đi bộ $1 \text{ km}$ đến trạm 2, đi xe buýt $0 \text{ km}$ đến trạm 2 (nghĩa là không làm gì cả), rồi đi bộ $2 \text{ km}$ đến $Q$. Tổng thời gian là:
$$T(P,Q)=\frac{1}{W}+\frac{0}{B}+0S+\frac{2}{W}=\frac{3}{W}$$
(Trường hợp này chỉ dùng để minh họa thuật Toán đi, không có ý nghĩa thực tế.)
Chúng ta thống nhất một vài điều kiện và ký hiệu:
• Luôn có một trạm xe buýt ở 2 đầu mút của đoạn đường.
• Giả sử vị trí của các trạm là $0 = x_{1} < \cdots < x_{n-1} < x_{n} = L$, khi đó ta biểu diễn tuyến xe buýt $A$ qua bộ sắp xếp trạm là $A = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1}, x_{n})$..
• Tuyến xe buýt $A$ cũng có thể được biểu diễn thông qua bộ $A = (d_{1}, d_{2}, \cdots , d_{n-1}, d_{n})$, với $d_{i} = x_{i} - x_{i-1}$ và $i = 1, 2, . . . , n$.
• Ký hiệu $E (A)$ là thời gian trung bình để đi từ một điểm bất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác trên tuyến xe buýt $A$, khi bộ sắp xếp trạm của tuyến này được cố định.
 
3. Câu hỏi
 
Bài toán 1. 
1) Cố định $n$ và bỏ qua thời gian đón và thả hành khách ở mỗi trạm. Chứng minh rằng bộ sắp xếp tối ưu xảy ra khi các trạm xe buýt cách đều nhau. Nghĩa là $E(A)$ đạt giá trị tối thiểu khi $d_{1} = d_{2} = . . . = d_{n-1} = d_{n}$.
 
2) Xét trường hợp $L = 20, W = 5, B = 20, S = 0.05$. Tìm giá trị của $n$ để tối ưu hóa $E(A)$, biết $A$ có $n + 1$ trạm xe buýt cách đều nhau. (Do $S \neq 0$ nên không đảm bảo đây là cách sắp xếp tối ưu nhất với một giá trị n bất kỳ.)
 
Bài toán 2. Mô hình của chúng ta còn nhiều khuyết điểm:
1) Hành khách hoàn toàn có thể đi bộ trực tiếp nếu 2 điểm đi và đến gần nhau.
2) Hành khách thường xuyên đến một số nơi như siêu thị, cơ quan, nhà riêng, .v.v. hơn một số điểm trung gian khác.
3) Dân số phân bố chưa hẳn đã đồng đều trên toàn tuyến.
 
Dựa trên câu 1.1) và 1.2), hãy đưa ra một mô hình có thể giải quyết ba vấn đề trên. Để đơn giản, bạn vẫn có thể giả sử tuyến xe buýt là một đường thẳng.

 

Nguồn: Lê Tạ Đăng Khoa, Bài toán chuyến xe bus, tạp chí Epsilon, số 1, 2015, https://www.facebook...412604425701926




#670686 Tội phạm và động đất

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 07-02-2017 - 23:20

TỘI PHẠM VÀ ĐỘNG ĐẤT

 
Nếu bạn đang sống ở Los Angeles có hai điều có thể làm cho bạn đặc biệt lo lắng: động đất và tội phạm. May mắn thay, các nhà toán học đã có thể đưa ra cách để giúp cho bạn an toàn ở cả hai điều trên. Một hệ thống phần mềm có tên là là Predpol đã được nhà toán học George Mohler, nhà nhân chủng học Jeff Brantingham và những người khác phát triển, hiện được sở cảnh sát Los Angeles và ơcác thành phố khác sử dụng làm công cụ pháp lý. Nhân viên cảnh sát trong khu vực sử dụng phần mềm này mỗi ngày. 
 
la.jpg
Los Angeles
 
Predpol là kí hiệu viết tắt của “predictive policing – Chính sách Dự đoán ”. Predpol hoạt động dựa trên tính toán xác suất khả năng tội phạm sẽ thực hiện trong một khu vực cụ thể trong một ngày cụ thể dựa trên các dữ liệu theo thời gian thực từ những ngày trước. Nhân viên cảnh sát đã được cung cấp bản đồ dự báo trước cho biết những nơi có xác suất xuất hiện tội phạm cao, do đó họ có thể đưa ra thêm các cuộc tuần tra và hi vọng có thể ngăn chặn tội ác xảy ra.
 
Vậy làm thế nào để hiểu về tội phạm theo nghĩa toán học? Có một cách đó là đi theo hướng từ dưới lên, sử dụng các quy tắc toán học để mô tả những hành vi của bọn tội phạm riêng biệt và quan sát dạng mẫu mô hình xuất hiện. Nhưng bạn cũng có thể sử dụng cách đi từ tren xuống, quên đi tính riêng biệt và nhìn vào tội phạm ứng với số lần xuất hiện trong thống kê, giống như động đất có xuất hiện một số quy luật. Predpol sử dụng cách tiếp cận thứ 2.
 
