Đến nội dung

Zaraki

Zaraki

Đăng ký: 07-03-2011
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 17:55
****-

Trong chủ đề: Đánh giá tổng Kloosterman và biến đổi Fourier l-adic

24-08-2023 - 03:48

Còn nếu cậu muốn xem nó như các complex thì thực chất cậu đang muốn định nghĩa derived category $D^b_c(X,\mathbb{Z}_l)$. Nó được định nghĩa là "giới hạn" (theo nghĩa nào đó)

$$D^b_c(X,\mathbb{Z}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$$

của các derived categories theo nghĩa thông thường, ở đây $D^b_{ctf}(X,\mathbb{Z}/l^n)$ là derived cat của các phức có bó đối đồng điều là constructible và ta yêu cầu nó đẳng cấu với một $\mathbb{Z}/l^n$-flat complex. 

Cảm ơn Bằng nhiều. Định nghĩa này nhìn có vẻ khá phức tạp ... Bằng giải thích nôm na vì sao ta cần đẳng cấu với $\mathbb{Z}/\ell^n$-flat complex không?

 

Chỗ này theo tớ không thật sự dùng constructible, constructible là về mặt cohomology.

 

Edit: tớ hiểu ý cậu rồi, tớ đoán là cậu đang hiểu function-sheaf dictionary cho constructible sheaves rồi extend cho complex, từ sheaves lên complexes of sheaves thì mình dùng tổng đan dấu của các cohomology (giống kiểu Euler-characteristic).

 

Thật ra ý tớ cậu trả lời trước khi edit rồi, tức là ta có để xây dựng function $\text{Trace}_{\mathcal{F}}: X(k)\to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$ cho mọi $\mathcal{F}\in D^b(X,\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$, không nhất thiết phải $D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$? 

 

Thật ra tớ có đọc được một cách khác để định nghĩa $\text{Trace}_{\mathcal{F}}$ nhưng phải cần điều kiện $\mathcal{F}$ là constructible complex, ví dụ trong trang 3 của https://math.uchicag...u/~ngo/PCMI.pdf: Với một điểm $x: \text{Spec }x\to X$, thì $\overline{x}^*\mathcal{F}$ cũng là $\ell$-adic, cụ thể là constructible, tức constructible $H^i(\overline{x}^*\mathcal{F})$ tương ứng với continuous representation of $\text{Gal}(\overline{k}/k) \to GL_n(\overline{\mathbb{Q}_{\ell}})$. Khi đó ta có thể định nghĩa trace của Frobenius của $H^i(\overline{x}^*\mathcal{F})$. 

 

Chắc là hai định nghĩa này giống nhau? 


Trong chủ đề: Đánh giá tổng Kloosterman và biến đổi Fourier l-adic

23-08-2023 - 19:07

Objects of $D^b_c(X)$ are called $\mathbb{Q}_l$-sheaves or $l$-adic sheaves. The tensor product admits a unit denoted $\mathbb{Q}_{l,X}$ corresponding to the "constant" $l$-adic sheaf. For a $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$, we define the $i$-th $l$-adic cohomology by setting

$$H^i(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) = \mathrm{Hom}_{D^b_c(X)}(\mathbb{Q}_{l,X},p_*\mathcal{F}[n]).$$ if $p: X \longrightarrow \mathrm{Spec}(k)$ is the structural morphism. Similarly, 

$$H^i_c(X \otimes_k \overline{k},\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) = \mathrm{Hom}_{D^b_c(X)}(\mathbb{Q}_{l,X},p_!\mathcal{F}[n]).$$ There is a subcategory of this category called smooth $l$-adic sheaves. Instead of treating (smooth) $l$-adic sheaf as complexes, we follow a shorter path:

Định lý

Let $X/k$ be an algebraic variety and $\overline{x} \longrightarrow X$ be a geometric point, then there is an equivalent of categories
$$\left \{\text{etale} \ \overline{\mathbb{Q}}_l-\text{sheaves} \right \} \overset{\sim}{\longrightarrow} \left \{\text{continuous rep. of} \ \pi_1(X,\overline{x}) \ \text{of} \ \overline{\mathbb{Q}}_l-\text{vector spaces} \right \}.$$ and moreover, smooth $l$-adic sheaves correspond to those representations which are of finite dimension. The equivalence is given by sending each etale $\overline{\mathbb{Q}}_l$ to its fiber over $\overline{x}$
.

