Đến nội dung


hoangtrong2305

Đăng ký: 26-02-2011
Offline Đăng nhập: 22-09-2017 - 20:50
****-

Chủ đề của tôi gửi

Cây kem ốc quế của Archimedes

31-08-2017 - 18:10

Trong thế giới thực, đôi khi ta gặp những tình huống yêu cầu ta phải tối ưu hoá không gian để đạt được một ưu thế nhất định, ví dụ như sự phân nhánh và mọc lá của cây thường theo cấu trúc fractal nhằm tối đa hoá diện tích bề mặt hấp thụ nắng và các chất dinh dưỡng. Đây là một trong những nguyên do vì sao đường cong và hình dạng trong tự nhiên thường nhấp nhô, trong khi các kỹ sư thiết kế cánh máy bay hay vành xe hơi phải trơn nhằm tối ưu hoá vấn đề khác.

 

Ta quan sát một tình huống khác với mục tiêu là tối thiểu hoá diện tích bề mặt vào thể tích cho trước. Ví dụ, nếu ta sản xuất lon thiếc để chứa đậu xanh thì khi đó ta muốn tối thiểu diện tích thiếc gần bằng với thể tích $V$ cho trước để chứa đậu xanh. Giả sử lon có đầu và đáy hình tròn có bán kính $r$ và chiều cao $h$, khi đó tổng diện tích bề mặt (hai hình tròn có bán kính $r$ và hình trụ có đường kính $2\pi $ và chiều cao $h$) là

                                                    $$A=2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh$$

beans.png

Do thể tích lon có công thức là $V=\pi {{r}^{2}}h$, ta viết lại công thức diện tích bằng cách thay $h=V/\pi {{r}^{2}}$ như sau

                                                      $$A=2\pi {{r}^{2}}+2V/r$$

Giá trị thể tích là cố định nên để tìm diện tích nhỏ nhất của thiếc thì ta tính đạo hàm

                                     $$\frac{dA}{dr}=4\pi r-\frac{2V}{{{r}^{2}}}$$

và cho kết quả này bằng 0 và kiểm tra bất đẳng thức ${{d}^{2}}A/d{{r}^{2}}>0$ nhằm đảm bảo kết quả nhỏ nhất là chính xác.

 

Do đó ta cần

                                                           $$V=2\pi {{r}^{3}}$$

mặt khác, vì $V=h\pi {{r}^{2}}$ nên ta cần $h=2r$. Từ đó ta thấy rằng trong thực tế đa số lon thiếc có chiều cao bằng với đường kính đáy.

Nếu bạn muốn làm một cái ly hình trụ thì tỉ lệ tốt nhất là $h=r$. Nếu bạn đi siêu thị và quan sát trên kệ bán hàng, bạn sẽ thấy một số lon thiếc thiết kế tối ưu với chiều cao bằng đường kính, nhưng một số lon thì không thiết kế như vậy, chắc nhà sản xuất muốn tạo nên sự khác biệt chăng?

 

Nhân tiện, nếu ta thay đổi bài toán thành tìm hình dạng để thể tích đạt giá trị lớn nhất khi cho trước giá trị diện tích, khi đó hình dạng sẽ như thế nào? Cuối cùng, do đây là mùa hè nóng bức thích hợp để ăn kem ốc quế, hãy tự hỏi rằng khi kinh doanh, ta nên thiết kế bánh ốc quế như thế nào để kinh tế nhất. Archimedes vào thế kỷ 225 trước Công Nguyên, nếu đỉnh của một hình nón mở là hình tròn có bán kính $r$ và chiều cao đến đỉnh là $h$, khi đó thể tích cây kem bao bởi bánh hình nón là

                                                 $$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$$

và diện tích bề mặt là

                                           $$A=\pi r\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}$$

optimals_labelled.png

 

Bây giờ quay lại bài toán lon thiếc, ta thay $h=3V/\pi {{r}^{2}}$ vào công thức $A$, tính $dA/dr$ và chi kết quả bằng 0, ta được

$$\frac{dA}{dr}=\pi {{\left( {{r}^{2}}+\frac{9{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}} \right)}^{1/2}}+\frac{\pi r}{2}{{\left( {{r}^{2}}+\frac{9{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{4}}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}\left( 2r-\frac{36{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}{{r}^{5}}} \right)$$

