Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


hoangtrong2305

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 23-02-2017 - 18:02
****-

#671680 Hình học và thời gian

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 15-02-2017 - 00:55

HÌNH HỌC VÀ THỜI GIAN

 

Hình học phẳng và hình học không gian trong chương trình toán phổ thông đều là hình học Euclide. Thêm một chiều thời gian vào hình học chúng ta sẽ có hình học không thời gian hay còn gọi là hình học Minkowski với những nhận thức mới về thế giới xung quanh. Một trong phát hiện quan trọng của hình học không thời gian có ảnh hưởng tới sự phát triển của nhân loại là công thức năng lượng của Einstein. Công nghệ định vị toàn cầu GPS sẽ không thể chính xác nếu không tính đến các quan niệm mới về khoảng cách và thời gian. Hình học không thời gian ra đời khi hình học Euclide không thể giải thích được các quan sát thực nghiệm về vận tốc ánh sáng. Einstein, Lorentz, Poincaré và Minkowski đã tìm ra hình học không thời gian khi đi tìm một mô hình toán học để giải thích thí nghiệm Michelson-Morley. Ứng dụng toán học vào thực tiễn trước tiên là phải chọn mô hình toán học phù hợp và không ràng buộc các quan niệm của chúng ta vào bất cứ lý thuyết toán học nào.

 

1. Nguyên lý cộng vận tốc

Giả sử có một con tàu chạy với vận tốc $v$, trên tàu có một hành khách đi với vận tốc $u'$. Người quan sát trên sân ga sẽ thấy hành khách chuyển động với vận tốc $u$ là bao nhiêu? Bài toán này tuy rất đơn giản đối với học sinh phổ thông, nhưng chúng ta sẽ thử thận trọng kiểm tra từng bước lập luận. Nhiều ý tưởng khoa học vĩ đại cũng đã ra đời khi xem xét các ví dụ đơn giản như vậy. Nếu chúng ta đánh dấu một điểm $X$ bất kỳ trên con tàu, trong một khoảng thời gian $t$, người quan sát trên sân ga sẽ thấy điểm $X$ dịch chuyển một đoạn đường $x=vt$. So với điểm $X$, hành khách sẽ đi được một đoạn đường là $x'=u't$. Trong hình học Euclide, khoảng cách mà hành khách di chuyển so với sân ga là $s = s_1 + s_2 = (v + u')t$. Như vậy vận tốc của hành khách là $u = v + u'$. Đó chính là nguyên lý cộng vận tốc (Hình 1).

 

Capture1.PNG

Hình 1: Nguyên lý cộng vận tốc.

 

Nguyên lý cộng vận tốc được ứng dụng rộng rãi trong đời sống và tỏ ra khá chính xác với các vận tốc trong đời thường, nhỏ so với vận tốc ánh sáng $c = 300.000 \text{ km/c}$. Toán học đẹp đẽ ở chỗ giúp ta biết trước được các kết quả đo đạc bằng cách sử dụng các công thức toán. Lập luận của nguyên lý cộng vận tốc chỉ dựa trên việc cộng khoảng cách dường như hiển nhiên là đúng. Tuy nhiên, những chân lý được cho là hiển nhiên nhiều lần đã đánh lừa cả những bộ óc vĩ đại nhất. Ví dụ như, năm 1922, Elie Cartan đã đưa ra một lý thuyết tổng quát cho hình học Riemann. Ngay lập tức, ông đã nghĩ tới việc áp dụng lý thuyết này để mở rộng lý thuyết tương đối của Einstein. Do sử dụng một công thức sai mà Cartan cho là đúng "hiển nhiên", ông đã đi đến những hệ quả mâu thuẫn với thực tiễn. Điều đó làm việc ứng dụng lý thuyết Cartan vào thực tế bị chậm lại gần nửa thế kỷ.

 

Chúng ta hãy thử xét thêm một bài toán khác. Giả sử trên tàu chuyển động với vận tốc $v$ có một nguồn sáng. Biết rằng ánh sáng truyền với vận tốc xấp xỉ $c = 300.000 \text{ km/s}$. Nếu áp dụng nguyên lý cộng vận tốc, người quan sát trên sân ga sẽ thấy ánh sáng chuyển động với vận tốc $c+v$ (Hình 2).

 

Capture2.PNG

Hình 2: Vận tốc ánh sáng không đổi khi nguồn sáng chuyển động.

 

Mặc dù trong lập luận nêu trên, chúng ta chỉ dựa trên nguyên lý cộng vận tốc, nhưng chúng ta sẽ thấy kết luận của nó khác xa với thực tế.

 

2. Thí nghiệm Michelson-Morley

 

Năm 1887, Albert Michelson và Edward Morley đã tiến hành một thí nghiệm cho thấy rằng ánh sáng truyền theo mọi phương với vận tốc không đổi, không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn sáng. Theo kết quả thí nghiệm Michelson-Morley, nguyên lý cộng vận tốc không thể áp dụng cho ánh sáng. Cụ thể, trong ví dụ nêu trên, người quan sát đứng trên sân ga sẽ phải thấy vận tốc ánh sáng cũng bằng c giống như hành khách trên tàu. Điều đó có gì mâu thuẫn hay không? Thí nghiệm hay lập luận về nguyên lý cộng vận tốc đã có sai sót? Trong thực tế, thí nghiệm MichelsonMorley đã được lặp lại nhiều lần, loại bỏ mọi sai số và đều dẫn đến kết luận như nhau, không thể lầm lẫn.

 

Chúng ta sẽ còn phải biện luận một khả năng nữa. Thí nghiệm Michelson-Morley được thực hiện trong phòng thí nghiệm đặt trên Trái Đất. Vì thế, nếu Trái Đất đứng yên tuyệt đối như trong thuyết địa tâm của Nhà Thờ Trung cổ, thí nghiệm Michelson-Morley cũng sẽ cho thấy ánh sáng truyền theo mọi phương với vận tốc không đổi. Tuy vậy, chúng ta có những bằng chứng khác để chắc chắn rằng Trái Đất không đứng yên và thực hiện nhiều chuyển động quay khác nhau. Khi một vật bất kỳ chuyển động quay, sẽ có một lực Coriolis tác động lên vật chuyển động trên bề mặt của nó. Trong thực tế người ta đã quan sát được lực này trên hai bán cầu của Trái Đất theo hai hướng khác nhau như trong Hình 3.

 

Capture3.PNG

Hình 3: Lực Coriolis chứng tỏ Trái Đất không đứng yên.

 

Chúng ta sẽ đi tìm một lời giải thích khác cho thí nghiệm Michelson-Morley.

 

3. Phép biến đổi Lorentz

 

Như vậy, chúng ta cần phải có một công thức cộng vận tốc mới có thể áp dụng được cả cho trường hợp nguồn sáng chuyển động. Công thức mới phải đảm bảo vận tốc ánh sáng đối với người quan sát trên sân ga cũng giống như đối với người quan sát trên tàu và đều bằng $c$ vừa có thể bao gồm cả nguyên lý cộng vận tốc cũ ở một mức độ chính xác nào đó. Để làm được điều này, chúng ta sẽ xét lại các giả thiết "ngầm định" trong lập luận nêu trên về cộng vận tốc. Thậm chí, chúng ta có thể phải thay đổi các quan niệm về khoảng cách, thời gian, hoặc cả hai trong nguyên lý cộng vận tốc mới.

 

Người đầu tiên làm được điều đó vào năm 1892 là nhà vật lý người Hà Lan Henrik Lorentz (giải thưởng Nobel năm 1902). Ông giải thích việc vận tốc ánh sáng không thay đổi khi nguồn sáng chuyển động bằng cách cho rằng thời gian và khoảng cách do người quan sát trên sân ga và trên tàu đo được là khác nhau. Cụ thể người quan sát trên sân ga sẽ đo được khoảng thời gian và quãng đường một đối tượng bất kỳ (kể cả ánh sáng) đi được trong khoảng thời gian lần lượt là $t$và $x$. Trong khi đó người quan sát đứng yên trên tàu sẽ đo được các đại lượng này là $t'$và $x'$. Lorentz đã tìm được liên hệ giữa các đại lượng do hai người quan sát được thông qua phép biến đổi Lorentz sau đây
$$\begin{equation} x'=\beta (-vt+x), \,t'=\beta \left(t-\frac{v}{c^2} x \right ) \end{equation}$$
trong đó $\beta = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ là hệ số Lorentz. Trước tiên, chúng ta hãy kiểm tra xem phép biến đổi Lorentz có thỏa mãn các yêu cầu đã đề ra hay không.

 

Dễ dàng thử được,công thức biến đổi Lorentz (1) thỏa mãn hệ thức
$$\begin{equation} x^2-c^2t^2=x'^2-c^2t'^2 \end{equation}$$
Hệ thức (2) có ý nghĩa rất quan trọng: Đại lượng $x^2 - c^2t^2$ luôn là một số không đổi không phụ thuộc người quan sát khi họ chuyển động so với nhau.

 

Trong trường hợp số không đổi này bằng 0, đối tượng quan sát sẽ chuyển động với vận tốc ánh sáng đối với cả hai người quan sát bất kỳ
$$\begin{equation} u=x/t=u'=x'/t'=c \end{equation}$$
đây chính là trường hợp nguồn sáng chuyển động không làm thay đổi vận tốc của ánh sáng trong thí nghiệm Michelson-Morley.
Chúng ta hãy tìm công thức cộng vận tốc mới từ công thức biến đổi Lorentz (1) như sau:
$$\begin{equation} x'/t'=\frac{-v+x/t}{1-v/c^2x/t} \end{equation}$$
hoặc một cách tường minh hơn
$$\begin{equation} u'=\frac{-v+u}{1-v/c^2u},\, u=\frac{u'+v}{1+v/c^2u'} \end{equation}$$
Đối với những vật chuyển động với vận tốc nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng $v/c^2 \approx 0$, chúng ta có nguyên lý cộng vận tốc cũ $u = v + u'$. Như vậy, nếu thời gian và quãng đường do hai người quan sát bất kỳ đo được liên hệ với nhau bởi phép biến đổi Lorentz (1), chúng ta sẽ có nguyên lý cộng vận tốc mới thỏa mãn mọi yêu cầu của thực nghiệm. Điểm cốt lõi nhất trong phép biến đổi Lorentz là thời gian và quãng đường đi được của đối tượng do hai người quan sát là khác nhau. Đặc biệt khái niệm "thời gian địa phương" của người quan sát của Lorentz được nhà toán học Henri Poincaré đánh giá là ý tưởng "tài tình nhất".

 

4. Hệ quy chiếu và bất biến

 

4.1. Biến đổi tọa độ không gian

 

Trong hình học Euclide, chúng ta đã quen thuộc với việc sử dụng phép biến đổi tọa độ không gian. Để đơn giản chúng ta chỉ xem xét không gian hai chiều, tuy mọi tính chất toán học quan trọng mà chúng ta quan tâm sẽ không thay đổi trong không gian nhiều chiều hơn. Một điểm $P$ cho trước được mô tả bằng các tọa độ $(x_1, x_2)$ trong hệ tọa độ thứ nhất và $(x_1', x_2')$ trong hệ tọa độ thứ hai quay đi một góc $\theta$ so với hệ tọa độ thứ nhất như trong Hình 4.

 

Capture4.PNG

Hình 4: Phép quay không gian bảo toàn khoảng cách

 

Sử dụng kiến thức hình học và lượng giác phổ thông, chúng ta có thể tìm ra công thức biến đổi quay hệ tọa độ như sau
$$\begin{equation} x_1'=\cos \theta x_1+\sin \theta x_2,\, x_2'=\sin \theta x_1-\cos \theta x_2 \end{equation}$$
Hiển nhiên khoảng cách của đoạn OP không thay đổi khi ta quay hệ tọa độ. Do đó
$$\begin{equation} OP^2=x_1^2 + x_2^2 = x_1^{'2} + x_2^{'2} \end{equation}$$
Không những thế, khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ $P$ và $Q$ cũng không thay đổi với phép quay hệ tọa độ theo trục bất kỳ trong hình học Euclide.

 

Theo ngôn ngữ của toán học, khoảng cách bất biến với phép quay. Trong không gian Euclide 2 chiều chỉ có một phép quay, trong không gian 3 chiều có 3 phép quay độc lập theo ba trục không gian vuông góc với nhau. Tổng quát, trong không gian $n$ chiều có $n(n-1)/2$ phép quay độc lập. Như vậy, chúng ta sẽ hiểu tại sao trong các giáo trình toán cao cấp, định nghĩa hình học Euclide bao gồm các phép biến đổi quay hệ tọa độ và tính chất bất biến khoảng cách. Trong sách giáo khoa phổ thông, các thuộc tính bất biến được "ngầm định" xem như đúng hiển nhiên, không phát biểu thành tiên đề. Các tính chất bất biến với phép quay này được sử dụng trong các bài toán dựng hình và khi chứng minh các trường hợp bằng nhau của tam giác.

 

Về mặt vật lý, người ta "lý giải" về khả năng ứng dụng hình học Euclide với bất biến khoảng cách là do không gian có tính đồng nhất và đẳng hướng. Nếu trong không gian có một phân bố không đồng đều của các chất, nó sẽ không còn thuần nhất và đẳng hướng nữa. Các hình sẽ bị "méo đi" khi bị dịch chuyển trong các không gian như vậy. Chẳng hạn khi trong không gian có trường hấp dẫn khá mạnh, các đường thẳng sẽ bị uốn cong. Khi đó người ta sẽ phải sử dụng hình học Riemann thay cho hình học Euclide. Như vậy, bất biến khoảng cách không phải là một chân lý hiển nhiên bất di bất dịch. Khoa học không đặt niềm tin mù quáng vào bất cứ chân lý được thừa nhận nào của quá khứ.

 

4.2. Hệ quy chiếu

 

Khi có thêm chiều thời gian trong hình học, chúng ta sẽ có khái niệm hệ quy chiếu, bao gồm các tọa độ không gian và thời gian. Thời gian là một số thực, do đó chúng ta sẽ có 4 biến thực khác nhau. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy hình học không thời gian có tính chất khác không gian Euclide 4 chiều ở tính bất biến về khoảng cách. Trong hình học không thời gian, bất biến về khoảng cách bị thay thế bất biến khoảng không thời gian được định nghĩa như sau
$$\begin{equation} ds^2=(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2-c^2(\tau-t)^2 \end{equation}$$
đối với hai sự kiện xảy ra tại các tọa độ không gian $(x_1, x_2, x_3),\, (y_1, y_2, y_3)$ và tại các thời điểm lần lượt là $t$ và $\tau$.

