hoangtrong2305

Mấy tuổi rồi vậy anh... chắc là thầy giáo đúng ko @@

 

Anh năm nay 21 tuổi thiếu, anh sinh năm 95, còn là sinh viên, cơ mà anh chưa có ý định sau đi dạy đâu :3 anh sợ cảnh học trò nó dạy ngược lại mình lắm :3

 

anh Trọng đẹp trai mà thư sinh lắm

P/s: Từ một nguồn rất đáng tin, anh Kiên Ispectorgadget  còn manly hơn cả anh Trọng

Mà ưng full mặt không tớ cho ảnh

 

Nguồn thằng nào chứ ngay thằng Kiên thì xác định độ tin cậy ngang ngửa kenh14 hehe

 

Lâu rồi mà đến giờ em vẫn còn tiếc vì hồi đó không gặp gỡ anh cho ra hồn

 

Thôi có gì đâu, khi nào anh sang Pháp (hay em về Việt Nam), 2 anh em mình gặp sau cũng được   

Lâu quá up hình mắc công mọi người quên mặt mình   

 

Đây là một phân phối thú vị và là một ứng dụng khác của đồ thị bán – log ngoài đời thực.

 

Thông tin trên đến từ bài báo cáo trên trang Twitter của tài khoản Hubspot vào tháng 1 năm 2010, tiếc là bài báo cáo này không còn nữa

 

Một trong những kết luận của họ là:

 

“Đa số những người sử dụng Twitter có mạng lưới dưới 100 người, với 82% người dùng Twitter có ít hơn 100 người theo dõi và 81% người dùng Twitter đang theo dõi ít ​​hơn 100 người.”

 

Điều này có nghĩa rằng nếu bạn theo dõi hàng ngàn người, thì làm thế nào bạn có thể đọc và trả lời ngay các câu hỏi của một nửa trong số họ?

 

Điều này làm tôi nhớ tới số Dunbar, với ý tưởng rằng con người có xu hướng tập trung thành một nhóm khoảng 150 người vì đó là giới hạn hợp lý để mọi người trong nhóm biết nhau.

 

Nhưng số lượng ít người đang theo dõi/người theo dõi có thể giải thích bằng số lượng lớn người bắt đầu tìm hiểu về Twitter, sau đó bỏ cuộc.

 

NHỮNG TÀI KHOẢN CÓ NHIỀU NGƯỜI THEO DÕI NHẤT TRÊN TWITTER

 

Như tôi đã viết, top 3 người đứng đầu trên Twitter về số lượng người theo dõi nhiều nhất (theo Twitaholic) là

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Người theo dõi} & \text{Đang theo dõi}  \\ \hline \text{Lady Gaga (ladygaga)}  & 7,394,362 & 145,898\\ \hline \text{Britney Spears (britneyspears)} & 6,416,696 & 416,140\\ \hline  \text{Justin Bieber (justinbieber)}  & 6,355,747 & 95,167 \\ \hline\end{array}$$

Tổng thống Barack Obama đứng vị trí thứ 5 trong danh sách này, với 6 triệu người theo dõi.

 

TWITTER - PHÂN PHỐI NGƯỜI THEO DÕI

 

Bây giờ hãy nhìn vào đồ thị. Twitter đã sử dụng thang đo bán – log cho đồ thị này, vì vậy chúng ta có thể xem chi tiết hơn ở phần đầu mút cao nhất (hơn 1 triệu) và số lượng “trung bình” người theo dõi.

 

 

Đồ thị này làm tôi nhớ lại phân phối Zipf, xác định trong đồ thị bán – log.

 

TWITTER - PHÂN PHỐI NGƯỜI ĐANG THEO DÕI

 

Và đối với phân phối số lượng người dùng đang theo dõi trên Twitter:

 

Có một “đốm sáng” ở giữa phần cuối đồ thị. Đốm sáng ấy được giải thích rằng Twitter đã đặt giới hạn tạm thời về số người theo dõi ở mức 2000 người.

 

TWITTER - MÔ HÌNH SỬ DỤNG

 

Và kết quả khác từ báo cáo của Hubspot cũng đáng quan tâm:

 

“Twitter hoạt động nhiều nhất vào ngày thứ Năm và thứ Sáu, theo nghiên cứu của chúng tôi điều này chiếm khoảng 16% tổng số tweets.

 

Giờ mà Twitter họat động mạnh nhất là 10 – 11 giờ tối, trung bình có khoảng 4.8% tweets trong ngày.”

 

Và cuối cùng nhiều người đã cố gắng để sử dụng được 1 trong 140 đặc trưng giới hạn trong tweets của họ.

 

 

Đồ thị này có hệ trục tuyến tính (có tỉ lệ tuyến tính trên cả hai trục tung và hoành). Thang độ cao có lẽ là số tweets.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...log-graphs-5496

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

Nếu tôi sản xuất nhiều vũ khí và bạn không làm gì cả, khi đó tôi thắng (vì tôi mạnh hơn bạn): Tôi có được 3 điểm và bạn sẽ có điểm 0. Nếu bạn sản xuất nhiều còn tôi thì không, khi đó bạn thắng, nhận được 3 điểm trong khi tôi nhận được 0 điểm. Nếu cả hai chúng ta đều sản xuất nhiều vũ khí thì kết quả một trận hòa và cả hai chúng ta có được 1 điểm. Nếu cả hai chúng ta không làm gì cả thì đây là một trận hòa nữa, nhưng bây giờ cả hai chúng ta nhận được 2 điểm – điểm cho kết quả hòa này cao hơn điểm hòa trước đó vì sẽ tốt hơn khi sống trong một môi trường ít vũ khí, và chúng tôi sẽ được thưởng khi không sản xuất thêm vũ khí.

 

Bảng này cho thấy điểm mỗi người chơi nhận được cho mỗi chiến lược. 

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{Bạn sản xuất nhiều vũ khí} & \text{Bạn không sản xuất vũ khí}  \\ \hline \text{Tôi sản xuất nhiều vũ khí}  & 1,1 & 3,0\\ \hline \text{Tôi không sản xuất vũ khí} & 0,3 & 2,2\\ \hline  \end{array}$$

 

Nếu bạn cũng quyết định sản xuất thêm vũ khí, khi đó tôi chỉ nhận được 1 điểm, nhưng điều này tốt hơn nhận 0 điểm, đó là số điểm tôi có khi quyết định không sản xuất nhiều vũ khí. Vì vậy, chiến lược trội của tôi là sản xuất nhiều vũ khí hơn: cho tôi điểm tốt hơn so với không sản xuất gì, bất chấp bạn làm gì. Với cùng một lý do, chiến lược tốt nhất cho bạn cũng là sản xuất nhiều vũ khí hơn.

 

Vì vậy, nếu cả hai chúng ta suy nghĩ theo hướng hợp lý và ích kỷ, trò chơi này sẽ kết thúc với một kho vũ khí tăng lên cho cả hai bên, mỗi người chúng ta nhận 1 điểm. Tuy nhiên, cả hai chúng ta sẽ giàu có hơn khi cùng quyết định không sản xuất thêm nhiều vũ khí: trong trường hợp đó mỗi chúng ta sẽ có được 2 điểm. Đây là một nghịch lý lạ, chiến lược tốt nhất không đưa đến kết quả tốt nhất.

 

Trong một cuộc đua thực tế, mọi người không nhận được điểm cho chiến lược của họ, tất nhiên, nhưng bạn có thể nghĩ đến điểm là thước đo cho thấy kết quả họ đạt được cho chiến lược đó (3 điểm cho kết quả họ thích nhiều nhất và 0 điểm cho kết quả họ thích ít nhất). Sau đó, nếu các chính trị gia dựa đề ra chiến lược dựa trên lý trí và quyền lợi Quốc gia của họ, thì họ sẽ quyết định sẽ gia tăng kho vũ khí.

 

Trò chơi chạy đua vũ trang rất nổi tiếng trong lý thuyết trò chơi, còn được gọi là thế khó xử của người tù vì trò chơi này thường được dùng cho hai tù nhân nên quyết định hợp tác với nhau hoặc tố cáo nhau cho cảnh sát. Một phép phản biện hiển nhiên là cuộc sống thực phức tạp hơn so với gợi ý từ trò chơi, con người có khả năng đàm phán, bằng cách nào đó họ có thể tìm ra những gì bên kia làm, và họ cũng có tầm nhìn xa trông rộng, đủ để phá vỡ mối đe dọa diệt vong. Nhưng sử dụng mô hình trò chơi toán học đơn giản để áp dụng vào các tình huống phức tạp có thể giải thích được phần nào về tình huống đó .

 

Và đó chính xác là kết quả mà lý thuyết trò chơi mang lại. Lý thuyết trò chơi cố gắng nắm bắt tình huống của một trò chơi với các quy tắc xác định rõ ràng. Các nhà toán học sau đó nghiên cứu về các chiến lược và cách mà người chơi có lý trí hành xử để thu lại lợi ích. Các nhà toán học đã sử dụng phương pháp này để hiểu được nền kinh tế, về cách con người làm tăng lợi nhuận. Ngoài ra, lý thuyết trò chơi cũng được dùng trong tâm lý học, như để hiểu vì sao con người có những tính cách khác nhau, và dùng trong sinh học để giải thích hành vi của động vật và các sinh vật khác.

 

Đương nhiên, nếu bạn cảm thấy rằng một trò chơi đơn lẻ là quá đơn giản, bạn có thể làm cho trò chơi trở nên thực tế hơn bằng cách làm phức tạp hơn. Ví dụ, nếu hai người chơi trò chơi thế khó xử của người tù nhiều lần và trong mỗi vòng chơi họ nhớ chiến lược của đối phương trong quá khứ, thì chiến lược tốt nhất của họ có thể tin tưởng người chơi khác (chứ không sản xuất nhiều vũ khí hơn như ví dụ trên). Với cách làm này, con người đã cố gắng giải thích lý do vì sao con người chúng ta và các động vật khác đã phát triển các khả năng, ham muốn để được tốt đẹp trong mắt người khác dù đôi khi điều này không đi kèm với lợi ích trước mắt. Vì vậy, đôi mắt lạnh lùng của Toán học thậm chí có thể giải thích những điều ấm áp và mù mờ như vẻ đáng yêu của một người!

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ians-play-games

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

Dược động học là quy trình nghiên cứu các chất (như thức ăn và thuốc) được hấp thu vào cơ thể qua đường miệng hoặc kim tiêm và tác động với cơ thể. Chúng ta sẽ tập trung vào thuốc.

 

Quy trình của dược động học bao gồm 5 bước:

- Giải phóng: Thuốc được tạo ra từ công thức

- Quá trình hấp thu: Thuốc được đưa vào trong cơ thể

- Phân bố: Thuốc phân tán khắp cơ thể

- Quá trình trao đổi: Cơ thể phân hủy thuốc

- Thải trừ thuốc: Cơ thể loại bỏ thuốc

Chuẩn bị ống tiêm

Hiển nhiên, mỗi loại thuốc tác động lên cơ thể theo một cách khác nhau. Một số loại thuốc cần được cơ thể hấp thu nhanh chóng (như nitroglycerin khi chúng ta đau tim) và tốt nhất là phải loại bỏ khỏi cơ thể nhanh chóng (nếu không thì độc tố sẽ tích tụ trong máu). Đối với một số loại thuốc khác, chúng ta muốn hấp thu chậm nhằm thu được hiệu quả tối đa của thuốc và không mất nhiều chất khi thải trừ.