Cho biểu thức trên bằng 0, thu được kết quả là

                                  $${{r}^{3}}=3V/\pi \sqrt{2}={{r}^{2}}h/\sqrt{2}$$

và do đó tỉ lệ tối ưu giữa chiều cao và bán kính khi thiết kế vỏ hình nón cho cây kem ốc quế là $h/r=\sqrt{2}$. Vì vậy, vì $r/h=1/\sqrt{2}$ là $\tan \left( \alpha  \right)$ nên góc $\alpha ={{\tan }^{-1}}\left( 1/\sqrt{2} \right)~=0.6$ radian, tương ứng với ${{35.26}^{o}}$ hay ${{35}^{o}}15'$. Theo nghĩa nào đó thì đây là phần vỏ kem ốc quế “kinh tế” nhất.

 

Những vùng mờ khác nhau ở ảnh trên biểu diễn 3 cây kem ốc quế với thể tích khác nhau, nhưng mỗi cây kem có giá trị $\alpha $ nhằm đảm bảo diện tích bề mặt nhỏ nhất ứng với thể tích tương ứng.

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ent/outer-space


Biến đổi Fourier trong ảnh

29-08-2017 - 02:27

Âm thanh mà ta nghe được, dù đó là nhạc, lời nói hay những tiếng ồn trong đám đông đều là kết quả của sự dao động trong màng nhĩ lỗ tai, được mô phỏng bằng sóng âm lan truyền trong không khí phát ra từ tai nghe, âm thanh nhạc cụ, tiếng nói của con người hay từ một kẻ vô duyên nói luyên thuyên sau lưng bạn khi xem phim ngoài rạp. Khi vẽ đồ thị những dao động này theo cường độ hay áp suất theo thời gian, ta được biểu diễn hình ảnh của âm thanh.

 

tuningfork.png

speech.png

Sóng âm thanh phát ra từ âm thoa (ảnh trên) và sóng âm thanh phát ra khi con người nói (ảnh dưới)

 

Đồ thị sóng âm phát ra từ cây âm thoa hình chữ $A$ là ví dụ cho sóng sine, ký hiệu toán học là $\sin \left( x \right)$, còn đồ thị sóng âm của tiếng nói thì có dạng phức tạp hơn. Tuy nhiên, bất kỳ sóng âm nào, hay có thể nói bất kỳ hàm tuần hoàn nào cũng đều có thể tách thành một số các sóng sine với những tần số và cường độ khác nhau. Kết quả này là công trình nghiên cứu của nhà Toán học người Pháp có tên Joseph Fourier, ông sinh vào thế kỷ 18 trong cuộc Cách mạng Pháp. Biểu thức của sóng âm hay bất kỳ tín hiệu thay đổi theo thời gian được biểu diễn theo các sóng sine được gọi là biểu diễn Fourier của tín hiệu đó.

Fourier_transform.gif

Hàm $f$ thay đổi theo thời gian biểu diễn sóng âm. Quy trình biến đổi Fourier dùng hàm $f$ và phân rã thành các sóng sine tương ứng với cường độ và tần số riêng biệt. Ta biểu diễn biến đổi Fourier thành các đỉnh gai trong miền tần số, chiều cao mỗi đỉnh gai biểu diễn biên độ sóng của tần số đó

 

Bạn có thể xem hình ảnh là một hàm biến đổi, tuy nhiên, hàm biến đổi này không biến đổi theo thời gian mà biến đổi theo không gian 2 chiều của ảnh. Đối với ảnh xám, mỗi điểm ảnh có giá trị từ 0 đến 255 biểu diễn cường độ ảnh. Do đó, cường độ của điểm ảnh là một hàm số theo toạ độ trục tung và trục hoành tương ứng với vị trí của điểm ảnh đó. Bạn có thể xem ảnh như một cảnh có những gợn sóng nhấp nhô, với chiều cao của cảnh tương ứng với giá trị của điểm ảnh.

 

R%2BM-surf.jpg

Một tấm ảnh số được đăng trên tạp chí Plus, mỗi điểm ảnh có giá trị từ 0 đến 255 biểu diễn mức xám của điểm ảnh. Ảnh bên phải là hàm ảnh của ảnh bên trái, với mỗi giá trị xám $u\left( x,y \right)$ là chiều cao của bề mặt trong mặt phẳng $\left( x,y \right)$

 

Ta có thể biểu diễn ảnh thành tổng các sóng sine, nhưng thay vì biểu diễn theo sóng một chiều thì ta biểu diễn theo hai chiều, giống như những gợn sóng trên sông.