 

Điều làm khoảng cách có thể thay đổi trong hình học không thời gian không phải là do không gian mất tính đồng nhất và đẳng hướng, mà chính là do các chuyển động với vận tốc lớn. Điều này chúng ta chưa hề biết trong vật lý cổ điển, khi hình học Euclide được coi là duy nhất và hiển nhiên là đúng với thực tiễn. Khoảng cách và thời gian đo được sẽ thay đổi khi người quan sát chuyển động với vận tốc lớn cho phép vận tốc ánh sáng không phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Đó chính là ý nghĩa sâu xa của bất biến khoảng không thời gian.

 

Trong không gian ba chiều chúng ta sẽ có 3 phép biến đổi Lorentz độc lập tương tự như trong công thức (1), ứng với 3 tọa độ không gian khác nhau. Như vậy, chúng ta có 3 phép quay tọa độ độc lập trong không gian và 3 phép biến đổi Lorentz độc lập. Poincaré là người đầu tiên nhận ra phép biến đổi Lorentz có tính chất giống như phép quay. Điều khác biệt chỉ là thay các hàm lượng giác thông thường trong công thức (6) bằng các hàm lượng giác hyperbole. Như vậy trong mặt phẳng $(ct, x)$ chúng ta có phép quay hyperbole.
$$\begin{equation} ct'=\cosh \theta ct-\sinh \theta x\, x'=-\sinh \theta ct+\cosh \theta x \end{equation}$$
Chúng ta sẽ tìm hiểu ý nghĩa của các hàm lượng giác hyperbole khi liên hệ với các hàm lượng giác bình thường như sau: Nếu trong công thức Moivre
$$\begin{equation} e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta \end{equation}$$
sử dụng biến số thuần ảo $\zeta = -i \theta$ chúng ta sẽ có
$$\begin{equation} e^{\zeta }=\cosh \zeta+\sinh \zeta \end{equation}$$
Do đó,
$$\begin{equation} \cosh \zeta = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\; \sinh \zeta = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \end{equation}$$
Hàm lượng giác hyberbole có tính chất sau
$$\begin{equation} \cosh^{2}\zeta -\sinh^{2}\zeta=1 \end{equation}$$
Sử dụng tính chất này chúng ta sẽ kiểm tra được khoảng không thời gian $x_2 - c_2 t_2$ bất biến với các phép quay hyperbole (9). Mặt khác, chúng ta cũng kiểm tra được phép biến đổi Lorentz trong công thức (1) chính là phép quay hyperbole với tham số quay $\theta$ xác định qua vận tốc tương đối giữa hai hệ quy chiếu
$$\begin{equation} \tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} = \frac{v}{c} \end{equation}$$
Trong vật lý, phép quay Lorentz còn gọi là phép ném do biến đổi một hệ quy chiếu thành một hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc $v$ so với nó.

 

5. Không gian Minkowski

 

Năm 1907, nhà toán học Hermann Minkowski, vốn là thày dạy toán của Einstein, nhận thấy tất cả các công thức trong lý thuyết tương đối hẹp do Einstein, Lorentz và Poincaré xây dựng đều có thể viết lại đẹp đẽ trong không gian 4 chiều với 4 tọa độ như sau $(x_1, x_2, x_3, x_0 = ct)$. Khoảng không thời gian bất biến là
$$\begin{equation} ds^2 = dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2-dx_0^2 \end{equation}$$
trong đó $dx_\mu, \mu = 1, 2, 3, 0$ là chênh lệch về tọa độ không thời gian giữa hai sự kiện bất kỳ.

 

So với không gian Euclide 4 chiều $\mathbb{R}^4$, hình học không thời gian chỉ có thay đổi một dấu trừ trong định nghĩa khoảng bất biến. Như chúng ta sẽ thấy, khi áp dụng vào thực tiễn, chỉ dấu trừ trong định nghĩa khoảng bất biến này sẽ đảo lộn nhiều nhận thức hàng ngày của chúng ta. Có một cách quan niệm khác: Nếu thời gian là một số ảo, chúng ta sẽ có bất biến như trong hình học Euclide. Nói rộng ra: thời gian cũng là một chiều không gian ảo và ngược lại không gian là chiều thời gian ảo. Như vậy số ảo tồn tại trong thế giới thực. Khiên cưỡng với các số thực mới là phi thực tế. Học Toán là để có một tư duy cởi mở và linh hoạt chứ không phải để tự trói mình vào những kiến thức quen thuộc và lạc hậu.

 

Như vậy, không gian Minkowski đã thống nhất không gian với thời gian, các phép biến đổi Lorentz chính là các phép quay đặc biệt trong không gian 4 chiều này đã "hòa trộn" không gian với thời gian. Các sự kiện vật lý xảy ra trong thực tế đều mô tả bởi một điểm trong không gian Minkowski. Việc thống nhất không thời gian trong hình học Minkowski dẫn tới việc thống nhất rất nhiều đại lượng khác với nhau. Các vector 3 chiều trong hình học không gian đều cần được mở rộng thành các vector 4 chiều trong hình học không thời gian.

 

Trước hết chúng ta hãy xét vector vận tốc $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$. Thay cho vận tốc, trong vật lý, người ta thường dùng vector xung lượng $\vec{p} = m\vec{v}$. Trong hình học Minkowski, mọi vector đều có 4 thành phần, như vậy chúng ta cần bổ sung thêm một thành phần nữa. Thành phần thứ tư của xung lượng mở rộng chính là một đại lượng quen thuộc trong vật lý là năng lượng. Ta có vector năng xung lượng trong hình học Minkowski định nghĩa như sau:$\vec{p} = (p_1, p_2, p_3, p_0) = (p_x, p_y, p_z, E)$. Việc thống nhất năng lượng với xung lượng vào một vector năng-xung lượng có một ý nghĩa rất sâu xa. Xung lượng là gắn liền với biến thiên theo các hướng không gian. Năng lượng sẽ gắn với biến thiên theo thời gian trong cơ học lượng tử và là nền tảng cho phương trình Schrodinger nổi tiếng mô tả các hiện tượng lượng tử trong thế giới vi mô. Điều đó hàng chục năm sau Minkowski mới được các nhà vật lý hiểu rõ.

 

Một trong những vẻ đẹp nữa của hình học Minkowski là việc mô tả lý thuyết điện từ của Maxwell một cách thống nhất. Như chúng ta biết, lý thuyết điện từ do nhà vật lý người Scottland James Clerk Maxwell phát hiện vào năm 1865. Lý thuyết này bao gồm tất cả các định luật về điện và từ. Lý thuyết này tiên đoán được sự tồn tại của sóng điện từ có ứng dụng thực tế rất rộng rãi ngày nay. Ánh sáng cũng là một loại sóng điện từ đặc biệt. Trong lý thuyết Maxwell có hai đại lượng cơ bản là từ trường $\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)$ và điện trường $\vec{E} = (E_x, E_y, E_z)$. Câu hỏi đặt ra là làm thế nào mô tả điện trường và từ trường trong hình học Minkowski, khi các vector trong hình học này phải có 4 chiều?

 

Khác với trường hợp của năng-xung lượng, mô tả của điện trường và từ trường không đơn giản là thêm vào thành phần thứ 4. Trong thực tế, không có đại lượng vật lý nào ứng với thành phần thứ tư của điện trường hoặc từ trường cả. Người ta đã tìm ra một vector 4 chiều trong hình học Minkowski $\vec{A} = (A_1, A_2, A_3, A_0)$ gọi là vector thế năng điện từ. Khi đó điện trường và từ trường có thể biểu diễn qua vector thế năng điện từ như sau
$$\begin{align} \begin{split} \vec{E}&=\left(F_{01},F_{02},F_{03} \right ), \, \vec{B}=\left(F_{12},F_{23}, F_{31} \right )\\ F_{\mu \nu} &= -F_{\nu \mu}=\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} \end{split} \end{align}$$
trong đó $\mu, \nu = 1, 2, 3, 0$ và $\partial_{\mu}$ là đạo hàm theo biến thứ $\mu$. Các phương trình Maxwell, vốn rất khó nhớ bây giờ có thể viết thành dạng đơn giản và đẹp đẽ tương tự như phương trình sóng đối với thế năng điện tử $A_\mu$ như sau
$$\begin{equation} \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right )A_{\mu}=0 \end{equation}$$
Điều đáng nói là trong hình học Minkowski, điện trường và từ trường được thống nhất với nhau thông qua một vector thế năng điện từ trường 4 chiều.

 

Ban đầu Einstein nghĩ rằng hình học Minkowski chỉ là một công cụ để mô tả các công thức toán học cho đẹp đẽ hơn. Nhưng ông đã nhanh chóng nhận ra ý nghĩa của hình học này trong việc thống nhất các đại lượng vật lý tưởng chừng riêng rẽ với nhau. Từ đó, ông đã có phát minh vĩ đại nhất của nhân loại là lý thuyết tương đối rộng, khi mở rộng hình học Minkowski cho các không gian không có tính đồng nhất. Năm 1915, Einstein công bố lý thuyết tương đối rộng với các công thức toán học sử dụng các vector 4 chiều rất rộng rãi. Khi đó, Minkowski đã qua đời được 6 năm, không kịp chứng kiến sự ra đời của công trình khoa học vĩ đại nhất của nhân loại do học trò của mình khám phá.

 

Ngày nay cách mô tả các đại lượng vật lý thông qua các vector 4 chiều của Minkowski trở nên phổ biến rộng rãi trong vật lý. Nhờ đó, Dirac đã tìm ra phương trình mô tả electron và positron và các hạt vật chất. Cũng nhờ đó, Yang và Mills phát hiện được phương trình Yang-Mills mô tả các tương tác giữa các vật chất.

 

6. Hình học không thời gian và thực tế

 

6.1. Công thức năng lượng của Einstein

 

Việc thống nhất năng lượng và xung lượng trong không gian Minkowski có một hệ quả vô cùng quan trọng. Tương tự như bất biến khoảng không thời gian, năng xung lượng cũng liên quan tới một đại lượng bất biến là khối lượng thông qua công thức
$$\begin{equation} p^2 = p_1^2 + p_2^2 + p_3^3 - E^2 = -m^2c^4 \end{equation}$$
Chúng ta sẽ không tìm cách dẫn ra công thức này theo cách mà Einstein và các nhà toán học và vật lý đồng thời với ông đã làm. Các cách dẫn này chứa đựng nhiều quan điểm khác nhau, kể cả sai sót, còn đang tranh luận cho tới ngày nay [2].

 

Tuy nhiên, những người quan tâm tới cơ sở toán học chặt chẽ của công thức năng xung lượng (18) có thể thấy khối lượng chính là bất biến Casimir trong lý thuyết biểu diễn nhóm Poincaré của E.P.Wigner [3]. Chính vì thế, khối lượng là đặc trưng. Chúng ta hãy viết lại công thức năng xung lượng trong hệ tọa độ Descartes $(x, y, z)$ dưới dạng
$$\begin{equation} E=\sqrt{m^2c^4 + p_x^2 + p_y^2 + p_z^2} \end{equation}$$
Khi xung lượng bằng 0, chúng ta có công thức năng lượng nổi tiếng của Einstein
$$\begin{equation} E=mc^2 \end{equation}$$
Công thức này có một ý nghĩa vô cùng quan trọng: Do khối lượng của vật chất tương đương với năng lượng, khi khối lượng mất đi sẽ giải phóng ra một năng lượng vô cùng lớn. Đó chính là cơ sở của năng lượng nguyên tử.

 

Capture5.PNG

Hình 5: Bom nguyên tử tại Hiroshima và Nagasaki

 

Năm 1938, người ta đã phát hiện năng lượng được giải phóng trong rã hạt nhân nguyên tử uran khi bị bắn phá bởi các hạt neutron. Bên cạnh đó, trong các phản ứng tổng hợp các hạt nhân nhẹ thành hạt nhân năng, cũng có một lượng năng lượng lớn gấp bội được giải phóng. Công thức khối lượng là thành tựu vĩ đại đáng lẽ chỉ để giải quyết vấn đề năng lượng cho loài người, nhưng tiếc thay, công thức này bị lạm dụng để làm các loại vũ khí hủy diệt chưa từng thấy trong lịch sử. Đó là vết nhơ trong lịch sử loài người. Điều đó cho thấy, để đi vào ứng dụng thực tế, các nhà khoa học cần có nền tảng đạo đức vững chắc bên cạnh kiến thức khoa học uyên thâm.

 

6.2. Quan niệm mới về thời gian và khoảng cách

 

Trong hình học không thời gian, do các khái niệm không gian và thời gian được hòa trộn, các quan niệm về khoảng cách và thời gian tuyệt đối mà chúng ta thừa nhận như các chân lý hiển nhiên không còn đúng nữa. Trước hết là ở tính đồng thời. Hai sự kiện được gọi là đồng thời nếu xảy ra tại cùng một thời điểm. Do thời gian trong các hệ quy chiếu khác nhau là khác nhau, nên hai sự kiện được coi là đồng thời trong một hệ quy chiếu sẽ không còn là đồng thời trong hệ quy chiếu khác. Điều đó cũng tương tự như có hai sự kiện đồng thời xảy ra tại thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội, nhưng đối với người trên chuyến máy bay từ Hà Nội đi thành phố Hồ Chí Minh hoặc ngược lại thì một sự kiện sẽ xảy ra trước sự kiện kia.

 

Trong Hình 6, có một tia sáng chiếu từ giữa toa tàu đang chuyển động. Người quan sát đứng ở trên tàu sẽ thấy tia sáng chiếu đến đầu tàu và cuối tàu đồng thời. Trong khi đó, người đứng trên sân ga sẽ thấy tia sáng đến cuối tàu sớm hơn do quãng đường ánh sáng phải đi ngắn hơn. Bạn đọc có thể tự nghĩ ra rất nhiều tình huống lý thú khi tính đồng thời bị vi phạm.

 

Capture6.PNG

Hình 6: Tính đồng thời phụ thuộc vào hệ quy chiếu

 

Do thời gian trong các hệ quy chiếu khác nhau là khác nhau do phép biến đổi Lorentz, không những tính đồng thời bị vi phạm mà thời trôi đi trong hệ quy chiếu này có thể dài hoặc ngắn hơn thời gian trôi đi trong hệ quy chiếu kia. Người ta có một kịch bản giả tưởng về hai anh em sinh đôi, sống trên hai hệ quy chiếu khác nhau, người này sẽ già hơn người kia khi gặp lại. Chính vì thế câu chuyện Từ Thức gặp tiên, khi trở về quê nhà, những người thân đều đã qua đời, vẫn có phần thực tế trong hình học không thời gian. Nếu cõi tiên của Từ Thức ở trong một hệ quy chiếu chuyển động, ông sẽ thấy thời gian ngắn hơn so với hệ quy chiếu gắn với quê hương, nơi có người thân của ông sinh sống.