I. CÁC BĂNG NHÓM VÀ BẠO LỰC
 
Để dễ hiểu, chúng ta hãy tập trung vào những thứ đang phổ biến rộng rãi ở Los Angeles và cũng như các thành phố lớn khác: đó là băng nhóm tội phạm, các băng nhóm này thường gây ra những trận đánh ác liệt nhằm “tranh giành” lãnh thổ, và nếu ai dám gây hấn với băng nhóm này thì chắc chắn sẽ có trả thù. Sau cùng, hệ quả mà các băng nhóm bạo lực đã tạo ra tương tự như động đất: bạo lực sẽ leo thang, cũng như động đất thì đi kèm với dư chấn.
 
grafitti.jpg
Graffiti tại Los Angeles
 
Có thể mô tả động đất theo nghĩa toán học là một quá trình tự kích thích, là những sự kiện xảy ra theo thời gian dựa trên kết quả của nhiều yếu tố phức tạp nên ta xem động đất là một quá trình ngẫu nhiên. Khi có một trận động đất xảy ra thì trong tương lai gần, khả năng xảy ra những dư chấn sẽ tăng lên. Đó là một phần của quá trình tự kích thích. 
 
Trong toán học có một kỹ thuật có thể giải quyết dãy các sự kiện tự kích thích ấy, gọi là Quy trình Hewkes, quy trình này có thể áp dụng vào các cuộc đối đầu giữa hai băng nhóm. Ý tưởng của quy trình này đó là xem hành vi bạo lực giữa các băng nhóm là một dãy các sự kiện theo thời gian. Ta cần hàm số tốc độ $r\left( t \right)$ biểu diễn khả năng xảy ra hành vi phạm tội tại thời điểm $t$, khả năng này còn tùy thuộc vào những gì đã xảy ra trước đó (vì quá trình này là quá trình tự kích thích). Ta thường xem tốc độ này là số lượng các sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định, ví dụ như số lượng tội phạm mà ta dự đoán xảy ra trong mỗi ngày. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta xác định độ dài khoảng thời gian là cực kì nhỏ. Vì vậy bạn có thể xem hàm số tốc độ $r\left( t \right)$ là tốc độ tức thời mà ta kì vọng hành vi phạm tội xảy ra tại thời gian $t$.
 
Bây giờ ta biểu diễn hàm số tốc độ thành các tổng. Biểu thức đầu tiên của tổng đó là tốc độ nền của tội phạm, tức là tốc độ các cuộc tấn công vô cớ giữa hai băng nhóm đã xảy ra, bỏ qua lý do trả thù. Các biểu thức còn lại của tổng tương ứng với số lượng các cuộc “hỗn chiến” giữa 2 băng nhóm tăng lên theo tốc độ nền, điều này phản ánh phần tự kích thích (sự trả thù). Các cuộc tấn công riêng biệt xảy ra càng lâu về quá khứ thì càng ít tác động vào hàm số tốc độ theo thời gian $t$.
 
Từ năm 2010, trong một bài báo, một nhóm sinh viên năm cuối của trường đại học Angeles, California, đã từng sử dụng Quy trình Hewkes để mô hình sự cạnh tranh giữa các cặp băng nhóm trong tại huyện Hollenbeck, LA. Trong đó, mặc dù khu vực này chỉ có 15 dặm vuông, nhưng đây là một trong những khu vực hung tợn nhất LA. Hàm số tốc độ họ sử dụng là:
$$r\left( t \right)=b+k\left( w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{1}} \right)}}+w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{2}} \right)}}+w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{3}} \right)}}+\ldots +w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{n}} \right)}} \right)$$
Trong đó $b$ là một số dương không đổi dùng để đo tốc độ phạm tội nền giữa hai băng nhóm. Từ ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ đến ${{t}_{n}}$ là những xung đột giữa 2 băng nhóm đã xảy ra trong quá khứ trước thời điểm $t$. Biểu thức $w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{i}} \right)}}$ cho thấy mong muốn trả thù ngược lại của những tội phạm. Bạn có thể thấy rằng một cuộc “hỗn chiến” đã xảy ra cách đây càng lâu ($t-{{t}_{i}}$ càng lớn) thì biểu thức $w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{i}} \right)}}$ càng nhỏ. Trong biểu thức trên $w$ là số dương không đổi, biểu diễn tốc độ ảnh hưởng của tội ác đang giảm dần, $w$ càng lớn, biểu thức $w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{i}} \right)}}$ càng nhỏ. Số $k$ là một nhân tử dương chung phản ánh độ lớn của sự trả thù giữa các cặp băng nhóm. Nếu hai băng nhóm không quá “phiền muộn” về nhau, thì giá trị $k$ sẽ nhỏ, góp phần làm cho toàn bộ khả năng xảy ra thanh toán nhau trong quá khứ cũng nhỏ lại. Tuy nhiên, nếu 2 băng nhóm quyết định thanh toán nhau thì thực sự đó sẽ là một trận quyết liệt, giá trị $k$ sẽ lớn.
 
