Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


hoangtrong2305

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 26-10-2019 - 14:17
****-

Chủ đề của tôi gửi

Phương pháp d'Hondt trong bầu cử

19-10-2019 - 23:24

Nghị viện Châu Âu tổ chức cuộc bầu cử vào tháng 5/2019 để bầu đại diện của các quốc gia trong châu Âu cũng như của các đảng phái, dựa vào tỉ lệ của kết quả trúng cử. Ý tưởng để xác định số ghế đại diện của 1 đảng đó là nếu đảng có $x\text{%}$ tổng số phiếu bầu thì đảng sẽ lấy $x\text{%}$ ghế. Tuy nhiên, cách lấy tỉ lệ $\text{%}$ này đôi khi dẫn đến kết quả không phải là số nguyên dương, ví dụ nếu như ta có $600000$ cử tri bầu chọn ra $100$ nghị sĩ đến từ $3$ đảng, kết quả mỗi đảng có $200000$ phiếu bầu, thì mỗi đảng sẽ lấy $1/3$ trong tổng số ghế, tức $100/3 \approx 33.33$ ghế, điều này là phi thực tế.

 

File gửi kèm  flags.jpg   77.79K   3 Số lần tải

 

 

Để giải quyết vần để này, ta cần một phương pháp để chuyển đổi tỉ lệ phần trăm sang số ghế. Trong cuộc bầu cử Nghị viện châu Âu 2019, Nghị viện dùng phương pháp d'Hondt, ý tưởng của phương pháp này đó là một ghế trong Nghị viện có giá trị tương ứng với một số lượng phiếu bầu, mỗi đảng có thể "mua" nhiều ghế dựa vào giá trị số phiếu bầu họ có, nếu bầu theo cách chia tỉ lệ rồi làm tròn sẽ xảy ra hiện tượng một đảng nhận ít (hoặc nhiều) ghế hơn giá trị phiếu họ có, điều này hiển nhiên thiếu công bằng, nếu một đảng "mua" hết ghế, tức trong Nghị viện không được thừa ghế trống nào cả.

 

Xác định giá trị thích hợp cho 1 ghế trong Nghị viện có vẻ như khá phức tạp, nhưng ta có một quy trình lặp có thể giúp ta có được giá trị mong muốn. Ta sẽ bắt đầu bằng cách cho mỗi đảng số lượng phiếu bầu lớn nhất có thể để có được 1 ghế, sau đó, với mỗi đảng, ta tính giá trị sau

$$N=\frac{V}{(s+1)}$$

trong đó $V$ là số phiếu bầu mà đảng có sau khi bỏ phiếu và $s$ là số ghế mà đảng đã có (ở thời điểm ban đầu mọi đảng đều có $s=0$, ngoại trừ đảng có nhiều phiếu nhất có $s=1$). Ghế thứ 2 dành cho đảng có giá trị $N$ lớn nhất. Sau đó ta tiếp lục lặp lại quy trình tính $N$ với $s$ tăng theo tương ứng, và ghế thứ 3 dành cho đảng có giá trị $N$ lớn nhất. Quy trình này kết thúc khi không còn ghế trống nào nữa.

 

Do cách trúng cử theo tỉ lệ đòi hỏi ta phải làm tròn lên hoặc xuống số lượng ghế mà mỗi đảng có, cho nên không có phương pháp nào thực sự hiệu quả. Ví dụ như phương pháp d'Hondt có xu hướng thiên về các đảng phái lớn so với đảng nhỏ hơn. Do đó, việc áp dụng phương pháp bầu cử nào đó phụ thuộc vào mục đích mà bạn mong muốn.

 

Ví dụ

 

Giả sử ta có 3 đảng $A, B$ và $C$ ứng cử vào $5$ ghế Nghị sĩ và số lượng cử tri là $60$, giả sử kết quả bầu cử là

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số phiếu bầu} & \text{% tổng số phiếu} \\
\hline
 \text{Đảng A} & 20 & 33.33\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng B} & 15 & 25\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng C} & 25 & 41.66\text{%}\\
\hline
\end{array}$$

 

Nếu ta lấy tỉ lệ, khi đó đảng $A$ sẽ lấy $1.66$ ghế, đảng $B$ lấy $1.25$ ghế, và đảng $C$ lấy $2.083$ ghế. Đây không phải là số nguyên dương nên cách lấy tỉ lệ này không hợp lý, hãy sử dụng phương pháp d'Hondt xem sao.