 

Độ dài cũng thay đổi trong các hệ quy chiếu khác nhau. Người quan sát sẽ thấy vật chuyển động ngắn lại nhờ phép biến đổi Lorentz. Điều đáng chú ý là mặc dù thời gian bị đảo lộn trong hệ quy chiếu, trong hình học không thời gian, tính nhân quả không bị đảo lộn. Nếu một sự kiện $A$ là hệ quả của một sự kiện $B$, trong mọi hệ quy chiếu sự kiện $A$ luôn là hệ quả của sự kiện $B$. Do đó, trong mọi hệ quy chiếu, người quan sát sẽ phải luôn luôn thấy cha sinh trước con.

 

7. Công nghệ GPS và thuyết tương đối

 

Các ví dụ nói trên tuy rất thú vị về mặt triết lý, nhưng đều có vẻ trừu tượng và giả tưởng. Trong phần này, chúng ta hãy xét một ví dụ về ứng dụng hình học không thời gian trong thực tế.

Công nghệ định vị toàn cầu GPS là công nghệ xác định vị trí của các vật chuyển động trên bề mặt Trái Đất nhờ các vệ tinh trong không gian. Từ các vật trên mặt đất, người ta cho phát đi sóng điện từ đến các vệ tinh, vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu sóng và qua đó tính được khoảng cách từ vật phát sóng đến vệ tinh. Nếu có nhiều vệ tinh (trong thực tế hệ thống GPS có 24 vệ tinh), từ các khoảng cách khác nhau, người ta sẽ xác định được chính xác vị trí của vật trên mặt đất (Xem Hình 7). Chính trong công nghệ này ảnh hưởng của hình học không thời gian đặc biệt quan trọng [4] Các vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo quanh Trái Đất với tốc độ $14.000 \text{ km/giờ}$. Do đó đồng hồ trên các vệ tinh sẽ chạy nhanh hơn các đồng hồ trên Trái Đất chừng 7 micro giây trong một ngày đêm. Do quỹ đạo của các vệ tinh cách mặt đất chừng $20.000 \text{ km}$, lực hấp dẫn trên vệ tinh sẽ nhỏ hơn trên mặt đất 4 lần. Các hiệu ứng hấp dẫn lại làm đồng hồ trên mặt đất chạy nhanh 45 micro giây trong một ngày đêm. Như vậy về tổng số, đồng hồ trên mặt đất sẽ chạy nhanh hơn đồng hồ trên vệ tinh 38 giây trong một ngày.

 

Capture7.PNG

Hình 7: Công nghệ định vị bằng vệ tinh

 

Để đo được vị trí của vật trên mặt đất bằng công nghệ GPS chính xác tới $15 \text{ m}$, sai số đo thời gian phải dưới 50 nanô giây. Nếu không tính tới các hiệu ứng của thuyết tương đối, mỗi ngày đêm sai số sẽ tích lũy khoảng $10 \text{ km}$, một con số rất lớn làm sai lệch việc đo khoảng cách bằng GPS. Ngày nay, hiệu chỉnh thời gian với hình học không thời gian và hình học Riemann bao gồm hiệu ứng hấp dẫn rất quan trọng trong công nghệ GPS.

 

8. Mở rộng hình học không thời gian

 

Năm 1915, Einstein đã ứng dụng hình học Riemann vào vật lý bằng cách mở rộng hình học không thời gian và bỏ qua điều kiện bất biến khoảng không thời gian. Hình học này đã mô tả sự hình thành vũ trụ và tương tác hấp dẫn từ các khoảng cách xa nhau hàng triệu năm ánh sáng.

Tuy nhiên, đó vẫn chưa phải là giới hạn cuối cùng của sự mở rộng. Ngày nay, hình học Riemann mở rộng thêm các chiều không gian và hơn một chiều thời gian cũng bắt đầu được nghiên cứu. Bên cạnh đó các tính chất hình học như độ cong, độ xoắn và các tính chất topo của không thời gian đang đem lại rất nhiều quan niệm mới mở ra những chân trời ứng dụng mới không những cho khoảng cách lớn giữa các Thiên hà mà cả ở các khoảng cách vô cùng bé, nơi các quan niệm hiện tại của chúng ta về không thời gian sẽ phải thay đổi rất nhiều.

Ứng dụng toán học là tìm và phát triển các mô hình toán học phù hợp với thực tiễn. Thực tiễn không dừng lại với bất kỳ lý thuyết toán học cụ thể nào.

 

9. Tài liệu

 

[1] Nguyễn Ái Việt, Cấu trúc không thời gian: Tập 1.Thuyết tương đối hẹp và đối xứng không thời gian (sắp xuất bản)
[2] E.Hecht, American Journal of Physics, 79 (6) (2011) 591–600
[3] V.Bargmann and E.P.Wigner, Proc. Natl. Acad. Sci. 34 (5) (1948) 211–23.
[4] C.M.Will,Stable clocks and general relativity (1995) arxiv: gr-qc/9504017

 

Nguồn: Nguyễn Ái Việt, "Hình học và thời gian", tạp chí Epsilon, số 12, 2016, https://drive.google...iew?usp=sharing




#671521 Bài toán chuyến xe bus

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 13-02-2017 - 20:41

BÀI TOÁN CHUYẾN XE BUS
1. Mở đầu
 
Xe buýt là một trong những phương tiện giao thông huyết mạch của thành phố, xấp xỉ lên đến 33 nghìn chuyến mỗi ngày. Vì vậy, lập tuyến xe buýt mới và tối ưu tuyến xe buýt cũ là một trong những ưu tiên hàng đầu của thành phố. Mỗi tuyến xe buýt thường được biểu diễn bởi một đoạn thẳng có độ dài cố định và một số trạm xe buýt nằm giữa hai đầu mút. Người dân muốn các trạm nằm sao đó để tối ưu thời gian di chuyển của họ. Vì vậy, đối tượng cần được tối ưu là thời gian di chuyển trung bình của tất cả người dân.
 
2. Mô hình
 
Chúng ta xét mô hình sau:
 
Giả sử có một con đường dài $L \text{ km}$. Dân số được phân bố đều nhau trên suốt con đường này. Chúng ta cần tìm số trạm xe buýt và vị trí tối ưu của chúng để giảm thiểu thời gian di chuyển trung bình mà một hành khách phải bỏ ra, để đi từ một điểm bất kỳ trên đường đến một điểm bất kỳ khác. Để đi từ $P$ đến $Q$, một hành khách phải đi bộ đến trạm xe buýt gần $P$ nhất, sau đó lên xe và dừng lại ở trạm xe buýt gần $Q$ nhất, rồi đi bộ đến $Q$. Nếu có hai trạm xe buýt cách $P$ một khoảng như nhau, hành khách sẽ chọn trạm để giảm thiểu số trạm phải đi (tương tự nếu có hai trạm cách $Q$ một khoảng như nhau). Tốc độ đi bộ là $W \text{ km/h}$, tốc độ của xe buýt là $B \text{ km/h}$, và một chiếc xe buýt phải dành khoảng $S$ giờ để nhận thêm hoặc bỏ ra các hành khách ở mỗi trạm. Chúng ta ký hiệu $T(P, Q)$ là thời gian mà hành khách phải bỏ ra để đi từ $P$ đến $Q$.
 
Chẳng hạn ta xét bản đồ sau với độ dài quãng đường $L = 20 km$:
Capture.PNG
Có 5 trạm xe buýt và 3 vị trí ngẫu nhiên trên bản đồ, ta tính thời gian di chuyển giữa các vị trí này:
1. Để đi từ $P$ đến $R$, hành khách cần đi $1 \text{ km}$ đến trạm 2, sau đó qua 2 trạm với độ dài $14 \text{ km}$ xuống trạm 4, rồi đi bộ $1 \text{ km}$ đến $R$. Tổng thời gian là:
$$T(P,R)=\frac{1}{W}+\frac{14}{B}+2S+\frac{1}{W}=\frac{2}{W}+\frac{14}{B}+2S$$
2. Tương tự, để đi từ $Q$ đến $R$, ta cần thời gian:
$$T(Q,R)=T(P,R)+\frac{1}{W}=\frac{3}{W}+\frac{14}{B}+2S$$
3. Để đi từ $P$ đến $Q$, hành khách sẽ đi bộ $1 \text{ km}$ đến trạm 2, đi xe buýt $0 \text{ km}$ đến trạm 2 (nghĩa là không làm gì cả), rồi đi bộ $2 \text{ km}$ đến $Q$. Tổng thời gian là:
$$T(P,Q)=\frac{1}{W}+\frac{0}{B}+0S+\frac{2}{W}=\frac{3}{W}$$
(Trường hợp này chỉ dùng để minh họa thuật Toán đi, không có ý nghĩa thực tế.)
Chúng ta thống nhất một vài điều kiện và ký hiệu:
• Luôn có một trạm xe buýt ở 2 đầu mút của đoạn đường.
• Giả sử vị trí của các trạm là $0 = x_{1} < \cdots < x_{n-1} < x_{n} = L$, khi đó ta biểu diễn tuyến xe buýt $A$ qua bộ sắp xếp trạm là $A = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1}, x_{n})$..
• Tuyến xe buýt $A$ cũng có thể được biểu diễn thông qua bộ $A = (d_{1}, d_{2}, \cdots , d_{n-1}, d_{n})$, với $d_{i} = x_{i} - x_{i-1}$ và $i = 1, 2, . . . , n$.
• Ký hiệu $E (A)$ là thời gian trung bình để đi từ một điểm bất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác trên tuyến xe buýt $A$, khi bộ sắp xếp trạm của tuyến này được cố định.
 
3. Câu hỏi
 
Bài toán 1. 
1) Cố định $n$ và bỏ qua thời gian đón và thả hành khách ở mỗi trạm. Chứng minh rằng bộ sắp xếp tối ưu xảy ra khi các trạm xe buýt cách đều nhau. Nghĩa là $E(A)$ đạt giá trị tối thiểu khi $d_{1} = d_{2} = . . . = d_{n-1} = d_{n}$.
 
2) Xét trường hợp $L = 20, W = 5, B = 20, S = 0.05$. Tìm giá trị của $n$ để tối ưu hóa $E(A)$, biết $A$ có $n + 1$ trạm xe buýt cách đều nhau. (Do $S \neq 0$ nên không đảm bảo đây là cách sắp xếp tối ưu nhất với một giá trị n bất kỳ.)
 
Bài toán 2. Mô hình của chúng ta còn nhiều khuyết điểm:
1) Hành khách hoàn toàn có thể đi bộ trực tiếp nếu 2 điểm đi và đến gần nhau.
2) Hành khách thường xuyên đến một số nơi như siêu thị, cơ quan, nhà riêng, .v.v. hơn một số điểm trung gian khác.
3) Dân số phân bố chưa hẳn đã đồng đều trên toàn tuyến.
 
Dựa trên câu 1.1) và 1.2), hãy đưa ra một mô hình có thể giải quyết ba vấn đề trên. Để đơn giản, bạn vẫn có thể giả sử tuyến xe buýt là một đường thẳng.

 

Nguồn: Lê Tạ Đăng Khoa, Bài toán chuyến xe bus, tạp chí Epsilon, số 1, 2015, https://www.facebook...412604425701926




#670686 Tội phạm và động đất

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 07-02-2017 - 23:20

TỘI PHẠM VÀ ĐỘNG ĐẤT

 
Nếu bạn đang sống ở Los Angeles có hai điều có thể làm cho bạn đặc biệt lo lắng: động đất và tội phạm. May mắn thay, các nhà toán học đã có thể đưa ra cách để giúp cho bạn an toàn ở cả hai điều trên. Một hệ thống phần mềm có tên là là Predpol đã được nhà toán học George Mohler, nhà nhân chủng học Jeff Brantingham và những người khác phát triển, hiện được sở cảnh sát Los Angeles và ơcác thành phố khác sử dụng làm công cụ pháp lý. Nhân viên cảnh sát trong khu vực sử dụng phần mềm này mỗi ngày. 
 
la.jpg
Los Angeles
 
Predpol là kí hiệu viết tắt của “predictive policing – Chính sách Dự đoán ”. Predpol hoạt động dựa trên tính toán xác suất khả năng tội phạm sẽ thực hiện trong một khu vực cụ thể trong một ngày cụ thể dựa trên các dữ liệu theo thời gian thực từ những ngày trước. Nhân viên cảnh sát đã được cung cấp bản đồ dự báo trước cho biết những nơi có xác suất xuất hiện tội phạm cao, do đó họ có thể đưa ra thêm các cuộc tuần tra và hi vọng có thể ngăn chặn tội ác xảy ra.
 
Vậy làm thế nào để hiểu về tội phạm theo nghĩa toán học? Có một cách đó là đi theo hướng từ dưới lên, sử dụng các quy tắc toán học để mô tả những hành vi của bọn tội phạm riêng biệt và quan sát dạng mẫu mô hình xuất hiện. Nhưng bạn cũng có thể sử dụng cách đi từ tren xuống, quên đi tính riêng biệt và nhìn vào tội phạm ứng với số lần xuất hiện trong thống kê, giống như động đất có xuất hiện một số quy luật. Predpol sử dụng cách tiếp cận thứ 2.
 
I. CÁC BĂNG NHÓM VÀ BẠO LỰC
 
Để dễ hiểu, chúng ta hãy tập trung vào những thứ đang phổ biến rộng rãi ở Los Angeles và cũng như các thành phố lớn khác: đó là băng nhóm tội phạm, các băng nhóm này thường gây ra những trận đánh ác liệt nhằm “tranh giành” lãnh thổ, và nếu ai dám gây hấn với băng nhóm này thì chắc chắn sẽ có trả thù. Sau cùng, hệ quả mà các băng nhóm bạo lực đã tạo ra tương tự như động đất: bạo lực sẽ leo thang, cũng như động đất thì đi kèm với dư chấn.
 
grafitti.jpg
Graffiti tại Los Angeles
 
Có thể mô tả động đất theo nghĩa toán học là một quá trình tự kích thích, là những sự kiện xảy ra theo thời gian dựa trên kết quả của nhiều yếu tố phức tạp nên ta xem động đất là một quá trình ngẫu nhiên. Khi có một trận động đất xảy ra thì trong tương lai gần, khả năng xảy ra những dư chấn sẽ tăng lên. Đó là một phần của quá trình tự kích thích. 
 
Trong toán học có một kỹ thuật có thể giải quyết dãy các sự kiện tự kích thích ấy, gọi là Quy trình Hewkes, quy trình này có thể áp dụng vào các cuộc đối đầu giữa hai băng nhóm. Ý tưởng của quy trình này đó là xem hành vi bạo lực giữa các băng nhóm là một dãy các sự kiện theo thời gian. Ta cần hàm số tốc độ $r\left( t \right)$ biểu diễn khả năng xảy ra hành vi phạm tội tại thời điểm $t$, khả năng này còn tùy thuộc vào những gì đã xảy ra trước đó (vì quá trình này là quá trình tự kích thích). Ta thường xem tốc độ này là số lượng các sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định, ví dụ như số lượng tội phạm mà ta dự đoán xảy ra trong mỗi ngày. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta xác định độ dài khoảng thời gian là cực kì nhỏ. Vì vậy bạn có thể xem hàm số tốc độ $r\left( t \right)$ là tốc độ tức thời mà ta kì vọng hành vi phạm tội xảy ra tại thời gian $t$.
 
