Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


hoangtrong2305

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 10-10-2020 - 21:10
****-

Chủ đề của tôi gửi

Tài liệu Hình học không gian 11 (quan hệ song song)

09-10-2020 - 19:44

Thân chào các thành viên trong diễn đàn!

 

Hôm nay, trong lúc dọn dẹp máy tính, mình tìm thấy tài liệu hình học không gian lớp 11, phần Quan hệ song song mà mình tự biên soạn hồi mình còn là học sinh cấp 3. Hồi đấy, một số thành viên VMF thực hiện chuyên đề Đẳng thức tổ hợp với Số học. Mình không đủ kiến thức để tham gia, nhưng muốn viết một cuốn chuyên đề riêng để đăng lên diễn đàn, do đó mình đã biên soạn một tài liệu về Hình học không gian ứng dụng trong cuộc sống nhằm giải đáp câu hỏi:"Học Toán để làm gì?", cũng như diễn giải các Định lý, định đề trong sách giáo khoa một cách dễ hiểu hơn, ít nhất là dựa theo những gì trong đầu mình suy nghĩ khi học một Định lý nào đó. Quan hệ song song là chương mở đầu của tài liệu này. Mình đem những hình ảnh về Kim tự tháp, cạnh cầu thang, ... vào tài liệu để tăng tính trực quan, giúp bạn đọc dễ hình dung hơn khi học Hình học không gian. Tiếc thay, lúc đó mình không thể sắp xếp thời gian để hoàn thiệt cuốn tài liệu này, và theo thời gian cuốn tài liệu (cũng như kiến thức hình học không gian của mình) dần trôi vào dĩ vãng.

 

Nay mình đăng tải tất cả tập tin hồi đó mình làm dở dang lên diễn đàn. Mong rằng cuốn tài liệu này có thể giúp ích cho một bạn học sinh nào đó đang "cày bừa" Hình học không gian.

 

Chuyên đề Hình học không gian (chương trình 11):

Đọc online: https://www.academia...hương_trình_11_

Link tải (.pdf): File gửi kèm  Chuyên đề Hình học không gian.pdf   194.92K   12 Số lần tải

Link tải (.doc): File gửi kèm  Chuyên đề Hình học không gian.doc   212.5K   11 Số lần tải

 

Quan hệ song song - Hình học không gian 11:

Đọc online: https://www.academia...c_không_gian_11

Link tải (.pdf): File gửi kèm  D1.Quan hệ song song(2).pdf   531.69K   13 Số lần tải

Link tải: (.doc): File gửi kèm  D1.Quan hệ song song(2).doc   1.06MB   11 Số lần tải


Phương pháp d'Hondt trong bầu cử

19-10-2019 - 23:24

Nghị viện Châu Âu tổ chức cuộc bầu cử vào tháng 5/2019 để bầu đại diện của các quốc gia trong châu Âu cũng như của các đảng phái, dựa vào tỉ lệ của kết quả trúng cử. Ý tưởng để xác định số ghế đại diện của 1 đảng đó là nếu đảng có $x\text{%}$ tổng số phiếu bầu thì đảng sẽ lấy $x\text{%}$ ghế. Tuy nhiên, cách lấy tỉ lệ $\text{%}$ này đôi khi dẫn đến kết quả không phải là số nguyên dương, ví dụ nếu như ta có $600000$ cử tri bầu chọn ra $100$ nghị sĩ đến từ $3$ đảng, kết quả mỗi đảng có $200000$ phiếu bầu, thì mỗi đảng sẽ lấy $1/3$ trong tổng số ghế, tức $100/3 \approx 33.33$ ghế, điều này là phi thực tế.

 

File gửi kèm  flags.jpg   77.79K   50 Số lần tải

 

 

Để giải quyết vần để này, ta cần một phương pháp để chuyển đổi tỉ lệ phần trăm sang số ghế. Trong cuộc bầu cử Nghị viện châu Âu 2019, Nghị viện dùng phương pháp d'Hondt, ý tưởng của phương pháp này đó là một ghế trong Nghị viện có giá trị tương ứng với một số lượng phiếu bầu, mỗi đảng có thể "mua" nhiều ghế dựa vào giá trị số phiếu bầu họ có, nếu bầu theo cách chia tỉ lệ rồi làm tròn sẽ xảy ra hiện tượng một đảng nhận ít (hoặc nhiều) ghế hơn giá trị phiếu họ có, điều này hiển nhiên thiếu công bằng, nếu một đảng "mua" hết ghế, tức trong Nghị viện không được thừa ghế trống nào cả.