 

Do đó, khi bác sĩ kê toa nói rằng: "dùng 2 viên mỗi bữa ăn", thì điều này dựa trên mức độ cần thiết của nồng độ thuốc và mức độ phân bố, thải trừ và chuyển hóa trong cơ thể.

 

VẬY BÀI TOÁN Ở ĐÂY LÀ GÌ?

 

Khi y tá quản lý thuốc lần thứ nhất, nồng độ thuốc trong máu bằng không. Khi mà thuốc được đưa vào cơ thể và bắt đầu trao đổi, nồng độ thuốc tăng lên.

 

Sẽ đến một lúc nồng độ của thuốc không còn tăng nữa và bắt đầu giảm xuống. Đây là giai đoạn thuốc được phân bố hoàn toàn và trao đổi chất đang diễn ra. Theo thời gian, nồng độ thuộc ngày càng ít đi và giảm xuống dưới mức hiệu quả một lượng nhất định. Lúc này ta cần phải uống thêm thuốc rồi đấy.

 

Chúng ta có thể mô hình hóa tình huống trên bằng phương trình vi phân. Thuốc khi vào cơ thể có 2 phần: hấp thu và loại bỏ. Ban đầu, hấp thu (tăng nồng độ thuốc) sẽ được ưu tiên và theo thời gian thì loại bỏ (giảm nồng độ) là yếu tố quan trọng nhất.

 

Chúng ta có các biến sau:

$$D=\text{liều thuốc đã cho}$$

$$V=\text{lượng phân bố trong cơ thể}$$

$$C=\text{nồng độ thuốc ở thời điểm }t$$

$$F=\text{phần liều thuốc đã hấp thu (còn được gọi là khả dụng sinh học)}$$

$$A=\text{hằng số tốc độ hấp thu}$$

$$E=\text{hằng số tốc độ loại bỏ}$$

$$t=\text{thời gian}$$

Hấp thu: Phụ thuộc vào lượng thuốc đã cho, chính là phần được hấp thu và hằng số tốc độ hấp thu. Phần này giảm theo thời gian. Công thức hấp thu được biểu diễn như sau:

                                                                $$~A\times F\times D\times {{e}^{-At}}$$

Loại bỏ: Chức năng loại bỏ ảnh hưởng bởi hằng số loại bỏ, lượng phân bố trong cơ thể và nồng độ còn lại của thuốc. Công thức loại bỏ được biểu diễn như sau:

                                                                                   $$E\times V\times C$$

Đối với mô hình này, chúng ta cần phải trừ đi phần loại bỏ khỏi phần hấp thu (vì phần hấp thu làm tăng nồng độ của thuốc và phần loại bỏ thì làm giảm nó). Phương trình vi phân như sau:

                                            $$\frac{dC}{dt}=\frac{1}{V}\left( AFD{{e}^{-At}}-EVC \right)$$

Bây giờ chúng ta thay thế một số giá trị vào các biến (ta không kèm theo đơn vị để giữ mọi thứ đơn giản. Lưu ý $C$ là một biến, thứ chúng ta tìm trong biểu thức theo theo $t$)

$$\frac{dC}{dt}=\frac{1}{15}\left( 0.5\times 2\times 800{{e}^{-0.5t}}-0.4\times 15\times C \right)=53.3{{e}^{-0.5t}}-0.4C$$

Giải phương trình vi phân trên (sử dụng hệ thống đại số máy tính), ta được nồng độ tại thời điểm $t~$là

                                          $$C\left( t \right)=533.3\left( {{e}^{-0.4t}}-{{e}^{-05.t}} \right)$$

Chúng ta có thể thấy trong đồ thị phần nồng độ tăng lên (trong khoảng $t=2$) và khựng lại, sau đó nồng độ giảm về gần bằng 0 tại $t=24$.

 

Động dược học là một ứng dụng thực tế thú vị của toán học.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...cokinetics-4098 

 

Người dịch: Nguyễn Vũ Anh, thành viên Chuyên san EXP

    e con trai a chơi... đừng "chơi" em... tội nghiệp!   

 

Hehe chứ chị em thì anh quen biết lâu rồi, thấy chị em để tóc thẳng đen dễ thương hơn.

    h học ít lại cũng ko dc a ơi... chị e đang nỗ lực để thi qua đợt khảo sát này.... mệt lắm     

 

Có hình chị em rồi thế hình em đâu :3

em mới học lớp 9 thôi anh ơi!

 

Lớp 9 lo học đê :v mách bố mẹ bây giờ

III. PHÉP NỐI ỔN ĐỊNH TỐI ƯU

 

Những người đàn ông và phụ nữ hài lòng bao nhiêu với phép nối $x$ được tạo bởi thuật toán Gale – Shapley? Ví dụ, có thể tìm thấy một phép nối ổn định $y$ khi một số người đàn ông thích người tình $y$ hơn $x$? Có một phép nối ổn định $y$ ở một số người phụ nữ thích người tình $y$ hơn là ở $x$?

 

Chúng ta sẽ nhìn thấy rằng không có người đàn ông nào thích người tình của họ ở trong một phép nối ổn định khác người tình trong $x$. Điều đó có nghĩa là nếu $y$ là một phép nối ổn định khác, thì hoặc là $y\left( m \right)=x\left( m \right)$ hoặc $m$ thích $x\left( m \right)$ hơn $y\left( m \right)$. Do đó chúng tôi gọi $x$ là một phép nối ổn định tối ưu của $M$. Tại một thời điểm nào đó sẽ thuyết phục bạn rằng chỉ có một phép nối ổn định tối ưu của $M$.

 

Hãy giả sử tồn tại phép nối $y$ khác và người đàn ông $m$ sao cho $m$ thích $y\left( m \right)$ hơn $x\left( m \right)$. Ta sẽ thấy rằng điều này là không thể nếu $y$ là phép nối ổn định.

 

Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ cho rằng các bước của thuật toán Gale dần đến phép nối ổn định $x$. Vì $m$ thích $y\left( m \right)$ hơn $x\left( m \right)$ nên $y\left( m \right)$ phải từ chối $m$ tại một bước $k$ của thuật toán. Tất cả $m$ kiểu này, chọn một $m$ sao cho không có người đàn ông $m'$ nào bị $y\left( m \right)$ từ chối sớm hơn một bước ${k}'<k$.

Khi $y\left( m \right)~$từ chối $m$, cô ấy phải thích một người đàn ông $m'$ đã cầu hôn cô ấy ở bước $k$. Khi $m'$ được $y\left( m \right)$ chấp nhận ở bước $k$ và chưa bị $y\left( m' \right)$ từ chối ở bước trước $k$, $m'$ phải thích $y\left( m \right)$ hơn $y\left( {{m}'} \right)$.

Vì thế $y\left( m \right)$ thích $m'$ hơn $m$ và $m'$ thích $y\left( m \right)$ hơn $y\left( {{m}'} \right)$, nghĩa là $y$ không phải là sự kết hợp ổn định.

Bằng cách này, chúng ta thấy rằng $x$ là một phép nối ổn định tối ưu của $M$, mọi người đàn ông ít nhất hài lòng với người tình $x$ cũng như phép nối ổn định $y$

 

Ví dụ đơn giản cho thấy phép nối $x$ không phải luôn tối ưu cho phụ nữ. Tuy nhiên, có một phép nối ổn định tối ưu W, chúng ta chỉ cần áp dụng thuật toán Gale – Shapley với vai trò thay đổi cho nhau, tức để phụ nữ cầu hôn nam giới.

 

IV. TIẾT LỘ SỞ THÍCH THẬT SỰ

 

Ta có thể tạo ra phép nối ổn định với thuật toán Gale-Shapley và những phép nối này là tốt nhất có thể cho một tập người. Cho đến nay, chúng ta đã giả định rằng mỗi người thể hiện trung thực sở thích thật sự của mình. Tuy nhiên, có khả năng một người đàn ông có thể cố lấy một người tình hấp dẫn hơn bằng cách miêu tả sai sở thích thật sự của mình.

 

Chúng tôi sẽ cho thấy rằng tiết lộ sở thích thật sự của một người, theo lý thuyết trò chơi, là một chiến lược trội cho nam giới. Điều này có nghĩa rằng, giả sử tất cả những người đàn ông và phụ nữ khác giữ sở thích như nhau, một người đàn ông không thể có được một người tình hấp dẫn hơn bằng cách miêu tả sai sở thích của mình.

 

Đặt $P$ là tập hợp các sở thích của tất cả những người đàn ông và phụ nữ, ta giả định đó là sở thích thật sự của họ. Ta muốn xem xét tập các sở thích $P'$, giống $P$ ngoại trừ một người đàn ông ${{m}_{m}}$, người mà ta gọi là "kẻ gian dối."

 

Ngoài ra, ta sẽ sử dụng $x~=~GS~\left( P \right)$ để biểu thị các phép nối ổn định là kết quả của thuật toán Gale - Shapley áp dụng với các sở thích thật sự $P$, trong khi $y=~GS~\left( P~' \right)$ là phép nối ổn định từ các sở thích gian dối. Mục tiêu của ta là để cho $m$ không thể lợi dụng bạn tình của mình; nói cách khác, ta sẽ cho thấy rằng hoặc là $y~\left( m \right)~=~x~\left( m \right)$ hoặc $m$ thích $x\left( m \right)$ hơn $y\left( m \right)$ dựa theo sở thích thật sự của mình.

 

Đầu tiên, ta thấy rằng ta chỉ cần phải xem xét một trường hợp cụ thể của việc miêu tả sai. Luôn nhớ rằng $y~=~GS~\left( P \right)$, chúng ta sẽ xem xét tương đương miêu tả sai đơn giản $P''$ có những tính chất mà kẻ gian dối ${{m}_{m}}$ thích $y\left( {{m}_{m}} \right)$ hơn tất cả người phụ nữ khác, theo danh sách sở thích của ông trong $P''$. Đó là, kẻ gian dối ${{m}_{m}}$ lấy $P''$ từ $P$ bằng cách di chuyển người tình của mình trong $y$ để lên đầu danh sách. Ta ký hiệu $z~=~GS~\left( P'' \right)$ là phép nối ổn định có kết quả từ việc miêu tả sai đơn giản $P''$.

 

Ta quan sát các điều sau:

 

1.$y\left( {{m}_{m}} \right)~=~z~\left( {{m}_{m}} \right).$ Điều này có nghĩa rằng miêu tả sai $P''$ dẫn đến cùng một người tình cho ${{m}_{m}}$ như miêu tả sai $P'$. Đây là lý do tại sao ta nói rằng $P'$ và $P''$ là miêu tả sai tương đương. Nếu ${{m}_{m}}$ không có được một người tình hấp dẫn trong $z$, anh ta sẽ không có $y$ và ngược lại.

 

Điều này rất dễ hiểu. Hãy nhớ rằng $y$ là ổn định đối với các sở thích của $P'$ vì ta sử dụng thuật toán Gale – Shapley để thu được $y$. Điều này có nghĩa rằng không có người đàn ông $m$ cũng như người phụ nữ $w$ thích nhau (trong $P'$) hơn người tình của họ trong $y$. Tuy nhiên, điều này hàm ý rằng $y$ là ổn định trong $P'$, người duy nhất có sở thích đã thay đổi là ${{m}_{m}}$ , từ khi ông ta di chuyển $y\left( {{m}_{m}} \right)$ lên đầu danh sách của mình trong $P''$, ông tìm thấy người tình của mình dưới $y$ theo $P''~$với mức độ mong muốn như trong $P'$.