Bây giờ ta biểu diễn hàm số tốc độ thành các tổng. Biểu thức đầu tiên của tổng đó là tốc độ nền của tội phạm, tức là tốc độ các cuộc tấn công vô cớ giữa hai băng nhóm đã xảy ra, bỏ qua lý do trả thù. Các biểu thức còn lại của tổng tương ứng với số lượng các cuộc “hỗn chiến” giữa 2 băng nhóm tăng lên theo tốc độ nền, điều này phản ánh phần tự kích thích (sự trả thù). Các cuộc tấn công riêng biệt xảy ra càng lâu về quá khứ thì càng ít tác động vào hàm số tốc độ theo thời gian $t$.
 
Từ năm 2010, trong một bài báo, một nhóm sinh viên năm cuối của trường đại học Angeles, California, đã từng sử dụng Quy trình Hewkes để mô hình sự cạnh tranh giữa các cặp băng nhóm trong tại huyện Hollenbeck, LA. Trong đó, mặc dù khu vực này chỉ có 15 dặm vuông, nhưng đây là một trong những khu vực hung tợn nhất LA. Hàm số tốc độ họ sử dụng là:
$$r\left( t \right)=b+k\left( w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{1}} \right)}}+w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{2}} \right)}}+w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{3}} \right)}}+\ldots +w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{n}} \right)}} \right)$$
Trong đó $b$ là một số dương không đổi dùng để đo tốc độ phạm tội nền giữa hai băng nhóm. Từ ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ đến ${{t}_{n}}$ là những xung đột giữa 2 băng nhóm đã xảy ra trong quá khứ trước thời điểm $t$. Biểu thức $w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{i}} \right)}}$ cho thấy mong muốn trả thù ngược lại của những tội phạm. Bạn có thể thấy rằng một cuộc “hỗn chiến” đã xảy ra cách đây càng lâu ($t-{{t}_{i}}$ càng lớn) thì biểu thức $w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{i}} \right)}}$ càng nhỏ. Trong biểu thức trên $w$ là số dương không đổi, biểu diễn tốc độ ảnh hưởng của tội ác đang giảm dần, $w$ càng lớn, biểu thức $w{{e}^{-w\left( t-{{t}_{i}} \right)}}$ càng nhỏ. Số $k$ là một nhân tử dương chung phản ánh độ lớn của sự trả thù giữa các cặp băng nhóm. Nếu hai băng nhóm không quá “phiền muộn” về nhau, thì giá trị $k$ sẽ nhỏ, góp phần làm cho toàn bộ khả năng xảy ra thanh toán nhau trong quá khứ cũng nhỏ lại. Tuy nhiên, nếu 2 băng nhóm quyết định thanh toán nhau thì thực sự đó sẽ là một trận quyết liệt, giá trị $k$ sẽ lớn.
 
II. MÔ HÌNH VÀ THỰC TẾ
 
Để sử dụng mô hình này, ta cần phải xác định các giá trị cụ thể cho từng tham số, chẳng hạn như tốc độ nền. Để làm được điều này, các sinh viên phải xem xét dữ liệu thực của tội phạm trên nhiều khu vực do sở cảnh sát Los Angeles cung cấp. Có một phương pháp thống kê được gọi là ước lượng hợp lý cực đại cho phép bạn tìm các giá trị tham số sao cho phù hợp với thực tế nhất. 
 
Một khi bạn có các giá trị tham số, bạn có thể sử dụng hàm số tốc độ để mô phỏng tội phạm giữa hai băng nhóm như một dãy sự kiện theo thời gian. Cơ hội xảy ra tội ác là ngẫu nhiên, nhưng cơ hội đó là không giống nhau với mọi thời gian $t$, dĩ nhiên là cơ hội này được tạo ra bởi hàm số tốc độ. Bằng cách xem xét các dạng mô phỏng của tội phạm rồi so sánh với dữ liệu thực tế, bạn có thể đánh giá rằng xem mô hình có phải đã mô tả đúng hiện thực hay chưa (đã có những phương pháp thống kê chuẩn cho việc so sánh đó). Và một khi bạn hài lòng với mô hình này, bạn có thể sử dụng nó để dự đoán những gì sẽ xảy ra trong thế giới thực, từ đó có thể ngăn ngừa tội ác sẽ xảy ra.
 
handcuffs.jpg
Sử dụng toán học để chống lại tội phạm
 
Đây chỉ là một ví dụ đơn giản về ứng dụng toán học vào phần mềm như Predpol, điều này mang lại cho bạn một cái nhìn sơ nét của ý tưởng tổng quát hơn. Predpol không chỉ được sử dụng để tìm hiểu về xung đột băng đảng mà còn để tìm hiểu thêm về các loại tội phạm khác. Cho đến nay kết quả đạt được rất đáng khích lệ. Năm 2011 sau khi sở cảnh sát Santa Cruz bắt đầu sử dụng Predpol thì những vụ trộn cướp đã giảm 27% so với năm trước và năm 2011-2012, trong một buổi giới thiệu tại Hạt Foothill ở Los Angeles, người ta cho biết tội phạm đã giảm 17% so với 0,4% mức tăng trung bình trên những nơi còn lại ở thành phố. Do đó một số công dân của LA cảm thấy rằng tội phạm phải trả giá, có thể bằng cách sử dụng toán học để đấu tranh chống lại chúng.
 
Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch



#670662 Mặt Trời, Mặt Trăng và Lượng Giác

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 07-02-2017 - 21:57

MẶT TRỜI, MẶT TRĂNG VÀ LƯỢNG GIÁC

 

Làm thế nào để biết Mặt Trăng cách Mặt Trời bao xa? Làm thế nào để biết được Mặt Trời lớn hơn Mặt Trăng bao nhiêu lần? Và làm thế nào để có được đáp án nếu bạn là một người Hy Lạp cổ đại, thời điểm không có đến một cái ống nhòm?

 

Tuy nhiên đối với Aristarchus, một nhà toán học ở Samos sống vào khoảng 2300 trước, ông đã dựa vào kiến thức hình học tuyệt vời của mình cùng với góc nhìn sâu sắc và quan trọng: Mặt Trăng sáng vào ban đêm do được Mặt Trời chiếu sáng lên bề mặt của nó, điều này rõ ràng khác với nhận định lúc bấy giờ, do đó có thể coi Aristarchus là người tiên phong trong việc nhận định ra điều này bởi mọi người lúc đó cho rằng Mặt Trời quay xung quanh Trái Đất, tuy nhiên Aristarchus lại cho rằng Trái Đất quay quanh Mặt Trời.

 

Với nhận định Mặt Trời chiếu sáng Mặt Trăng, Aristarchus nhận ra rằng tai một nửa Mặt Trăng, tam giác tạo bởi Trái Đất ($E$), Mặt Trăng ($M$) và Mặt Trời ($S$) có một góc vuông tại $M$.

triangle2.png

Sơ đồ không tính tỉ lệ

 

Ta có thể nhận thấy điều này bằng cách tưởng tượng Mặt Trời tại những vị trí khác nhau chiếu chùm tia song song vào Mặt Trăng sao cho ta thấy đúng một nửa của Mặt Trăng được chiếu sáng (nhìn từ Trái Đất) khi và chỉ khi có một góc vuông tại $M$.

 

Aristarchus muốn dự đoán khoảng cách tương đối của Mặt Trời và Mặt Trăng, nghĩa là ông muốn dựa đoán tỉ lệ  $\frac{ES}{EM}$ trong đó $ES$ là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và $EM$ là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng. Nếu bạn có kiến thức về lượng giác thì bạn sẽ biết rằng:

                                                                           $$\frac{EM}{ES}=\cos \alpha$$

Trong đó $\alpha $ là số đo góc $E$ của tam giác. Do đó

                                                                 $$\frac{ES}{EM}=\frac{1}{\cos \alpha }$$

Nếu ta ước lượng $\alpha ={{98.85}^{\circ }}$ thì ta có kết quả

                                          $$\frac{ES}{EM}=\frac{1}{\cos {{89.85}^{\circ }}~}\approx 382$$

Vì vậy khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời lớn hơn 400 lần khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất. Aristarchus cũng chỉ ra rằng trong quá trình nhật thực Mặt Trăng hoàn toàn che phủ Mặt Trời. Điều này cho chúng ta sơ đồ sau

similar-triangles.png

Bằng việc sử dụng dữ kiện tỉ lệ giữa $E{{S}_{1}}$ và $E{{M}_{1}}$ tương đương với tỉ lệ giữa ${{S}_{1}}{{S}_{2}}$ và ${{M}_{1}}{{M}_{2}}$ (do chúng ta đang xét đến hai tam giác đồng dạng) do đó ta có thể suy ra rằng đường kính Mặt Trời lớn hơn 400 lần so với đường kính Mặt Trăng.

 

Tuy nhiên kết quả mà Aristarchus đưa ra là rất khác so với thực tế. Ông ước tính rằng so với Trái Đất, Mặt Trời xa hơn từ 18 dến 20 lần so với Mặt Trăng. Điều này xảy ra một phần ông không tính chính xác $\alpha $ mà lại lấy xấp xỉ với ${{87}^{\circ }}$ và sử dụng giá trị này trong tính toán trên và cho rằng Mặt Trời xa khoảng 19 lần so với Mặt Trăng (lấy mốc là Trái Đất). Qua đó cho thấy rằng chỉ một sai số nhỏ trong góc $\alpha $ gần đến ${{90}^{\circ }}$ dẫn đến một sai số cực lớn của  $\frac{1}{\cos \alpha }$.

 

Lý do tại sao Aristarchus chỉ có thể đưa ra đáp án trong khoảng từ 18 đến 20 chứ không phải là một con số cụ thể bởi vì vào thời điểm đó lượng giác học chưa được phát triển. Ông không hề có khái niệm gì về hàm cos hay một bảng các giá trị để tìm trị cos của một góc nhất định. Thay vào đó, ông đã sử dụng một số lập luận hình học phức tạp để tìm giá trị gần đúng cho riêng mình. Trên đây là một số ví dụ chỉ ra rằng tại sao hình học rất hữu ích cho các nhà thiên văn học.

 

Người dịch: Nguyễn Văn Sáng Hồng - Thành viên Chuyên san EXP

Bài viết này dịch theo https://plus.maths.o...d-trigonometry 

 




#670538 Giải phương trình bậc 2 bằng phương pháp hình học

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 06-02-2017 - 15:36

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
 
Đại số đã có từ lâu, những người Babylon vào khoảng 3000 năm trước đều biết về công thức nổi tiếng đề giải phương trình bậc 2. Tuy nhiên, công thức đó lại bắt nguồn từ hình học; họ cần phải giải các phương trình bậc 2 nhằm phục vụ cho việc tính toán diện tích cũng như quản lý đất đai. Nhằm tưởng nhớ đến thành tựu này, chúng ta hãy cùng xem công thức giải phương trình bậc 2 dưới góc nhìn của hình học.
babylonian.jpg
Bút tích của người Babylon vào khoảng 2800 năm trước Công nguyên
Giả sử phương trình bậc 2 cần giải có dạng:
$${{x}^{2}}+px=q$$
với $p$ và $q$ là hai số dương cho trước.
 
Hạng tử ${{x}^{2}}$ là diện tích một mảnh đất hình vuông có cạnh $x$. Hạng tử $px$ chỉ diện tích một hình chữ nhật với độ dài một cạnh là $x$ và cạnh còn lại là $p$. Chúng ta có thể xếp các hình lại với nhau để tạo hình chữ nhật 
figure2.png
Diện tích hình chữ nhật lớn này là ${{x}^{2}}+px$, dựa vào dạng phương trình bậc 2 đề ra, diện tích này bằng $q$. Tuy nhiên chúng ta có thể chuyển thành một hình ‘‘gần’’ hình vuông hơn bằng cách chia miếng hình chữ nhật nhỏ thành hai miếng có cạnh $x$ và ${}^{p}/{}_{2}$ như sau:
figure3.png
và chuyển một miếng xuống đáy hình vuông:
figure4.png
Gọi hình mới này là $R$, và diện tích của hình này vẫn là ${{x}^{2}}+px=q$. Tuy nhiên nếu ta thêm một hình vuông cạnh $p/2$ vào góc nhỏ bên dưới $R$, ta có được hình vuông lớn với cạnh $x+p/2~$và diện tích là ${{\left( x+p/2 \right)}^{2}}$, vậy ta có :
$$\text{Diện tích hình vuông lớn}={{\left( x+\frac{p}{2} \right)}^{2}}=\text{Diện tích } R+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}=q+{{\left( \frac{p}{2} \right)}^{2}}$$
Lấy căn hai vế ta được :
$$x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{q+\frac{{{p}^{2}}}{4}}$$
Trừ $p/2$ ở hai vế ta được
$$x=\pm \sqrt{q+\frac{{{p}^{2}}}{4}}-\frac{p}{2}~~~~~~\left( 1 \right)$$
 
Kết quả này liên quan gì đến phương trình bậc 2 ta đã học trong trường? Ta hay viết dạng tổng quát của phương trình bậc 2 là :
$$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$
Với $a\ne 0$ ta chia hai vế cho $a$ để được hệ số của ${{x}^{2}}$ là 1:
$${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
Chuyển vế $\frac{c}{a}$ sang phải, ta có
$${{x}^{2}}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$
Kết hợp với phương trình ở đầu bài, ta đặt $p=\frac{b}{a}$, $q=-\frac{c}{a}$, thay vào $p$ và $q$ ở phương trình (1) ta thu được công thức tổng quát để giải phương trình bậc 2
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$$
Cho rằng người Babylon biết công thức tổng quát cũng không hẳn đúng, bởi vì trước hết họ không có khái niệm gì về số âm, nghĩa là họ chỉ có thể giải phương trình bậc 2 có nghiệm dương. Hơn nữa họ lại không sử dụng kí hiệu hay phép toán như chúng ta đang làm mà họ sử dụng từ ngữ. Do đó một học sinh Babylon có thể đưa ra câu hỏi đại loại như:
Nếu tôi thêm vào diện tích hình vuông một lượng gấp đôi cạnh hình vuông, tôi được 48, vậy cạnh hình vuông bằng bao nhiêu?
Với bài này, ta đặt $x$ là cạnh hình vuông, chuyển đổi dữ kiện sang phương trình ta có:
$${{x}^{2}}+2x=48$$
Người Babylon biết các bước giải câu hỏi trên – do đó người ta nói người Babylon biết công thức phương trình bậc 2.
 