II. MÔ HÌNH VÀ THỰC TẾ
 
Để sử dụng mô hình này, ta cần phải xác định các giá trị cụ thể cho từng tham số, chẳng hạn như tốc độ nền. Để làm được điều này, các sinh viên phải xem xét dữ liệu thực của tội phạm trên nhiều khu vực do sở cảnh sát Los Angeles cung cấp. Có một phương pháp thống kê được gọi là ước lượng hợp lý cực đại cho phép bạn tìm các giá trị tham số sao cho phù hợp với thực tế nhất. 
 
Một khi bạn có các giá trị tham số, bạn có thể sử dụng hàm số tốc độ để mô phỏng tội phạm giữa hai băng nhóm như một dãy sự kiện theo thời gian. Cơ hội xảy ra tội ác là ngẫu nhiên, nhưng cơ hội đó là không giống nhau với mọi thời gian $t$, dĩ nhiên là cơ hội này được tạo ra bởi hàm số tốc độ. Bằng cách xem xét các dạng mô phỏng của tội phạm rồi so sánh với dữ liệu thực tế, bạn có thể đánh giá rằng xem mô hình có phải đã mô tả đúng hiện thực hay chưa (đã có những phương pháp thống kê chuẩn cho việc so sánh đó). Và một khi bạn hài lòng với mô hình này, bạn có thể sử dụng nó để dự đoán những gì sẽ xảy ra trong thế giới thực, từ đó có thể ngăn ngừa tội ác sẽ xảy ra.
 
handcuffs.jpg
Sử dụng toán học để chống lại tội phạm
 
Đây chỉ là một ví dụ đơn giản về ứng dụng toán học vào phần mềm như Predpol, điều này mang lại cho bạn một cái nhìn sơ nét của ý tưởng tổng quát hơn. Predpol không chỉ được sử dụng để tìm hiểu về xung đột băng đảng mà còn để tìm hiểu thêm về các loại tội phạm khác. Cho đến nay kết quả đạt được rất đáng khích lệ. Năm 2011 sau khi sở cảnh sát Santa Cruz bắt đầu sử dụng Predpol thì những vụ trộn cướp đã giảm 27% so với năm trước và năm 2011-2012, trong một buổi giới thiệu tại Hạt Foothill ở Los Angeles, người ta cho biết tội phạm đã giảm 17% so với 0,4% mức tăng trung bình trên những nơi còn lại ở thành phố. Do đó một số công dân của LA cảm thấy rằng tội phạm phải trả giá, có thể bằng cách sử dụng toán học để đấu tranh chống lại chúng.
 
Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch



#670662 Mặt Trời, Mặt Trăng và Lượng Giác

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 07-02-2017 - 21:57

MẶT TRỜI, MẶT TRĂNG VÀ LƯỢNG GIÁC

 

Làm thế nào để biết Mặt Trăng cách Mặt Trời bao xa? Làm thế nào để biết được Mặt Trời lớn hơn Mặt Trăng bao nhiêu lần? Và làm thế nào để có được đáp án nếu bạn là một người Hy Lạp cổ đại, thời điểm không có đến một cái ống nhòm?

 

Tuy nhiên đối với Aristarchus, một nhà toán học ở Samos sống vào khoảng 2300 trước, ông đã dựa vào kiến thức hình học tuyệt vời của mình cùng với góc nhìn sâu sắc và quan trọng: Mặt Trăng sáng vào ban đêm do được Mặt Trời chiếu sáng lên bề mặt của nó, điều này rõ ràng khác với nhận định lúc bấy giờ, do đó có thể coi Aristarchus là người tiên phong trong việc nhận định ra điều này bởi mọi người lúc đó cho rằng Mặt Trời quay xung quanh Trái Đất, tuy nhiên Aristarchus lại cho rằng Trái Đất quay quanh Mặt Trời.

 

Với nhận định Mặt Trời chiếu sáng Mặt Trăng, Aristarchus nhận ra rằng tai một nửa Mặt Trăng, tam giác tạo bởi Trái Đất ($E$), Mặt Trăng ($M$) và Mặt Trời ($S$) có một góc vuông tại $M$.

triangle2.png

Sơ đồ không tính tỉ lệ

 

Ta có thể nhận thấy điều này bằng cách tưởng tượng Mặt Trời tại những vị trí khác nhau chiếu chùm tia song song vào Mặt Trăng sao cho ta thấy đúng một nửa của Mặt Trăng được chiếu sáng (nhìn từ Trái Đất) khi và chỉ khi có một góc vuông tại $M$.

