Đến nội dung


Zaraki

Đăng ký: 07-03-2011
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#693235 Tuần 3 tháng 9/2017: Chứng minh rằng $\angle RHC=\angle PHB...

Gửi bởi Zaraki trong 17-09-2017 - 20:25

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 9/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB<AC$ có tâm nội tiếp $I$ và phân giác $AD$. $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. $P$ đối xứng $A$ qua $BC$. Trên $AP$ lấy $Q$ sao cho $\angle PQI= \angle ADB$. $K,L$ là tâm bàng tiếp gód $B,C$ của tam giác $ABC$. $M,N$ thuộc $BC$ sao cho $KN,LM$ cùng vuông góc với $QI$. $R$ là tâm ngoại tiếp tam giác $PMN$. Chứng minh rằng $\angle RHC=\angle PHB$.

 

Screen Shot 2017-09-17 at 11.24.32 PM.png

 

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$. Các cạnh đối $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $E$ còn $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $F$. $M,N$ là hai điểm thuộc $EF$ và đối xứng với nhau qua trung điểm của $EF$. $S$ là giao điểm của $AM$ và $CN$. $P,Q$ theo thứ tự là giao điểm của $SB,SD$ và $EF$. Chứng minh rằng hai điểm $P,Q$ đối xứng với nhau qua trung điểm của $EF$.

 

Screen Shot 2017-09-17 at 11.24.41 PM.png




#692258 Tuần 1 tháng 9/2017: đường tròn ngoại tiếp tam giác $SEF$ tiếp xúc...

Gửi bởi Zaraki trong 03-09-2017 - 20:23

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 5, tháng 8, 2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Nguyễn Tiến Dũng. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $M$ là trung điểm $BC$. Tiếp tuyến qua $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$. Trên $TB,TC$ lấy các điểm $F,E$ sao cho $MF \parallel AB, ME \parallel AC$. $TM$ cắt $EF$ tại $D$. $ME,MF$ lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác $TED, TFD$ tại $N,P$ khác $E,F$. $OE,OF$ lần lượt cắt $TN,TP$ tại $Q,R$. $S$ đối xứng $T$ qua $QR$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $SEF$ tiếp xúc $(O)$.

 

Screen Shot 2017-09-03 at 11.20.08 PM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$. Tiếp tuyến của $(I)$ song song với $BC$ tiếp xúc $(I)$ tại $D$> Lấy các điểm $E,F$ trên $IA$ sao cho $DE \parallel IC$ và $DF \parallel IB$. Chứng minh rằng đường thẳng nối trung điểm các đoạn thẳng $BE,CF$ đi qua $I$.

 

Screen Shot 2017-09-03 at 11.21.44 PM.png




#691842 ĐĂNG KÍ LÀM ĐHV DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

Gửi bởi Zaraki trong 30-08-2017 - 05:04

Chào mừn Minhnksc đã lên ĐHV Olympic.




#691176 Tuần 4 tháng 8/2017: Chứng minh rằng $ST$ đi qua $H$.

Gửi bởi Zaraki trong 21-08-2017 - 04:41

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 8/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Trần Quang Huy. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn với đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại trực tâm $H$. $K,L$ lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác $DBF, DCE$. $DK,DL$ lần lượt cắt $AB,AC$ tại $N,M$. $BM,CN$ cắt $KL$ lần lượt tại $P,Q$. Các điểm $S,T$ lần lượt nằm trên $AB,AC$ sao cho $KS \parallel DE, LT \parallel DP$. Chứng minh rằng $ST$ đi qua $H$.

 

Figure5808.png

 

Bài 2. Cho $\triangle ABC$ có trực tâm $H$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của $\triangle ABC$ tiếp xúc với $BC,CA$ tại $D,E,F$. Đường cao đỉnh $D$ của $\triangle DEF$ cắt đường cao $AH$ của $\triangle ABC$ tại điểm $M$. Chứng minh rằng đường tròn $(H,HM)$ đi qua trực tâm $K,L$ của các tam giác $\triangle DME$ và $\triangle DMF$.

 

Screen Shot 2017-08-21 at 7.39.54 AM.png




#689751 Tuần 2 tháng 8/2017: đường tròn $(D,DP)$ tiếp xúc với đường tròn...