 

Cần nhớ rằng bây giờ $z~$là phép nối ổn định tối ưu $M$ theo $P''$. Vì $y$ ổn định đối với $P''$ nên ${{m}_{m}}$ thích $z\left( {{m}_{m}} \right)$ ít nhất là như tình cảm của anh ta đối với $y\left( {{m}_{m}} \right)$. Tuy nhiên, ông vẫn thích $y\left( {{m}_{m}} \right)$ (trong $P''$) hơn bất kỳ người phụ nữ khác, vì vậy $z\left( {{m}_{m}} \right)~=~y\left( {{m}_{m}} \right).$

 

2. Bây giờ chúng ta sẽ cho rằng $P'$.  đại diện đơn giản cho kẻ gian dối ${{m}_{m}}$ và $y~=~GS\left( {{P}'} \right).$ Ta cũng giả định rằng ${{m}_{m}}$ trình bày sai sở thích thật sự của mình để có được người tình $y\left( {{m}_{m}} \right)$ mà anh thích ít nhất cũng như $x\left( {{m}_{m}} \right)$, dựa theo sở thích thật sự $P$ của anh ta. Với những giả thiết này, không có người đàn ông nào trong $y$ tồi tệ hơn anh ta trong $x$, dựa theo sở thích thật sự của anh ta. Điều này có nghĩa đối với mỗi người đàn ông $m$, hoặc là $y\left( m \right)~=~x\left( m \right)$ hoặc $m$ thích $y\left( m \right)$ hơn$~x\left( m \right)$.

 

Chú ý, chúng ta giả sử rằng mức độ chi phí gian dối không quá tệ đối với $y$. Trên thực tế, ông ta đã trình bày sai nhằm hi vọng người tình trong mộng đồng ý yêu ông.

 

Bây giờ giả sử có một người đàn ông $m$ có chi phí tệ trong $y$ hơn trong $x$, tức là giả sử $m$ thích $x\left( m \right)$ hơn $y\left( m \right)$ như hình vẽ. Vì $m$ không phải là kẻ gian dối, $m$ thích cả $P$ và $P'$. Do đó $m$ đã bị $x\left( m \right)$ từ chối tại một số bước trong $GS\left( {{P}'} \right)$.

Đặt $k$ là bước đầu tiên, trong đó một số người đàn ông $m$ bị $x\left( m \right)$ từ chối trong $GS\left( {{P}'} \right)$. Cụ thể hơn, giả sử $m$ bị $x\left( m \right)$ từ chối và tạo ưu thế cho $m'$ ở bước $k$, điều này có nghĩa là $x\left( m \right)$ thích $m'$ hơn $m$, do đó không thể có chuyện $m$ cầu hôn $x\left( m \right)$ trong $GS\left( P \right)$. Do đó $m'$ thích $x\left( {{m}'} \right)$ hơn $x\left( m \right)$.

Vì $m'$ cầu hôn $x\left( m \right)$ ở bước $k$ trong $GS\left( P' \right)$ nên $m$ phải nhận được lời từ chối từ $x\left( {{m}'} \right)$ ở một bước trước đó trong $GS\left( {{P}'} \right)$. Tuy nhiên, điều này là không thể vì ta giả sử $k$ là bước đầu tiên mà $m$ bị $x\left( m \right)$ từ chối trong $GS\left( {{P}'} \right)$. Do đó $m$ thích $y\left( m \right)$ ít nhất cũng như thích $x\left( m \right)$.

 

3. Vì mọi người đàn ông $m$ đều hài lòng với $y\left( m \right)$ cũng như $x\left( m \right)$, ta rút ra kết luận rằng: Nếu $m$ cầu hôn một người phụ nữ $w$ trong $GS\left( P' \right)$ thì anh ta phải cầu hôn cô trong $GS\left( P \right)$.

 

Từ quan sát này ta rút ra một thực tế rất hữu dụng rằng nếu $w~$chỉ nhận được một lời đề nghị trong $GS\left( P \right)$ thì cô ta cũng chỉ nhận được một đề nghị trong $GS\left( {{P}'} \right)$. Nếu đề xuất này là của $m$, thì $x\left( m \right)=y\left( m \right)=w$.

Bây giờ ta sắp xếp tất cả mọi thứ ta cần nhằm giải thích lí do vì sao nói ra sở thích thật sự là chiến lược trội cho nam giới. ta giả sử rằng các người đàn ông và phụ nữ còn lại đều có sở thích như nhau, và chúng ta sẽ thấy kẻ gian dối không thể thu hút người tình mà anh ta thích, khi đó hoặc $y\left( {{m}_{m}} \right)=x\left( {{m}_{m}} \right)$ hoặc $m$ thích $x\left( {{m}_{m}} \right)$ hơn $y\left( {{m}_{m}} \right)$.

 

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng giả thiết rằng đối với kẻ gian dối, hoặc là $y\left( {{m}_{m}} \right)=x\left( {{m}_{m}} \right)$ hoặc $m$ thích $y\left( m \right)$ hơn $x\left( {{m}_{m}} \right)$ vì kết quả này chắc chắn đúng nếu như ${{m}_{m}}$ thích $x\left( {{m}_{m}} \right)$ hơn $y\left( {{m}_{m}} \right)$.

 

Với giả thiết này, chúng ta thấy rằng, trong $y$ không có người đàn ông nào tệ hơn $x$, như đã giải thích ở trên. Ngoài ra nếu như $m$ cầu hôn một phụ nữ $w$, người chỉ nhận được một lời cầu hôn, khi đó $y\left( m \right)=x\left( m \right)$.

 

Nhìn vào các bước của $GS\left( P \right)$, kẻ gian dối sẽ cầu hôn với người phụ nữ $x\left( {{m}_{m}} \right)$ anh ta muốn làm người tình ở bước $r$ nào đó. Chiến lược của tôi sẽ cho thấy rằng, mọi người đàn ông $m$ cầu hôn $x\left( m \right)$ ở bước $r$ hay trễ hơn sẽ có $y\left( m \right)=~x\left( m \right)$. Khi đó suy ra được rằng: $y\left( {{m}_{m}} \right)=~x\left( {{m}_{m}} \right)$.

 

Chúng ta tiến hành bằng cách, đầu tiên nhìn vào người đàn ông $m$, người đàn ông này cầu hôn $x\left( m \right)=w$ trong bước cuối cùng $t$ của $GS\left( P \right)$.

Khi đó $m$ là người duy nhất cầu hôn $w$. Nếu không, $w$ phải từ chối người đàn ông trước kia cô đã chấp nhận, và người đàn ông đó sẽ thực hiện lời cầu hôn khác trong bước tiếp theo. Do vậy $y\left( m \right)=x\left( m \right)$

 

Bây giờ, chúng ta xét đến người đàn ông đã cầu hôn $x\left( m \right)=w$ là người phụ nữ phù hợp với mình ở bước $r\le s<t$, và ta sử dụng giả thiết quy nạp rằng bất kì người đàn ông nào tỏ tình với người tình của mình ở bước $s+1$ thì thỏa mãn $y\left( m \right)=x\left( m \right)$.

Sau đó chúng ta nhìn vào tập các người đàn ông $\bar{M}$ mà bị $w$ từ chối trước khi chấp nhận lời cầu hôn của $m$. Nếu không có ai bị $w$ từ chối, khi đó $m$ là người đàn ông duy nhất cầu hôn $w$, do đó $y\left( m \right)=x\left( m \right).$

 

Nếu có một người nào đó bị $w$ từ chối, kí hiệu $m'$ là người đàn ông cô thích nhất trong nhóm người đã cầu hôn với cô. Người đàn ông $m'$ này đã bị cô từ chối ở bước $s$ đề chấp nhận $m$. Vì vậy $m'$ cầu hôn với người tình khác ở một bước sau $s$, theo giả thiết quy nạp thì $y\left( {{m}'} \right)=x\left( {{m}'} \right)$.

Vì $m'$ cầu hôn với người tình tại một bước sau đó, $m'$ không phải là kẻ dối trá, do vậy $m'$có sở thích giống nhau ở cả $P$ và $P'$. Điều này có nghĩa là, khi ${m}'$ cầu hôn $w~$trong $GS\left( P' \right)$ và bị từ chối, nên $w$ có nhận được một lời cầu hôn khác trong $GS\left( {{P}'} \right)$.

 

Ta thấy rằng nếu $m$ cầu hôn với người phụ nữ trong $GS\left( {{P}'} \right)$ thì anh ta cũng làm điều tương tự trong $GS\left( P \right)$ . Vì lời cầu hôn khác duy nhất mà $w$ nhận được trong $GS\left( P \right)$ là từ $m$, khi đó lời cầu hôn cuối cùng mà cô ấy nhận được trong $GS\left( {{P}'} \right)$ cũng từ $m$. Vì vậy, ta kết luận rằng $y\left( m \right)=x\left( m \right)$.

 

Do đó bất kì người đàn ông nào ngỏ lời với người tình của mình ở bước $s$ thì $y\left( m \right)=x\left( m \right)$. Theo quy nạp cho thấy rằng, nếu người đàn ông nào đó cầu hôn với người tình của mình ở bước $r$ hoặc sau bước $r$ thì phải thỏa mãn $y\left( m \right)=x\left( m \right).$  Vì kẻ dối trá cầu hôn với người tình ở bước $r,~$điều này có nghĩa là $y\left( {{m}_{m}} \right)=x\left( {{m}_{m}} \right)$. Nói cách khác, kẻ dối trá không thể cải thiện độ ấn tượng của người tình về mình khi hắn không thật lòng.

Lạ thật, ví dụ cho thấy rằng, những người đàn ông khác cầu hôn với người tình của họ trước bước $r$ có thể cải thiện độ ấn tượng của người tình về họ. Tính cách không thật lòng của kẻ dối trá ${{m}_{m}}$ không thể cải thiện độ ấn tượng của người tình về mình mà còn giúp cải thiện ấn tượng của cô ta cho người đàn ông khác.

 

V. TÓM TẮT

 

Trở lại câu hỏi về phép nối giữa học sinh với trường học. Chúng ta nên hỏi nhóm sẽ đưa ra nguyện vọng (hay lời cầu hôn trong ví dụ trên). Chạy thuật toán với trường hợp học sinh đưa ra nguyện vọng khiến cho các học sinh không có động lực để đưa ra nguyện vọng trái với ý muốn bản thân mặc dù trường học khuyến khích như vậy. Tuy nhiên, chúng ta mong đợi rằng việc nhà trường đưa ra chỉ tiệu không đúng với chỉ tiêu thật sự sẽ được áp dụng chung cho các học sinh, khi đó học sinh sẽ dễ dàng xác định. Trường học có thể bị khống chế phải thông qua các yêu cầu rõ ràng hoặc các điều luật khác nhằm ngăn chặn đưa ra chỉ tiêu không đúng, ví dụ như phân biệt chủng tộc.

 

Trên thực tế, một trong những cộng tác viên của Roth là Atila Abdulkadiroglu nói rằng ông đã nhận được các cuộc gọi từ các bậc cha mẹ muốn nghe lời khuyên của ông nhằm chuẩn bị tốt hơn cho việc chọn trường của con họ. Câu trả lời của ông rất đơn giản:” Sắp xếp các trường theo đúng thứ tự ưu tiên”.

 

Tính ổn định là một điều kiện trực quan cần thiết khi áp dụng trên hệ phép nối, như quy trình tuyển sinh ở trường Thành phố New York. Trong một phép nối ổn định, không có một tổ chức nào khuyến khích tìm kiếm các phép nối khác nhau; Ví dụ như: Nếu một người đàn ông có tình cảm với một người phụ nữ hơn vợ của anh ta, thì anh ta không có cơ hội đâu vì cô ấy còn có tình cảm với chồng mình hơn anh ta.