 

Xác định giá trị thích hợp cho 1 ghế trong Nghị viện có vẻ như khá phức tạp, nhưng ta có một quy trình lặp có thể giúp ta có được giá trị mong muốn. Ta sẽ bắt đầu bằng cách cho mỗi đảng số lượng phiếu bầu lớn nhất có thể để có được 1 ghế, sau đó, với mỗi đảng, ta tính giá trị sau

$$N=\frac{V}{(s+1)}$$

trong đó $V$ là số phiếu bầu mà đảng có sau khi bỏ phiếu và $s$ là số ghế mà đảng đã có (ở thời điểm ban đầu mọi đảng đều có $s=0$, ngoại trừ đảng có nhiều phiếu nhất có $s=1$). Ghế thứ 2 dành cho đảng có giá trị $N$ lớn nhất. Sau đó ta tiếp lục lặp lại quy trình tính $N$ với $s$ tăng theo tương ứng, và ghế thứ 3 dành cho đảng có giá trị $N$ lớn nhất. Quy trình này kết thúc khi không còn ghế trống nào nữa.

 

Do cách trúng cử theo tỉ lệ đòi hỏi ta phải làm tròn lên hoặc xuống số lượng ghế mà mỗi đảng có, cho nên không có phương pháp nào thực sự hiệu quả. Ví dụ như phương pháp d'Hondt có xu hướng thiên về các đảng phái lớn so với đảng nhỏ hơn. Do đó, việc áp dụng phương pháp bầu cử nào đó phụ thuộc vào mục đích mà bạn mong muốn.

 

Ví dụ

 

Giả sử ta có 3 đảng $A, B$ và $C$ ứng cử vào $5$ ghế Nghị sĩ và số lượng cử tri là $60$, giả sử kết quả bầu cử là

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số phiếu bầu} & \text{% tổng số phiếu} \\
\hline
 \text{Đảng A} & 20 & 33.33\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng B} & 15 & 25\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng C} & 25 & 41.66\text{%}\\
\hline
\end{array}$$

 

Nếu ta lấy tỉ lệ, khi đó đảng $A$ sẽ lấy $1.66$ ghế, đảng $B$ lấy $1.25$ ghế, và đảng $C$ lấy $2.083$ ghế. Đây không phải là số nguyên dương nên cách lấy tỉ lệ này không hợp lý, hãy sử dụng phương pháp d'Hondt xem sao.

 

Đảng $C$ có nhiều phiếu bầu nhất, khi đó đảng này sẽ khởi đầu với $1$ ghế. Lúc này ta có:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 0 & 0 & 20/1=20\\
\hline
 \text{Đảng B} & 0 & 0 & 15/1=15\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

 

Đảng có giá trị $N$ lớn nhất là đảng $A$, nên đảng này được $1$ ghế. Bây giờ ta có

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 0 & 0 & 15/1=15\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

Lúc này đảng $B$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được $1$ ghế. Bây giờ ta có

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 1 & 15/2=7.5\\
\hline
 \text{Đảng C} & 1 & 1 & 25/2=12.5\\
\hline
\end{array}$$

 

Đảng $C$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được thêm $1$ ghế. Bây giờ ta có:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & s & N \\
\hline
 \text{Đảng A} & 1 & 1 & 20/2=10\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 1 & 15/2=7.5\\
\hline
 \text{Đảng C} & 2 & 2 & 25/3=8.33\\
\hline
\end{array}$$

Đảng $A$ có giá trị $N$ lớn nhất nên đảng này được thêm $1$ ghế. Lúc này Nghị viện không còn ghế trống nên quy trình chọn ghế kết thúc, kết quả cuối cùng là

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
 & \text{Số ghế} & \text{% tổng số ghế} & \text{% tổng số ghế theo tỉ lệ phiếu bầu} \\
\hline
 \text{Đảng A} & 2 & 40\text{%} & 33.33\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng B} & 1 & 20\text{%} & 25\text{%}\\
\hline
 \text{Đảng C} & 2 & 40\text{%} & 41.66\text{%}\\
\hline
\end{array}$$

Kết quả này cho thấy đảng có số phiếu bầu ít nhất (đảng $B$) có tỉ lệ ghế ít hơn so với tỉ lệ phiếu bầu, trong khi đó đảng $A$ có tỉ lệ ghế nhiều hơn tỉ lệ phiếu bầu, còn đảng $C$ có tỉ lệ ghế xấp xỉ với tỉ lệ phiếu bầu. Điều này ứng với giá trị của mỗi ghế là 9 đến 10 phiếu bầu. Bạn có thể kiểm tra bằng cách thay đổi giá trị của một ghế với số lượng phiếu bầu khác 9 hoặc 10 có thể dẫn đến trường hợp thừa hoặc thiếu ghế.