Người dịch: Nguyễn Văn Sáng Hồng - Thành viên Chuyên san EXP

Bài viết này dịch theo https://plus.maths.o...ratics-pictures

 




#670471 Bộ ba và bộ bốn: Từ Pythagoras đến Fermat

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 30-01-2017 - 16:04

BỘ BA VÀ BỘ BỐN: TỪ PYTHAGORAS ĐẾN FERMAT

 

Nếu có một chút về Toán mà bạn nhớ từ chương trình học ở trường thì đó có lẽ là định lý Pythagoras. Với tam giác vuông có các cạnh $a,~b,~c$, trong đó $c$ là cạnh đối diện góc vuông, ta có

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

Nếu ba số dương $a,~b$ và $c$ thỏa phương trình này, tạo thành các cạnh của một tam giác vuông thì ba số dương trên gọi là bộ ba số Pythagoras.

theorem.png

Định lý Pythagoras

 

Một câu hỏi khiến Pythagoras cũng như các nhà Toán học Hy Lạp cổ xưa khác phải suy nghĩ đó là làm thế nào để tạo ra các bộ ba Pythagoras. Nếu tôi cho bạn một số dương $a$, bạn có thể tìm được hai số $b$ và $c$ sao cho $a,~b$ và $c$ tạo thành bộ ba Pythagoras không? Trong bài này, chúng ta sẽ khám phá câu hỏi này và đồng thời ta sẽ có ý tưởng mở rộng sang các tập bốn số, được gọi là bộ bốn Pythagoras.

 

I. BỘ BA PYTHAGORAS

 

Dưới đây là ví dụ về bộ ba Pythagoras

triples.png

 

Các bộ ba được viết màu đỏ là bội số lẫn nhau và cũng như vậy với các bộ ba được viết màu xanh: bạn có $\left( 6,~8,~10 \right)$, $\left( 9,~12,~15 \right)$ và $\left( 12,~16,~20 \right)$ bằng cách nhân mỗi thành phần của $\left( 3,~4,~5 \right)$ tương ứng với 2, 3 và 4 , và có $\left( 10,~24,~26 \right)$ bằng cách nhân mỗi thành phần của $\left( 5,~12,~13 \right)$ với 2.

 

Tổng quát, nếu $k$ là số dương và $\left( a,~b,~c \right)$ là một bộ ba Pythagoras thì $\left( ka,~kb,~kc \right)$ cũng vậy, vì

$${{\left( ka \right)}^{2}}+{{\left( kb \right)}^{2}}={{k}^{2}}{{a}^{2}}+{{k}^{2}}{{b}^{2}}={{k}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)={{k}^{2}}{{c}^{2}}={{\left( kc \right)}^{2}}$$

Trong hình học, nếu một bộ ba Pythagoras là một bội số của một bộ ba khác thì các tam giác tương ứng đồng dạng.

 

pythagoras_painting.jpg

Bức hoạ của Raffaello Sanzio về Pythagoras có tên “Ngôi trường Athens”

 

Nếu một bộ ba Pythagoras không phải là bội số của một bộ ba khác thì ta nói đó là bộ ba nguyên thủy. Có thể nhận biết một bộ ba Pythagoras nguyên thủy khi các số $a$ và $b$ không có ước chung. Trong ví dụ trên, $\left( 3,~4,~5 \right)$ là một bộ ba Pythagoras nguyên thủy trong khi $\left( 6,~8,~10 \right)$, $\left( 9,~12,~15 \right)$ và $\left( 12,~16,~20 \right)$ thì không. Tương tự (5, 12, 13) cũng là một bộ ba Pythagorean nguyên thủy trong khi $\left( 10,~24,~26 \right)$ thì không.

 

Nếu có một bộ ba Pythagoras thì thật dễ để tạo ra các bộ ba không nguyên thủy mới cách đơn giản bằng cách lấy các bội số tương ứng. Nhưng nếu chỉ cho một số, bạn có thể tìm được một bộ ba Pythagoras sao cho số đó là một trong các thành phần của bộ ba không? Pythagoras đã nghĩ ra một phương pháp giải quyết vấn đề này. Lưu ý đầu tiên là nếu

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

thì

                                                                          $${{c}^{2}}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}$$

Bây giờ hãy xét hai biểu thức

                                               $${{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}={{a}^{4}}+2{{a}^{2}}+1$$


$${{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{a}^{4}}-2{{a}^{2}}+1$$

Hai biểu thức này sai khác nhau đúng $4{{a}^{2}}$, nên hai biểu thức

                                                             $$\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}$$

                                                             $$\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}$$

sai khác nhau ${{a}^{2}}$.

 

Vì vậy, nếu chọn

          $$b=\sqrt{\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}}}{2}$$

          $$c=\sqrt{\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}}}{2}$$

Ta được

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{4}=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+1 \right)}^{2}}}{4}={{c}^{2}}$$

Để các số $a,~b$ và $c$ đại diện cho một bộ ba Pythagoras, ta cần

                                                                               $$b=\frac{{{a}^{2}}-1}{2}$$

                                                                               $$c=\frac{{{a}^{2}}+1}{2}$$

là số nguyên dương, tức cả ${{a}^{2}}-1$ và ${{a}^{2}}+1$ đều chẵn, khi đó ${{a}^{2}}$ phải là số lẻ. Nhưng bình phương của một số là lẻ chỉ nếu số đó lẻ, nên phương pháp này chỉ áp dụng cho số lẻ $a$.

 

plato.jpg

Bức hoạ Plato (trái) và Aristotle (phải) do hoạ sĩ Raffaello Sanzio vẽ trong bức “Ngôi trường Athens”

 

Tuy nhiên có một cách đơn giản để tạo ra một công thức thoả giá trị chẵn từ trên. Nếu $a,~b$ và $c$ tạo thành một bộ ba Pythagoras về dạng được mô tả ở trên, thì

                                                                                         $${{a}_{1}}=2a$$

                                   $${{b}_{1}}=2b={{a}^{2}}-1={{\left( \frac{{{a}_{1}}}{2} \right)}^{2}}-1$$

                                                $${{c}_{1}}=2c={{\left( \frac{{{a}_{1}}}{2} \right)}^{2}}+1$$

Phương pháp này tạo ra các bộ ba từ các số chẵn ${{a}_{1}}$ do Plato đề xuất. Dưới đây là danh sách các bộ ba Pythagoras được tạo ra từ các số chẵn và lẻ bằng cách sử dụng hai phương pháp này:

list.png

 

Do hai phương pháp này tạo ra bộ ba số Pythagoras từ tất cả các số nguyên dương nên ta có vô hạn bộ ba Pythagoras. Nhưng liệu hai phương pháp này có thể tạo ra tất cả các bộ ba đó không? Câu trả lời là không. Ví dụ, bộ ba $\left( 20,~21,~29 \right)$ không có trong danh sách trên. Một công thức chung do Euclide mô tả trong cuốn sách nổi tiếng The Elements của ông rằng: Lấy bất kỳ hai số nguyên dương $m$ và $n$ với $m>n$. Tương tự với lập luận trên, chú ý rằng

                     $${{\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right)}^{2}}={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}{{n}^{2}}+{{n}^{4}}$$

                    $${{\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)}^{2}}={{m}^{4}}+2{{m}^{2}}{{n}^{2}}+{{n}^{4}}$$

sai khác nhau $4{{m}^{2}}{{n}^{2}}$. Vậy nên ta đặt

                                                                                $$a={{m}^{2}}-{{n}^{2}}$$

                                                                  $$b=~\sqrt{4{{m}^{2}}{{n}^{2}}}=2mn$$

                                                                                $$c={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$$

Thu được

                                                                         $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$$

Vì $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $m>n$, tất cả ba số $a,~b$ và $c$ cũng là số nguyên dương nên ta có một bộ ba Pythagoras. Mỗi bộ ba Pythagoras nguyên thủy đều có thể được tạo ra từ một cặp số $m$ và $n$ duy nhất mà một trong hai là số chẵn. Và một khi bạn có những bộ ba nguyên thủy, bạn có thể tạo ra tất cả các bộ ba Pythagorean bằng cách đơn giản là nhân lên. Vậy nên công thức của Euclid có thể tạo ra tất cả bộ ba Pythagoras.

 

euclid.jpg

Euclide (người cầm com-pa) trong bức hoạ “ngôi trường Athens” của Raffaello Sanzio

 

II. CÁC BỘ BỐN PYTHAGORAS

 

Bây giờ ta quan sát bộ bốn Pythagoras gồm bốn số nguyên dương thay vì ba số. Trong một bộ bốn Pythagoras, tổng bình phương của ba số đầu cho chúng ta bình phương của số thứ tư:

                                                               $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}$$

Về mặt hình học, bộ bốn Pythagoras ứng với một hình hộp chữ nhật với các cạnh $a,~b$ và $c$. Độ dài đường chéo của hộp này là

                                                                  $$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$$

Do đó các cạnh cùng với cạnh chéo tạo thành một bộ bốn Pythagoras. Đây là lý do tại sao bộ bốn Pythagoras cũng được gọi là hộp Pythagoras.

box.jpg

Như ở trên, nếu $\left( a,~b,~c,~d \right)$ là một bộ bốn Pythagoras thì $\left( ka,~kb,~kc,~kd \right)$ cũng vậy với mọi số nguyên dương $k$. Nếu ước chung lớn nhất của $a,~b$ và $c$ là 1 thì bộ bốn được gọi là nguyên thủy. Dưới đây là một số ví dụ về các bộ bốn Pythagoras với mỗi bộ cùng màu là bội số của nhau (đỏ, xanh da trời hoặc xanh lá):

quadruples.png

 

Ta có thể tạo ra bộ bốn Pythagoras từ hai số $m$ và $n$ bất kỳ, đơn giản bằng cách chú ý rằng

                                                  $${{\left( m+n \right)}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}$$

Vì vậy, đặt $a={{m}^{2}}$, $b=2mn$, $c={{n}^{2}}$ và $d={{\left( m+n \right)}^{2}}$ cho ta một bộ bốn Pythagoras.

 

Việc đặt như vậy cũng cho ta một cách để tạo ra một bộ bốn Pythagoras từ một số chẵn $p$. Đầu tiên, chú ý rằng nếu $p$ chẵn thì ${{p}^{2}}$ chẵn. Bây giờ tìm hai số $m$ và $n$ sao cho $mn={{p}^{2}}/2$.

 

Đặt

                                                                                                 $$a=m$$

                                                                                     $$b=p=\sqrt{2mn}$$

                                                                                                  $$c=n$$

                                                                         $d={{\left( m+n \right)}^{2}}.$

thì

          $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}={{\left( m+n \right)}^{2}}={{d}^{2}}$$

cho ta bộ bốn Pythagoras. Ví dụ, nếu $p=2$ thì ${{p}^{2}}/2=2$ nên ta chọn $m=1$ và $n=2$. Ta được bộ bốn $\left( 1,~2,~2,~3 \right)$ với ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}=1+4+4=0={{3}^{2}}.$

 

Với $p=4$ ta có ${{p}^{2}}/2=8$. Giờ ta có hai cách chọn là $8=2\times 4$ và $8=1\times 8$. Cách chọn thứ nhất cho bộ bốn $\left( 2,~4,~4,~6 \right)$ với

                                                  $${{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}=4+16+16=36={{6}^{2}}$$

Cách chọn thứ hai cho bộ bốn $\left( 1,~4,~8,~9 \right)$ với

                                                  $${{1}^{2}}+{{4}^{2}}+{{8}^{2}}=1+16+64=81+{{9}^{2}}$$

Bạn có thể tiếp tục tạo ra các bộ bốn từ các số chẵn $p$ theo cách này.

 

III. CHÚNG TA CÓ THỂ TẠO RA TẤT CẢ CÁC BỘ BỐN PYTHAGORAS?

 

Không phải tất cả các bộ bốn Pythagoras đều có dạng

                                                  $${{\left( m+n \right)}^{2}}={{m}^{2}}+2mn+{{n}^{2}}$$

nên không phải lúc nào ta có thể tạo ra bộ bốn Pythagoras bằng phương pháp trên - chúng ta cần linh động hơn một chút. Giả sử rằng cho hai số $a$ và $b$, giờ ta hãy tìm một số $p$ sao cho ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ chia hết cho $p$ nhưng ${{p}^{2}}<{{a}^{2}}+{{b}^{2}}$. Nếu $a$ và $b$ đều chẵn thì ta cũng cần $p$ phải chẵn.

 

Bây giờ cho

                                                            $$c=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{p}^{2}}}{2p}$$

Thì

$${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right){{p}^{2}}+{{p}^{4}}}{4{{p}^{2}}}$$

$$={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}{4{{p}^{2}}}-\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+\frac{{{p}^{2}}}{4}$$

$$=\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}{4{{p}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}+\frac{{{p}^{2}}}{4}$$

$$={{\left( \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{p}^{2}}}{2p} \right)}^{2}}$$

Vậy ta đặt

                                                           $$d=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{p}^{2}}}{2p}$$

Ta được

                                                               $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}$$

Nhưng có phải $a,~b,~c$ và $d$ đều là số nguyên dương? Đây là lý do vì sao chúng ta có các điều kiện đặt ra cho $p$. Dễ chứng minh rằng miễn $a$ và $b$ là số chẵn hoặc một chẵn một lẻ thì điều kiện trên đảm bảo rằng $a,b,c$ và $d$ là số nguyên dương.

 

Nếu $a$ và $b$ đều lẻ thì không thể tạo ra bộ bốn Pythagorean bằng phương pháp này.

 

Nhưng điểm quan trọng là bạn có thể xẫy dựng các bộ bốn Pythagoras nguyên thủy từ hai số $a$ và $b$ theo cách trên. Và mặt khác, một khi bạn có những bộ bốn nguyên thủy, bạn có thể tạo ra tất cả các bộ bốn khác bằng cách nhân lên.

 

IV. TẠO RA MỘT DÃY BÌNH PHƯƠNG

 

Thêm một điều hay đáng chú ý là từ kĩ thuật tạo ra các bộ ba, chúng ta có thể tạo ra bộ bốn, bộ năm, .. tạo ra bộ các tổng các bình phương với bất kì độ dài nào. Ta bắt đầu với bộ ba $\left( 3,~4,~5 \right)$, ta có thể tạo ra bộ ba khác, bắt đầu với số 5: đó là $\left( 5,~12,~13 \right)$. Vì vậy nên ta có

                                                                         $${{3}^{2}}+{{4}^{2}}={{5}^{2}}$$

                                                                       $${{5}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$$

Sắp xếp lại phương trình thứ hai ta có

                                                                       $${{5}^{2}}={{13}^{2}}-{{12}^{2}}$$

Thay vào phương trình thứ nhất và sắp xếp lại, ta có

                                                            $${{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{12}^{2}}={{13}^{2}}$$

nên ta có bộ bốn $\left( 3,~4,~12,~13 \right)$. Tương tự, luôn dùng số lớn nhất trong tập các số hiện tại để tạo ra một bộ ba mới, ta có thể tạo nên bộ năm $\left( 3,~4,~12,~84,~85 \right)$ và bộ sáu $\left( 3,~4,~12,~84,~3612,~3613 \right)$ và vân vân, vô hạn.