 

Tuy nhiên, người ta có thể hỏi có chứng cứ nào ủng hộ tính quan trọng của vai trò ổn định trong hệ phép nối. Trên thực tế, Roth và công sự của ông đã nghiên cứu trên nhiều thị trường khác nhau để giải đáp cho câu hỏi này. Ví dụ, quy trình các sinh viên y khoa Mỹ được nối với các chương trình cư trú đã được sửa đổi trong những năm 1950 và trở nên gần giống với thuật toán chấp nhận trì hoãn. Và thuật toán này đã được chứng minh rất thành công, kết quả là Ủy ban Hoàng gia Anh (British Royal Commission) đã đề nghị từng phân khu của Dịch vụ Y tế  Quốc gia Anh (British National Health Service) đưa vào sử dụng một hệ tương tự.

 

Đúng như mong đợi, mỗi phân khu đã sử dụng thuật toán phép nối khác nhau một chút vì các chi tiết trong hệ ở Mỹ không được miêu tả trong các tài liệu y khoa nước Mỹ. Hệ này ở một số phân khu được phát triển tốt trong khi một số khu khác lại thất bại. Roth và các cộng sự của ông xác định rằng thuật toán chỉ thành công khi có tính ổn định, còn không có tính ổn định thì thất bại.

 

Về việc áp dụng lý thuyết trò chơi vào kinh tế, Roth đã viết: “Kiểm tra thực tế thành công của chúng tôi không chỉ đơn thuần là việc chúng tôi hiểu rõ những nguyên tắc chung để điều khiển tương tác kinh tế tốt như thế nào, mà còn cho thấy rằng ta có thể áp dụng những kiến thức này rất tốt vào các câu hỏi thiết thực trong kĩ thuật kinh tế vi mô”. Thật vậy, các ví dụ như quy trình tuyển sinh vào trường trung học Thành phố New York là một bằng chứng quan trọng thể hiện sự thành công của thuật toán này.

 

Nguồn: http://www.ams.org/s...lumn/fc-2015-03

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

I. GIỚI THIỆU

 

Hằng năm, 75000 học sinh khối lớp 8 của Tp. New York đăng kí nhập học vào 1 trong 426 trường trung học công lập của thành phố. Cho đến gần đây, quy trình này đòi hỏi học sinh phải liệt kê 5 ngôi trường theo thứ tự ưu tiên. Những danh sách này được gửi đến những ngôi trường, nơi sẽ quyết định ai sẽ được nhận vào, ai sẽ ở danh sách chờ, hoặc ai sẽ bị từ chối. Học sinh được thông báo về tình hình của họ và chỉ được phép chấp nhận một lời mời (vào một trường) và một vị trí ở danh sách chờ. Sau khi những học sinh đã phản hồi lại bất cứ lời mời nào nhận được, những ngôi trường với những vị trí còn trống sẽ thực hiện đợt tuyển sinh thứ 2, và quá trình này sẽ tiếp diễn tới khi kết thúc đợt thứ 3.

 

Nhưng quy trình này có một vài sai sót nghiêm trọng. Vào lúc kết thúc đợt tuyển sinh thứ 3, gần một nửa số học sinh (thường là những học sinh đến từ những gia đình nghèo khó) không được nhận vào trường. Đa số những học sinh đó chờ đợi qua hết mùa hè chỉ để nhận ra được rằng họ đã bị đưa vào một ngôi trường không nằm trong danh sách 5 trường họ chọn.

 

Quy trình này cũng khuyến khích học sinh và bậc phụ huynh suy nghĩ một cách có chiến lược về danh sách các ngôi trường họ muốn đăng ký. Những học sinh bị từ chối bởi ngôi trường đứng đầu trong danh sách của họ có thể phát hiện được rằng ngôi trường ở lựa chọn thứ hai đã không còn chỗ trống ở đợt tuyển sinh thứ 2. Điều này sẽ làm cho nhiều học sinh khó có thể đưa ra những ưu tiên chọn trường theo đúng nguyện vọng của bản thân vì ẩn chứa nhiều rủi ro. Một quan điểm được các nhà Giáo dục học đưa ra cho các học sinh nên:“Xác định mình sẽ cạnh tranh với ai” trước khi đưa ra danh sách những ngôi trường ưa thích.

 

Sau cùng, những ngôi trường sẽ luôn cập nhật chỉ tiêu tuyển sinh khác với dự kiến để giữ chỗ những vị trí cho những học sinh không được nhận vào ngôi trường đầu tiên mà họ chọn.

 

Tóm lại, quy trình này không thể làm hài lòng nhiều học sinh bất chấp nó khuyến khích nhiều phía, cả học sinh lẫn nhà trường, nên tự đưa ra những chiến lược sai nhằm đạt được những kết quả đáng mong đợi mặc dù không khả thi cho lắm. Tính nghi ngờ phổ biến ở quy trình sắp xếp này là môt hệ quả hiển nhiên.

 

Với ý tưởng được miêu tả ở mục này, những nhà kinh tế học Atila Abdulkadiroglu, Parag Pathak và Alvil Roth đã thiết kế một phép nối giữa trường học và học sinh, thực hiện lần đầu tiên vào năm 2004. Thuật toán được số hóa mới này đã giúp khoảng 3000 học sinh mỗi năm và kết quả là những học sinh đã nhận được lời mời từ những ngôi trường nằm ở lựa chọn thứ 1 trong danh sách. Kết quả là bây giờ học sinh đưa ra những danh sách nói lên những ưu tiên thật sự của họ, điều này sẽ cung cấp chính thức cho những ngôi trường với những đầu vào công khai nhằm xác định ngôi trường nào sẽ đóng cửa hoặc cải cách. Về phía các trường học, những ngôi trường nhận thấy rằng việc đưa ra chỉ tiêu không đúng với khả năng thực sự không còn lợi ích gì nữa.

 

Chìa khóa của giải thuật toán này nằm ở khái niệm ổn định, giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1962 và được viết bởi Gale và Shapley. Chúng ta nói rằng một phép nối giữa học sinh và nhà trường là “ổn định” khi không có một học sinh hay một trường nào khác muốn được ghép với nhau hơn là cặp nối hiện tại của họ. Gale và Shapley đã giới thiệu một thuật toán, thường được gọi là thuật toán chấp nhận trì hoãn, sẽ giúp ta chắc chắn đưa ra được một phép nối ổn định. Sau đó, Roth cho thấy rằng khi áp dụng thuật toán chấp nhận trì hoãn, một học sinh không thể tăng nguyện vọng vào nhiều ngôi trường họ thích bằng cách đưa ra chiến lược sai lệch, không đúng với nguyện vọng thực sự của bản thân.

 

Mục này sẽ giới thiệu về kết quả lý thuyết trò chơi nằm trong bài viết gốc của Gale – Shapley cùng với những phân tích sau này của Roth. Pathak gọi thuật toán chấp nhận trì hoãn là “một trong những ý tưởng hay nhất của kinh tê” và Roth và Shaley đã được trao giải thưởng Nobel về kinh tế vào năm 2012 cho công trình này.

 

II. VẤN ĐỀ ỔN ĐỊNH HÔN NHÂN

 

Bên cạnh việc ghép nối những học sinh với những ngôi trường, thuật toán chấp nhận trì hoãn đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều trường hợp, điển hình như việc ghép học sinh khoa Y với chương trình nội trú. Và theo đó, chúng ta sẽ cùng mô tả thuật toán này qua một ngữ cảnh độc đáo của Gale – Shaley, vấn đề về ổn định hôn nhân.

 

Giả sử ta có số lượng bằng nhau giữa đàn ông $M=\left\{ {{m}_{1}},\ldots ,{{m}_{n}} \right\}$ và phụ nữ $W=\left\{ {{w}_{1}},\ldots .,~{{w}_{n}} \right\}$. Mỗi người đàn ông đưa ra danh sách những người phụ nữ đang theo đuổi, theo thứ tự ưu tiên của họ, và tương tự mỗi người phụ nữ cũng sẽ đưa ra danh sách những người đàn ông mà cô ta thích theo thứ tự ưu tiên. Ta muốn sắp xếp những cuộc hôn nhân giữa những người đàn ông và người phụ nữ sao không có người đàn ông hay phụ nữ nào thích một người khác bạn đời của họ.

 

Trước khi ta đi xa hơn, hãy thống nhất rằng mục đích của chúng ta là mô hình hóa một vấn đề toán học. Chẳng hạn, chúng ta sẽ không xét đến thực tế về việc hôn nhân đồng tính nam hay nữ và không xét đến trường hợp phụ nữ sẽ thường cầu hôn với nam giới .Những vấn đề này đều dẫn đến những tình huống toán học khác hoàn toàn với vấn đề mà ta đang xét.

 

Hơn thế nữa, điều này liên quan trực tiếp đến việc mở rộng vấn đề sang những tình huống khi số lượng giữa đàn ông và phụ nữ khác nhau hoặc khi ta cho phép nối đa thê, khi những người trong một nhóm có thể được ghép với những người ở nhóm khác, tương tự như khi ta áp dụng những ngôi trường nhận vào nhiều hơn một học sinh.

 

Bằng một phép nối, chúng ta muốn nói về một phép tương đương một – với – một $x:M\to W$. Một phép nối $x$ là không ổn định khi có một người đàn ông $m$ và một người phụ nữ $w$ sao cho $m$ thích $w$ hơn $x\left( m \right)$ và $w$ thích $m$ hơn ${{x}^{-1}}\left( w \right)$ như hình minh họa bên dưới. Ngược lại phép nối sẽ được gọi là ổn định.

Ở bài viết vào năm 1962, Gale và Shapley chứng minh rằng sẽ luôn có một phép nối ổn định khi cho trước một tập ưu tiên của mỗi người đàn ông và phụ nữ. Hơn thế nữa, họ cho ta thấy được cách để tìm được phép nối ổn định bằng cách chấp nhận thuật toán chấp nhận trì hoãn, điều mà bây giờ ta sẽ cùng miêu tả.

 

Bước 1:

- Mọi người đàn ông đều cầu hôn với người phụ nữ đầu tiên trong danh sách những người mà họ cảm thấy thích.

- Tùy theo điều kiện mà một người phụ nữ sẽ nhận lời từ người đàn ông mà họ thấy có cảm tình hơn những người khác. Sau đó, họ sẽ từ chối những lời cầu hôn còn lại.

 

Bước k:

- Những người đàn ông chưa có điều kiện ngỏ lời cầu hôn một người phụ nữ mà anh ta thích nhất trong số người chưa từ chối anh.

- Những người phụ nữ sẽ xem xét ở bước này có người đàn ông nào khác ngỏ lời nữa không và bất kì người đàn ông nào trước đây cô ấy đã chấp nhận và chấp nhận lời cầu hôn từ người đàn ông mà cô ấy thích nhất, thậm chí điều đó cũng có nghĩa là từ chối người đàn ông trước đây cô ta đã chấp nhận.

 

Kết thúc: Quá trình này tiếp diễn cho đến khi mỗi người phụ nữ đã chính thức chấp nhận lời cầu hôn. Ở bước này, thuật toán kết thúc và $w=x\left( m \right)$ khi $w$ nhận $m$ làm bạn đời của mình.

Hãy cùng thực hiện dụng một ví dụ áp dụng thuật toán trên của Gale và Shapley để xem như thế nào. Giả sử có 4 người phụ nữ $\left\{ {{w}_{1}},{{w}_{2}},{{w}_{3}},{{w}_{4}} \right\}$ và 4 người đàn ông $\left\{ {{m}_{1}},~{{m}_{2}},~{{m}_{3}},~{{m}_{4}} \right\}$, thứ tự ưu tiên đã được chỉ ra ở phía dưới, theo thứ tự từ trên xuống.