 

Bằng có biết làm thế nào để định nghĩa smooth $\ell$-adic sheaves as complexes không? Có cảm giác cái này sẽ tương đương với smooth functions $X(k)\to \overline{\mathbb{Q}_{\ell}}$, nhưng như thế nào mới được coi là smooth từ $X(k)$?

 

Như vậy là cái tên "etale-$\mathbb{Q}_{\ell}$-sheaves" tương đương với local system/locally constant sheaves?

 

The next point is to formulate the Grothendieck trace formula, which (I think people may not drop this point at the first reading) is our main tool of computation. We have to find a natural way to define an endormophism, denoted $\mathrm{Frob}^*$

$$\mathrm{Frob}^*: H^i_c(X \otimes_k \overline{k}, \mathcal{F} \otimes_k \overline{k}) \longrightarrow H^i_c(X \otimes_k \overline{k}, \mathcal{F} \otimes_k \overline{k})$$ for every $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$ and its pullback $\mathcal{F} \otimes_k \overline{k}$ to $X \otimes_k \overline{k}$.

 

Think topologically and remember how people thought about sheaves in the beginning days. Well, sheaves are actually sheaves of sections of etale spaces (by this, I really mean we have some equivalence of categories), the same thing happens here: for every $l$-adic sheaf $\mathcal{F}$ on $X$, there exists an algebraic space (which plays the role of an etale space in the topological world) $[\mathcal{F}]$ together with an etale morphism $f: [\mathcal{F}] \longrightarrow X$ such that $\mathcal{F}$ becomes the sheaf of sections of this morphism. As a consequence, we may identify $\mathcal{F}$ with $[\mathcal{F}]$. By base change, we obtain an etale morphism $f \otimes_k \overline{k}: [\mathcal{F}] \otimes_k \overline{k} \longrightarrow X \otimes_k \overline{k}$ and in a similar to the theorem above, the diagram

\begin{xy}
\xymatrix {
\overline{\mathcal{F}} = \mathcal{F} \otimes_k \overline{k} \ar[r]^{\mathrm{Frob}} \ar[d]_{f} & \overline{\mathcal{F}} \ar[d]_f \\
                             X \ar[r]_{\mathrm{Frob}}  &  X
}
\end{xy}

is cartesian. That being said, $\overline{\mathcal{F}} \simeq  \mathrm{Frob}^*\overline{\mathcal{F}}$ where by $\mathrm{Frob}^*$ I really mean pullback of a sheaf. This isomorphism yields two important facts:

  • The composition $$\mathrm{Frob}^*: H_c^i(X \otimes_k \overline{k}, \overline{\mathcal{F}}) \longrightarrow H_c^i(X \otimes_k \overline{k},\mathrm{Frob}^*\overline{\mathcal{F}}) \simeq H_c^i(X \otimes_k \overline{k}, \overline{\mathcal{F}})$$ is the one that we are seeking, where the first morphism is the natural morphism. 
  • If $x \in X \otimes_k \overline{k}$ is fixed by the $n$-iteration of the absolute Frobenius, then taking stalks induces an isomorphism $\mathrm{Frob}_x^{*n}: \mathcal{F}_x \overset{\sim}{\longrightarrow} \mathcal{F}_x$.

If we set

$$\mathrm{Trace}_{\mathcal{F}}(x) =  \mathrm{Trace}(\mathrm{Frob}_x^{*},\mathcal{F}_x)$$ for each $x \in X(k)$, then this constitues a function

$$\mathrm{Trace}: X(k) \longrightarrow \overline{\mathbb{Q}}_l = \mathbb{C}$$

 

Với cái định nghĩa trace như thế này thì ở chỗ nào ta dùng điều kiện constructible của $\mathcal{F}$ nhỉ? Vì tớ tưởng ta chỉ có thể dùng function-sheaf dictionary cho complexes of constructible sheaves. 