 

Sóng sine 2 chiều được viết là

                                                    $$z=a\sin \left( hx+ky \right)$$

với $x$ và $y$ là toạ độ của điểm trên “sông”, $z$ là độ cao (hay cường độ) của sóng tại điểm đó, còn $a$ là biên độ (độ cao lớn nhất) của sóng, còn $h$ và $k$ là số lần sóng lặp lại theo chiều $x$ và $y$ riêng biệt (tức tần số $x$ và $y$).

sinx-sin2y-sinx%2By.jpg

Đồ thị sóng $\sin \left( x \right),\sin \left( 2y \right)$ và $\sin \left( x+y \right)$

 

Khi $k=0$, sóng sine chỉ dao động dọc theo trục $x$. Khi $h=0$, sóng sine chỉ dao động theo trục $y$. Nhưng nếu $k$ và $h$ khác 0, sóng sine dao động theo chiều chéo theo mặt phẳng theo hướng góc nhất định (vuông góc với sóng trước) và độ dốc là $h/k$.

 

Cộng những sóng này lại tương đương với cộng những giá trị riêng biệt (hay độ cao) của sóng tại mỗi điểm ảnh. Các sóng này giao thoa cùng pha tạo thành sóng cuối cùng có giá trị cao hơn tại điểm đó hay giao thoa ngược pha và triệt tiêu nhau. Nếu biên độ của một trong các sóng cao hơn các sóng còn lại thì sóng đó sẽ có ưu thế hơn.

sinx%2By-5sinx-5siny.jpg

Các sóng $\sin \left( x \right)+\sin \left( y \right),5\sin \left( x \right)+\sin \left( y \right)$ và $\sin \left( x \right)+5\sin \left( y \right)$. Bạn có thể thấy độ lớn của biên độ sóng $5\sin \left( x \right)$ ở ảnh giữa và $5\sin \left( y \right)$ ở ảnh phải chiếm ưu thế trong sóng cuối

 

Biến đổi Fourier của ảnh sẽ tách hàm ảnh thành tổng các sóng sine tương ứng. Giống như sóng âm, biến đổi Fourier có đồ thị theo tần số còn trong ảnh thì miền tần số là 2 chiều, đó là tần số $h$ và $k$ theo chiều $x$ và $y$, do đó biến đổi Fourier có đồ thị không phải dạng chuỗi các đỉnh nhọn mà là một ảnh cùng chiều và kích thước điểm ảnh như ảnh ban đầu.

 

Mỗi điểm ảnh trong biến đổi Fourier có toạ độ $\left( h,k \right)$ nhằm biểu diễn sóng sine theo tần số $h$ ở trục $x$ và tần số $k$ ở trục $y$ trong biến đổi Fourier. Toạ độ tâm biểu diễn sóng $\left( 0,0 \right)$, tức một mặt phẳng không gợn sóng và cường độ (tức độ sáng của màu theo thang xám) là giá trị trung bình của các điểm ảnh trong ảnh. Điểm nằm bên trái và bên phải của điểm trung tâm biểu diễn sóng sine biến đổi theo trục $x$ (tức $k=0$). Độ sáng của những điểm này biểu diễn cường độ của sóng sine với tần số của điểm đó theo biến đổi Fourier (cường độ này là biên độ của sóng sine bình phương). Những sóng thẳng đứng ở trên và dưới điểm trung tâm biểu diễn các sóng sine thay đổi theo $y$ nhưng không đổi theo $x$ (tức $h=0$) và những điểm khác trong biến đổi Fourier biểu diễn mức đóng góp của sóng chéo.