 

Aristarchus muốn dự đoán khoảng cách tương đối của Mặt Trời và Mặt Trăng, nghĩa là ông muốn dựa đoán tỉ lệ  $\frac{ES}{EM}$ trong đó $ES$ là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và $EM$ là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng. Nếu bạn có kiến thức về lượng giác thì bạn sẽ biết rằng:

                                                                           $$\frac{EM}{ES}=\cos \alpha$$

Trong đó $\alpha $ là số đo góc $E$ của tam giác. Do đó

                                                                 $$\frac{ES}{EM}=\frac{1}{\cos \alpha }$$

Nếu ta ước lượng $\alpha ={{98.85}^{\circ }}$ thì ta có kết quả

                                          $$\frac{ES}{EM}=\frac{1}{\cos {{89.85}^{\circ }}~}\approx 382$$

Vì vậy khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời lớn hơn 400 lần khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất. Aristarchus cũng chỉ ra rằng trong quá trình nhật thực Mặt Trăng hoàn toàn che phủ Mặt Trời. Điều này cho chúng ta sơ đồ sau

similar-triangles.png

Bằng việc sử dụng dữ kiện tỉ lệ giữa $E{{S}_{1}}$ và $E{{M}_{1}}$ tương đương với tỉ lệ giữa ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$ và ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ (do chúng ta đang xét đến hai tam giác đồng dạng) do đó ta có thể suy ra rằng đường kính Mặt Trời lớn hơn 400 lần so với đường kính Mặt Trăng.

 

Tuy nhiên kết quả mà Aristarchus đưa ra là rất khác so với thực tế. Ông ước tính rằng so với Trái Đất, Mặt Trời xa hơn từ 18 dến 20 lần so với Mặt Trăng. Điều này xảy ra một phần ông không tính chính xác $\alpha $ mà lại lấy xấp xỉ với ${{87}^{\circ }}$ và sử dụng giá trị này trong tính toán trên và cho rằng Mặt Trời xa khoảng 19 lần so với Mặt Trăng (lấy mốc là Trái Đất). Qua đó cho thấy rằng chỉ một sai số nhỏ trong góc $\alpha $ gần đến ${{90}^{\circ }}$ dẫn đến một sai số cực lớn của  $\frac{1}{\cos \alpha }$.

 

Lý do tại sao Aristarchus chỉ có thể đưa ra đáp án trong khoảng từ 18 đến 20 chứ không phải là một con số cụ thể bởi vì vào thời điểm đó lượng giác học chưa được phát triển. Ông không hề có khái niệm gì về hàm cos hay một bảng các giá trị để tìm trị cos của một góc nhất định. Thay vào đó, ông đã sử dụng một số lập luận hình học phức tạp để tìm giá trị gần đúng cho riêng mình. Trên đây là một số ví dụ chỉ ra rằng tại sao hình học rất hữu ích cho các nhà thiên văn học.

 

Người dịch: Nguyễn Văn Sáng Hồng - Thành viên Chuyên san EXP

Bài viết này dịch theo https://plus.maths.o...d-trigonometry 

 




#670538 Giải phương trình bậc 2 bằng phương pháp hình học

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 06-02-2017 - 15:36

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
 
Đại số đã có từ lâu, những người Babylon vào khoảng 3000 năm trước đều biết về công thức nổi tiếng đề giải phương trình bậc 2. Tuy nhiên, công thức đó lại bắt nguồn từ hình học; họ cần phải giải các phương trình bậc 2 nhằm phục vụ cho việc tính toán diện tích cũng như quản lý đất đai. Nhằm tưởng nhớ đến thành tựu này, chúng ta hãy cùng xem công thức giải phương trình bậc 2 dưới góc nhìn của hình học.
babylonian.jpg
Bút tích của người Babylon vào khoảng 2800 năm trước Công nguyên
Giả sử phương trình bậc 2 cần giải có dạng:
$${{x}^{2}}+px=q$$
với $p$ và $q$ là hai số dương cho trước.
 
Hạng tử ${{x}^{2}}$ là diện tích một mảnh đất hình vuông có cạnh $x$. Hạng tử $px$ chỉ diện tích một hình chữ nhật với độ dài một cạnh là $x$ và cạnh còn lại là $p$. Chúng ta có thể xếp các hình lại với nhau để tạo hình chữ nhật 
figure2.png
Diện tích hình chữ nhật lớn này là ${{x}^{2}}+px$, dựa vào dạng phương trình bậc 2 đề ra, diện tích này bằng $q$. Tuy nhiên chúng ta có thể chuyển thành một hình ‘‘gần’’ hình vuông hơn bằng cách chia miếng hình chữ nhật nhỏ thành hai miếng có cạnh $x$ và ${}^{p}/{}_{2}$ như sau:
figure3.png
và chuyển một miếng xuống đáy hình vuông:
figure4.png
Gọi hình mới này là $R$, và diện tích của hình này vẫn là ${{x}^{2}}+px=q$. Tuy nhiên nếu ta thêm một hình vuông cạnh $p/2$ vào góc nhỏ bên dưới $R$, ta có được hình vuông lớn với cạnh $x+p/2~$và diện tích là ${{\left( x+p/2 \right)}^{2}}$, vậy ta có :
$$\text{Diện tích hình vuông lớn}={{\left( x+\frac{p}{2} \right)}^{2}}=\text{Diện tích } R+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}=q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}$$
Lấy căn hai vế ta được :
$$x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{q+\frac{{{p}^{2}}}{4}}$$
Trừ $p/2$ ở hai vế ta được
$$x=\pm \sqrt{q+\frac{{{p}^{2}}}{4}}-\frac{p}{2}~~~~~~\left( 1 \right)$$
 