 

V. LŨY THỪA BA VÀ BẬC CAO HƠN

 

Các bộ bốn Pythagoras bao gồm tổng các bình phương, nhưng nếu ta “nâng cấp” lên mũ 3 có dạng

                                                              $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{d}^{3}}.$$

thì bộ bốn này được gọi là bộ bốn lũy thừa ba. Dưới đây là một vài ví dụ (lần nữa, các bộ bốn có cùng màu màu đỏ, xanh da trời và xanh lá là bội số của nhau).

 

cubic.png

 

Ở đây chúng ta sẽ không khảo sát tỉ mỉ công thức tạo ra bộ bốn luỹ thừa ba, nhưng thay vào đó hỏi một câu hỏi xuất hiện thì thú vị hơn nhiều: Có tồn tại những bộ ba lũy thừa ba? Câu hỏi này bài toán của một trong những định lý nổi tiếng của Toán học: Định lý cuối cùng của Fermat. Định lý nói rằng không có ba số nguyên dương $a,~b$ và $c$ nào thỏa mãn

                                                                         $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{c}^{3}}$$

Trên thực tế, định lý còn nói rằng với bất kì số nguyên $n$ nào lớn hơn 2 thì không thể tìm ra ba số nguyên dương $a,~b~$và $c$ sao cho

                                                                         $${{a}^{n}}+{{b}^{n}}={{c}^{n}}$$

Đây là giả thuyết do nhà Toán học nổi tiếng người Pháp Pierre de Fermat đưa ra vào năm 1637. Fermat đã viết trong lề cuốn sách rằng ông đã “có một cách chứng minh rất hay, nhưng lề sách này quá nhỏ để viết”. Trong hơn 300 năm, các nhà Toán học đã cố gắng tìm ra cách chứng minh, nhưng họ đã không thành công. Mãi cho đến năm 1995, nhà toán học Andrew Wiles mới chứng minh được định lý trên, sử dụng các công cụ toán phức tạp mà Fermat không thể nào biết được.

 

Người dịch: Nguyễn Thị Hồng Niên - Thành viên Chuyên san EXP

Bài viết này dịch theo https://plus.maths.o...and-quadruples 



#670343 Cảnh sát và tên tội phạm

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 29-01-2017 - 16:07

Khi nhà toán học Andrea Bertozzi đã bắt đầu công việc mới tại trường Đại học California, Los Angeles (LA) vào năm 2003, cô ấy đã quyết định sử dụng các kỹ năng của mình để nghiên cứu về một vấn đề gây rắc rối cho LA suốt thời gian dài: Tội phạm.
 
Tội phạm là một vấn đề nhức nhối ở hầu hết các thành phố, nhưng như chúng ta đã biết, không phải ở đâu, các tội phạm cũng xảy ra theo một cách giống nhau. Ở những nơi có mật độ tội phạm cao, bạn sẽ không bao giờ dám đến đó vào ban đêm, thậm chí là cả ban ngày cũng vậy. Rõ ràng có rất nhiều yếu tố để tác động chuyển một khu vực bình thường thành những nơi nguy hiểm như vậy: ví dụ như tình trạng kinh tế xã hội, mật độ dân số. Sẽ rất hữu ích khi hiểu rõ ràng tại sao những nơi nguy hiểm như thế này tội phạm lại hoạt động mạnh mẽ đến như vậy. Và toán học sẽ phát huy thế mạnh của mình. Bạn có thể mô tả các quá trình liên quan sử dụng các quy tắc và phương trình toán học, xây dựng một mô hình toán học đơn giản, từ đó ta có thể biết được những gì đang diễn ra ngoài thực tế.
    london.png
Bản đồ tội phạm ở một khu vực thuộc miền Bắc London năm 2012
Các khu vực màu đỏ là những nơi có lượng tội phạm cao
 
I. TRÒ CHƠI TỘI PHẠM
 
Một mô hình đã được Bertozzi và cộng sự sử dụng nhằm nghiên cứu các yếu tố cơ bản của bất kỳ vụ án nào: những tên tội phạm và mục tiêu của chúng. Nhóm nghiên cứu đã đưa ra một cách để mô phỏng mô hình vụ cướp, tựa như là một trò chơi trên máy tính có các tên trộm đi qua một mạng lưới các ngôi nhà, tại mỗi bước thời gian (có thể tính theo mỗi ngày hoặc mỗi giờ) mỗi tên trộm sẽ tìm cho riêng mình một ngôi nhà và quyết định có đột nhập hoặc không. Nếu ngôi nhà nào được chọn để đột nhập thì ngôi nhà ấy sẽ biến mất khỏi mạng lưới ở các bước tiếp theo, kiểu như các tên trộm muốn cướp ngay căn nhà mà chúng chọn. Nếu ngôi nhà này không được chọn, các tên trộm sẽ bỏ qua và đến một căn nhà khác liền kề ở bước tiếp theo. 
grid.jpg
Một mạng lưới các ngôi nhà đại diện cho một khu vực của thành phố
 
Quyết định đột nhập vào một ngôi nhà được thực hiện khi có cơ hội, nhưng tỉ lệ không nhất thiết là 50:50. Mỗi nhà đều có xác suất sẽ bị tên trộm đột nhập tại một thời điểm nào đó. Xác suất này phụ thuộc vào giá trị hấp dẫn của căn nhà tại thời điểm đó – phản ánh những gì bạn biết về vụ án cũng như các hành vi của tên tội phạm tại một khu vực mà bạn đang tìm hiểu.
 
Ta đã đề cập đến các yếu tố như tình hình kinh tế – xã hội, mật độ dân số, hoặc thậm chí lưu lượng giao thông ở một khu vực có liên quan đến số lượng tội phạm hoạt động ở đó. Để mô tả điều đó, mỗi căn nhà $H$ sẽ đi kèm với một giá trị ${{A}_{H}}$ là xác suất mà căn nhà đó bị trộm đột nhập. Nhưng theo số liệu thống kê cho ta thấy rằng bọn tội phạm muốn tiếp tục trộm ở những nơi chúng đã thành công: Nếu một ngôi nhà vừa bị mất trộm, thì sau đó, chỉ cần có cơ hội thì ngôi nhà đó hoặc các ngôi nhà sát bên sẽ lại được bọn tội phạm này ghé thăm. Do vậy, trong trò chơi này, mỗi căn nhà $H$ sẽ được kèm với một số ${{B}_{H}}\left( t \right)$ phản ánh hoạt động của tội phạm gần đây. Số này sẽ tăng nếu tội phạm đột nhập vào nhà $H$ hoặc nhà hàng xóm của $H$mới chỉ một lần, sau đó giảm dần theo thời gian $t$, cho đến khi có các tội phạm tiếp theo đột nhập ở đó. Mức hấp dẫn của nhà $H$ ở thời điểm $t$ là:
                ${{A}_{H}}\left( t \right)={{A}_{H}}+{{B}_{H}}\left( t \right).$
Xác suất ${{p}_{H}}\left( t \right)$ có nghĩa là một tên trộm đột nhập vào ngôi nhà $H$ ở thời điểm $t$ phụ thuộc vào độ hấp dẫn của căn nhà đó: ${{A}_{H}}\left( t \right)$ càng lớn thì ${{p}_{H}}\left( t \right)$ càng lớn.
 
Khả năng xảy ra một vụ trộm: Xác suất mà một tên trộm đột nhập vào một căn nhà trong khoảng thời gian $t~$đến $t+\delta .t$ là:
 
${{p}_{H}}\left( t \right)=1-{{e}^{-{{A}_{h}}\left( t \right)\delta t}}$
xác suất này được còn gọi là quy trình Poisson được dùng để mô tả khả năng xuất hiện của một sự kiện theo thời gian.
 
 
Nếu các tên trộm quyết định không đột nhập vào một ngôi nhà nào đó thì chúng phải chọn một nơi khác để chuyển sang “làm ăn”. Quyết định này một lần nữa được thực hiện khi có cơ hội và được xem xét dựa vào độ hấp dẫn của một ngôi nhà liền kề với các ngôi nhà liền kề khác.
 
Sự di chuyển: Xác suất để một tên trộm di chuyển từ nhà $H$ sang nhà $G$ kề bên tại thời điểm $t$:
$${{q}_{H}}\to G=\frac{{{A}_{G}}\left( t \right)}{{{S}_{H}}\left( t \right)}$$
trong đó ${{S}_{H}}\left( t \right)$ là tổng của sức hút về giá trị tài sản của tất cả các ngôi nhà gần nhà $H$ vào thời điểm $t$ 
 
Quy trình mô phỏng như sau. Tại mỗi bước thời gian, ta tính xác suất bị trộm ${{p}_{H}}\left( t \right)$ của mỗi nhà $H$ dựa trên giá trị hấp dẫn ${{A}_{H}}\left( t \right)$. Kẻ trộm sau đó hoặc là đột nhập vào căn nhà chúng đang có mặt, hoặc là bỏ qua và di chuyển đến một căn nhà khác tuỳ vào xác suất bên nào có lợi hơn. Sau đó giá trị hấp dẫn của căn nhà mới được tính ở bước kế tiếp. Để làm được điều này, bạn cần một công thức ${{B}_{H}}\left( t \right)$ phản ánh mức độ trộm của bọn tội phạm vào căn nhà đó. Ngoài ra, ở mỗi vị trí trên mạng lưới sẽ nảy sinh thêm những tên trộm với tốc độ $N$ vì nếu không thì những tên trộm cuối cùng sẽ biến mất. Sau đó lặp lại từ đầu cho các bước thời gian tiếp theo.
 
II. MÔ HÌNH NÀY NÓI LÊN ĐIỀU GÌ?
 
Mô hình này phụ thuộc vào số lượng của các tham số, như là mức hấp dẫn bên trong của ngôi nhà ${{A}_{H}}$, tốc độ $N$ xuất hiện thêm tên trộm, một số giá trị khác nhằm đo lượng xác suất ngôi nhà có thể bị trộm sau một vụ bị trộm đột nhập trước đó,… Nếu bạn muốn áp dụng mô hình này vào một khu vực cụ thể của một thành phố trên thực tế, bạn cần phải ước lượng các thông số từ các dữ liệu có sẵn.
 
Khi Bertozzi và cộng sự chạy các bộ giá trị tham số khác nhau, họ nhìn thấy ba mô hình khác nhau xuất hiện. Một mô hình cho thấy số lượng ngôi nhà hấp dẫn các tên trộm là nhiều hơn hoặc ít hơn trên toàn bộ vùng được mô phỏng. Trong mô hình thứ hai, những điểm nóng, nơi mà tội phạm hoạt động mạnh mẽ thì sức hấp dẫn của những ngôi nhà trong khu vực này là cao hơn so với những ngôi nhà trong khu vực mà tội phạm ít hoạt động hơn. Các điểm nóng này tồn tại trong một khoảng thời gian thì bọn tội phạm có thể tiếp tục hoạt động tại nơi đó hoặc di chuyển xung quanh. Ở mô hình thứ ba, xuất hiện những điểm nóng mà tội phạm hoạt động mạnh mẽ, không thay đổi, toàn bộ hệ thống trở nên ổn định và không thay đổi theo thời gian. 
 
Người dịch: Phan Thành Nhân - Thành viên Chuyên san EXP
Bài viết này dịch theo https://plus.maths.org/content/crime-1



#670286 Mô hình lan truyền của dịch bệnh

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 29-01-2017 - 02:06

I. LỊCH SỬ

 

Vào giữa thế kỷ 14, ở châu Âu xuất hiện đại dịch “Cái Chết Đen” quét qua lục địa này. Những nghiên cứu gần đây cho thấy “Cái Chết Đen” hình thành do loài bọ chét truyền từ chuột sang người, gây nên bệnh dịch hạch. Đại dịch này xuất phát ở Ý vào khoảng tháng 12, năm 1347 từ những chuyến tàu cập bến từ phương Đông. Vài năm sau đó, đại dịch lan rộng khoảng 200 đến 400 dặm mỗi năm, khiến cho một phần ba dân số châu Âu thiệt mạng và 80% những người nhiễm bệnh sẽ chết trong 2 đến 3 ngày tới. Hình dưới đây mô tả mức độ lan truyền theo dạng sóng của bệnh dịch này.

6-1.png

Ảnh minh hoạ sự lan truyền đại dịch “Cái Chết Đen” ở châu Âu vào năm 1347 – 1350

 

Trong bài này, ta nghiên cứu một mô hình đơn giản của sự lan truyền và cách xấp xỉ trong thực tế với giả định rằng lượng tổng thể sinh vật luôn cố định. Giả sử có một dịch bệnh lan truyền trong một khu vực, bệnh này có thể được cứu chữa, nhưng người mắc bệnh có thể chết, ta không loại bỏ số lượng người chết ra khỏi tổng dân số trong vùng. Ta phân tổng số người trong vùng đó thành 3 lớp:

 

- Lớp dễ bệnh $S$: Những người trong lớp này chưa hề mắc bệnh và có nguy cơ nhiễm bệnh. 
- Lớp nhiễm bệnh $I$: Những người trong lớp này đã mắc bệnh và có khả năng truyền bệnh sang người khác. 
- Lớp hết bệnh $R$: Những người trong lớp này đã được trị khỏi bệnh hoặc đã chết vì bệnh. 
 
Đây là mô hình $SIR$ mà ta sẽ nghiên cứu sau đây.
 
II. MÔ HÌNH SIR
 
2.1. Điều kiện nghiên cứu
 
- Bệnh dịch xảy ra trong khoảng thời gian đủ ngắn để lượng dân số luôn cố định, tính cả người đã chết vì bệnh dịch này vào tổng số dân.
- Chu kỳ ủ bệnh không đáng kể.
- Nếu người nhiễm bệnh đã hết bệnh thì người này không còn khả năng nhiễm bệnh. Do đó, người này sẽ ở lại lớp $R$.
- Mẫu dân số đủ lớn để có kết quả xấp xỉ đúng.
- Ta xác định mức độ lan truyền dịch bệnh bằng định luật tác dụng khối lượng như sau:
 
$$S+I \overset{r}{\mathop{\to }} \,2I$$
$$I \overset{a}{\mathop{\to }} \,R$$
 
Ý nghĩa:     
 
$S+I\overset{r}{\mathop{\to }}\,2I$: Ở vế trái, người trong lớp $S$ bị người trong lớp $I$ lây bệnh với tốc độ $r>0$, khiến người đó chuyển sang lớp $I$, thu được vế phải là $I+I=2I$.     
 