 

sinx-ft-zoom.jpg

Sóng $\sin \left( x \right)$ được biểu diễn dưới ảnh xám và biến đổi Fourier của ảnh xám đó

 

Ví dụ, xem ảnh bên trái, đây là ảnh xám của sóng $\sin \left( x \right)$ hai chiều, ảnh kế bên là biến đổi Fourier của ảnh xám này, ảnh biến đổi có cùng kích thước với ảnh xám, đa số là màu đen ngoại trừ những vùng sát với tâm ảnh thì có vài điểm ảnh sáng. Nếu ta phóng to vào tâm ảnh biến đổi (ảnh bên phải), bạn thấy có chính xác 3 điểm ảnh không phải màu đen, một điểm sáng nằm ở điểm tâm ảnh có toạ độ $\left( 0,0 \right)$ biểu diễn mức đóng góp của sóng $\left( 0,0 \right)$ trong ảnh, một điểm có toạ động $\left( 1,0 \right)$ và điểm đối xứng nằm ở $\left( -1,~0 \right)$ biểu diễn mức đóng góp của sóng $\left( 1,0 \right)$ (sóng sine ở ảnh trái), còn các điểm ảnh còn lại có màu đen do ảnh xám ban đầu chỉ sử dụng sóng $\left( 1,~0 \right)$.

 

Eg-simpleFTs.jpg

Ảnh trên: Sóng $\sin \left( 20x \right)+\sin \left( 10y \right)$ và ảnh biến đổi Fourier cho thấy 2 cặp điểm ảnh tại toạ độ $\left( 20,0 \right)$ và $\left( 0,10 \right)$ và toạ độ đối xứng biểu diễn mức đóng góp của 2 sóng này.

Ảnh dưới: Sóng $\sin \left( 100x+50y \right)$ và ảnh biến đổi Fourier cho thấy cặp các điểm ảnh sáng tại toạ độ $\left( 100,50 \right)$ và toạ độ đối xứng

 

Biến đổi Fourier của các tổ hợp sóng đơn giản chỉ có vài điểm sáng, nhưng với những ảnh phức tạp hơn như ảnh kỹ thuật số thì có nhiều điểm sáng hơn khi biến đổi Fourier do ảnh dùng nhiều sóng để biểu diễn ảnh.

 

Biến đổi Fourier ở nhiều ảnh số mà ta thường gặp, thông thường cường độ ở trục $x$ và $y$ sẽ mạnh khi biến đổi, cho thấy các sóng sine chỉ biến đổi dọc theo các trục này có vai trò rất lớn trong ảnh cuối cùng bởi vì trong một ảnh sẽ chức rất nhiều đặc trưng theo chiều ngang và dọc và đối xứng, như ảnh chụp bức tường, cạnh bàn, kể cả cơ thể người cũng có tính đối xứng theo chiều dọc. Bạn có thể quan sát điều này bằng cách xoay ảnh một chút, khoảng $45^{o}$, khi đó biến đổi Fourier sẽ có cường độ mạnh tại cặp các đường thẳng vuông góc dã được xoay cùng một lượng với góc xoay của ảnh.

 

Plus-FT.jpg

Ảnh xám trong tạp chí Plus và ảnh sau khi biến đổi Fourier cho thấy chuỗi các mức đóng góp của sóng dọc biểu diễn bởi các điểm sáng dọc theo trục tung.

 

Plus45-FT.jpg

Ảnh trong tạp chí Plus xoay một góc ${{45}^{o}}$ và biến đổi Fourier

 

Biến đổi Fourier là một công cụ tuyệt diệu khi phân tích và sử dụng âm thanh hay hình ảnh. Đối với ảnh, biến đổi Fourier là công cụ toán học quan trọng khi nén ảnh (ví dụ như chuẩn ảnh JPEG), lọc ảnh hay giảm mờ, nhiễu ảnh.

 

Ảnh sóng sine 2 chiều, bề mặt sóng và biến đổi Fourier được tạo bởi phần mềm toán học MATLAB, nếu bạn muốn tự trải nghiệm với ảnh của bạn, bạn có thể dùng đoạn code tại https://plus.maths.o...rola/MATLAB.TXT

 

Một bài tiểu luận nhỏ của tôi về lọc ảnh trong miền tần số có sử dụng đến biến đổi Fourier, sử dụng code trên MATLAB: https://www.academia..._lọc_Contourlet

 

Nguồn: https://plus.maths.o...ansforms-images


Sơ nét về phân phối Nhị thức

23-07-2017 - 23:26

Để tìm hiểu về phân phối Nhị thức, ta hãy chơi trò chơi sau: Tôi tung đồng xu $n$ lần, nến xuất hiện mặt sấp $k$ lần thì bạn thắng 1 triệu đồng, nếu không, bạn thua tôi 1 triệu đồng. Hỏi với các giá trị $n$ và $k$ khác nhau thì xác suất tương ứng bạn thắng là bao nhiêu? 