 

Bước 1: Mỗi người đàn ông cầu hôn người phụ nữ họ thích nhất:

·         ${{m}_{1}}$ cầu hôn ${{w}_{1}}$

·         ${{m}_{2}}$ cầu hôn ${{w}_{1}}$

·         ${{m}_{3}}$ cầu hôn ${{w}_{2}}$

·         ${{m}_{4}}$ cầu hôn ${{w}_{4}}$

Nhận thấy  rằng ${{w}_{1}}$ nhận được 2 lời cầu hôn từ ${{m}_{1}}$ và ${{m}_{2}}$. Cô ấy chọn lời cầu hôn từ ${{m}_{1}}$ vì cô ấy thích ${{m}_{1}}$ hơn ${{m}_{2}}$.

Bước 2: Khi ${{m}_{2}}$ bị ${{w}_{1}}$ từ chối, anh ấy cầu hôn với người anh thích thứ hai là ${{w}_{4}}$.

Và bây giờ khi ${{w}_{4}}$ đã có hai lời cầu hôn từ ${{m}_{2}}$ và ${{m}_{4}}$, cô ấy đã chọn lời cầu hôn đến từ ${{m}_{2}}$.

Bước 3: ${{m}_{4}}$ cầu hôn ${{w}_{2}}$

Khi đó ${{w}_{2}}$ đã chấp nhận ${{m}_{4}}$ và từ chối ${{m}_{3}}$.

Bước 4:

Bước 5:

Bước 6:

Bây giờ chúng ta được ghép nối $x\left( {{m}_{1}} \right)={{w}_{3}},~x\left( {{m}_{2}} \right)={{w}_{4}},~x\left( {{m}_{3}} \right)={{w}_{1}},$ và $x\left( {{m}_{4}} \right)={{w}_{2}}$.

 

Chú ý rằng nếu $m$ cầu hôn $w$ tại một bước nào đó của thuật toán và $w'$ ở bước kế tiếp thì $m$ phải thích $w$ hơn $w'$. Điều này có nghĩa là $m$ không thể cầu hôn một người phụ nữ 2 lần vì sẽ làm cho thuật toán kết thúc.

Ngoài ra, chúng ta cũng thấy rằng $m$ cầu hôn với mỗi người phụ nữ anh ấy thích nhiều hơn so với người tình của anh ấy là $x\left( m \right)$ trước khi cuối cùng cầu hôn $x\left( m \right)$. Điều này có nghĩa là nếu $m$ thích $w$ hơn $x\left( m \right)$ thì $w$ sẽ từ chối $m$ tại một số bước của thuật toán.

 

Ngược lại, nếu $w$ chấp nhận $m$ tại một bước của thuật toán và $m'$ ở bước sau thì có nghĩa là $w$ thích $m'$ hơn $m$. Điều này có nghĩa là người đàn ông cầu hôn $w$ đã bị từ chối ở dòng dưới ${{x}^{-1}}\left( w \right)$ trong danh sách yêu thích của cô ấy.

Bây giờ có thể dễ dàng thấy rằng phép nối được cung cấp bởi thuật toán Gale – Shapley là ổn định. Giả sử người đàn ông $m$ thích người phụ nữ $w~$hơn người tình của $m$ là $x\left( m \right)$, tại một số bước của thuật toán Gale – Shapley, $m$ cầu hôn $w$. Vì $w$ không phải là người tình cuối cùng của $m$, cô ấy phải từ chối m, nghĩa là cô ấy thích ${{x}^{-1}}\left( w \right)$ hơn$~m$. Vì vậy thật không khả thi khi $m$ và $w$ thích nhau hơn người tình của họ.

Sự biến đổi hình học bao gồm sự di chuyển hình học từ vị trí này đến vị trí khác và nghiên cứu về đặc điểm tiêu biểu của sự di chuyển đó.
 
Sự biến đổi này gồm hai loại chính: hình nhận được có kích thước và hình dạng giống hình gốc (phép tịnh tiến, phép đối xứng trục và phép quay): loại thứ hai là có sự thay đổi về kích thước (hình thu được lớn hơn hình gốc)
 
Về phép tịnh tiến: chúng ta tịnh tiến mỗi điểm trên vật thể trong một khoảng cách cố định

Phép tịnh tiến

 
Phép đối xứng trục qua một đường cho chúng ta hình ảnh qua gương của hình gốc

Phép đối xứng trục

 
Phép quay: Chúng ta quay vật thể xung quanh một điểm. Như hình ví dụ bên dưới, tôi đã quay khóa Sol 40 độ theo chiều kim đồng hồ .

Phép quay

 
Bạn có thể kết hợp với bất kì sự biến đổi nào ở trên. Thậm chí có thể ánh xạ hình ảnh gốc lên chính nó (ví dụ: Quay vật thể 360 độ sẽ mang nó trở lại vị trí ban đầu).
 
Cuối cùng, phép vị tự bao gồm sự tăng lên hoặc giảm đi về kích thước của vật gốc. Ở ví dụ bên dưới một hệ số tỉ lệ 2 đã được áp dụng làm cho khóa Sol nhỏ ban đầu trở thành một khóa son lớn hơn. Trong  trường hợp này hình dạng giống nhau nhưng kích thước thay đổi.

.

Phép vị tự

 
Nghệ thuật Hồi giáo đã mở rộng ra việc sự dụng sự biến đổi hình học. Hoa văn lặp đi lặp lại là một ví dụ của phép tịnh tiến và chúng ta có thể nhìn thấy mỗi hoa văn ánh xạ chính nó nếu xoay 90 độ.
 

Đá lát Hồi giáo

 
SỰ BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC VÀ ÂM NHẠC
 
Ta có thể miêu tả nhiều kỹ thuật được sử dụng khi viết nhạc bằng cách sử dụng các khái niệm của biến đổi hình học. Ta xem xét ví dụ đơn giản:
Ba chú chuột mù
 
Có lẽ bạn đã nghe qua bản Three Blind Mice (tạm dịch: Ba chú chuột mù). Dưới đây là hai khung nhạc.

Điều xảy ra tiếp theo rất phổ biến trong âm nhạc – 3 nốt được lặp đi lặp lại.
 
Điều này giống như phép tịnh tiến trong hình học

Để có được các cụm từ tiếp theo các nhạc sĩ phải tịnh tiến lên hai nốt (từ E lên G). Trong âm nhạc điều này được gọi là một chuỗi, sau đó ông ta lặp đi lặp lại khung nhạc đó (tịnh tiến sang bên phải)

Ba chú chuột mù là một vòng, có nghĩa là một nhóm (màu xanh bên dưới) bắt đầu hát và sau 4 khung nhạc họ hát sang câu khác (“see how they run”) trong khi nhóm thứ hai (màu đỏ sẫm) “Three blind mice”.

Sau 4 khung nhạc nhóm hát tham gia hát mở đầu (tịnh tiến sang khung khác). Trong khi nhóm thứ 2 bắt đầu hát câu : “see how they run” thì nhóm đầu tiên bắt đầu hát :”they all run after the farmer’s wife”.
 
Vì vậy một vòng là một ví dụ về tác phẩm âm nhạc được sáng tác dựa trên sự tịnh tiến.
 
BÈ ĐUỔI VÀ PHỨC ĐIỆU
 
Khoảng 500 năm cho đến thời điểm của Mozart, bè đuổi (canon) và phức điệu (fugue) có thể nhe thấy trong nhà thờ và phòng hòa nhạc khắp châu Âu. Bè đuổi và phức điệu tương tự như tiếng vang trong giọng nói (hoặc dụng cụ) bắt đầu bằng cách riêng của mình và có một giọng hát cùng giai điệu tham gia chung, có thể có giọng cao hơn hoặc thấp hơn.
 
Trên thực tế tiếng vang là ví dụ của chuẩn đặc biệt.
 
BÈ ĐUỔI CUNG RÊ TRƯỞNG CỦA BACH
 
Đây là một bè đuổi hấp dẫn của Bach, được chơi xuôi, rồi ngược lại, sau đó lộn ngược, và rồi bắt đầu từ cả 2 đầu.
 
Trong video này âm nhạc được khéo léo đặt trên dải Mobius (bề mặt chỉ có một bên). Đây là một ví dụ tuyệt vời về sự tịnh tiến hình học trong âm nhạc.

PHỨC ĐIỆU LA THỨ
 
Gần đây tôi đã viết một phức điệu. Gia điệu lúc đầu là La thứ sau đó tịnh tiến sang Rê thứ (một phép dịch ngắn) nơi chúng tôi nghe chủ đề chính tiếp theo.
 
Một phức có nhiều “tự do” hơn tiếng vang ở chỗ chúng thay đổi chìa khóa, và đó là sự phát triển của chủ đề.
 
Fugue của tôi cùng phong cách với Bach ở hầu hết bản nhạc, nhưng có một chút Jazz của  Jacquef Loussier ở giữa.
 

Quý vị có thể nghe tại đây

 
THÔNG TIN BÊN LỀ
 
Dưới đây là một mã màu phức điệu Bach  (lưu ý phép hình học trong ví dụ này)

Và đây là Jacquef Loussier, nghệ sĩ piano người Pháp chơi Jazz theo phong cách Bach.

https://www.youtube.com/watch?v=14AhD3xdoMk 

 
Nguồn: http://www.intmath.c...n-geometry-5074    
 
Người dịch: Nguyễn Thành Long - Thành viên Chuyên san EXP

Có người hỏi rằng:

 

“Khi tôi tìm hiểu về Lý thuyết xác suất, tôi thấy phân phối Poisson khá thú vị. 

 

Khi tôi tìm cách lấy giá trị xác suất lớn nhất bằng vi phân, tôi không biết làm cách nào để lấy vi phân khi có số giai thừa trong công thức tính. Tìm kiếm trên Internet mang cho tôi giải pháp khá phức tạp, vì vậy tôi tạm dời nó lại.”

 

Đây là một vắn đề thú vị, bây giờ ta sẽ tìm cách giải quyết. Đầu tiên, ta cần một số kiến thức nền tảng.

 

I. TỔNG QUAN VỀ PHÂN PHỐI POISSON

 

Bất cứ khi nào có trường hợp liên quan đến các bệnh hiếm gặp (như bệnh Parkinson hay ung thư), việc đưa ra quan điểm và bảo vệ quan điểm được giải thích theo phân phối Poisson.

 

Phân phối Poisson chỉ được áp dụng nếu các biến cố trong câu hỏi là độc lập. Chúng ta cũng cần đếm số lượng các “thành công” (hoặc thất bại), do đó các biến cần thiết có liên quan phải là các số nguyên không âm.

 

Công thức cho phân phối xác suất Poisson có biến ngẫu nhiên $X$ là:

$$P\left( x \right)=~\frac{{{e}^{-\mu }}{{\mu }^{x}}}{x!}$$

Trong đó:

- $x$ là các số nguyên không âm (là 0,1,2,3,…)

- $e~=~2.71828\ldots $ là hằng số.

- $\mu $ = giá trị trung bình thành công trong khoảng thời gian, không gian nhất định.