 

Bài viết dịch từ Maths in a minute: The d'Hondt method, trích từ sách Understanding numbers. Xem bản gốc tiếng Anh của bài viết này tại https://plus.maths.o...e-dhondt-method


Tìm cá voi bằng định lý Pythagoras

18-10-2019 - 20:44

Hiện nay cá voi đang chịu nhiều sự đe dọa, ví dụ như nạn săn cá voi, môi trường sống bị suy giảm, nước biển bị ô nhiễm, ảnh hưởng từ thiết bị phát hiện tàu ngầm, hay biến đổi khí hậu. Ngoài ra, cá voi có thể bị mắc kẹt vào tàu cá. Do đó, để tránh cá voi, thủy thủ trên tàu phải biết vị trí của cá voi để tránh. Để giải quyết bài toán này ta cần sử dụng đến một định lý đã có từ thời xa xưa và rất quen thuộc với các bạn học sinh: Định lý Pythagoras.

File gửi kèm  whales.jpg   18.79K   47 Số lần tải

Cá voi beluga

 

I. ĐỊNH LÝ PYTHAGORAS

 

Cho một tam giác vuông như hình dưới, định lý Pythagoras nói rằng diện tích hình vuông ở cạnh huyền $c^{2}$ bằng với tổng 2 diện tích của 2 hình vuông ở 2 cạnh góc vuông, tức $a^{2}+b^{2}$

File gửi kèm  595px-pythagorean.png   20.26K   49 Số lần tải

Định lý Pythagoras

Hay nói cách khác

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Định lý này được đặt tên theo nhà Toán học tên là Pythagoras đến từ vùng Samos vào thời Hi Lạp cổ đại.

 

II. TÌM CÁ VOI

 

Một cách để xác định vị trí của cá voi đó là dùng máy thủy âm định vị để phát ra âm thanh và thu lại tiếng vang. Tuy nhiên, cá voi rất ghét âm thanh này vì nó làm cho cá voi bị nhầm tín hiệu với cá voi khác, làm đảo lộn hành vi của cá voi, thậm chí có cá voi phải bơi lên cạn để tránh âm thanh này. Do đó, thay vì sự dụng máy thủy âm định vị phát ra âm thanh trực tiếp đến cá voi, ta hãy lắng nghe chính âm thanh phát ra từ cá voi, hay nói cách khác là nghe cá voi "hát" giống như clip dưới đây

Nếu cá voi bơi gần bề mặt mặt biển và cách tàu một khoảng $L$, thì thời gian $T$ để âm thanh từ cá voi phát ra đi đến tàu là:

$$T=\frac{L}{C}$$

với $C$ là tốc độ âm thanh trong nước biển, khoảng $1500 \text{m/s}$. Bài toán đặt ra là làm thế nào để xác định giá trị của $L$?

File gửi kèm  whaleship.jpg   20.19K   51 Số lần tải

 

Để giải được bài toán này, ta cần nghe 2 âm thanh, một âm phát ra trực tiếp từ cá voi đến tàu và âm vang từ đáy biển vọng lên, từ sai số này, ta có thể tính khoảng cách $L$ đến cá voi. Đầu tiên, ta cần tính độ sâu xuống đáy biển xung quanh tàu bằng cách sử dụng máy thủy âm định vị, phát ra một sóng xung hướng thẳng đứng xuống đáy biển và thu lại âm vang, ảnh dưới đây là biểu đồ sóng của tín hiệu thu được từ sóng xung (màu xanh) và âm vang tương ứng (màu đỏ).

File gửi kèm  soundwave1.jpg   38.17K   54 Số lần tải

 

Giả sử thời gian để phát ra sóng xung và nhận lại âm vang là $D$, khi đó sóng di chuyển với quãng đường là $2H$ với $H$ là độ sâu từ tàu xuống đáy biển.

File gửi kèm  depth.jpg   35.13K   50 Số lần tải

 

điều này có nghĩa

$$D=\frac{2H}{C}$$

chuyển vế, ta được

$$H=\frac{CD}{2}$$

ta có thể ước lượng được $D$ cũng như có giá trị của $C$ nên ta cũng tính được giá trị của $H$.