 

Để trả lời câu hỏi này, ta sẽ dùng đến phân phối Nhị thức, phân phối này giúp bạn xác định xác suất $k$ lần thành công (tức được mặt sấp) trong tổng cộng $n$ lần thử (tức số lần tung đồng xu). Để hiểu về xác suất này, ta cần biết về xác suât thành công, trong ví dụ tung đồng xu thì xác suất tung được mặt sấp là $0.5$ với điều kiện đồng xu đồng chất, còn nếu đồng xu không đồng chất thì xác suất sẽ khác đi. Để biết xác suất tổng quát, ta ký hiệu $p$ là xác suất bạn thắng, khi đó, xác suất ta đạt được một chuỗi thành công và thất bại theo một trình tự riêng biệt bằng với tích các xác suất riêng lẻ. Ví dụ, xác suất đạt được chuỗi trình tự thành công, thành công, thất bại là

$$p \times p \times (1-p)$$

binomial.png

Phân phối Nhị thức với các cặp $n$ và $k$ khác nhau. Đồ thị biểu diễn xác suất xảy ra $k$ trong $n$ lần thử là thành công

 

Nhưng ta không quan tâm đến trình tự thành công và thất bại mà ta chỉ quan tâm đến số lần thành công, khi đó ta cần cộng các chuỗi trình tự xác suất, từ đó ta được xác suất thành công. Quay lại ví dụ tung đồng xu với 3 lần tung và 2 lần thành công, khi đó trường hợp có thể xảy ra là

  • Thành công, thành công, thất bại
  • Thành công, thất bại, thành công
  • Thất bại, thành công, thành công

Mỗi trường hợp có xác suất $p \times p \times (1-p)$, do đó xác suất xảy ra 1 trong 3 trường hợp này là

$$3 \times p \times p \times (1-p) = 3p^{2}(1-p)$$

Viết tổng quát hơn

$$P(k\text{ thành công từ } n \text{ lần thử })=\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k}$$

Giá trị $k$ có thể nhận giá trị $0,1,2$ cho đến $k$, hệ số đầu tiên là hệ số nhị thức

$$\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Dấu chấm than là ký hiệu của phép tính giai thừa, định nghĩa là

$$n! = n\times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$$

Ta có thể xem hệ số nhị thức là số cách chọn $k$ phần tử không theo thứ tự từ $n$ phần tử. Phân phối nhị thức có trung bình là $np$ và phương sai là $np(1-p)$.

 

Bài viết dịch từ https://plus.maths.o...ntent/node/6855


Cô dâu bỏ đám cưới vì chú rể giải toán sai

15-03-2017 - 12:53

Một cô dâu ở Ấn Độ thẳng thừng bỏ về giữa đám cưới sau khi chú rể trả lời sai phép toán đơn giản 15 cộng 6 bằng bao nhiêu. 

 

Theo Times of Indian, vụ việc xảy ra ở bang Uttar Pradesh hôm 11/3. Khi đó, gia đình hai họ cùng bà con, dân làng đều đã tập trung đông đủ ở một nhà hàng để tham dự đám cưới của chú rể Ram Baran.
 
Tuy nhiên, vì nghi ngờ về trình độ học vấn của Baran, anh em họ của cô dâu đã yêu cầu anh giải một phép toán đơn giản, đó là 15 cộng 6 bằng bao nhiêu.
 
Họ được một phen sốc nặng khi thay vì đáp án 21, Baran lại trả lời là 17. Cô dâu rất tức giận và từ chối tiếp tục làm đám cưới với anh.
 
Khi hôn lễ sắp được cử hành, cô tuyên bố không thể kết hôn với một người thất học. Gia đình chú rể đã cố gắng thuyết phục cô dâu ở lại nhưng cô không chấp nhận và bỏ đi.
 
"Bất cứ học sinh lớp 1 nào cũng có thể trả lời bài toán đơn giản này. Gia đình chú rể đã giấu chúng tôi về học vấn của anh ta", ông Mohar Singh, cha của cô dâu nói. "Thật xấu hổ khi chúng tôi đã chuẩn bị chu đáo để đến đây. Nó cũng ảnh hưởng đến uy tín của chúng tôi. Chúng tôi đã bị lừa".
 