 

Thông thường, công thức này sẽ tạo ra một phân phối như sau:

 

Xét ví dụ: Ta kiểm tra vết nứt trên bề mặt của 20 hợp kim nhôm, tần số các hợp kim có cùng vết nứt được cho trong bảng sau:

$$\begin{array}{|l|l|c|} \hline \textbf{Số vết nứt} & \textbf{Tần số}\\ \hline 0     & 4 \\ \hline 1     & 3  \\ \hline 2     & 5  \\ \hline  3     & 2 \\  \hline 4     & 4  \\  \hline 5     &  1 \\ \hline 6     & 1 \\ \hline \end{array}$$

 

Trong ví dụ này, chúng ta đã có một bảng ghi rõ số vết nứt được tìm thấy khi sản xuất và ta cần xác định xác suất cần thiết tìm kiếm vết nứt trong quá trình sản xuất trong tương lai.

 

Giá trị trung bình là $\mu $ = 2.3, áp dụng công thức trên cho $x=0,~x=1,~x=2,~\ldots ~$chúng ta thu được môt biểu đồ xác suất (biểu đồ cột, không có đường cong liên tục)

II. PHÂN PHỐI POISSON CHO CÁC BIẾN LIÊN TỤC

 

Theo định nghĩa, $x~$trong công thức Poisson là rời rạc vì chúng ta cần phải đếm số lượng các vết nứt  (hoặc các trường hợp bệnh tật hoặc bất cứ điều gì).

 

Vì vậy chúng ta không thể tìm đạo hàm thực sự của phân phối Poisson, vì phép vi phân chỉ có tác dụng cho hàm số liên tục. Ngoài ra, $x$! ($x$ giai thừa) chỉ có ý nghĩa nếu $x$ là một số nguyên không âm.

 

Tuy nhiên, ta hãy xem đây là một bài tập giả thuyết rằng $x!$ vẫn áp dụng được cho số lẻ.

 

Trong một bài viết cho trước, tôi đã viết về hàm số Gamma cho chúng ta các giá trị liên tục cho $x$!, nghĩa là chúng ta có thể tìm thấy giá trị cho biểu thức như 3.5! (Xem bài viết "Giai thừa và hàm Gamma" tại đây).

 

Bây giờ để tìm các đạo hàm của công thức

                                 $$P\left( x \right)=~\frac{{{e}^{-\mu }}{{\mu }^{x}}}{x!}$$

chúng ta cần  tìm đạo hàm của $x$!

 

Nhắc lại hàm Gamma dưới đây, dùng để tính $x$!:

$$\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }\left( x+1 \right)=~\underset{0}{\overset{\infty }{\mathop \int }}\,{{e}^{-t}}{{t}^{x}}dt$$

Đạo hàm của hàm Gamma được định nghĩa là:

$$\frac{d}{dx}\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }\left( x+1 \right)=~\text{ }\!\!\Psi\!\!\text{ }\left( x+1 \right)\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ }\left( x+1 \right)$$

Và hàm Psi ($\text{ }\!\!\Psi\!\!\text{ })$ có ý nghĩa gì? Hàm này được định nghĩa là “đạo hàm logarithm của hàm Gamma”. Đây là một định nghĩa khá lòng vòng và không quá hữu ích, vì vậy hãy xem những gì chúng ta có thể tìm ra bằng cách sử dụng đồ thị.

 

III. ĐỒ THỊ CỦA HÀM POISSON

 

 Hãy tiếp tục giả sử chúng ta có một biến $x$ liên tục và vẽ đồ thị phân phối Poisson

                                 $$P\left( x \right)=~\frac{{{e}^{-\mu }}{{\mu }^{x}}}{x!}$$

Đây sẽ là một đường cong liên tục như sau :

Tôi đã bao gồm các trường hợp rời rạc (các cột chữ nhật màu đen) để so sánh. Bạn có thể vẽ đọ thị này bằng cách sử dụng Wodfram | Alpha. Bạn có thể nhập dữ liệu như sau (e^-2.3)(2.3^x)/x! from 0 to 10.)

 

Mục đích của chúng ta là tìm giá trị của $x$ mà tại đó sẽ cho giá trị lớn nhất của xác suất $P\left( X \right).$ Chúng ta có thể nhìn thấy giá trị đó ít hơn so với $x~=~2$.

 

Chúng ta có thể vẽ đồ thị đạo hàm của phân phối Poisson bằng cách sử dụng hệ thống đại số máy tính như dưới đây. Các giá trị chúng ta cần nằm trên trục $X$ trên hệ trục tọa độ.

Bạn cũng có thể lấy Wolfram|Alpha để làm việc này cho bạn:

d\dx((e^-2.3)(2.3^x!) from 0 to 3

Phóng to ở trên, phần gần $x$ = 2, ta có:

Từ hình trên chúng ta có thể thấy cực đại sẽ xảy ra khi $x~=~1.78223$.

 

Thay thế giá trị này vào biểu thức Poisson cho chúng ta giá trị cực đại:

           $$P\left( 1.78233 \right)=\frac{{{e}^{-2.3}}{{2.3}^{1.78223}}}{1.78223!}=0.267831$$

 

IV. KẾT LUẬN

 

Kết quả chúng ta trả khớp với đồ thị của phân phối Poisson “liên tục” ở trên. Có nghĩa là chúng ta đã tìm thấy chính xác giá trị “cực đại”. Chúng ta đã làm được điều đó bằng cách sử dụng các phương tiện đồ họa vì phương pháp tiếp cận đại số có vẻ mù mờ.

 

Tuy nhiên, trong khi với ví dụ này, chúng ta đã tìm thấy một giả thuyết cho giá trị “cực đại” của phân phối Poisson, giá trị này không hợp lệ vì phân phối Poisson chỉ áp dụng cho các biến số rời rạc, đếm được.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...stribution-4327

 

Người dịch: Nguyễn Hoàng Sơn - Thành viên Chuyên san EXP

Toán chịu danh tiếng xấu trong cuộc khủng hoảng kinh tế tài chính toàn cầu, đặc biệt là khi có một số người tin vào sự đầu tư của họ có rủi ro thấp. Mô hình toán học phức tạp đã được sử dụng để qua mắt nhiều quan chức Chính phủ.

 

Hầu hết các khóa học toán học không có (hoặc chỉ giới hạn) các môn toán tài chính, đó là lý do hầu hết mọi người cho đến ngày nay không hiểu tại sao khủng hoảng kinh tế tài chính toàn cầu xảy ra.

 

Trong bài viết này, chúng tôi tìm hiểu về một trong những mô hình tài chính nổi tiếng nhất. Mô hình này khá thú vị vì nó liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học.

Mô phỏng giá chứng khoán của các công ty nhỏ, vừa, lớn

 

I. CÂU CHUYỆN ĐÁNG CHÚ Ý VỀ RỦI RO

 

Gần đây tôi đọc cuốn sách của Peter L. Bernstein có tên Against the Gods: The Remarkable Story of Risk (tạm dịch: Chống lại Chúa Trời: Câu chuyện đáng chú ý về rủi ro). Câu chuyện này đưa ra một góc nhìn lịch sử thú vị về sự phát triển hiểu biết của chúng ta về xác suất và rủi ro (đặc biệt là rủi ro kinh tế), và toán học đằng sau sự hiểu biết này.

 

Tôi đặc biệt thích đọc những đóng góp của Cardano, Pascal, Fermat, Graunt, Bernoulli, De Moivre, Bayes, Laplace, Galton, Keynes, và von Neumann. Những cái tên này xuất hiện trên khắp các sách giáo khoa toán học, nhưng chúng ta hiếm khi có được một cái nhìn bao quát vấn đề mà họ đã cố gắng giải quyết cũng như sự ra đời của định lý và kỹ thuật của họ. (Đây là một bản sao tóm tắt của cuốn sách, xem tại http://www.ams.org/n...ev-zabell.pdf).

 

Against the Gods được viết vào năm 1996, ngay trước khi cuộc khủng hoảng tài chính châu Á vào giữa năm 1997, và một thập kỷ trước khi cuộc khủng hoảng tài chính toàn cầu năm 2008. Trong 2 sự kiện đó, cuốn sách này có giá trị trong việc cố gắng tìm ra lý do tại sao các khủng hoảng xảy ra, do đó họ có thể ngăn chặn thảm họa tương tự trong tương lai.

 

Vì vậy , làm thế nào để chúng tôi xác định những rủi ro khi đầu tư?

 

II. MÔ HÌNH BLACK SCHOLES

 

Một trong những lý thuyết có ảnh hưởng nhất đối với việc xác định giá trị hợp lý của một công cụ tài chính là mô hình Back Scholes. Điều này cho phép chúng tôi quyết định tùy chọn giá phải trả (quyền mua một cái gì đó trong tương lai với một mức giá cụ thể).

 

Quyền lựa chọn đã được dùng cả trăm năm, nhất là mảng rủi ro trong nông nghiệp. Người nông dân muốn trả tiền ít nhất để làm cánh đồng và người mua hàng (có thể là công ty xay bột) muốn bản đảm nguồn cung có một mức giá nhất định.

 

Quyền lựa chọn đã được hình thành từ thời trao đổi gạo Dojima ở Nhật Bản vào thế kỷ 18. Các chiến binh samurai và daimyo (lãnh chúa phong kiến) ban đầu được trả gạo, không phải tiền mặt. Khi tiền giấy trở nên quan trọng hơn, samurai thương xót tỷ giá gạo. Do đó họ đã phát triển một hệ thống giao dịch có lựa chọn và vì vậy họ có thể làm giảm rủi ro kinh doanh.

 

Chủ đề này là khá phù hợp hiện nay, khi lạm phát giá lương thực lại tăng một lần nữa (lần cuối cùng là vào năm 2007)."Tương lai" cho các sản phẩm nông nghiệp đang gặp biến động cao, và người mua và người bán tích trữ theo kỳ hạn suy đoán về biến động giá trong tương lai. Một số trong số này là khá vô đạo đức vì họ làm cho giá lương thực tăng cao, gây sự buồn rầu đáng kể, nhất là cho những người nghèo nhất và dễ bị tổn thương.

 

III. PHÉP LỰA CHỌN HOẠT ĐỘNG NHƯ THẾ NÀO?

 

Dưới đây là một lời giải thích đơn giản về cách lựa chọn hoạt động: Quyền lựa chọn (xem tại: https://en.wikipedia...i/Call_option).

 

Một bản tóm tắt ngắn của bài viết:

- Chris là một nhà đầu tư và ông hy vọng giá cổ phiếu của công ty ABC (hiện nay là 45 đô la) sẽ sớm đi lên.

- Chris trả một lựa chọn để mua cổ phiếu này trong tương lai là 50 đô la (nếu giá cổ phiếu tăng rất nhiều tại thời điểm đó, Chris sẽ có rất nhiều tiền)

- Ông trả 5 đô la cho mỗi lựa chọn mua cổ phiếu, vậy số tiền ông mua 100 cổ phiếu là 500 đô la .

- Nếu giá cổ phiếu đi lên đến 60 đô la mỗi cổ phiếu, ông rất vui mừng vì ông có thể đi trước và thực sự mua cổ phần vật lý với mức giá trước đây là 50 đô la cho mỗi cổ phiếu. Ông giao dịch thu được 500 đô la. (Ông đã tăng gấp đôi tiền của mình.)

 

Thách thức đối với cả hai bên là xác định giá trị của quyền lưa chọn. Giá trị này sẽ bị ảnh hưởng bởi nhiều thứ, bao gồm:

- Lãi suất hiện tại (tôi có thể kiếm được nhiều tiền hơn khi gửi trong ngân hàng?)