Kết quả này liên quan gì đến phương trình bậc 2 ta đã học trong trường? Ta hay viết dạng tổng quát của phương trình bậc 2 là :
$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$
Với $a\ne 0$ ta chia hai vế cho $a$ để được hệ số của ${{x}^{2}}$ là 1:
$${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
Chuyển vế $\frac{c}{a}$ sang phải, ta có
$${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$
Kết hợp với phương trình ở đầu bài, ta đặt $p=\frac{b}{a}$, $q=-\frac{c}{a}$, thay vào $p$ và $q$ ở phương trình (1) ta thu được công thức tổng quát để giải phương trình bậc 2
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$$
Cho rằng người Babylon biết công thức tổng quát cũng không hẳn đúng, bởi vì trước hết họ không có khái niệm gì về số âm, nghĩa là họ chỉ có thể giải phương trình bậc 2 có nghiệm dương. Hơn nữa họ lại không sử dụng kí hiệu hay phép toán như chúng ta đang làm mà họ sử dụng từ ngữ. Do đó một học sinh Babylon có thể đưa ra câu hỏi đại loại như:
Nếu tôi thêm vào diện tích hình vuông một lượng gấp đôi cạnh hình vuông, tôi được 48, vậy cạnh hình vuông bằng bao nhiêu?
Với bài này, ta đặt $x$ là cạnh hình vuông, chuyển đổi dữ kiện sang phương trình ta có:
$${{x}^{2}}+2x=48$$
Người Babylon biết các bước giải câu hỏi trên – do đó người ta nói người Babylon biết công thức phương trình bậc 2.
 

Người dịch: Nguyễn Văn Sáng Hồng - Thành viên Chuyên san EXP

Bài viết này dịch theo https://plus.maths.o...ratics-pictures

 




#670471 Bộ ba và bộ bốn: Từ Pythagoras đến Fermat

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 30-01-2017 - 16:04

BỘ BA VÀ BỘ BỐN: TỪ PYTHAGORAS ĐẾN FERMAT

 

Nếu có một chút về Toán mà bạn nhớ từ chương trình học ở trường thì đó có lẽ là định lý Pythagoras. Với tam giác vuông có các cạnh $a,~b,~c$, trong đó $c$ là cạnh đối diện góc vuông, ta có

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

Nếu ba số dương $a,~b$ và $c$ thỏa phương trình này, tạo thành các cạnh của một tam giác vuông thì ba số dương trên gọi là bộ ba số Pythagoras.

theorem.png

Định lý Pythagoras

 

Một câu hỏi khiến Pythagoras cũng như các nhà Toán học Hy Lạp cổ xưa khác phải suy nghĩ đó là làm thế nào để tạo ra các bộ ba Pythagoras. Nếu tôi cho bạn một số dương $a$, bạn có thể tìm được hai số $b$ và $c$ sao cho $a,~b$ và $c$ tạo thành bộ ba Pythagoras không? Trong bài này, chúng ta sẽ khám phá câu hỏi này và đồng thời ta sẽ có ý tưởng mở rộng sang các tập bốn số, được gọi là bộ bốn Pythagoras.

 

I. BỘ BA PYTHAGORAS

 

Dưới đây là ví dụ về bộ ba Pythagoras

triples.png

 

Các bộ ba được viết màu đỏ là bội số lẫn nhau và cũng như vậy với các bộ ba được viết màu xanh: bạn có $\left( 6,~8,~10 \right)$, $\left( 9,~12,~15 \right)$ và $\left( 12,~16,~20 \right)$ bằng cách nhân mỗi thành phần của $\left( 3,~4,~5 \right)$ tương ứng với 2, 3 và 4 , và có $\left( 10,~24,~26 \right)$ bằng cách nhân mỗi thành phần của $\left( 5,~12,~13 \right)$ với 2.

 

Tổng quát, nếu $k$ là số dương và $\left( a,~b,~c \right)$ là một bộ ba Pythagoras thì $\left( ka,~kb,~kc \right)$ cũng vậy, vì

$${{\left( ka \right)}^{2}}+{{\left( kb \right)}^{2}}={{k}^{2}}{{a}^{2}}+{{k}^{2}}{{b}^{2}}={{k}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)={{k}^{2}}{{c}^{2}}={{\left( kc \right)}^{2}}$$

Trong hình học, nếu một bộ ba Pythagoras là một bội số của một bộ ba khác thì các tam giác tương ứng đồng dạng.