Những người họ hàng của cô dâu sau đó trình báo vụ việc với cảnh sát. Sau khi được giảng hòa, gia đình hai bên đã đi đến thỏa thuận sẽ trả lại số sính lễ và trang sức mà họ trao đổi trong lễ đính hôn.
 
"Hai gia đình đã giải quyết ổn thỏa vụ việc", một cảnh sát nói.
 
Tháng trước, một cô dâu khác ở Uttar Pradesh đã cưới một khách đến dự tiệc sau khi chú rể bị ngất giữa buổi lễ. Gia đình anh này không tiết lộ chuyện anh ta bị động kinh. Trong khi chú rể được đưa tới bệnh viện, cô dâu đã yêu cầu một trong những vị khách thay thế hôn phu của mình.
 
Hầu hết các đám cưới ở Ấn Độ đều do gia đình sắp đặt. Ngoài các cuộc gặp mặt chóng vánh, các cặp tân lang, tân nương hiếm khi hiểu nhau trước khi về chung sống.
 

Học toán ở Mỹ dễ như... ăn kẹo

14-03-2017 - 13:37

Hồi tôi còn ở Việt Nam, khi có dịp phỏng vấn các em du học sinh về chương trình toán mà các em được học tại Mỹ, tất cả đều trả lời rằng “rất dễ!”. Khi ấy tôi vẫn không thể hình dung cái sự dễ dàng “như ăn kẹo” ấy như thế nào, cho đến khi cơ hội đẩy đưa tôi ghi danh vào một trường CĐ cộng đồng ở Mỹ.

“You don’t care” (Bạn không quan tâm đến kết quả)

Khi ấy, tôi lần lữa hoài vẫn chưa muốn chọn học môn toán cho học kỳ đầu tiên, vì nỗi ám ảnh học toán ở phổ thông vẫn còn đeo đẳng tôi. Thế nhưng, toán là một trong những môn bắt buộc cho kỳ thi đầu vào (placement test) ở tất cả trường học CĐ, ĐH tại Mỹ.

Hơn 20 năm chưa đụng đến toán, từ khi tốt nghiệp THPT, kiến thức toán của tôi rơi rụng rất nhiều... Tuy nhiên, tôi vẫn đậu được vào lớp, cao thứ nhì của kỳ thi đầu vào, với các phép tính chủ yếu về cộng, trừ, nhân, chia!

Giáo sư dạy toán của lớp tôi có phong cách rất bình dân, ông thường mặc quần short khi vào lớp. Ông cũng rất linh động (trong sự dễ dãi) khi lùi thời hạn cuối nộp bài tập cho những sinh viên bận rộn hoặc lười biếng.

Với một bài toán khó, giáo sư thường hài hước hỏi sinh viên giơ tay nếu nghĩ kết quả A hay B đúng, hoặc “you don’t care” (không quan tâm đến kết quả).

Giờ học toán trôi qua rất nhẹ nhàng khi giáo sư luôn tận tình giải những bài toán khó trên bảng. Nếu sinh viên vẫn chưa hiểu thì có thể hỏi ông hoặc một trợ giảng môn toán luôn có mặt ở lớp, để cùng ông thầy giúp sinh viên nắm được cách giải toán trước khi bước ra khỏi lớp.

Lớp toán tôi đang học - “Intermediate Algebra” (trung cấp đại số) là lớp cuối cùng cho sinh viên chuyên ngành kinh tế bắt buộc phải học (sinh viên những chuyên ngành khác không đòi hỏi trình độ toán cao hơn thì có thể chọn những lớp thấp hơn), nhưng thật ra kiến thức tương đương với toán bậc THCS ở Việt Nam, với các yêu cầu giải đơn thức, nhị thức, đa thức, học về hệ số, số mũ, phân số.

Hằng đẳng thức đáng nhớ thì chỉ mới học ba dạng đơn giản nhất như (a + b)2, (a - b)2, a2 - b2. Vẽ đồ thị thì vô cùng đơn giản, vì có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay TI-83, hoặc TI-84 (sinh viên được khuyến khích sử dụng máy, có thể mướn máy ở trường với giá 10 USD/học kỳ), nên chỉ cần nhập phương trình y là máy tự động vẽ đồ thị và tính toán tọa độ (x, y).