Gửi bởi Zaraki trong 06-08-2017 - 19:03

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 8/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Nguyễn Tiến Dũng. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $(O)$. $P,Q$ là hai điểm thuộc cạnh $BC$ sao cho $BP=QC$. $AQ$ cắt trung trực $BC$ tại $R$. $H$ là hình chiếu của $Q$ lên $RP$. $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $PQR$. $L$ đối xứng với $A$ qua $OH$. $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $DL \perp PK$. Đường thẳng qua $P$ song song $OA$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Chứng minh rằng đường tròn $(D,DP)$ tiếp xúc với đường tròn $(AEF)$.

 

Figure5752.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có tâm nội tiếp $I$. $D$ và $E$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AB$ và $BC$ sao cho $DB+BE=BC$. Lấy $F$ đối xứng với $E$ qua $I$. $H$ là hình chiếu của $D$ trên đường thẳng $IB$. Chứng minh $\angle CHF=90^{\circ}$.

 

Screen Shot 2017-08-06 at 10.01.28 PM.png




#688475 Tuần 4 tháng 7/2017: $KA$ và $LB$ cắt nhau trên trục đẳng...

Gửi bởi Zaraki trong 24-07-2017 - 04:39

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 7/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Đường tròn $(I)$ và $(J)$ ở ngoài nhau có hai dây cung bằng nhau là $RM$ và $NT$ sao cho $R,M,N,T$ thẳng hàng. Tiếp tuyến $R$ của $(I)$ cắt $(J)$ tại $A,B$. Tiếp tuyến qua $T$ của $(J)$ cắt $(I)$ tại $K,L$ như hình vẽ. Chứng minh rằng $KA$ và $LB$ cắt nhau trên trục đẳng phương của $(I)$ và $(J)$.

 

Screen Shot 2017-07-24 at 7.34.44 AM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$, $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp, $Y,Z$ theo thứ tự là trung điểm của $CA,AB$. $P$ là điểm bất kì không thuộc $(O)$. $T$ là giao điểm thứ hai của $AP$ và $(O)$. $E,F$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các đường tròn $(APY),(APZ)$ và $(O)$. $S$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn $(OBE), (OCF)$. Chứng minh rằng $O,A,T,S$ cùng thuộc một đường tròn.

 

Screen Shot 2017-07-24 at 7.38.47 AM.png




#687771 Truần 3 tháng 7/2017: đường tròn ngoại tiếp tam giác $GDP$ đi qua...

Gửi bởi Zaraki trong 17-07-2017 - 04:23

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 7/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Trần Quang Huy. Xin trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kína $AC$ và $\angle BAD>90^{\circ}$. Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ lên $AC$. $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD$. Gọi $Q$ đối xứng $C$ qua $OI$. $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $OQ$. $G$ là điểm đối xứng của $B$ qua $F$. $OI$ cắt $BC$ tại $P$. Gỉa sử $BF,OI$ và $AD$ đồng quy, chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $GDP$ đi qua $M$.

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là trung điểm $BC$ và $P$ là điểm bất kì nằm trên phân giác góc $\angle BAC$. $PI$ cắt $(PBC)$ và phân giác ngoài góc $\angle BAC$ tại $D,K$ tương ứng. Dựng hìnt thang cân $DCBM$ với $BC \parallel DM$. Chứng minh rằng $KA$ phân giác ngoài góc $\angle MKD$.

 

Screen Shot 2017-07-17 at 7.20.23 AM.png




#687116 Tuần 2 tháng 7/2017: Chứng minh rằng $PQ$ và $IF$ cắt nha...

Gửi bởi Zaraki trong 10-07-2017 - 12:39

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 7 năm 2017 đã được đưa ra tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Ngô Quang Dương. Xin được trích dẫn lại hai bài toán mới:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tâm nội tiếp $(I)$. $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. Lấy $E$ thuộc đoạn $BC$ và $F$ thuộc jung nhỏ $\angle CD$ sao cho $\angle EAB= \angle FAC$. Lấy $M$ thuộc $IF$ sao cho $DM \parallel BC$. Lấy $N$ đối xứng $D$ qua $OM$. $AN$ cắt $DE$ tại $P$. Lấy $Q$ thuộc $AF$ sao cho $DQ \parallel IE$. Chứng minh rằng $PQ$ và $IF$ cắt nhau trên $(O)$.

 

Screen Shot 2017-07-10 at 3.35.20 PM.png

 

Bài 2. (Ngô Quang Dương) Cho $(P,P*)$ và $(Q,Q*)$ là hai cặp điểm đẳng giác với tam giác $ABC$. $R$ là giao điểm của $PQ$ và $P*Q*$ trong khi $R*$ là giao điểm của $PQ*$ và $QP*$. Chứng minh rằng $(R,R*)$ là cặp điểm đẳng giác với $ABC$ và đường tròn pedal của $P,Q,R$ với tam giác $ABC$ đồng trục.