- Sự biến động của giá chứng khoán

- Thời gian

- Tốc độ trôi (tốc độ thay đổi trung bình)

 

IV. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH BLACK SCHOLES

 

Dưới đây là một cái nhìn tổng quan khá rộng lớn của toán học đằng sau mô hình Black Scholes (xem tại http://en.wikipedia....Black–Scholes).Bài viết này trình bày cách sử dụng các mô hình:

- Lãi suất từ ​​tăng trưởng theo cấp số nhân, bao gồm cả lãi kép liên tục

- Logarithm tự nhiên

- Giới hạn

- Tích phân, vi phân riêng và phương trình vi phân trong vi tích phân.

- Đường cong bình thường tiêu chuẩn từ số liệu thống kê

 

V. MÔ HÌNH BLACK SCHOLES - MỘT VÍ DỤ

 

Dưới đây là một ví dụ về mô hình Black Scholes (từ sách RiskGlossary) hoạt động. Tôi đã thực hiện những thay đổi nhỏ để làm cho ví dụ dễ đọc hơn:

 

Hãy xem xét một lựa chọn trên 100 cổ phần của một cổ phiếu trong công ty ABC. Các lưa chọn là 55 đô la và hết hạn trong 0,34 năm. ABC được giao dịch ở mức 56,25 đô la và có 28% biến động. Lãi suất phi rủi ro kép liên tục là 2,85%. Giá trị thị trường của lưa chọn trên mỗi cổ phiếu ABC là 4,56 đô la. Kể từ khi có người đặt 100 cổ phiếu, tổng giá trị cổ phiếu là 456 đô la.

 

Vì vậy, bằng cách trả 456 đô la, các nhà đầu tư có được quyền mua 100 cổ phiếu với giá 55 đô la. Tất nhiên, người ta hy vọng giá cổ phiếu của công ty ABC tăng lên để đảm bảo lợi nhuận tốt. Nếu giá cổ phiếu giảm xuống, họ có thể ra khỏi chỗ giao dịch này nhưng mất 456 đô la.

 

VI. MÔ HÌNH BLACK SCHOLES - HẠN CHẾ

 

Một trong những vấn đề dẫn chúng ta vào cuộc khủng hoảng tài chính toàn cầu là nhiều ngân hàng, nhà đầu tư và các chính phủ chấp nhận mù quáng những mô hình như vậy. Bài viết trên Wikipedia đề cập đến các cảnh báo quan trọng sau đây:

 

[Mô hình Back Sholes] được sử dụng rộng rãi như là một xấp xỉ hữu ích, nhưng khi áp dụng đòi hỏi sự hiểu biết hạn chế của mô hình này – Sử dụng mô hình này một cách mù quáng cho thấy nhiều người sử dụng gặp rủi ro bất ngờ.

 

Trong số những hạn chế, đáng kể nhất là:

- Đánh giá thấp các biến động cực độ, sinh rủi ro đuôi, có thể bao hàm lựa chọn hết tiền.

- Các giả định tức thời, giao dịch với chi phí ít, thanh khoản rủi ro mềm, nhưng khó khăn để bảo hiểm;

- Các giả định của một quá trình cố định, rủi ro biến động mềm, có thể bao hàm với những biến động bảo hiểm.

- Các giả thiết về thời gian liên tục và giao dịch liên tục, rủi ro khoảng cách mềm có thể bao hàm  với bảo hiểm Gamma.

["Mềm" là một kỹ thuật hợp pháp cho việc giảm biến động giá. Các hãng hàng không luôn làm điều này với giá của nhiên liệu hàng không, vì họ rất ngại giá cả gia tăng và biến động tiền tệ.]

 

VII. LỜI KẾT

 

Mô hình Black Scholes là một ứng dụng thực tế của Toán học tại một trong những mảng quan trọng nhất đối với tất cả chúng ta - toán tài chính.

Như bất kỳ nhà tư vấn đầu tư giỏi sẽ cho bạn biết, đừng đặt tất cả trứng vào một giỏ và thị trường không luôn luôn đi lên.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...es-formula-4974

 

Người dịch: Thành viên Chuyên san EXP

Chúng ta có sự hiểu biết rất mơ hồ về câu hỏi vô hạn là gì. Vô hạn là một điều đặc trưng cho những sự việc không bao giờ kết thúc: một vũ trụ bất tận, hoặc một danh sách không bao giờ kết thúc, cũng giống như danh sách các số tự nhiên 1, 2, 3, 4,... Bạn đếm trong bao lâu không thành vấn đề, nhưng bạn sẽ không bao giờ đưa ra được điểm kết thúc của các con số, và bạn cũng sẽ không thể đưa ra điểm kết thúc của một vũ trụ vô tận, ngay cả khi bạn đi du lịch bằng những con tàu vũ trụ nhanh nhất. Các loại vô hạn trên được nhà toán học Hy Lạp cổ đại Aristotle gọi là vô hạn tiềm năng. Vô hạn chắc chắn tồn tại nhưng bạn sẽ không bao giờ gặp nó theo kiểu mặt đối mặt. Bạn sẽ không thể nào đi đến được nơi kết thúc của những danh sách rộng lớn hoặc không bao giờ kết thúc.

 

Aristotle cũng suy tư về một loại vô hạn khác gọi là vô hạn thực tại, là một cái gì đó mà bạn có thể đo lường được, như biểu thị nhiệt độ của một đối tượng ở một địa điểm và thời gian cụ thể. Chưa từng có ai nhìn thấy vô hạn thực tại, và quả thật Aristotle cũng đã nghĩ rằng vô hạn thực tại không tồn tại trong thế giới vật chất. Cho đến ngày nay các nhà vật lý vẫn không biết liệu ông ấy đã đúng hay sai.

 

I. HÃY THẬN TRỌNG KHI ĐẾM.

 

Vì vậy, chúng ta hãy tìm hiểu về vô hạn tiềm năng, những đặc trưng cho một điều gì đó bất tận. Chúng ta đã đề cập đến các con số tự nhiên, nhưng ngay bây giờ hãy nghĩ về một đường thẳng dài vô hạn, một đường mà chỉ bắt đầu ngay phía trước bạn và kéo dài ra mãi mãi, thẳng về phía trước. Liệu vô hạn này có tương tự như vô hạn được biểu diễn bởi các số tự nhiên?.

Bằng trực giác, bạn có thể nghĩ rằng hai loại này là khác nhau, những con số tự nhiên thì tách rời, tồn tại riêng biệt, trong khi các đường tạo thành một trường liên tục. Bạn có thể đặt các số tự nhiên dọc theo đường đi của mình, ở khoảng cách 1 m. Điều này tạo ra cảm giác rằng sẽ có cách nào đó mà sự vô hạn của đường thẳng nhiều hơn so với sự vô hạn của các số tự nhiên vì các đoạn thẳng có thể lấp đầy khoảng trống giữa các con số.

 

Các nhà toán học đã đồng ý với trực giác của mình. Họ phân biệt giữa hai khái niệm vô hạn đếm được và vô hạn không đếm được. Các số tự nhiên tạo thành một dải vô hạn đếm được và điều đó tạo ra cảm giác giống như bạn có thể đếm thông qua tất cả chúng nếu bạn có một lượng thời gian vô hạn. Một nhóm có số người nhiều vô tận cũng đủ điều kiện để xem như là vô hạn đếm được. Đó là bởi vì với một lượng thời gian vô hạn, bạn có thể tạo ra một danh sách gồm tất cả các tên, mỗi tên lấy một vị trí cho riêng mình trong danh sách và sau đó bạn có thể đếm thông qua họ, cũng giống như bạn có thể đếm thông qua các số tự nhiên. Nói chung, một bộ sưu tập có vô hạn các đối tượng sẽ tạo thành một vô cùng đếm được nếu bạn có thể liệt kê từng đối tượng một, với mỗi đối tượng sẽ có một vị trí trong danh sách và với mỗi vị trí trong danh sách sẽ có một đối tượng.

 

Thế còn đường thẳng dài vô hạn? Đường thẳng cũng được tạo thành bởi vô hạn đối tượng. Trong trường hợp này, các đối tượng là các điểm trên đường thẳng. Nếu bạn tưởng tượng đường này như một thước đo độ dài vô hạn thì mỗi điểm đi kèm với một con số. Điểm bắt đầu của đường thẳng là số 0, điểm nửa mét là số 0.5 và cứ thế (bộ sưu tập các con số bạn nhận được từ thước đo được gọi là các số thực dương). Liệu bạn có thể tạo ra danh sách của những con số để chứng tỏ rằng các con số này cũng tạo ra một dải vô hạn đếm được?

Một cách giải đó là ta có thể đặt những con số theo kích cỡ, nhưng điều đó sẽ nhanh chóng làm bạn gặp rắc rối. Rõ ràng số đầu tiên phải là số 0, và bạn nghĩ gì về số thứ 2?. Bạn có thể thử 0.1 nhưng sau đó 0.01 lại nhỏ hơn, do đó 0.01 nên đứng trước 0.1. Nhưng còn 0.001 thì sao? Đối với mỗi số, bạn có thể chỉ ra rằng số ở vị trí thứ 2 trong danh sách nhỏ hơn số đó (đơn giản bạn chỉ cần chèn thêm một số 0 vào sau dấu thập phân).  Vì vậy, việc tạo ra danh sách những con số đi dọc theo thước đo bằng kích cỡ là vô vọng.

 

Có thể có cách nào khác để liệt kê chúng? Câu trả lời là không. Đã có một cuộc tranh luận thẳng thắng cho ta thấy rằng bất kì danh sách các số thực dương nào, chắc chắn cũng sẽ bỏ lỡ mất ít nhất một số thực dương khác. Bạn không bao giờ có thể làm cho danh sách đầy đủ được. Điều này chứng tỏ rằng sự vô hạn của đường thẳng vô hạn (hoặc tương đương là các số thực dương,...) là sự vô hạn không đếm được.

 

II. LOẠI VÔ HẠN NÀO LỚN HƠN?

 

Bạn nghĩ gì về ý tưởng cho rằng sự vô hạn của các đường vô hạn nào đó là “lớn hơn” so với sự vô hạn của các số tự nhiên? Nếu bạn cảm thấy mệt mỏi khi đếm, có một cách để so sánh về kích thước của bộ sưu tập hữu hạn nào đó, đó là bạn hãy kiểm tra xem các phần tử của mỗi bộ sưu tập có khớp nhau không. Hãy nghĩ về số lượng ghế và số lượng người, nếu mỗi người đều có một ghế và không còn ghế dư lại, khi đó bạn biết rằng số lượng ghế bằng với số lượng người. Nếu có ghế dư thì bạn sẽ biết rằng số lượng ghế nhiều hơn số lượng người, và nếu có một số người còn đang đứng, bạn sẽ biết rằng số lượng người nhiều hơn so với số lượng ghế.

 

Bạn có thể thêm ý tưởng này vào trong bộ sưu tập vô hạn của các đối tượng. Nếu bạn có thể kết hợp chính xác các đối tượng trong bộ sưu tập A với các đối tượng trong bộ sưu tập B, với mọi đối tượng trong A tương ứng với chính xác một đối tượng trong B và ngược lại thì ta nói rằng hai bộ sưu tập có cùng kích thước, trong toán học gọi là số các phần tử trong cùng một tập hợp. Chúng ta đã nhìn thấy những điều này ở một nhóm người vô hạn được nói đến ở phía trên. Bằng cách liệt kê từng cái một, chúng ta đã thực sự kết hợp chúng một cách chính xác với những con số tự nhiên, với mỗi người có đúng một số tự nhiên (vị trí của mình trong danh sách) và với mỗi số tự nhiên có chính xác một người (người đã chiếm lĩnh vị trí này trong danh sách được đưa ra bởi những con số tự nhiên). Đây là lý do tại sao chúng ta nói rằng các nhóm người và các số tự nhiên đại diện cho cùng một loại vô hạn - vô hạn đếm được.