$I\overset{a}{\mathop{\to }}\,R$: Người trong lớp $I$ sau một thời gian sẽ hết bệnh (hoặc chết vì bệnh này) và chuyển sang lớp $R$ với tốc độ $a>0$.
 
2.2. Mô hình
 
Ta xem mỗi lớp là một hàm số theo thời gian $t$ gồm $S\left( t \right),I\left( t \right)$ và $R\left( t \right)$ có tính chất:
 
(i) Lớp nhiễm bệnh có tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng người nhiễm bệnh và người dễ bệnh, tức $rSI$, với $r>0$ là tham số hằng, đó cũng là tốc độ mất đi số người trong lớp dễ bệnh.
 
(ii) Tốc độ hết bệnh của người nhiễm bệnh tỉ lệ thuận với số lượng người nhiễm bệnh, tức $aI$, với $a>0$ là hằng số, $1/a$ là độ đo thời gian một người ở trong trạng thái nhiễm bệnh.
 
(iii) Chu kỳ ủ bệnh ngắn, tức người dễ bệnh khi tiếp xúc với mầm bệnh sẽ nhiễm bệnh ngay.
 
Từ các tính chất trên, ta có được mô hình cổ điển Kermack – McKendrick, do W. O. Kermack và A. G. McKendrick công bố vào năm 1927.
$$\frac{dS}{dt}=-rSI \, \, \, (1)$$
$$\frac{dI}{dt}=rSI-aI \, \, \, (2)$$
$$\frac{dR}{dt}=aI \, \, \, (3)$$
với $r>0$ là tốc độ lây nhiễm và $a>0$ là tốc độ hết bệnh của người nhiễm bệnh. Ta muốn tìm nghiệm không âm với mỗi $S,I$ và $R$, tức $S\left( t \right),I\left( t \right),R\left( t \right)\geq 0$ với mọi $t\geq 0$.
 
Do tổng kích thước dân số luôn cố định nên ta cộng các phương trình từ (1) đến (3) thu được:
$$\frac{dS}{dt}+\frac{dI}{dt}+\frac{dR}{dt}=0$$
$$\Rightarrow S\left( t \right)+I\left( t \right)+R\left( t \right)=N \, \, \, (4)$$
với $N$ là tổng kích thước dân số.
 
Giả sử ta có điều kiện đầu $S\left( t=0 \right)={{S}_{0}},~I\left( t=0 \right)={{I}_{0}},~R\left( t=0 \right)=0$, tức tại thời điểm bắt đầu khảo sát, ta có ${{S}_{0}}$ người chưa mắc bệnh, ${{I}_{0}}$ người đã nhiễm bệnh và chưa có ai khỏi bệnh (hoặc chết vì bệnh đó). Từ phương trình (4), ta được:
$$\frac{d}{dt}\left( S+I+R \right)=0$$
$$S\left( 0 \right)+I\left( 0 \right)+R\left( 0 \right)={{S}_{0}}+{{I}_{0}}$$
Trong bất kỳ dịch bệnh nào, người ta thường hỏi rằng nếu biết $r,a,{{S}_{0}}$ và ${{I}_{0}}$ người nhiễm bệnh thì
 
1. Dịch bệnh có lan rộng nữa không? Mức độ lan rộng theo thời gian như thế nào? Khi nào dịch bệnh kết thúc?

Từ phương trình (1)

$$\frac{dS}{dt}=-rSI$$

Do vế phải không thể dương nên $S$ giảm, hay nói cách khác, số người dễ bệnh giảm theo thời gian. Do đó $S\leq {{S}_{0}}$.

 

Mặt khác, từ phương trình (2)

$$\frac{dI}{dt}=rSI-aI=I\left( rS-a \right)<I\left( r{{S}_{0}}-a \right)$$

Vậy dịch bệnh sẽ không còn lan rộng, ít nhất là giữ nguyên nếu $I\left( r{{S}_{0}}-a \right)<0$ và dịch bệnh sẽ lan rộng nếu $I\left( r{{S}_{0}}-a \right)>0$.

 

Nếu ${{S}_{0}}<a/r$ thì

$$\frac{dI}{dt}=I\left( rS-a \right)\leq 0, \forall t\geq 0$$

 

Khi đó ${{I}_{0}}>I\left( t \right)\to 0$ khi $t\to \infty $, tức số lượng người nhiễm bệnh ngày càng giảm, dẫn đến dịch bệnh không còn khả năng lan rộng. Mặt khác, nếu ${{S}_{0}}>a/r$ thì $I\left( t \right)$ tăng, dẫn đến dịch bệnh lan rộng. Khái niệm “lan rộng” có nghĩa rằng $I\left( t \right)>{{I}_{0}}$ với một vài giá trị $t>0$, từ đó ta có khái niệm ngưỡng hiện tượng, nếu ${{S}_{0}}>{{S}_{c}}=a/r$ thì dịch bệnh lan rộng, còn nếu ${{S}_{0}}<{{S}_{c}}$ thì không. Tham số tới hạn $\rho =a/r$ còn được gọi là tốc độ hết bệnh tương đối.

 

2. Nếu dịch bệnh lan rộng thì có nhiều nhất bao nhiêu người sẽ nhiễm bệnh ứng với thời gian cho trước bất kỳ?

 

Từ biểu thức định luật tác dụng khối lượng $S+I\overset{r}{\mathop{\to}}\,2I$, ta nhận thấy sự thay đổi số người nhiễm bệnh có phụ thuộc đến sự thay đổi số người dễ bệnh. Do đó, ta lấy phương trình (2) chia cho phương trình (1), thu được tốc độ thay đổi tức thời của người nhiễm bệnh theo người dễ bệnh

$$\frac{dI}{dS}=-\frac{\left( rS-a \right)I}{rSI}=-1+\frac{\rho }{S};$$

$$\rho =\frac{a}{r},~\left( I\ne 0 \right) \, \, \, \, (5)$$

 

Lấy tích phân phương trình (5), ta được mặt phẳng quỹ đạo pha $\left( I,~S \right)$, hình dưới đây là đồ thị của mặt phẳng này:

6-2.png

Nghiệm số của mô hình SIR của phương trình (1) - (3), đường nét đứt là $S+I={{S}_{0}}+{{I}_{0}}$, đường trơn là quỹ đạo pha, $r=0.01,a=0.25$

 

$$\frac{dI}{dS}=-1+\frac{\rho }{S}$$

$$\Leftrightarrow dI=\left( -1+\frac{\rho }{S} \right)dS$$

$$\Rightarrow \int dI=\int \left( -1+\frac{\rho }{S} \right)dS$$

$$\Rightarrow I+ \text{ const }=-S+\rho \ln S+\text{ const }$$

$$\Rightarrow I+S-\rho \ln S=\text{ const }={{I}_{0}}+{{S}_{0}}-\rho \ln {{S}_{0}} \, \, \, \, (6)$$

 

Để tìm giá trị cực đại, trước hết ta tìm nghiệm của phương trình $dI/dS=0$

$$\frac{dI}{dS}=0\Leftrightarrow -1+\frac{\rho }{S}=0\Rightarrow S=\rho$$
Trong trường hợp ${{S}_{0}}<\rho $, khi đó dịch bệnh không lan rộng, số lượng người nhiễm bệnh có xu hướng giảm xuống. Từ đó, ta được ${{I}_{\text{max}}}={{I}_{0}}$, tức số người nhiễm bệnh nhiều nhất xác định tại $t=0$ với ${{I}_{0}}$ người.

 

Trong trường hợp ${{S}_{0}}>\rho $, thay $S=\rho $ vào phương trình (6), ta được:

$$I+\rho -\rho \ln \rho ={{I}_{0}}+{{S}_{0}}-\rho \ln {{S}_{0}}$$

$$\Leftrightarrow I={{I}_{0}}+{{S}_{0}}-\rho \ln {{S}_{0}}+\rho \ln \rho -\rho$$

$$\Leftrightarrow I=N-\rho +\rho \ln \left( \frac{\rho }{{{S}_{0}}} \right) \, \, \, \, (7)$$

 

Biểu thức (7) của $I$ chính là giá trị lớn nhất, do đó ta có kết luận về số người nhiễm bệnh nhiều nhất như sau:

 

$${{I}_{\text{max}}}=\left\{ \begin{matrix} {{I}_{0}} \, \, \, ;{{S}_{0}}<\rho \\ {{I}_{0}}+{{S}_{0}}-\rho \ln {{S}_{0}}-\rho \ln \rho -\rho \, \, \,; {{S}_{0}}>\rho \\ \end{matrix} \right.$$

 

3. Tổng cộng có bao nhiêu người nhiễm bệnh?

 

Vì trục $I=0$ là đường kỳ dị nên mọi quỹ đạo $I$ tiến đến $0$ khi $t\to\infty$. Mặt khác, người trong lớp $I$ sau một thời gian sẽ hết bệnh (hoặc chết vì bệnh này) và chuyển sang lớp $R$. Do đó, tổng số người mắc bệnh bằng $R\left( \infty \right)$ xác định bằng cách chuyển vế phương trình (4) với $t=\infty $ như sau

$$R\left( \infty \right)=N-S\left( \infty \right)-I\left( \infty \right)=N-S\left( \infty \right) \, \, \, \, (8)$$

 

Ta tính $S\left( \infty \right)$ bằng cách thay $t=\infty $ vào phương trình (6) như sau

$$I\left( \infty \right)+S\left( \infty \right)-\rho \ln S\left( \infty \right)={{I}_{0}}+{{S}_{0}}-\rho \ln {{S}_{0}}$$

$$\Leftrightarrow S\left( \infty \right)-\rho \ln S\left( \infty \right)=N-\rho \ln {{S}_{0}}$$

Ta giải phương trình (8) để tìm $S\left( \infty \right)$, với $0\leq S\left( \infty \right)\leq {{S}_{0}}$. Phương trình (8) luôn có nghiệm (chứng minh bằng cách đặt $x=S\left( \infty \right)$, với $0\leq x\leq {{S}_{0}}$), thay nghiệm này vào phương trình (8), ta thu được tổng số người nhiễm bệnh.

 

2.3. Ứng dụng của mô hình SIR

 

Vào năm 1978, tạp chí y khoa Anh The Lancet có bài viết cung cấp một số dữ liệu thống kê về dịch cúm tại một trường nội trú nam sinh. Trường này có tổng cộng 763 nam sinh, từ ngày 22/1/1978 đến ngày 4/2/1978 có tổng cộng 512 em nhiễm bệnh và người ta dự đoán ban đầu có 1 em bị bệnh. Từ dữ kiện trên, ta được $N=763,{{S}_{0}}=762,I=1.\rho =202,r=2.18\times {{10}^{-3}}/\text{ngày}$, xấp xỉ phương trình (1)-(3) được nghiệm $S\left( t \right)$ và $I\left( t \right)$, nghiệm $R\left( t \right)$ tỷ lệ với diện tích dưới đường cong $I\left( t \right)$.

6-3.png

Đồ thị nghiệm xấp xỉ của $S\left( t \right)$ và $I\left( t \right)$ với dữ liệu dịch cúm (dấm chấm tròn đen) từ tạp chí The Lancet

 

Mô hình SIR còn được áp dụng trong không gian không thuần nhất, nơi mà vùng diện tích chịu ảnh hưởng bởi dịch bệnh luôn thay đổi. Để mô hình hoá và ước lượng nghiệm xấp xỉ, người ta sử dụng đến sóng lưu động. Chi tiết hơn, mời độc giả xem thêm tại  File gửi kèm  songluudong.pdf   842.33K   137 Số lần tải




#667914 $2sin2x+cos2x + 2\sqrt{2}sinx-4=0$

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 10-01-2017 - 20:10

Giải PT

$2sin2x+cos2x + 2\sqrt{2}sinx-4=0$

 

Lâu quá chưa giải toán, ngồi làm 1 bài chơi

 

$$2\sin(2x) + \cos(2x) + 2\sqrt{2} \sin(x) - 4 = 0$$

$$\Leftrightarrow 2\sin(2x) - (2 \sin^{2} (x) - 2\sqrt{2} \sin(x) +1) - 2 = 0$$

$$\Leftrightarrow 2(\sin(2x) - 1) - (\sqrt{2} \sin(x) -1)^{2} = 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{2} \sin(x) -\sqrt{2} \cos(x))^{2} - (\sqrt{2} \sin(x) -1)^{2} = 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{2} \sin(x) -\sqrt{2} \cos(x) + \sqrt{2} \sin(x) -1) (\sqrt{2} \sin(x) -\sqrt{2} \cos(x)-\sqrt{2} \sin(x) +1) = 0$$

$$\Leftrightarrow (2\sqrt{2} \sin(x) -\sqrt{2} \cos(x) -1) (1-\sqrt{2} \cos(x)) = 0$$

$$\Leftrightarrow ...$$




#666488 Số $e$ là số gì vậy?

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 01-01-2017 - 17:40

e-day-new.jpg

 

Bài viết này sẽ nói về số $e$, một hằng số nổi tiếng, có vai trò quan trọng trong Toán học giống như số $\pi $, tỉ số vàng, $\sqrt{2}$, … $e$ là một số vô tỉ, có giá trị là $2.7182818\ldots $

 

Điều thú vị ở số $e$ là nguồn gốc hình thành nên hằng số này không xuất phát từ Hình học. Một hằng số nổi tiếng có từ thời Hi Lạp cổ đại xuất phát từ Hình học đó là số $\pi $, hình thành dựa trên tỉ số của chu vi và đường kính của cùng một hình tròn. Ngoài ra, còn nhiều hằng số khác có từ thời Hi Lạp cổ đại và xuất phát từ Hình học.

 

Hinh1.PNG  Hinh2.PNG

 

Tuy nhiên, số $e$ thì khác, con số này không xuất phát từ Hình học, không dựa trên một hình nào cả. $e$ là một hằng số Toán học liên quan đến sự tăng trưởng và tốc độ thay đổi. Liên quan như thế nào ư? Ta hãy quan sát bài toán đầu tiên sử dụng đến số $e$.

 

Vào thế kỷ 17, nhà Toán học Jacob Bernoulli nghiên cứu về bài toán lãi kép, giả sử bạn có 1 Đồng trong ngân hàng, giả sử ngân hàng này hào phóng đến mức đưa ra lãi suất $100\%/\text{năm}$, điều này có nghĩa sau một năm, bạn được 2 Đồng, bao gồm 1 Đồng ban đầu và $1 \times 100\% = 1$ Đồng từ lãi.