 

Đảng $C$ có nhiều phiếu bầu nhất, khi đó đảng này sẽ khởi đầu với $1$ ghế. Lúc này ta có:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 0 & 0 & 20/1=20\\
\hline
 \text{Đảng B} & 0 & 0 & 15/1=15\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

 

Đảng có giá trị $N$ lớn nhất là đảng $A$, nên đảng này được $1$ ghế. Bây giờ ta có

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 0 & 0 & 15/1=15\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

Lúc này đảng $B$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được $1$ ghế. Bây giờ ta có

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 1 & 15/2=7.5\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

 

Đảng $C$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được thêm $1$ ghế. Bây giờ ta có:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 1 & 15/2=7.5\\
\hline
 \text{Đảng C} & 2 & 2 & 25/3=8.33\\
\hline
\end{array}$$

Đảng $A$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được thêm $1$ ghế. Lúc này Nghị viện không còn ghế trống nên quy trình chọn ghế kết thúc, kết quả cuối cùng là

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & \text{% tổng số ghế} & \text{% tổng số ghế theo tỉ lệ phiếu bầu} \\
\hline
 \text{Đảng A} & 2 & 40\text{%} & 33.33\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 20\text{%} & 25\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng C} & 2 & 40\text{%} & 41.66\text{%}\\
\hline
\end{array}$$

Kết quả này cho thấy đảng có số phiếu bầu ít nhất (đảng $B$) có tỉ lệ ghế ít hơn so với tỉ lệ phiếu bầu, trong khi đó đảng $A$ có tỉ lệ ghế nhiều hơn tỉ lệ phiếu bầu, còn đảng $C$ có tỉ lệ ghế xấp xỉ với tỉ lệ phiếu bầu. Điều này ứng với giá trị của mỗi ghế là 9 đến 10 phiếu bầu. Bạn có thể kiểm tra bằng cách thay đổi giá trị của một ghế với số lượng phiếu bầu khác 9 hoặc 10 có thể dẫn đến trường hợp thừa hoặc thiếu ghế.

 

Bài viết dịch từ Maths in a minute: The d'Hondt method, trích từ sách Understanding numbers. Xem bản gốc tiếng Anh của bài viết này tại https://plus.maths.o...e-dhondt-method


Tìm cá voi bằng định lý Pythagoras

18-10-2019 - 20:44

Hiện nay cá voi đang chịu nhiều sự đe dọa, ví dụ như nạn săn cá voi, môi trường sống bị suy giảm, nước biển bị ô nhiễm, ảnh hưởng từ thiết bị phát hiện tàu ngầm, hay biến đổi khí hậu. Ngoài ra, cá voi có thể bị mắc kẹt vào tàu cá. Do đó, để tránh cá voi, thủy thủ trên tàu phải biết vị trí của cá voi để tránh. Để giải quyết bài toán này ta cần sử dụng đến một định lý đã có từ thời xa xưa và rất quen thuộc với các bạn học sinh: Định lý Pythagoras.

File gửi kèm  whales.jpg   18.79K   3 Số lần tải

Cá voi beluga

 

I. ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS

 

Cho một tam giác vuông như hình dưới, định lý Pythagoras nói rằng diện tích hình vuông ở cạnh huyền $c^{2}$ bằng với tổng 2 diện tích của 2 hình vuông ở 2 cạnh góc vuông, tức $a^{2}+b^{2}$

File gửi kèm  595px-pythagorean.png   20.26K   3 Số lần tải

Định lý Pythagoras

Hay nói cách khác

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Định lý này được đặt tên theo nhà Toán học tên là Pythagoras đến từ vùng Samos vào thời Hi Lạp cổ đại.

 

II. TÌM CÁ VOI

 

Một cách để xác định vị trí của cá voi đó là dùng máy thủy âm định vị để phát ra âm thanh và thu lại tiếng vang. Tuy nhiên, cá voi rất ghét âm thanh này vì nó làm cho cá voi bị nhầm tín hiệu với cá voi khác, làm đảo lộn hành vi của cá voi, thậm chí có cá voi phải bơi lên cạn để tránh âm thanh này. Do đó, thay vì sự dụng máy thủy âm định vị phát ra âm thanh trực tiếp đến cá voi, ta hãy lắng nghe chính âm thanh phát ra từ cá voi, hay nói cách khác là nghe cá voi "hát" giống như clip dưới đây

Nếu cá voi bơi gần bề mặt mặt biển và cách tàu một khoảng $L$, thì thời gian $T$ để âm thanh từ cá voi phát ra đi đến tàu là:

$$T=\frac{L}{C}$$

với $C$ là tốc độ âm thanh trong nước biển, khoảng $1500 \text{m/s}$. Bài toán đặt ra là làm thế nào để xác định giá trị của $L$?