 

Screen Shot 2017-07-10 at 3.39.24 PM.png




#686282 Tuần 1 tháng 7/2017: Trung điểm của $QR$ nằm trên đường tròn ngoại...

Gửi bởi Zaraki trong 02-07-2017 - 23:54

Như vậy hai bài toán Tuần 4 tháng 6/2017 đã được đưa lời giải tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Trịnh Huy Vũ. Xin trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $J$ là tâm bàng tiếp gód $A$. $M$ là trung điểm của $BC$. $MJ$ cắt $EF$ tại $P$. $PD$ cắt đường tròn $(BIC)$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng trung điểm của $QR$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Screen Shot 2017-07-03 at 2.50.52 AM.png

Bài 2. (Trịnh Huy Vũ) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có điểm Fermat là $F$. $FA,FB,FC$ cắt $(O)$ lần lượt tại $X,Y,Z$ khác $A,B,C$. Chứng minh rằng đường thẳng $OF$ chia đôi đoạn nối trực tâm của hai tam giác $ABC$ và $XYZ$.

 

Screen Shot 2017-07-03 at 2.52.36 AM.png

 




#685566 Tuần 4 tháng 6/2017: Chứng minh rằng đường thẳng $AP$ luôn đi qua đ...

Gửi bởi Zaraki trong 25-06-2017 - 18:31

Như vậy lời giải bài Tuần 3 tháng 6/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Đức Bảo. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. Các đường cao qua $B,C$ của tam giác $ABC$ cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C$. Gọi $K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp tam giác $OCM, OBN$. $BK$ cắt $CL$ tại $P$. Chứng minh rằng đường thẳng $AP$ luôn đi qua điểm cố định khi $A$ di chuyển.

 

Screen Shot 2017-06-25 at 9.26.48 PM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với hai điểm Brocard là $\Omega_1$ và $\Omega_2$. $\Omega_1A, \Omega_1B, \Omega_1C$ cắt $(O)$ tại $X,Y,Z$ khác $A,B,C$. $\Omega_1\Omega_2$ cắt các đường tròn $(\Omega_1BC)$ và $(\Omega_1YZ)$ tại $M$ và $N$ khác $\Omega_1$. $AN$ và $XM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$ và $Q$ khác $D,X$. Chứng minh rằng $PQ$ đi qua $\Omega_2$.

 

Screen Shot 2017-06-25 at 9.29.45 PM.png




#684940 Tuần 3 tháng 6/2017: Chứng minh rằng $\angle ADO= \angle OAG...

Gửi bởi Zaraki trong 18-06-2017 - 21:10

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 6/2017 đã được đưa tại đây kèm theo là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và các anh Ngô Quang Dương, Trần Quang Huy. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ có các điểm $E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $CA,AB$. $O,K$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABC,AEF$. $AK$ cắt $BC$ tại $L$ và cắt đường tròn $(KEF)$ tại $J$ khác $K$. $EF$ cắt $BC$ tại $D$. $OD$ cắt đường tròn $(DLJ)$ tại $G$ khác $D$. Chứng minh rằng $\angle ADO= \angle OAG$.

 

Bài 2. (Ngô Quang Dương, Trần Quang Huy) Cho tam giác $BC$ với $P,Q$ là hai điểm đẳng giác. $PA$ cắt đường tròn $(PBC)$ tại $X$ khác $P$. $QA$ cắt đường tròn $(QBC)$ tại $Y$ khác $Q$. Chứng minh rằng $QX,PY,BC$ đồng quy tại $D$ và $AD$ chia đôi $PQ$.

 

Screen Shot 2017-06-19 at 12.10.25 AM.png




#684132 Đề tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2017-2018

Gửi bởi Zaraki trong 11-06-2017 - 21:01

Đúng là như vậy, mình cũng hiểu ý bạn, hồi sáng mình cũng nghĩ như bạn và đăng suy nghĩ của mình ở #18 trang 1 của topic này,

Trước khi post #21 mình có đọc bài của bạn nhưng không thực sự hiểu ý bạn viết là gì.

 

dù giả sử tồn tại điểm B thoả mãn như bạn nói, thì mình vẫn tìm được vô số điểm thoả mãn đề bài và đó là điều mà đề bài yêu cầu chứng minh.