 

Hinh3.PNG

 

Vậy nếu ngân hàng trả lãi suất $50\%/6 \text{ tháng}$ thì sao? Bạn sẽ được lãi nhiều hơn hay ít hơn? Giả sử bạn có 1 Đồng, với lãi suất trên thì sau 6 tháng bạn được 1.5 Đồng (bao gồm 0.5 Đồng tiền lãi). 6 tháng tiếp theo, bạn sẽ được 2.25 Đồng, bao gồm 1.5 Đồng ở 6 tháng trước và $1.5 \times 50\% = 0.75$ Đồng tiền lãi kì này.

 

Nếu ngân hàng trả lãi theo từng tháng, tức lãi suất là $\frac{1}{12} = 8.(3)\%/\text{ tháng}$ thì sao? Số tiền sẽ nhiều hơn chứ? Sau tháng thứ 1, khi tính luôn tiền lãi thì tổng số tiền hiện giờ là

$$1+1\times \frac{1}{12}=1\times \left( 1+\frac{1}{12} \right)=\left( 1+\frac{1}{12} \right)$$

Tương tự, đến tháng thứ 3

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}+{{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\times \frac{1}{12}={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{2}}\left( 1+\frac{1}{12} \right)={{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{3}}$$

Cứ thế, ta sẽ tính được đến tháng 12, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{12} \right)}^{12}}=2.61$$

Vậy với cách tính lãi này thì sau 1 năm ta sẽ kiếm được 2.61 Đồng. Trên thực tế, càng chia nhỏ thời điểm lấy lãi theo tỉ lệ tương ứng thì số tiền thu được càng nhiều, cụ thể như ngân hàng tính lãi hàng tuần với lãi suất $\frac{1}{52} = \frac{25}{13}\% \approx 1.923\%/ \text{ tuần}$ (1 năm có 52 tuần), khi đó sau 1 năm, tổng số tiền kiếm được là

$${{\left( 1+\frac{1}{52} \right)}^{52}}=2.69$$

Có lẽ bạn đã thấy được biểu thức tổng quát sẽ có dạng

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Nếu ta tính lãi từng tháng thì $n=12$, tính từng tuần thì $n=52$. Nếu ta tính lãi theo từng ngày, tổng số tiền có được sau 1 năm là

$${{\left( 1+\frac{1}{365} \right)}^{365}}=2.71$$

Số tiền sẽ ngày càng nhiều khi ta tính lãi theo từng giây, hay thậm chí từng nano-giây. Vậy nếu ta trả lãi liên tục theo thời gian thì sao? Cứ mỗi khoảnh khắc là sẽ có lãi, lãi suất liên tục thì kết quả sẽ như thế nào? Để biết được câu trả lời, ta sẽ cho $n\to +\infty $ và xem biểu thức ấy cho ra giá trị là bao nhiêu. Tiếc thay Bernoulli khi ấy chưa tìm ra được kết quả dù ông ta biết rằng đáp án phải nằm giữa 2 và 3. Đến 50 năm sau, Euler (hoặc có thể là Gauss) đã tìm ra đáp án, đó là một số vô tỉ $2.718281828459\ldots $ Euler đặt tên cho số vô tỉ này là $e$, đương nhiên chữ $e$ này không xuất phát từ chữ “$E$” trong “Euler” đâu mặc dù ngày nay người ta hay gọi $e$ là hằng số Euler, ta có thể hiểu $e$ ở đây đơn là là 1 chữ cái dùng để ký hiệu. Ông ta tìm ra một công thức tính $e$ (không phải công thức tính lãi kép như trên) và từ đó chứng minh $e$ là số vô tỉ là

$$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots }}}}}}}}$$

Đây là liên phân số cố số tầng vô tận với các hệ số tuần theo quy luật $2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots $ Quy luật này kéo dài vô tận, khi đó số này phải là số vô tỉ, còn nếu quy luật này là hữu hạn thì ta có thể viết liên phân số trên thành phân số tối giản. 

 

Hinh4.PNG

 

Ngoài ra, Euler tìm ra được một công thức khác, từ đó ông tìm ra đến 18 chữ số ở phần thập phân.

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots $$

 

Hinh5.PNG

 

Đây là một công thức đẹp, nhưng với điều kiện là bạn phải biết thế nào là giai thừa (kí hiệu $!$). Giai thừa có thể hiểu nôm na là nhân các số nguyên dương từ $1$ đến số cần tính, ví dụ như 4 giai thừa ($4!$) là $1\times 2\times 3\times 4$. Chứng minh công thức trên thực ra không khó, chỉ cần kiến thức toán Phổ thông là đủ. Ta cần sử dụng đến định lý nhị thức có công thức tổng quát là

$${{\left( 1+x \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{x}^{k}}+\ldots +{{x}^{n}}$$

Sử dụng định lý này, ta sẽ có ngay kết quả khai triển của ${{\left( 1+x \right)}^{3}}$ hay ${{\left( 1+x \right)}^{5}}$ mà không cần phải phá ngoặc

 

\begin{align*}{{\left( 1+x \right)}^{3}}&=1+\frac{3!}{1!\left( 3-1 \right)!}{{x}^{1}}+\frac{3!}{2!\left( 3-2 \right)!}{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\&=1+3x+3{{x}^{2}}+{{x}^{3}}\\{{\left( 1+x \right)}^{5}}&=1+5x+10{{x}^{2}}+10{{x}^{3}}+5{{x}^{4}}+{{x}^{5}}\end{align*}

 

Bây giờ áp dụng vào biểu thức tính số $e$

$$e=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Áp dụng định lý nhị thức vào phép khai triển biểu thức này, với $x=\frac{1}{n}$, ta được:

$${{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=1+\ldots +\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}+\ldots +{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{n}}$$

Khi cho $n$ tiến ra vô cùng thì biểu thức

$$\frac{n!}{\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}}=\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\ldots \left( n-k+1 \right)}{{{n}^{k}}}$$

tiến về 1, do đó ta được

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{\left( \frac{1}{n} \right)}^{k}} \right)=\frac{1}{k!}$$

Như vậy, khi $n$ tiến ra vô cùng, biểu thức tính số $e$ đơn giản là tổng của các giai thừa

$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}=e=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots +\frac{1}{n!}+\ldots $$

Vì sao Toán học cần dùng đến số $e$? Vì $e$ là ngôn ngữ tự nhiên của sự tăng trưởng. Để cho dễ hiểu, ta vẽ đồ thị hàm số $y={{e}^{x}}$.

 

Hinh6.PNG

 

Lấy một điểm $x$ bất kỳ trên đồ thị, ta được giá trị tung độ tại điểm đó là ${{e}^{x}}$, độ dốc tại điểm đó cũng là ${{e}^{x}}$ và phần diện tích dưới đồ thị, phía trên trục hoành, kéo dài từ điểm $x$ xuống âm vô cùng cũng bằng ${{e}^{x}}$.

 

Hinh7.PNG

 

Tức với bất kỳ điểm nào trên đồ thị, giá trị tung độ, giá trị độ dốc và phần diện tích dưới đường cong đều bằng nhau. Cụ thể, ta lấy $x=1$, ta được giá trị hoành độ là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $, giá trị độ dốc là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $ và phần diện tích dưới đường cong là ${{e}^{1}}=1.2718\ldots $

 

Hinh8.PNG

 

Đây là một điều rất độc đáo, do đó $e$ la ngôn ngữ tự nhiên của vi tích phân do ngành này có nghiên cứu về tốc độ thay đổi, tăng trưởng, tính diện tích, … nhờ số $e$ nên các phép tính trở nên đơn giản hơn nhiều, nếu như bạn không muốn dung đến số $e$ thì có khi bạn tự làm khó bản thân đấy. Ngoài ra, $e$ còn nổi tiếng vì nhiều công thức Toán học nổi tiếng sử dụng đến số $e$, ví dụ như công thức Euler

$${{e}^{i\pi }}+1=0$$

Công thức này sử dụng hàm ${{e}^{x}}$ làm chủ đạo, ngoài ra còn có cả những hằng số Toán học nổi tiếng khác là số $\pi $, số $i=\sqrt{-1}$, số 1 và số 0, do đó công thức này được bầu chọn là công thức đẹp nhất của Toán học.

 

Hinh9.PNG

 

Bài viết này dịch từ clip e của tài khoản Numberphile và clip e (Extra Footage) của tài khoản Numberphile2 trên Youtube

 




#661080 Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 08-11-2016 - 00:46

Giải Nobel vật lý năm nay được trao cho ba nhà vật lý, Thouless, Haldane và Kosterlitz, vì những đóng góp liên quan đến các chuyển pha và các trạng thái tôpô. Nhân dịp này chúng ta sẽ dùng vật lý để chứng minh một công thức khá nổi tiếng, liên quan đến tôpô – công thức Euler cho đa diện. Công thức này nói rằng với một đa diện bất kỳ, số đỉnh $V$, số mặt $F$ và số cạnh $E$ của nó thoả mãn

 

$$V + F - E = 2$$

 

Ví dụ với hình lập phương ta có $V = 8, F = 6, E = 12,$ và $8 + 6 – 12 = 2$. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

 

Để chứng minh công thức này, ta sẽ lắp một mạch điện theo hình đa diện, thay mỗi cạnh của đa diện bằng một điện trở. Không quan trọng lắm các giá trị của điện trở là bao nhiêu, miễn là tất cả các điện trở đều khác không. Để cho đơn giản ta cho mỗi điện trở là 1 Ω. Sau đó ta chọn hai đỉnh và nối hai cực của một nguồn điện vào hai đỉnh đó, cũng không quan trọng lắm là đỉnh nào. Chẳng hạn với hình lập phương ta có thể tưởng tượng ra mạch điện như sau:

 

resistor-cube-kirt-1.gif

 

Khi ta nối một mạch điện như vậy, tất nhiên điện sẽ chạy trong mạch một cách nhất định. Ta có thể đặt nhiều câu hỏi với mạch điện này. Ví dụ ta có thể hỏi điện trở của mạch là bao nhiêu. Câu hỏi tôi sẽ hỏi là như sau: giả sử tổng dòng điện chạy qua mạch là 1 Amper, dòng điện chạy qua từng điện trở là bao nhiêu? (Tất nhiên là nếu trả lời được câu hỏi này thì có thể tìm ra được điện trở của mạch).

 

Để trả lời câu hỏi trên, ta sẽ lập một hệ phương trình cho phép ta tìm được dòng điện chảy qua từng điện trở. Giả sử $AB$ là một cạnh, ta ký hiệu $I_{AB}$ là dòng điện chạy từ đỉnh $A$ đến đỉnh $B$. Ta có $I_{AB} = -I_{BA}$, và có tổng cộng $E$ đại lượng này. Ta sẽ lập một hệ phương trình để tìm giá trị của các dòng điện này.

 

Có hai loại phương trình, xuất phát từ hai định luật Kirchhoff. Loại đầu tiên là như sau. Giả sử $A$ là một đỉnh, và $B, C, D…$ là các đỉnh kề $A$. Ta có phương trình:

 

$$I_{AB }+ I_{AC} + I_{AD} + … = 0 \text{ hoặc } \, 1 \text{ hoặc } –1$$

 

Vế phải là 0 nếu như đỉnh $A$ không phải một trong hai đỉnh nối vào nguồn điện, là 1 nếu $A$ được nối vào cực dương và –1 nếu $A$ nối vào cực âm. Đơn giản phương trình này nói dòng điện chạy vào một đỉnh phải bằng dòng chạy ra từ đó.

 

Ta có tổng cộng bao nhiêu phương trình như thế này? Đếm thì thấy tổng cộng là $V$ phương trình, nhưng thực ra chúng không độc lập với nhau. Có thể thấy điều này bằng cách lấy tổng tất cả các phương trình trên. Ta sẽ được đồng nhất thức $0 = 0$, vì ở vế trái với mỗi $I_{AB}$ bao giờ cũng có $I_{BA}$. Vế phải thì tất nhiên tổng là $1 + (–1)$ cộng nhiều số 0, cũng bằng không. Như vậy chỉ có $V – 1$ phương trình độc lập.

 

Nhưng những phương trình trên không phải tất cả các phương trình ta phải viết ra. Có một loạt các phương trình khác (phương trình loại hai). Ta giả sử $ABCD$ là một mặt (ta cho nó là tứ giác ở đây nhưng logic tiếp theo đúng với mọi đa giác). Ta sẽ có phương trình

 

$$I_{AB} + I_{BC} + I_{CD} + I_{DA} = 0$$

 

Tại sao có phương trình này? Đó là do điện trở trên mỗi cạnh là 1 Ω nên $I_{AB}$ cũng là hiệu điện thế giữa hai đỉnh $A$ và $B$: $I_{AB} = U_{B}-U{A}$. Từ đó phương trình ở trên trở thành hiển nhiên. Tổng cộng có $F$ phương trình như vậy. Tuy nhiên các phương trình này cũng không độc lập, nếu cộng tất cả các phương trình này lại ta lại có đồng nhất thức $0 = 0$, do đó là chỉ có $F – 1$ phương trình loại hai.

 

Tổng cộng ta có như vậy là $(V – 1) + (F – 1) = V + F – 2$ phương trình.

 

Ta phải giải các phương trình này để tìm các dòng $I_{AB}$. Có bao nhiêu ẩn số tất cả? Số ẩn là số cạnh $E$.

 

Thiên nhiên cho ta biết khi nối mạch điện thì chỉ có một nghiệm duy nhất, vậy số phương trình phải bằng số ẩn.

 

Do đó $V + F – 2 = E$.

 

Đây chính là công thức Euler phải chứng minh.

 

Nguồn: Blog Đàm Thanh Sơn https://damtson.word.../euler-formula/




#645926 Ảnh thành viên

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 21-07-2016 - 22:04

Hâm nóng topic coi nào, ảnh của mình khi nhận áo của VMF :3 

Capture.PNG




#645872 Nhận và khoe áo đồng phục của Diễn đàn.

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 21-07-2016 - 16:53

Em đã nhận áo, mặc thoải mái lắm :D

 

Capture.PNG




#642806 Cập nhật tình hình thi THPT Quốc gia 2016 của các thành viên VMF

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 29-06-2016 - 18:03

Đối với thành viên VMF chỉ tiêu môn Toán phải từ 9.0 trở lên nhé!  :D 




#641174 Đăng ký mua áo đồng phục VMF 2016

Gửi bởi hoangtrong2305 trong 19-06-2016 - 00:59

Họ và tên: Võ Hoàng Trọng
Nick trên diễn đàn: hoangtrong2305
Địa chỉ nhận áo: 127A TL16, Kp. 3C, P. Thạnh Lộc, Q. 12, Tp. Hồ Chí Minh
Nick Facebook: https://www.facebook.com/hoangtrong2305
Số ĐT liên hệ: 01655984315
Size áo: L
Loại áo: Nam
Số lượng áo: 01
 
Đã chuyển khoản
 
IMG_0986.JPG