 

pythagoras_painting.jpg

Bức hoạ của Raffaello Sanzio về Pythagoras có tên “Ngôi trường Athens”

 

Nếu một bộ ba Pythagoras không phải là bội số của một bộ ba khác thì ta nói đó là bộ ba nguyên thủy. Có thể nhận biết một bộ ba Pythagoras nguyên thủy khi các số $a$ và $b$ không có ước chung. Trong ví dụ trên, $\left( 3,~4,~5 \right)$ là một bộ ba Pythagoras nguyên thủy trong khi $\left( 6,~8,~10 \right)$, $\left( 9,~12,~15 \right)$ và $\left( 12,~16,~20 \right)$ thì không. Tương tự (5, 12, 13) cũng là một bộ ba Pythagorean nguyên thủy trong khi $\left( 10,~24,~26 \right)$ thì không.

 

Nếu có một bộ ba Pythagoras thì thật dễ để tạo ra các bộ ba không nguyên thủy mới cách đơn giản bằng cách lấy các bội số tương ứng. Nhưng nếu chỉ cho một số, bạn có thể tìm được một bộ ba Pythagoras sao cho số đó là một trong các thành phần của bộ ba không? Pythagoras đã nghĩ ra một phương pháp giải quyết vấn đề này. Lưu ý đầu tiên là nếu

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

thì

                                                                          $${{c}^{2}}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}$$

Bây giờ hãy xét hai biểu thức

                                               $${{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}={{a}^{4}}+2{{a}^{2}}+1$$


$${{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{a}^{4}}-2{{a}^{2}}+1$$

Hai biểu thức này sai khác nhau đúng $4{{a}^{2}}$, nên hai biểu thức

                                                             $$\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}$$

                                                             $$\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}$$

sai khác nhau ${{a}^{2}}$.

 

Vì vậy, nếu chọn

          $$b=\sqrt{\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}}}{2}$$

          $$c=\sqrt{\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}}}{2}$$

Ta được

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}={{c}^{2}}$$

Để các số $a,~b$ và $c$ đại diện cho một bộ ba Pythagoras, ta cần

                                                                               $$b=\frac{{{a}^{2}}-1}{2}$$

                                                                               $$c=\frac{{{a}^{2}}+1}{2}$$

là số nguyên dương, tức cả ${{a}^{2}}-1$ và ${{a}^{2}}+1$ đều chẵn, khi đó ${{a}^{2}}$ phải là số lẻ. Nhưng bình phương của một số là lẻ chỉ nếu số đó lẻ, nên phương pháp này chỉ áp dụng cho số lẻ $a$.

 

plato.jpg

Bức hoạ Plato (trái) và Aristotle (phải) do hoạ sĩ Raffaello Sanzio vẽ trong bức “Ngôi trường Athens”

 

Tuy nhiên có một cách đơn giản để tạo ra một công thức thoả giá trị chẵn từ trên. Nếu $a,~b$ và $c$ tạo thành một bộ ba Pythagoras về dạng được mô tả ở trên, thì

                                                                                         $${{a}_{1}}=2a$$

                                   $${{b}_{1}}=2b={{a}^{2}}-1={{\left( \frac{{{a}_{1}}}{2} \right)}^{2}}-1$$

                                                $${{c}_{1}}=2c={{\left( \frac{{{a}_{1}}}{2} \right)}^{2}}+1$$

Phương pháp này tạo ra các bộ ba từ các số chẵn ${{a}_{1}}$ do Plato đề xuất. Dưới đây là danh sách các bộ ba Pythagoras được tạo ra từ các số chẵn và lẻ bằng cách sử dụng hai phương pháp này:

list.png

 

Do hai phương pháp này tạo ra bộ ba số Pythagoras từ tất cả các số nguyên dương nên ta có vô hạn bộ ba Pythagoras. Nhưng liệu hai phương pháp này có thể tạo ra tất cả các bộ ba đó không? Câu trả lời là không. Ví dụ, bộ ba $\left( 20,~21,~29 \right)$ không có trong danh sách trên. Một công thức chung do Euclide mô tả trong cuốn sách nổi tiếng The Elements của ông rằng: Lấy bất kỳ hai số nguyên dương $m$ và $n$ với $m>n$. Tương tự với lập luận trên, chú ý rằng

                     $${{\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right)}^{2}}={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}{{n}^{2}}+{{n}^{4}}$$

                    $${{\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)}^{2}}={{m}^{4}}+2{{m}^{2}}{{n}^{2}}+{{n}^{4}}$$

sai khác nhau $4{{m}^{2}}{{n}^{2}}$. Vậy nên ta đặt

                                                                                $$a={{m}^{2}}-{{n}^{2}}$$

                                                                  $$b=~\sqrt{4{{m}^{2}}{{n}^{2}}}=2mn$$

                                                                                $$c={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$$

Thu được

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

Vì $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $m>n$, tất cả ba số $a,~b$ và $c$ cũng là số nguyên dương nên ta có một bộ ba Pythagoras. Mỗi bộ ba Pythagoras nguyên thủy đều có thể được tạo ra từ một cặp số $m$ và $n$ duy nhất mà một trong hai là số chẵn. Và một khi bạn có những bộ ba nguyên thủy, bạn có thể tạo ra tất cả các bộ ba Pythagorean bằng cách đơn giản là nhân lên. Vậy nên công thức của Euclid có thể tạo ra tất cả bộ ba Pythagoras.