Như thế chẳng phải cần viết rõ ra hay sao, cần chứng minh rằng dù cho một số $A_i$ có nằm trong vành khăn giữa $(O,20)$ và $(O,21)$ thì vẫn tồn tại đường tròn $(B,1)$ với $B$ nằm trong $(O,20)$ thoả mãn. Bạn duylax2412 chỉ chứng minh cho trường hợp tất cả $399$ điểm $A_i$ đều nằm trong $(O,20)$ và không điểm $A_i$ nào nằm ngoài $(O,20)$ nhưng trong $(O,21)$.




#684126 Đề tuyển sinh vào 10 THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An 2017-2018

Gửi bởi Zaraki trong 11-06-2017 - 20:20

19073646_117505642176152_2113336282_n.pn

Khả năng đó có thể xảy ra nhưng nó không ảnh hưởng đến đpcm là tồn tại vô số hình tròn bán kính 1 đơn vị nằm trong đường tròn  $\left ( O \right )$ và không chứa điểm nào trong 399 điểm nêu trên.

Bạn đang chỉ viết lại đề bài nên mình không hiểu được ý của bạn. 

 

Ý mình thế này: Theo đề bài thì hoàn toàn có thể có một $A_1$ trong $399$ điểm nằm trong phần tạo bởi $(O,21)$ trừ đi $(O,20)$. Khi đó nếu ta chọn hình tròn $(B,1)$ như lập luận của duylax2412 thì $B$ nằm trong $(O,20)$. Khi đó thì hoàn toàn có thể có trường hợp $(B,1)$ chứa $A_1$ do $A_1$ nằm ngoài $(O,20)$. 

 

Mình thấy lập luận của duylax2412 chỉ đúng là $(B,1)$ sẽ không chứa điểm $A_i$ nào mà nằm trong $(O,20)$, còn nếu $A_i$ nằm ngoài $(O,20)$ và nằm trong $(O,21)$ thì chưa chắc chắn được.




#684105 Tuần 2 tháng 6/2017: Chứng minh rằng $UV \perp AD$.

Gửi bởi Zaraki trong 11-06-2017 - 18:06

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 6/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và bạn Nguyễn Hoàng Nam.

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,AB$ và tiếp xúc trong $(O)$. Trung trực $CA,AB$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ tại $E,F$. $J$ là trung điểm $AK$. $JE,JF$ cắt trung trực $AD$ tại $M,N$. $P,Q$ là đối xứng của $D$ qua $KM,KN$. Trên $OF,OE$ lần lượt lấy $U,V$ sao cho $MU \perp AP, NV \perp AQ$. Chứng minh rằng $UV \perp AD$.

 

Screen Shot 2017-06-11 at 9.06.15 PM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ với $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. Giao điểm $AP,CQ$ với $(ABC)$ lần lượt là $D,E$. Giao điểm của $DE$ và $BQ$ là $F$. Trung trực của $AB$ cắt $PQ$ tại $T$. Giao điểm của $TE$ và $AB$ là $G$. Chứng minh rằng bốn điểm $B,E,F,G$ cùng thuộc một đường tròn. 

 

Screen Shot 2017-06-11 at 9.06.07 PM.png




#682819 Tuần 1 tháng 6/2017: Chứng minh rằng $XB=XC$.

Gửi bởi Zaraki trong 03-06-2017 - 06:23

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 5 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới. Xin được trích dẫn lại hai bài toán mới:

 

Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $M,N$ là đối xứng của $D$ qua $CA,AB$. $Q,R$ là trung điểm $HC,HB$. $K,L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $FNR$ và $EMQ$. $EK$ cắt $FL$ tại $P$. Đường thẳng qua tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ song song với $DP$ cắt $CA,AB$ tại $U,V$. $O,H$ cắt $AB,AC$ tại $S,T$. $SU$ cắt $TV$ tại $X$. Chứng minh rằng $XB=XC$.

 

Screen Shot 2017-06-03 at 9.19.03 AM.png

 

Bài 2. (Trần Quang Hùng, Ngô Quang Dương) Cho tam giác $ABC$ có $P,Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. Đường nối tâm các đường tròn $(PAB),(QAC)$ và $(PAC),(QAB)$ cắt nhau tại $D$. $X$ là tâm đường tròn đi qua tâm các đường tròn $(PAB),(QAC),(PAC),(QAB)$. Tương tự có $E,Y,F,Z$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng song song với $PQ$ đi qua tâm đường tròn $(ABC)$.

 

Screen Shot 2017-06-03 at 9.21.51 AM.png