 

Trở lại với các điểm trên những đường thẳng dài vô hạn. Dù thế nào, đường thẳng vẫn chỉ ra rằng với bất cứ một nỗ lực nào để liệt kê các điểm (để tìm chính xác với các con số tự nhiên), ta vẫn sẽ bỏ lỡ ít nhất là một điểm. Đây là lý do tại sao chúng ta nói rằng số các phần tử trong một tập hợp của các dòng (vô hạn không đếm được) lớn hơn số các phần tử trong một tập hợp của các số tự nhiên (vô hạn đếm được).

 

III. HỖN LOẠN ĐẾM ĐƯỢC

 

Bằng khả năng trực giác, ta thấy vô hạn không đếm được có vẻ khó sử dụng (kể cả trong toán học) và đòi hỏi sự khéo léo, tinh tế nhiều hơn so với vô hạn đếm được. Nhưng điều này không có nghĩa rằng vô hạn đếm được là dễ hiểu. Ví dụ, hãy nghĩ về tất cả các số chẵn 2, 4, 6, 8, .... Có nhiều vô hạn, nhưng số các phần tử trong một tập hợp (kích cỡ) vô hạn ấy như thế nào so với tất cả các số tự nhiên? Bẳng một nửa?

 

Câu trả lời là không. Chúng tôi cho rằng hai bộ sưu tập vô hạn được xem là có cùng số các phần tử trong một tập hợp nếu mỗi đối tượng trong bộ sưu tập này có thể kết hợp chính xác với mỗi đối tượng trong tập kia, khá dễ dàng để kết hợp chính xác từng số chẵn với từng số tự nhiên.

                                                                                             $$1\to 2$$

                                                                                             $$2\to 4$$

                                                                                             $$3\to 6$$

                                                                                             $$4\to 8$$

Do đó, số các phần tử trong một tập hợp của các số chẵn cũng sẽ giống như số các phần tử trong một tập hợp của các số tự nhiên. Nếu điều này dường như nghe có vẻ kì lạ thì có lẽ kết quả tiếp theo thậm chí còn kì lạ hơn nữa. Ta có thể chứng tỏ rằng tất cả các số hữu tỉ (có nghĩa là tất cả các phân số như 1/2 hay 5/6) cũng có thể được liệt kê, điều đó có nghĩa là chúng cũng có thể kết hợp chính xác với các số tự nhiên. Vì vậy, mặc dù sự xuất hiện của các phân số nhiều hơn so với các số tự nhiên (có vô hạn các phân số giữa hai số tự nhiên liên tiếp bất kì) thì hai bộ số này đều có cùng số phần tử trong một tập hợp.

 

Vào thế kỷ 17, Galileo Galilei lỗi lạc đã khám phá ra những sự việc lạ thường về vô hạn và trong tư tưởng vô hạn cũng rất kì lạ. Điều này đã đưa ông ra khỏi những suy nghĩ về vô hạn, và tuyên bố rằng “chúng ta không thể nói số lượng vô hạn này lớn hơn hoặc nhỏ hơn hoặc bằng với số vô hạn kia”. Hơn 200 năm sau, nhà toán học Georg Cantor đã chọn lọc những ý tưởng trên thêm một lần nữa. Không nản lòng với sự kì quái của vô hạn và đi xa hơn nữa, ông đã khám phá ra toàn bộ tháp vô hạn, mỗi một cái lại lớn hơn những cái khác. Tính vô hạn của những số tự nhiên và tính vô hạn của các đường thẳng thỏa tính chất của tháp này.

Georg Cantor

Tất cả những việc này điều liên quan đến vô hạn tiềm năng, những danh sách rộng lớn và không bao giờ kết thúc. Điều gì sẽ xảy ra với vô hạn thực tế? Và bất kì những loại vô hạn nào liệu có thực sự tồn tại trong thế giới vật chất? 

 

Nguồn: https://plus.maths.o...t/what-infinity

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.

Cổng hình vòm ở Si Loius, Mo, Mỹ, nằm trong Đài tưởng niện mở Quốc gia Jefferson.

 

Hình của cái cổng có chắc chắn là hình Pararbol?

Chúng ta sẽ mô hình lại cổng vòm sử dụng một pararbol và xem cổng này có vừa với parabol không.

 

Tôi vẽ một tập các trục $x-y$ và một lưới vuông lên bức ảnh.

 

Tiếp theo, tôi xác định các giá trị của $y$ đối với $x$ từ -3 đến 3. Chúng ta có thể thấy những điểm kết quả (màu đỏ tươi) ở hình dưới đây:

Vì vậy, mục tiêu của tôi là tìm đường pararbol đi qua trục tọa độ $\left( 0,0 \right)$ và các điểm $\left( -3,-4 \right)$ và $\left( -3,4 \right)$. ( Tôi chọn cách này để đi thuận tiện).

 

Tôi biết phương trình của pararbol sẽ có dấu âm vì đồ thị bị đảo ngược (lên- xuống).

 

Tôi có thể tìm thấy phương trình cho đường pararbol này theo nhiều cách khác nhau, ví dụ như sử dụng phương trình tổng quát của một parabol:
$$y=a{{x}^{2}}+bx+c$$
Chúng ta có 3 điểm với 3 ẩn số, vì vậy chúng ta chỉ việc thay chúng vào:

 

Thay $\left( 0,0 \right)$, ta được:
$$0=0+0+c$$
Vì thế $c=0$

 

Tiếp theo, thay $\left( -3,-4 \right)$ và $\left( 3,-4 \right)$ để có hai phương trình với hai ẩn:
$$-4=9a-3b~\left( 1 \right)$$
$$-4=9a+3b~\left( 2 \right)$$
Giải $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có:
$$-8=18a$$
Vì thế
$$a=-\frac{4}{9}$$
Thay ngược lại vào $\left( 1 \right)$ hoặc $\left( 2 \right)$ ta có:
$$b=0$$
Vì thế đường pararbol chúng ta tìm có dạng là:
$$y=-\frac{4}{9}{{x}^{2}}$$
Dưới đây là đồ thị pararbol này:

Parabol này đi qua trục tọa độ và những điểm $\left( -3,-4 \right)$ và $\left( 3,-4 \right)$. Nhưng liệu hình này có phù hợp với hình cổng vòm?

 

Dưới đây là Pararbol bên cạnh những điểm chúng ta tìm thấy trên (khi $x=-3~,-2,~-1~,0~,1~,2,3$ ).

Pararbol của chúng ta không đi qua những điểm khác (đó là $x=-2,-1,1,2$).

 

So sánh pararbol của chúng ta với bưc ảnh, chúng ta có thể thấy hình dạng của vòm tròn hoàn toàn không phải thực sự là một pararbol (đặc biệt là gần mực nước ở phía dưới).

ĐƯỜNG CONG CẦN THIẾT KHÁC

 

Ero Bariren, người Phần Lan – Mĩ thiết kế cổng vòm, biết rằng một pararbol không phải là hình dáng tốt nhất cho một cái vòm .

 

Những cái vòm đã được sử dụng xuyên suốt lịch sử khi xây cầu và làm mái nhà vì chúng có khả năng hướng lực đi xuống chứ không phải đi ra ngoài, do đó làm giảm nguy cơ sập đổ.

 

Một dạng hình vòm thường được sử dụng là dây xích.

 

Dây xích là hình tạo bởi một chuỗi được treo tự do giữa hai vật đỡ.

 

DÂY XÍCH

 

Dây xích là một đường cong thú vị. Đó là mức trung bình của các giá trị y của một đường cong theo hàm số mũ giảm và một đường cong đã làm tăng.

 

Một ví dụ đơn giản là:
$$y=\frac{{{e}^{-x}}+{{e}^{x}}}{2}$$
Phần đầu của tử số, ${{e}^{-x}}$ , giảm theo hàm mũ khi $x$ tăng, trong khi phần tử thứ hai, ${{e}^{x}}$ tăng theo hàm mũ khi $x$ tăng.

 

Dưới đây là hai đường cong trên cùng một trục:

Chúng ta cộng giá trị $y$ của hai đường cong số mũ với nhau và chia cho $2$ (nói cách khác, ta cần tìm giá trị trung bình của $y$) cho ta một dây xích đơn giản (màu đen).

Bây giờ hãy so sánh hình dạng của một dây xích (màu đen) với hình dáng của một parabol (màu đỏ tươi).

Chúng ta thấy 2 đồ thị không hoàn toàn giống nhau

 

[NGOÀI LỀ] HÀM COSH

 

Có một cách khác để viết các phương trình ta đang thảo luận.
$$y=\frac{{{e}^{-x}}+{{e}^{x}}}{2}$$
Đây là ví dụ về một hàm hypebolic và bạn sẽ gặp ký hiệu cosh sau. Hàm này được gọi là “cosh” vì trong một số trường hợp hàm được dùng tương tự với hàm "cos" trong lượng giác. Từ "h" trong “ cosh” xuất phát từ "hyperbolic".

 

Chúng ta có thể viết:
$$y=\cosh x=\frac{{{e}^{-x}}+{{e}^{x}}}{2}$$
Trở lại chủ đề.

 

DÂY XÍCH PHẲNG
Bây giờ, một dây xích là hình dạng chúng ta thấy khi có một chuỗi chiều dày không đổi treo giữa 2 điểm cố định. (Từ "dây xích" cùng một từ như " chuỗi ").

 

Nhưng nếu chuỗi mỏng hơn ở giữa, chuỗi có hình dáng hơi khác (phẳng hơn). Do cổng vòm mỏng ở đầu hơn ở gần chân, các kiến trúc sư đã chọn một dây xích phẳng với phương trình có dạng:
$$y=A\frac{{{e}^{-x/B}}+{{e}^{x/B}}}{2}$$
Bây giờ, trong ví dụ này sẽ có dấu âm ở phía trước của phương trình (vì dây xích bị đảo ngược) và chúng tôi cũng sẽ cần phải thêm $A$ vào phương trình để các đường cong đi qua $\left( 0,0 \right)$ (nếu không, phương trình sẽ đi qua $\left( ~0,~-~A \right)$).
Vì vậy, chúng tôi đang tìm kiếm một phương trình có dạng sau đây đi qua $\left( -3,~-4 \right)$ và $\left( -2,~-1,42 \right)$:
$$y=A\frac{{{e}^{-x/B}}+{{e}^{x/B}}}{2}+A$$
Sử dụng máy tính, chúng ta giải hệ phương trình và có được phương trình sau:
$$y=-1.03\frac{{{e}^{-\frac{x}{1.322}}}+{{e}^{\frac{x}{1.322}}}}{2}+1.03$$
Dưới đây là đồ thị của đường cong chồng trên cổng hình vòm (màu xanh nhạt). Parabol chúng ta tìm thấy trước đó (màu đỏ sậm) dùng để so sánh. Chúng ta có thể nhìn thấy hình dây xích này đi theo hình dạng của cây cầu khá sát, đặc biệt là ở phía dưới.

LỜI KẾT
Bài viết này cho thấy vổng hình vòm không phải là một parabol. Thay vào đó, cổng có hình dạng của một dây xích phẳng, đó là hình dạng chúng ta thấy nếu chúng ta treo một chuỗi mỏng ở giữa hai điểm cố định.

 

Chúng ta cũng thấy cách mô hình hóa các đường cong để tìm ra phương trình đại diện cho đường cong.

 

Nguồn: http://www.intmath.c...a-parabola-4306

 

Bài viết do thành viên Chuyên san EXP dịch.