Điều tôi muốn nói chính là học toán ở Mỹ rất nhẹ nhàng và hứng thú. Giáo viên không gây sức ép với học sinh, trong khi ở Việt Nam, nhiều học sinh phải đi học thêm mới hiểu bài và qua được các kỳ kiểm tra 15 phút, 1 tiết hóc búa, chỉ những ai học thêm tại nhà thầy cô mới có bí quyết giải.

Học toán ở Việt Nam thật sự là nỗi ám ảnh kinh hoàng đối với tôi (thỉnh thoảng ác mộng còn trở lại, cho dù tôi đã tốt nghiệp 5-10 năm sau).

Không thể dở toán ở Mỹ

Định kiến “học toán quá khó và thiếu tính thực tế” của tôi đã bị phá vỡ khi tôi bắt đầu học toán ở Mỹ. Tôi chẳng thể ngờ có một ngày việc giải toán lại trở nên cuốn hút tôi, khiến tôi có thể thức khuya để giải cho xong những bài toán khó, với cảm giác hạnh phúc khi chạm đến “chân lý”.

Học toán tại Mỹ khác ở Việt Nam không chỉ vì kiến thức dễ hơn (chỉ so sánh tổng quát), mà còn vì phương pháp học. Mỗi sinh viên bắt buộc phải mua một tài khoản online của nhà xuất bản để đăng ký khóa học với giáo sư của mình. Tài khoản này thường có giá trị trong một học kỳ và tự động hết hiệu lực sau khi một học kỳ kết thúc.

Khi đã có tài khoản đăng ký, sinh viên sẽ vào lớp toán của mình, giải bài tập online hằng tuần. Số tiền bỏ ra rất đáng đồng tiền bát gạo, vì ở website này không chỉ có nội dung kiến thức của sách giáo khoa, mà còn có video hướng dẫn giải toán rất chi tiết của các giáo sư từ nhiều trường CĐ, ĐH Mỹ.

Đặc biệt, trong mỗi câu hỏi của bài tập luôn có ví dụ đi kèm, giúp người học nghiên cứu cách giải.

Nếu xem xong ví dụ mà vẫn chưa giải được thì sinh viên có thể chọn thanh công cụ “giúp tôi giải bài toán này” (thông thường sinh viên phải giải 2 chuyên đề mỗi tuần, mỗi chuyên đề có từ 22 - 30 câu hỏi).

Nếu vẫn còn “bí” nữa thì email trực tiếp cho giáo sư của mình để nhờ giải bài toán khó. Tôi chưa từng phải email hỏi giáo sư, vì thường giải được hết bài sau khi xem ví dụ, hoặc nhờ website hướng dẫn giải từng bước.

Học toán ở Mỹ bắt buộc sinh viên phải đến một nơi gọi là “Learning Center” (trung tâm học tập) ít nhất ba tiếng cho một học kỳ. Có giáo sư còn khuyến khích sinh viên đến nơi này để nhận thêm điểm cộng, nếu học trò “vượt chỉ tiêu”.

“Trung tâm học tập” là nơi luôn có giáo sư hoặc gia sư “tutor” - những sinh viên giỏi toán được trường mướn để giúp học trò giải các bài toán hóc búa, hoặc ôn lại kiến thức mất căn bản.

Cho dù bạn lười biếng, bạn cũng không thể dở toán ở Mỹ, vì phương tiện và nhân lực luôn có sẵn để hỗ trợ việc học của bạn. Còn việc giỏi toán hay không lại là một phạm trù khác, phụ thuộc vào năng khiếu của mỗi người.

Hãy để toán là “thứ học được”

Từ toán học “mathematics” trong tiếng Anh bắt nguồn từ “máthema” tiếng Hi Lạp cổ, nghĩa là “thứ học được”. Toán học là một môn khoa học thiết yếu liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, y học và tài chính.

Học sinh Việt Nam cần một nền toán học ứng dụng để “học được”, để ít nhất sau khi ra trường có thể tính được những bài toán căn bản thực tế, như cần mua bao nhiêu gạch nếu phải sửa nhà. Để học sinh không ghét hoặc có định kiến về toán học thì cần những cải tổ thật sự hiệu quả từ Bộ GD-ĐT.

 

 

Trích báo Tuổi Trẻ, đăng ngày 14/03/2017: http://tuoitre.vn/ti...eo/1279739.html