MaFia_Kute

tks, đây là đoạn cuối trong bài mà mình đang giải dở, thế mà mình cũng ko để ý, không ngờ đơn giản như vậy

đại loại là cho a1, b1,a2,b2,a3,b3 là các số thực và a1 a2 a3 và b1 b2 b3. a1 + a2 b1+b2, a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3
Cho x,y,z là các số thực dương, ta có sym (x^a1)(y^a2)(z^a3) sym (x^b1)(y^b2)(z^b3)
Trong cuốn Topics in Inequalities - Theorems and Techniques của Hojoo Lee ( search google cái tên sách ra ngay file pdf ) có nói về bđt này .

mình cũng nghe danh muiheard từ lâu mà chưa bik mặt, sao trông gần giống Karamata vậy

Bất đẳng thức Jensen
Cho hàm số $y=f(x)$ lồi trên $[a;b]$ $(f(x)$liên tục trên $[a;b]; f'(x)\leq 0$ với mọi $x \in [a;b]). $
Cho các số $k_1; k_2;...; k_n \in R^+; k_1+k_2+...+k_n=1.$ Khi đó, với mọi $x_i \in [a;b]; i \in \overline{1;n}$ ta luôn có:
$ \sum_{i=1}^{n}k_if(x_i) \leq f(\sum_{i=1}^nk_ix_i) $
Nếu hàm số $y=f(x)$ lõm trên $[a;b]$ ($f(x)$ liên tục trên $[a;b]$; $f'(x) \geq 0$ với mọi $x \in (a;b)$) thì bất đẳng thức trên đổi chiều, tức là:
$ \sum_{i=1}^{n}k_if(x_i) \geq f(\sum_{i=1}^nk_ix_i) $

ngược dấu rùi, lồi là lớn hơn, lõm là nhỏ hơn chứ

Hôm nay mình đọc lại bài của bạn rùi, nể bạn đó, bạn vừa chứng minh được kết quả còn mạnh hơn của mình. Bạn thử đơn giản hóa vấn đề đi, nghĩ bài của mình, chủ yếu là mình cũng muốn tìm xem có lời giải đơn giản hơn không, hỳ

Viết lại BĐT dưới dạng sau:$ \sum\limits_{a,b,c} (\sqrt[k]{a}-\sqrt{a}) \ge 0$

không biết bạn có đọc sai đề của mình không vậy, nhưng mình thì thấy ngại đọc lời giải của bạn quá, đọc được 3 dòng đầu thôi^^!.Vấn đề thế này: đề bài của mình: vế phải có số mũ là (k!) mà vế trái có số mũ là k. 2 vế có bậc khác nhau 1 trời 1 vực, mà sao ngay dòng đầu mình thấy bạn biểu diễn tổng sigma thế kia, bạn thử xem giùm lại cái. Bạn cũng quen dùng đạo hàm à, hay nhỉ. Mọi người cố lên nha, bài này em nghĩ tới 2 cách lận đó