File gửi kèm  whaleship.jpg   20.19K   3 Số lần tải

 

Để giải được bài toán này, ta cần nghe 2 âm thanh, một âm phát ra trực tiếp từ cá voi đến tàu và âm vang từ đáy biển vọng lên, từ sai số này, ta có thể tính khoảng cách $L$ đến cá voi. Đầu tiên, ta cần tính độ sâu xuống đáy biển xung quanh tàu bằng cách sử dụng máy thủy âm định vị, phát ra một sóng xung hướng thẳng đứng xuống đáy biển và thu lại âm vang, ảnh dưới đây là biểu đồ sóng của tín hiệu thu được từ sóng xung (màu xanh) và âm vang tương ứng (màu đỏ).

File gửi kèm  soundwave1.jpg   38.17K   3 Số lần tải

 

Giả sử thời gian để phát ra sóng xung và nhận lại âm vang là $D$, khi đó sóng di chuyển với quãng đường là $2H$ với $H$ là độ sâu từ tàu xuống đáy biển.

File gửi kèm  depth.jpg   35.13K   3 Số lần tải

 

điều này có nghĩa

$$D=\frac{2H}{C}$$

chuyển vế, ta được

$$H=\frac{CD}{2}$$

ta có thể ước lượng được $D$ cũng như có giá trị của $C$ nên ta cũng tính được giá trị của $H$.

Trở lại định lý Pythagoras, khi nghe âm thanh phát ra từ cá voi, ta có thể xác định sai số thời gian $\Delta$ của âm thanh đó với âm vang của nó phản xạ từ đáy biển bằng cách nghe hết miền âm vang và xác định quy luật dựa vào thống kê.

File gửi kèm  depth.jpg   35.13K   3 Số lần tải

 

Vị trí tàu, vị trí cá voi, và vị trí đáy biển nơi mà âm phát ra từ cá voi chạm đến tạo thành tam giác cân, ta có thể chia tam giác cân này thành 2 hình vuông như giản đồ dưới đây

File gửi kèm  depth2.jpg   19.88K   3 Số lần tải

 

Áp đụng định lý Pythagoras vào một tam giác vuông bất kỳ, ta được

$$S^{2}=H^{2}+\frac{L^{2}}{4}$$

do đó

$$S = \sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}$$

Tổng quãng đường mà âm thanh phản xạ lên mặt biển là $2S$, ta viết lại phương trình toán

$$2S=2\sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}=\sqrt{4H^{2}+L^{2}}$$

Do đó, thời gian để âm vang từ cá voi đi đến con tàu là

$$T_\text{âm vang}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{2}$$

Sai số giữa thời gian âm thanh $T$ từ cá voi đến tàu và âm vang $T_\text{âm vang}$ của cá voi phản xạ từ đáy biển là

$$T_\text{âm vang}-T=\Delta=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}-\frac{L}{C}$$

Chuyển vế, ta được

$$\Delta+\frac{L}{C}=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}$$

Bình phương 2 vế

$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}+\frac{L^{2}}{C^{2}}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{C^{2}}$$

Trừ $L^{2}/C^{2}$ ở hai vế, ta được

$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}=\frac{4H^{2}}{C^{2}}$$

vậy

$$L=\frac{2H^2}{\Delta C}-\frac{\Delta C}{2}$$

Do ta biết giá trị của $H$, $\Delta$ và $C$ cũng như hướng phát ra âm thanh của cá voi, ta có thể xác định chính xác vị trí của cá voi, từ đó thủy thủ sẽ điều khiển tàu để tránh cá voi đụng phải.

 

Cảm ơn Pythagoras!

 

Bài viết dịch từ Saving whales using Pythagoras của tác giả Chris Budd. Xem bản tiếng Anh tại https://plus.maths.o...sing-pythagoras

 


Giải 101 bài tích phân liên tục trong vòng 6 tiếng

20-03-2019 - 13:35

Vào ngày 3/3/2019, một người dùng Youtube có tên blackpenredpen đã đăng tải một clip dài gần 6 tiếng quay lại cảnh giải 101 bài tích phân liên tục chỉ trong 1 cảnh quay, không cắt ghép. Mục đích của anh chàng này nhằm cổ động tinh thần cho người bạn tên Lars hiện đang chiến đấu với căn bệnh ung thư. Blackpenredpen bắt đầu giải bài đầu tiên vào lúc 15 giờ 32 phút 30 giây và hoàn tất bài thứ 101 vào lúc 21 giờ 17 phút 20 giây (dựa theo đồng hồ treo tường trong clip).
 
Danh sách 101 bài nguyên hàm - tích phân các bạn xem tại https://docs.wixstat...f7e0c70ad17.pdf
 
Và dưới đây là clip ghi lại quá trình giải 101 bài này của blackpenredpen

 


Cây kem ốc quế của Archimedes

31-08-2017 - 18:10

Trong thế giới thực, đôi khi ta gặp những tình huống yêu cầu ta phải tối ưu hoá không gian để đạt được một ưu thế nhất định, ví dụ như sự phân nhánh và mọc lá của cây thường theo cấu trúc fractal nhằm tối đa hoá diện tích bề mặt hấp thụ nắng và các chất dinh dưỡng. Đây là một trong những nguyên do vì sao đường cong và hình dạng trong tự nhiên thường nhấp nhô, trong khi các kỹ sư thiết kế cánh máy bay hay vành xe hơi phải trơn nhằm tối ưu hoá vấn đề khác.

 

Ta quan sát một tình huống khác với mục tiêu là tối thiểu hoá diện tích bề mặt vào thể tích cho trước. Ví dụ, nếu ta sản xuất lon thiếc để chứa đậu xanh thì khi đó ta muốn tối thiểu diện tích thiếc gần bằng với thể tích $V$ cho trước để chứa đậu xanh. Giả sử lon có đầu và đáy hình tròn có bán kính $r$ và chiều cao $h$, khi đó tổng diện tích bề mặt (hai hình tròn có bán kính $r$ và hình trụ có đường kính $2\pi $ và chiều cao $h$) là

                                                    $$A=2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh$$

beans.png

Do thể tích lon có công thức là $V=\pi {{r}^{2}}h$, ta viết lại công thức diện tích bằng cách thay $h=V/\pi {{r}^{2}}$ như sau

                                                      $$A=2\pi {{r}^{2}}+2V/r$$

Giá trị thể tích là cố định nên để tìm diện tích nhỏ nhất của thiếc thì ta tính đạo hàm

                                     $$\frac{dA}{dr}=4\pi r-\frac{2V}{{{r}^{2}}}$$

và cho kết quả này bằng 0 và kiểm tra bất đẳng thức ${{d}^{2}}A/d{{r}^{2}}>0$ nhằm đảm bảo kết quả nhỏ nhất là chính xác.

 

Do đó ta cần

                                                           $$V=2\pi {{r}^{3}}$$

mặt khác, vì $V=h\pi {{r}^{2}}$ nên ta cần $h=2r$. Từ đó ta thấy rằng trong thực tế đa số lon thiếc có chiều cao bằng với đường kính đáy.

Nếu bạn muốn làm một cái ly hình trụ thì tỉ lệ tốt nhất là $h=r$. Nếu bạn đi siêu thị và quan sát trên kệ bán hàng, bạn sẽ thấy một số lon thiếc thiết kế tối ưu với chiều cao bằng đường kính, nhưng một số lon thì không thiết kế như vậy, chắc nhà sản xuất muốn tạo nên sự khác biệt chăng?

 

Nhân tiện, nếu ta thay đổi bài toán thành tìm hình dạng để thể tích đạt giá trị lớn nhất khi cho trước giá trị diện tích, khi đó hình dạng sẽ như thế nào? Cuối cùng, do đây là mùa hè nóng bức thích hợp để ăn kem ốc quế, hãy tự hỏi rằng khi kinh doanh, ta nên thiết kế bánh ốc quế như thế nào để kinh tế nhất. Archimedes vào thế kỷ 225 trước Công Nguyên, nếu đỉnh của một hình nón mở là hình tròn có bán kính $r$ và chiều cao đến đỉnh là $h$, khi đó thể tích cây kem bao bởi bánh hình nón là

                                                 $$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$$

và diện tích bề mặt là

                                           $$A=\pi r\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$$

optimals_labelled.png

 

Bây giờ quay lại bài toán lon thiếc, ta thay $h=3V/\pi {{r}^{2}}$ vào công thức $A$, tính $dA/dr$ và chi kết quả bằng 0, ta được

$$\frac{dA}{dr}=\pi {{\left( {{r}^{2}}+\frac{9{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}} \right)}^{1/2}}+\frac{\pi r}{2}{{\left( {{r}^{2}}+\frac{9{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left( 2r-\frac{36{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{5}}} \right)$$

Cho biểu thức trên bằng 0, thu được kết quả là

                                  $${{r}^{3}}=3V/\pi \sqrt{2}={{r}^{2}}h/\sqrt{2}$$

và do đó tỉ lệ tối ưu giữa chiều cao và bán kính khi thiết kế vỏ hình nón cho cây kem ốc quế là $h/r=\sqrt{2}$. Vì vậy, vì $r/h=1/\sqrt{2}$ là $\tan \left( \alpha  \right)$ nên góc $\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( 1/\sqrt{2} \right)~=0.6$ radian, tương ứng với ${{35.26}^{o}}$ hay ${{35}^{o}}15'$. Theo nghĩa nào đó thì đây là phần vỏ kem ốc quế “kinh tế” nhất.

 

Những vùng mờ khác nhau ở ảnh trên biểu diễn 3 cây kem ốc quế với thể tích khác nhau, nhưng mỗi cây kem có giá trị $\alpha $ nhằm đảm bảo diện tích bề mặt nhỏ nhất ứng với thể tích tương ứng.

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ent/outer-space


Biến đổi Fourier trong ảnh

29-08-2017 - 02:27

Âm thanh mà ta nghe được, dù đó là nhạc, lời nói hay những tiếng ồn trong đám đông đều là kết quả của sự dao động trong màng nhĩ lỗ tai, được mô phỏng bằng sóng âm lan truyền trong không khí phát ra từ tai nghe, âm thanh nhạc cụ, tiếng nói của con người hay từ một kẻ vô duyên nói luyên thuyên sau lưng bạn khi xem phim ngoài rạp. Khi vẽ đồ thị những dao động này theo cường độ hay áp suất theo thời gian, ta được biểu diễn hình ảnh của âm thanh.

 

tuningfork.png

speech.png

Sóng âm thanh phát ra từ âm thoa (ảnh trên) và sóng âm thanh phát ra khi con người nói (ảnh dưới)

 

Đồ thị sóng âm phát ra từ cây âm thoa hình chữ $A$ là ví dụ cho sóng sine, ký hiệu toán học là $\sin \left( x \right)$, còn đồ thị sóng âm của tiếng nói thì có dạng phức tạp hơn. Tuy nhiên, bất kỳ sóng âm nào, hay có thể nói bất kỳ hàm tuần hoàn nào cũng đều có thể tách thành một số các sóng sine với những tần số và cường độ khác nhau. Kết quả này là công trình nghiên cứu của nhà Toán học người Pháp có tên Joseph Fourier, ông sinh vào thế kỷ 18 trong cuộc Cách mạng Pháp. Biểu thức của sóng âm hay bất kỳ tín hiệu thay đổi theo thời gian được biểu diễn theo các sóng sine được gọi là biểu diễn Fourier của tín hiệu đó.

Fourier_transform.gif

Hàm $f$ thay đổi theo thời gian biểu diễn sóng âm. Quy trình biến đổi Fourier dùng hàm $f$ và phân rã thành các sóng sine tương ứng với cường độ và tần số riêng biệt. Ta biểu diễn biến đổi Fourier thành các đỉnh gai trong miền tần số, chiều cao mỗi đỉnh gai biểu diễn biên độ sóng của tần số đó

 

Bạn có thể xem hình ảnh là một hàm biến đổi, tuy nhiên, hàm biến đổi này không biến đổi theo thời gian mà biến đổi theo không gian 2 chiều của ảnh. Đối với ảnh xám, mỗi điểm ảnh có giá trị từ 0 đến 255 biểu diễn cường độ ảnh. Do đó, cường độ của điểm ảnh là một hàm số theo toạ độ trục tung và trục hoành tương ứng với vị trí của điểm ảnh đó. Bạn có thể xem ảnh như một cảnh có những gợn sóng nhấp nhô, với chiều cao của cảnh tương ứng với giá trị của điểm ảnh.