 

euclid.jpg

Euclide (người cầm com-pa) trong bức hoạ “ngôi trường Athens” của Raffaello Sanzio

 

II. CÁC BỘ BỐN PYTHAGORAS

 

Bây giờ ta quan sát bộ bốn Pythagoras gồm bốn số nguyên dương thay vì ba số. Trong một bộ bốn Pythagoras, tổng bình phương của ba số đầu cho chúng ta bình phương của số thứ tư:

                                                               $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}$$

Về mặt hình học, bộ bốn Pythagoras ứng với một hình hộp chữ nhật với các cạnh $a,~b$ và $c$. Độ dài đường chéo của hộp này là

                                                                  $$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$$

Do đó các cạnh cùng với cạnh chéo tạo thành một bộ bốn Pythagoras. Đây là lý do tại sao bộ bốn Pythagoras cũng được gọi là hộp Pythagoras.

box.jpg

Như ở trên, nếu $\left( a,~b,~c,~d \right)$ là một bộ bốn Pythagoras thì $\left( ka,~kb,~kc,~kd \right)$ cũng vậy với mọi số nguyên dương $k$. Nếu ước chung lớn nhất của $a,~b$ và $c$ là 1 thì bộ bốn được gọi là nguyên thủy. Dưới đây là một số ví dụ về các bộ bốn Pythagoras với mỗi bộ cùng màu là bội số của nhau (đỏ, xanh da trời hoặc xanh lá):

quadruples.png

 

Ta có thể tạo ra bộ bốn Pythagoras từ hai số $m$ và $n$ bất kỳ, đơn giản bằng cách chú ý rằng

                                                  $${{\left( m+n \right)}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}$$

Vì vậy, đặt $a={{m}^{2}}$, $b=2mn$, $c={{n}^{2}}$ và $d={{\left( m+n \right)}^{2}}$ cho ta một bộ bốn Pythagoras.

 

Việc đặt như vậy cũng cho ta một cách để tạo ra một bộ bốn Pythagoras từ một số chẵn $p$. Đầu tiên, chú ý rằng nếu $p$ chẵn thì ${{p}^{2}}$ chẵn. Bây giờ tìm hai số $m$ và $n$ sao cho $mn={{p}^{2}}/2$.

 

Đặt

                                                                                                 $$a=m$$

                                                                                     $$b=p=\sqrt{2mn}$$

                                                                                                  $$c=n$$

                                                                         $d={{\left( m+n \right)}^{2}}.$

thì

          $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}={{\left( m+n \right)}^{2}}={{d}^{2}}$$

cho ta bộ bốn Pythagoras. Ví dụ, nếu $p=2$ thì ${{p}^{2}}/2=2$ nên ta chọn $m=1$ và $n=2$. Ta được bộ bốn $\left( 1,~2,~2,~3 \right)$ với ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}=1+4+4=0={{3}^{2}}.$

 

Với $p=4$ ta có ${{p}^{2}}/2=8$. Giờ ta có hai cách chọn là $8=2\times 4$ và $8=1\times 8$. Cách chọn thứ nhất cho bộ bốn $\left( 2,~4,~4,~6 \right)$ với

                                                  $${{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}=4+16+16=36={{6}^{2}}$$

Cách chọn thứ hai cho bộ bốn $\left( 1,~4,~8,~9 \right)$ với

                                                  $${{1}^{2}}+{{4}^{2}}+{{8}^{2}}=1+16+64=81+{{9}^{2}}$$

Bạn có thể tiếp tục tạo ra các bộ bốn từ các số chẵn $p$ theo cách này.

 

III. CHÚNG TA CÓ THỂ TẠO RA TẤT CẢ CÁC BỘ BỐN PYTHAGORAS?

 

Không phải tất cả các bộ bốn Pythagoras đều có dạng

                                                  $${{\left( m+n \right)}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}$$

nên không phải lúc nào ta có thể tạo ra bộ bốn Pythagoras bằng phương pháp trên - chúng ta cần linh động hơn một chút. Giả sử rằng cho hai số $a$ và $b$, giờ ta hãy tìm một số $p$ sao cho ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ chia hết cho $p$ nhưng ${{p}^{2}}<{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$. Nếu $a$ và $b$ đều chẵn thì ta cũng cần $p$ phải chẵn.