Trong chủ đề: Motivic integration: an introduction

16-04-2022 - 07:11

Hồi đầu năm cũng có học khoán về motivic integration, lúc đó có lập được một cái bảng so sánh với p-adic integration như thế này:

 

File gửi kèm  Screen Shot 2022-04-16 at 7.07.07 am.png   324.89K   52 Số lần tải

File gửi kèm  Screen Shot 2022-04-16 at 7.07.15 am.png   183.07K   45 Số lần tải

File gửi kèm  Screen Shot 2022-04-16 at 7.07.22 am.png   131.98K   42 Số lần tải

 

Link tham khảo: 

  • Mihnea Popa https://people.math..../571/index.html
  • Francois Loeser Arizona winter school notes
  • Devlin Mallory notes Motivic integration
  • Willem Veys Arc spaces, motivic integration and stringy invariants.

Trong motivic integration, Bằng có biết có công thức change of variables tổng quát cho bất kì $\alpha: C\to \mathbb{Z}\cup \{\infty\}$ thay vì chỉ $\alpha: J_{\infty}(X)\to \mathbb{N}$ không nhỉ?


Trong chủ đề: Học và học lại ngành của bạn

14-04-2022 - 07:45

Toàn có thể viết một bài giới thiệu tổng quát và dễ hiểu (cho người ngoại đạo như anh) về chương trình Langlands được không? Anh chỉ biết sơ sơ đây là program nhằm thống nhất nhiều lĩnh vực Toán học khác nhau, và có thể được xem là program lớn nhất trong Toán học hiện đại. Nhiều năm nay đã có những kết quả đột phá (riêng chương trình này đã có rất nhiều huy chương Fields được trao, trong đó có GS Ngô Bảo Châu của chúng ta), nhưng không biết là progress như vậy là đã được bao nhiêu phần trăm, và còn những vấn đề lớn nào nữa cần giải quyết.

Để em thử anh. Nhưng mà cho em cái deadline dài dài  :D  Nếu được không biết anh Khuê (Nesbit), anh Hân (perfectstrong) và anh Đạt (WhjteShadow) viết một vài bài giới thiệu cho em với các bạn phổ thông / đại học biết tí mùi vị của toán ứng dụng ạ?

 

Anh viết bài để cổ vũ mọi người tìm hiểu về higher category, nhưng hoá ra đế đọc còn không hiểu thì bài viết tệ thật. Thực ra bài viết về $\infty$-phạm trù đó anh tổng hợp lại từ Kerodon, nhưng có lẽ viết ít hơn và formal hơn như giới thiệu trong quyển sách higher topos của Lurie thì tốt hơn. 

 

Toàn định theo Langlands thì chắc cũng có kiến thức về nhóm đại số đúng không ? Anh đang định đọc cuốn sách về giả thuyết Weil trên trường hàm của Lurie :https://www.math.ias...wa-abridged.pdf. Anh xem qua thì thầy phần về higher category khá đơn giản và vì là sách nên được nhắc lại rất cẩn thận, trùng lặp khá nhiều với HA là cái anh học được một ít rồi nên anh ước chừng nếu ai đó học về nhóm đại số thì sẽ dễ dàng đọc được chương 1 Introduction của cuốn sách. Nếu có hứng thú thì bảo anh nhé.

 

Thực ra anh đang mới học về spectral algebraic geometry, nhưng thấy khối lượng lớn quá (anh cần nhảy đến khoảng trang 400 của SAG của Lurie), và anh cũng bị lost luôn từ khoảng mấy chục trang đầu tiên của SAG nên anh nghĩ nếu nhìn ngay lập tức được một ứng dụng của lý thuyết thì sẽ có cảm quan tốt hơn về một đống định nghĩa trong SAG. Tuy nhiên giả thuyết Weil kia không phải cái anh quá quan tâm nên hi vọng có thể cộng tác được với ai đó để học thêm. 