 

R%2BM-surf.jpg

Một tấm ảnh số được đăng trên tạp chí Plus, mỗi điểm ảnh có giá trị từ 0 đến 255 biểu diễn mức xám của điểm ảnh. Ảnh bên phải là hàm ảnh của ảnh bên trái, với mỗi giá trị xám $u\left( x,y \right)$ là chiều cao của bề mặt trong mặt phẳng $\left( x,y \right)$

 

Ta có thể biểu diễn ảnh thành tổng các sóng sine, nhưng thay vì biểu diễn theo sóng một chiều thì ta biểu diễn theo hai chiều, giống như những gợn sóng trên sông.

 

Sóng sine 2 chiều được viết là

                                                    $$z=a\sin \left( hx+ky \right)$$

với $x$ và $y$ là toạ độ của điểm trên “sông”, $z$ là độ cao (hay cường độ) của sóng tại điểm đó, còn $a$ là biên độ (độ cao lớn nhất) của sóng, còn $h$ và $k$ là số lần sóng lặp lại theo chiều $x$ và $y$ riêng biệt (tức tần số $x$ và $y$).

sinx-sin2y-sinx%2By.jpg

Đồ thị sóng $\sin \left( x \right),\sin \left( 2y \right)$ và $\sin \left( x+y \right)$

 

Khi $k=0$, sóng sine chỉ dao động dọc theo trục $x$. Khi $h=0$, sóng sine chỉ dao động theo trục $y$. Nhưng nếu $k$ và $h$ khác 0, sóng sine dao động theo chiều chéo theo mặt phẳng theo hướng góc nhất định (vuông góc với sóng trước) và độ dốc là $h/k$.

 

Cộng những sóng này lại tương đương với cộng những giá trị riêng biệt (hay độ cao) của sóng tại mỗi điểm ảnh. Các sóng này giao thoa cùng pha tạo thành sóng cuối cùng có giá trị cao hơn tại điểm đó hay giao thoa ngược pha và triệt tiêu nhau. Nếu biên độ của một trong các sóng cao hơn các sóng còn lại thì sóng đó sẽ có ưu thế hơn.

sinx%2By-5sinx-5siny.jpg

Các sóng $\sin \left( x \right)+\sin \left( y \right),5\sin \left( x \right)+\sin \left( y \right)$ và $\sin \left( x \right)+5\sin \left( y \right)$. Bạn có thể thấy độ lớn của biên độ sóng $5\sin \left( x \right)$ ở ảnh giữa và $5\sin \left( y \right)$ ở ảnh phải chiếm ưu thế trong sóng cuối

 

Biến đổi Fourier của ảnh sẽ tách hàm ảnh thành tổng các sóng sine tương ứng. Giống như sóng âm, biến đổi Fourier có đồ thị theo tần số còn trong ảnh thì miền tần số là 2 chiều, đó là tần số $h$ và $k$ theo chiều $x$ và $y$, do đó biến đổi Fourier có đồ thị không phải dạng chuỗi các đỉnh nhọn mà là một ảnh cùng chiều và kích thước điểm ảnh như ảnh ban đầu.

 

Mỗi điểm ảnh trong biến đổi Fourier có toạ độ $\left( h,k \right)$ nhằm biểu diễn sóng sine theo tần số $h$ ở trục $x$ và tần số $k$ ở trục $y$ trong biến đổi Fourier. Toạ độ tâm biểu diễn sóng $\left( 0,0 \right)$, tức một mặt phẳng không gợn sóng và cường độ (tức độ sáng của màu theo thang xám) là giá trị trung bình của các điểm ảnh trong ảnh. Điểm nằm bên trái và bên phải của điểm trung tâm biểu diễn sóng sine biến đổi theo trục $x$ (tức $k=0$). Độ sáng của những điểm này biểu diễn cường độ của sóng sine với tần số của điểm đó theo biến đổi Fourier (cường độ này là biên độ của sóng sine bình phương). Những sóng thẳng đứng ở trên và dưới điểm trung tâm biểu diễn các sóng sine thay đổi theo $y$ nhưng không đổi theo $x$ (tức $h=0$) và những điểm khác trong biến đổi Fourier biểu diễn mức đóng góp của sóng chéo.