Trở lại định lý Pythagoras, khi nghe âm thanh phát ra từ cá voi, ta có thể xác định sai số thời gian $\Delta$ của âm thanh đó với âm vang của nó phản xạ từ đáy biển bằng cách nghe hết miền âm vang và xác định quy luật dựa vào thống kê.

File gửi kèm  depth.jpg   35.13K   50 Số lần tải

 

Vị trí tàu, vị trí cá voi, và vị trí đáy biển nơi mà âm phát ra từ cá voi chạm đến tạo thành tam giác cân, ta có thể chia tam giác cân này thành 2 hình vuông như giản đồ dưới đây

File gửi kèm  depth2.jpg   19.88K   48 Số lần tải

 

Áp đụng định lý Pythagoras vào một tam giác vuông bất kỳ, ta được

$$S^{2}=H^{2}+\frac{L^{2}}{4}$$

do đó

$$S = \sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}$$

Tổng quãng đường mà âm thanh phản xạ lên mặt biển là $2S$, ta viết lại phương trình toán

$$2S=2\sqrt{H^{2}+\frac{L^{2}}{4}}=\sqrt{4H^{2}+L^{2}}$$

Do đó, thời gian để âm vang từ cá voi đi đến con tàu là

$$T_\text{âm vang}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{2}$$

Sai số giữa thời gian âm thanh $T$ từ cá voi đến tàu và âm vang $T_\text{âm vang}$ của cá voi phản xạ từ đáy biển là

$$T_\text{âm vang}-T=\Delta=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}-\frac{L}{C}$$

Chuyển vế, ta được

$$\Delta+\frac{L}{C}=\frac{\sqrt{4H^2+L^2}}{C}$$

Bình phương 2 vế

$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}+\frac{L^{2}}{C^{2}}=\frac{4H^{2}+L^{2}}{C^{2}}$$

Trừ $L^{2}/C^{2}$ ở hai vế, ta được

$$\Delta^{2}+2\Delta \frac{L}{C}=\frac{4H^{2}}{C^{2}}$$

vậy

$$L=\frac{2H^2}{\Delta C}-\frac{\Delta C}{2}$$

Do ta biết giá trị của $H$, $\Delta$ và $C$ cũng như hướng phát ra âm thanh của cá voi, ta có thể xác định chính xác vị trí của cá voi, từ đó thủy thủ sẽ điều khiển tàu để tránh cá voi đụng phải.

 

Cảm ơn Pythagoras!

 

Bài viết dịch từ Saving whales using Pythagoras của tác giả Chris Budd. Xem bản tiếng Anh tại https://plus.maths.o...sing-pythagoras

 


Giải 101 bài tích phân liên tục trong vòng 6 tiếng

20-03-2019 - 13:35

Vào ngày 3/3/2019, một người dùng Youtube có tên blackpenredpen đã đăng tải một clip dài gần 6 tiếng quay lại cảnh giải 101 bài tích phân liên tục chỉ trong 1 cảnh quay, không cắt ghép. Mục đích của anh chàng này nhằm cổ động tinh thần cho người bạn tên Lars hiện đang chiến đấu với căn bệnh ung thư. Blackpenredpen bắt đầu giải bài đầu tiên vào lúc 15 giờ 32 phút 30 giây và hoàn tất bài thứ 101 vào lúc 21 giờ 17 phút 20 giây (dựa theo đồng hồ treo tường trong clip).
 
Danh sách 101 bài nguyên hàm - tích phân các bạn xem tại https://docs.wixstat...f7e0c70ad17.pdf
 
Và dưới đây là clip ghi lại quá trình giải 101 bài này của blackpenredpen

 


Cây kem ốc quế của Archimedes

31-08-2017 - 18:10

Trong thế giới thực, đôi khi ta gặp những tình huống yêu cầu ta phải tối ưu hoá không gian để đạt được một ưu thế nhất định, ví dụ như sự phân nhánh và mọc lá của cây thường theo cấu trúc fractal nhằm tối đa hoá diện tích bề mặt hấp thụ nắng và các chất dinh dưỡng. Đây là một trong những nguyên do vì sao đường cong và hình dạng trong tự nhiên thường nhấp nhô, trong khi các kỹ sư thiết kế cánh máy bay hay vành xe hơi phải trơn nhằm tối ưu hoá vấn đề khác.

 

Ta quan sát một tình huống khác với mục tiêu là tối thiểu hoá diện tích bề mặt vào thể tích cho trước. Ví dụ, nếu ta sản xuất lon thiếc để chứa đậu xanh thì khi đó ta muốn tối thiểu diện tích thiếc gần bằng với thể tích $V$ cho trước để chứa đậu xanh. Giả sử lon có đầu và đáy hình tròn có bán kính $r$ và chiều cao $h$, khi đó tổng diện tích bề mặt (hai hình tròn có bán kính $r$ và hình trụ có đường kính $2\pi $ và chiều cao $h$) là

                                                    $$A=2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh$$

beans.png

Do thể tích lon có công thức là $V=\pi {{r}^{2}}h$, ta viết lại công thức diện tích bằng cách thay $h=V/\pi {{r}^{2}}$ như sau

                                                      $$A=2\pi {{r}^{2}}+2V/r$$

Giá trị thể tích là cố định nên để tìm diện tích nhỏ nhất của thiếc thì ta tính đạo hàm

                                     $$\frac{dA}{dr}=4\pi r-\frac{2V}{{{r}^{2}}}$$

và cho kết quả này bằng 0 và kiểm tra bất đẳng thức ${{d}^{2}}A/d{{r}^{2}}>0$ nhằm đảm bảo kết quả nhỏ nhất là chính xác.

 

Do đó ta cần

                                                           $$V=2\pi {{r}^{3}}$$

mặt khác, vì $V=h\pi {{r}^{2}}$ nên ta cần $h=2r$. Từ đó ta thấy rằng trong thực tế đa số lon thiếc có chiều cao bằng với đường kính đáy.

Nếu bạn muốn làm một cái ly hình trụ thì tỉ lệ tốt nhất là $h=r$. Nếu bạn đi siêu thị và quan sát trên kệ bán hàng, bạn sẽ thấy một số lon thiếc thiết kế tối ưu với chiều cao bằng đường kính, nhưng một số lon thì không thiết kế như vậy, chắc nhà sản xuất muốn tạo nên sự khác biệt chăng?

 

Nhân tiện, nếu ta thay đổi bài toán thành tìm hình dạng để thể tích đạt giá trị lớn nhất khi cho trước giá trị diện tích, khi đó hình dạng sẽ như thế nào? Cuối cùng, do đây là mùa hè nóng bức thích hợp để ăn kem ốc quế, hãy tự hỏi rằng khi kinh doanh, ta nên thiết kế bánh ốc quế như thế nào để kinh tế nhất. Archimedes vào thế kỷ 225 trước Công Nguyên, nếu đỉnh của một hình nón mở là hình tròn có bán kính $r$ và chiều cao đến đỉnh là $h$, khi đó thể tích cây kem bao bởi bánh hình nón là

                                                 $$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$$

và diện tích bề mặt là

                                           $$A=\pi r\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$$

optimals_labelled.png

 

Bây giờ quay lại bài toán lon thiếc, ta thay $h=3V/\pi {{r}^{2}}$ vào công thức $A$, tính $dA/dr$ và chi kết quả bằng 0, ta được

$$\frac{dA}{dr}=\pi {{\left( {{r}^{2}}+\frac{9{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}} \right)}^{1/2}}+\frac{\pi r}{2}{{\left( {{r}^{2}}+\frac{9{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left( 2r-\frac{36{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{5}}} \right)$$

Cho biểu thức trên bằng 0, thu được kết quả là

                                  $${{r}^{3}}=3V/\pi \sqrt{2}={{r}^{2}}h/\sqrt{2}$$

và do đó tỉ lệ tối ưu giữa chiều cao và bán kính khi thiết kế vỏ hình nón cho cây kem ốc quế là $h/r=\sqrt{2}$. Vì vậy, vì $r/h=1/\sqrt{2}$ là $\tan \left( \alpha  \right)$ nên góc $\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( 1/\sqrt{2} \right)~=0.6$ radian, tương ứng với ${{35.26}^{o}}$ hay ${{35}^{o}}15'$. Theo nghĩa nào đó thì đây là phần vỏ kem ốc quế “kinh tế” nhất.

 

Những vùng mờ khác nhau ở ảnh trên biểu diễn 3 cây kem ốc quế với thể tích khác nhau, nhưng mỗi cây kem có giá trị $\alpha $ nhằm đảm bảo diện tích bề mặt nhỏ nhất ứng với thể tích tương ứng.

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ent/outer-space