 

Bây giờ cho

                                                            $$c=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{p}^{2}}}{2p}$$

Thì

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{p}^{2}}+{{p}^{4}}}{4{{p}^{2}}}$$

$$={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}{4{{p}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+\frac{{{p}^{2}}}{4}$$

$$=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}{4{{p}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+\frac{{{p}^{2}}}{4}$$

$$={{\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{p}^{2}}}{2p} \right)}^{2}}$$

Vậy ta đặt

                                                           $$d=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{p}^{2}}}{2p}$$

Ta được

                                                               $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}$$

Nhưng có phải $a,~b,~c$ và $d$ đều là số nguyên dương? Đây là lý do vì sao chúng ta có các điều kiện đặt ra cho $p$. Dễ chứng minh rằng miễn $a$ và $b$ là số chẵn hoặc một chẵn một lẻ thì điều kiện trên đảm bảo rằng $a,b,c$ và $d$ là số nguyên dương.

 

Nếu $a$ và $b$ đều lẻ thì không thể tạo ra bộ bốn Pythagorean bằng phương pháp này.

 

Nhưng điểm quan trọng là bạn có thể xẫy dựng các bộ bốn Pythagoras nguyên thủy từ hai số $a$ và $b$ theo cách trên. Và mặt khác, một khi bạn có những bộ bốn nguyên thủy, bạn có thể tạo ra tất cả các bộ bốn khác bằng cách nhân lên.

 

IV. TẠO RA MỘT DÃY BÌNH PHƯƠNG

 

Thêm một điều hay đáng chú ý là từ kĩ thuật tạo ra các bộ ba, chúng ta có thể tạo ra bộ bốn, bộ năm, .. tạo ra bộ các tổng các bình phương với bất kì độ dài nào. Ta bắt đầu với bộ ba $\left( 3,~4,~5 \right)$, ta có thể tạo ra bộ ba khác, bắt đầu với số 5: đó là $\left( 5,~12,~13 \right)$. Vì vậy nên ta có

                                                                         $${{3}^{2}}+{{4}^{2}}={{5}^{2}}$$

                                                                       $${{5}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$$

Sắp xếp lại phương trình thứ hai ta có

                                                                       $${{5}^{2}}={{13}^{2}}-{{12}^{2}}$$

Thay vào phương trình thứ nhất và sắp xếp lại, ta có

                                                            $${{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$$

nên ta có bộ bốn $\left( 3,~4,~12,~13 \right)$. Tương tự, luôn dùng số lớn nhất trong tập các số hiện tại để tạo ra một bộ ba mới, ta có thể tạo nên bộ năm $\left( 3,~4,~12,~84,~85 \right)$ và bộ sáu $\left( 3,~4,~12,~84,~3612,~3613 \right)$ và vân vân, vô hạn.

 

V. LŨY THỪA BA VÀ BẬC CAO HƠN

 

Các bộ bốn Pythagoras bao gồm tổng các bình phương, nhưng nếu ta “nâng cấp” lên mũ 3 có dạng

                                                              $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{d}^{3}}.$$

thì bộ bốn này được gọi là bộ bốn lũy thừa ba. Dưới đây là một vài ví dụ (lần nữa, các bộ bốn có cùng màu màu đỏ, xanh da trời và xanh lá là bội số của nhau).

 

cubic.png

 

Ở đây chúng ta sẽ không khảo sát tỉ mỉ công thức tạo ra bộ bốn luỹ thừa ba, nhưng thay vào đó hỏi một câu hỏi xuất hiện thì thú vị hơn nhiều: Có tồn tại những bộ ba lũy thừa ba? Câu hỏi này bài toán của một trong những định lý nổi tiếng của Toán học: Định lý cuối cùng của Fermat. Định lý nói rằng không có ba số nguyên dương $a,~b$ và $c$ nào thỏa mãn

                                                                         $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{c}^{3}}$$

Trên thực tế, định lý còn nói rằng với bất kì số nguyên $n$ nào lớn hơn 2 thì không thể tìm ra ba số nguyên dương $a,~b~$và $c$ sao cho

                                                                         $${{a}^{n}}+{{b}^{n}}={{c}^{n}}$$

Đây là giả thuyết do nhà Toán học nổi tiếng người Pháp Pierre de Fermat đưa ra vào năm 1637. Fermat đã viết trong lề cuốn sách rằng ông đã “có một cách chứng minh rất hay, nhưng lề sách này quá nhỏ để viết”. Trong hơn 300 năm, các nhà Toán học đã cố gắng tìm ra cách chứng minh, nhưng họ đã không thành công. Mãi cho đến năm 1995, nhà toán học Andrew Wiles mới chứng minh được định lý trên, sử dụng các công cụ toán phức tạp mà Fermat không thể nào biết được.

 

Người dịch: Nguyễn Thị Hồng Niên - Thành viên Chuyên san EXP

Bài viết này dịch theo https://plus.maths.o...and-quadruples