 

sinx-ft-zoom.jpg

Sóng $\sin \left( x \right)$ được biểu diễn dưới ảnh xám và biến đổi Fourier của ảnh xám đó

 

Ví dụ, xem ảnh bên trái, đây là ảnh xám của sóng $\sin \left( x \right)$ hai chiều, ảnh kế bên là biến đổi Fourier của ảnh xám này, ảnh biến đổi có cùng kích thước với ảnh xám, đa số là màu đen ngoại trừ những vùng sát với tâm ảnh thì có vài điểm ảnh sáng. Nếu ta phóng to vào tâm ảnh biến đổi (ảnh bên phải), bạn thấy có chính xác 3 điểm ảnh không phải màu đen, một điểm sáng nằm ở điểm tâm ảnh có toạ độ $\left( 0,0 \right)$ biểu diễn mức đóng góp của sóng $\left( 0,0 \right)$ trong ảnh, một điểm có toạ động $\left( 1,0 \right)$ và điểm đối xứng nằm ở $\left( -1,~0 \right)$ biểu diễn mức đóng góp của sóng $\left( 1,0 \right)$ (sóng sine ở ảnh trái), còn các điểm ảnh còn lại có màu đen do ảnh xám ban đầu chỉ sử dụng sóng $\left( 1,~0 \right)$.

 

Eg-simpleFTs.jpg

Ảnh trên: Sóng $\sin \left( 20x \right)+\sin \left( 10y \right)$ và ảnh biến đổi Fourier cho thấy 2 cặp điểm ảnh tại toạ độ $\left( 20,0 \right)$ và $\left( 0,10 \right)$ và toạ độ đối xứng biểu diễn mức đóng góp của 2 sóng này.

Ảnh dưới: Sóng $\sin \left( 100x+50y \right)$ và ảnh biến đổi Fourier cho thấy cặp các điểm ảnh sáng tại toạ độ $\left( 100,50 \right)$ và toạ độ đối xứng

 

Biến đổi Fourier của các tổ hợp sóng đơn giản chỉ có vài điểm sáng, nhưng với những ảnh phức tạp hơn như ảnh kỹ thuật số thì có nhiều điểm sáng hơn khi biến đổi Fourier do ảnh dùng nhiều sóng để biểu diễn ảnh.

 

Biến đổi Fourier ở nhiều ảnh số mà ta thường gặp, thông thường cường độ ở trục $x$ và $y$ sẽ mạnh khi biến đổi, cho thấy các sóng sine chỉ biến đổi dọc theo các trục này có vai trò rất lớn trong ảnh cuối cùng bởi vì trong một ảnh sẽ chức rất nhiều đặc trưng theo chiều ngang và dọc và đối xứng, như ảnh chụp bức tường, cạnh bàn, kể cả cơ thể người cũng có tính đối xứng theo chiều dọc. Bạn có thể quan sát điều này bằng cách xoay ảnh một chút, khoảng $45^{o}$, khi đó biến đổi Fourier sẽ có cường độ mạnh tại cặp các đường thẳng vuông góc dã được xoay cùng một lượng với góc xoay của ảnh.

 

Plus-FT.jpg

Ảnh xám trong tạp chí Plus và ảnh sau khi biến đổi Fourier cho thấy chuỗi các mức đóng góp của sóng dọc biểu diễn bởi các điểm sáng dọc theo trục tung.

 

Plus45-FT.jpg

Ảnh trong tạp chí Plus xoay một góc ${{45}^{o}}$ và biến đổi Fourier

 

Biến đổi Fourier là một công cụ tuyệt diệu khi phân tích và sử dụng âm thanh hay hình ảnh. Đối với ảnh, biến đổi Fourier là công cụ toán học quan trọng khi nén ảnh (ví dụ như chuẩn ảnh JPEG), lọc ảnh hay giảm mờ, nhiễu ảnh.

 

Ảnh sóng sine 2 chiều, bề mặt sóng và biến đổi Fourier được tạo bởi phần mềm toán học MATLAB, nếu bạn muốn tự trải nghiệm với ảnh của bạn, bạn có thể dùng đoạn code tại https://plus.maths.o...rola/MATLAB.TXT

 

Một bài tiểu luận nhỏ của tôi về lọc ảnh trong miền tần số có sử dụng đến biến đổi Fourier, sử dụng code trên MATLAB: https://www.academia..._lọc_Contourlet

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ansforms-images