 

Em luận án tốt nghiệp là làm về giả thuyết Weil về số Tawagawa đó anh https://toanqpham.gi...io/Tamagawa.pdf

Đến một lúc em cũng đã đụng đến cuốn sách của Lurie một tí (khoảng 1/2 của chương 1 chỉ để hiểu geometric formulation của giả thuyết này), nhưng chỉ dừng đó vì kiến thức hình học đại số của em yếu quá. Nếu anh thích em có thể thử trình bày những gì em biết về giả thuyết Weil cổ điển, rồi anh giúp em hiểu mấy đoạn sau trong sách Lurie? 

 

Higher category thì có em cũng thử đọc một tí, nhưng sau cũng dừng lại vì đọc thiếu động lực. Thật ra em cũng thấy có nhiều người khuyên là không nên đọc sách HA và SAG của Lurie trừ khi thật sự cần dùng kiến thức đó. Mà em hiện giờ thì không biết dùng cái này vào cái gì em quan tâm  :closedeyes:

 

Em đọc $l$-adic để học về six operations thôi, thực ra mỗi khi học em sẽ note lại nên không biết anh hay mọi người có hứng thú em sẽ lập một topic về $l$-adic cohomology xong sẽ note lại nội dung mình học hàng tuần.

Tớ cũng muốn học về six operations (không nhất thiết là $l$-adic, topological version tớ mà hiểu cũng là tốt rồi, cũng không biết có khác nhau lắm không?) vì cái này có áp dụng cho lý thuyết biểu diễn được (nên họ mới gọi geometric representation theory). Theo cảm tưởng thì cái này như một công thức, không nhất thiết phải biết mọi chi tiết, chỉ cần biết đủ dùng là được rồi? 


Trong chủ đề: Học và học lại ngành của bạn

14-04-2022 - 07:44

 

Thực ra cậu cứ viết bằng tiếng Anh cũng được, nhân đây em nghĩ ở mục toán hiện đại anh em có thể sử dụng hai ngôn ngữ vì đi vào nghiên cứu sâu có rất nhiều thuật ngữ không được dịch, chưa kể dùng tiếng Anh hay Việt cũng tùy gu từng người và nếu đã từng nghiên cứu dù là ở mức undergrad thì ít nhất cũng phải đọc được tiếng Anh.

Thế để tớ đăng một bài  :D

 

Việc viết bài thì nhắm theo đối tượng nào. Vài bài anh viết nhắm cho các bạn Phổ Thông thì anh sẽ cố gắng dịch dễ hiểu, đồng thời kẹp thêm thuật ngữ gốc để vừa diễn giải vừa giới thiệu :) Viết cho undegrad thì thoải mái hơn, cơ mà cũng nên chú ý tới nền mống của đối tượng.

 

Thật ra em cũng muốn viết một bài ngắn với đối tượng là các bạn phổ thông hoặc đại học, với mục đích là để quảng cáo ngành em đang theo học, tức là lý thuyết số, hình học và lý thuyết biểu diễn. Nhưng mà em chưa tìm được chủ đề nào để mà viết cho thật cuốn hút. 

 

Thật vui khi thấy đội ngũ anh em trên diễn đàn ngày xưa bây giờ đang học Ph.D., chắc chắn sẽ có nhiều câu chuyện để chia sẻ với nhau. Nếu đuợc thì nhóm mình làm một buổi Zoom chém gió cập nhật cho vui ^^. 

Thế thì tuyệt quá! Em cũng muốn hỏi thăm chuyện với anh em diễn đàn ở VN nữa. 

 

Thậm chí anh còn nghĩ là nếu anh em nếu có viết tiếng Việt thì cũng nên kèm theo các thuật ngữ tiếng Anh nữa, ví dụ "đối đồng đều (co-homology)". Như thế người đọc cũng được học thêm từ vựng và dễ hơn khi tra cứu thêm tài liệu tiếng Anh.

Cái này em rất tán thành ạ. Cái này là một trong nguyên nhân em hơi nhác đọc bài viết trên diễn đàn, nhiều từ chuyên môn tiếng việt quá không hiểu nghĩa  :wub: