Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Zaraki

Đăng ký: 07-03-2011
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#672109 Tuần 3 tháng 2/2017: Chứng minh tứ giác $AKNL$ ngoại tiếp

Gửi bởi Zaraki trong 19-02-2017 - 18:50

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 2/2017 đã được thầy Hùng đưa ra tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $(J)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $M$ là trung điểm $EF$. $DM$ cắt $(J)$ tại $N$ khác $D$. Trên đoạn $AE,AF$ lần lượt lấy các điểm $K,L$ sao cho $NK,NL$ tiếp xúc $(O)$. Chứng minh rằng tứ giác $AKNL$ ngoại tiếp.

 

Screen Shot 2017-02-19 at 9.49.52 PM.png




#671426 $C_{bp}^{ap}\equiv C_{b}^{a...

Gửi bởi Zaraki trong 13-02-2017 - 09:07

Bạn có thể tìm nhiều mở rộng khác cho định lý Wolstenholme tại đây.




#671419 Tuần 2 tháng 2/2017: Chứng minh tam giác $NUV$ cân.

Gửi bởi Zaraki trong 13-02-2017 - 02:27

Như vậy là lời giải cho bài Tuần 1 tháng 2 năm 2017 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và phân giác $AD$. $K,L$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ADB,ADC$. Tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $T$. $AK,AL$ cắt $OT$ tại $P,Q$. $E,F$ là hình chiếu của $Q,P$ lên $CA,AB$. $M,N$ là trung điểm của $BC,AM$. $NE,NF$ cắt $BC$ tại $U,V$. Chứng minh rằng tam giác $NUV$ cân.

 

Screen Shot 2017-02-13 at 5.26.55 AM.png




#670539 Diễn đàn đã hoạt động trở lại

Gửi bởi Zaraki trong 06-02-2017 - 15:49

Em có thấy tại đây có thầy/anh/bác/chú chanhquocnghiem báo là không đăng nhập vào diễn đàn được.




#670527 Tuần 1 tháng 2/2017: $QR$ đi qua điểm cố định khi $P$ di...

Gửi bởi Zaraki trong 05-02-2017 - 23:28

Như vậy lời giải bài toán Tuần 5 tháng 1/2017 đã được thầy Hùng đưa tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ là điểm di chuyển trên cung $BC$ không chứa $A$. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $PB \perp BE$ và $PC \perp CF$. $EF$ cắt $BC$ tại $Q$. $R$ thuộc đoạn $AP$ sao cho $\angle RBP =\angle  RCP$. Chứng minh rằng đường thẳng $QR$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển.




#670416 Tuần 5 tháng 1/2017: $AR$ và trung trực $MN$ cắt nhau trê...

Gửi bởi Zaraki trong 30-01-2017 - 03:58

Như vậy bài toán cho Tuần 4 tháng 1 năm 2017 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới.

 

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $BP,CQ$ là các phân giác trong. Đoạn $AI$ cắt $(I)$ tại $J$. Đường thẳng qua $A$ song song với $JE,JF$ lần lượt cắt $DE,DF$ tại $M,N$. $ID$ cắt $PQ$ tại $R$. Chứng minh rằng $AR$ và trung trực $MN$ cắt nhau trên $(I)$.




#670200 KẾT QUẢ KỲ THI VMO 2017

Gửi bởi Zaraki trong 28-01-2017 - 03:01

Thêm THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An: Cao Hữu Đạt (datcoi1999), Nguyễn Trung Phúc (nguyentrungphuc26041999) , Phan Đức Tiến (pdtienArsFC) (nếu mình không nhầm), Trần Nguyên Lân (Tran Nguyen Lan 1107).




#670199 góp ý cho diễn đàn về việc tổng hợp các bài toán chưa có lời giải

Gửi bởi Zaraki trong 28-01-2017 - 02:53

Những bài toán chưa giải đã và đang được tổng hợp tại Những bài toán trong tuần - Prolem Set of the Week. Mỗi tuần sẽ là vài bài toán unsolved xuất hiện trên góc phải trên cùng diễn đàn - Những bài toán trong tuần - để các bạn cùng nhau tham gia giải.

 

Tuần này là một bài toán đếm số cách tịnh tiến quân cờ trên bàn cờ $1 \times (m+n)$




#669999 [PI của bạn] $a,b,c,d$ nguyên dương thoả $a^2+1=bc, c^2+1=da...

Gửi bởi Zaraki trong 26-01-2017 - 13:18

Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Võ Quốc Bá Cẩn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải. 

 

P3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$ thoả mãn điều kiện $a^2+1=bc, c^2+1=da$. 

a) Chứng minh rằng $P= \frac{a+d}{c}+ \frac{b+c}{a}$ là một số nguyên.

b) Tìm tất cả các giác trị có thể của $P$.




#669998 Cho $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. CMR: $(b-a)(...

Gửi bởi Zaraki trong 26-01-2017 - 13:07

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$. CMR: $(b-a)(c-a)(d-a)(d-b)(d-c)(c-b)\vdots 12$ :wacko:

Một tổng quát của bài này, cho bạn nào muốn thử sức. :)

 

[Armon E. Spencer from AMM E 2637] Chứng minh với mọi số nguyên $a_1,a_2, \cdots , a_n$ số $\prod_{1 \le i<j \le n} \frac{a_i-a_j}{i-j}$ là số nguyên.


  • 013 yêu thích


#669997 $a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+d)(c^2+d^2)+d(d+a)(d^2+a^2) \g...

Gửi bởi Zaraki trong 26-01-2017 - 13:03

Bài toán sau là đề ra kì này của tạp chi PI của bạn tháng 11/2016 và đã được đưa giải trong số đầu của tạp chí PI. Tác giả bài toán là thầy Nguyễn Đức Tấn. Mình post bài này để các bạn thảo luận cùng tìm các cách khác nhau để giải. Số 1 của PI đã đưa ra hai lời giải cho bài này.

 

P1. (Nguyễn Đức Tấn - PI số 1) Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c,d$ ta có bất đẳng thức

$$a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+d)(c^2+d^2)+d(d+a)(d^2+a^2) \ge 0$$




#668479 Tuần 3 tháng 1 năm 2017: Chứng minh $PA^2=PI \cdot PJ$.

Gửi bởi Zaraki trong 15-01-2017 - 21:28

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 1 đã được thầy Hùng cho tại đây và kèm theo đó là bài toán mới. Xin được trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $CA,AB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong $(O)$. Tiếp tuyến qua $A$ của các đường tròn $(K),(L)$ ngoại tiếp các tam giác $ABE, ACF$ cắt $BE,CF$ lần lượt tại $S,T$. $KS$ cắt $LT$ tại $M$. Trung trực $AI$ cắt $AO$ tại $N$. $MN$ cắt $AI$ tại $P$. Chứng minh rằng $PA^2= PI \cdot PJ$.

 

 Screen Shot 2017-01-16 at 12.25.20 AM.png




#668256 Đề ra kì này tạp chí Pi số đầu tiên

Gửi bởi Zaraki trong 14-01-2017 - 02:09

Mong các bạn không thảo luận đề bài còn hạn trên diễn đàn nhé. :)

Nếu các bạn biết đề đã cũ và đã được giải ở đâu đó trên diễn đàn và các bạn có ý định gửi lời giải, mình nghĩ tốt nhất các bạn hãy ghi rõ nguồn lời giải rồi gửi cho tạp chí.




#667699 Tuần 2 tháng 1/2017: Chứng minh đường tròn đi qua 2 điểm cố định

Gửi bởi Zaraki trong 09-01-2017 - 03:06

Như vậy bài toán Tuần 1 tháng 1 đã được thầy Hùng cho lời giải tại đây kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. $S,T$ là hai điểm cố định trên $(O)$. $PS,PT$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $EF$ cắt một đường tròn $(K)$ cố định qua $BC$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng đường tròn $(PQR)$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $P$ thay đổi.

 

 Screen Shot 2017-01-09 at 6.05.53 AM.png




#667337 Đề Thi VMO năm 2017

Gửi bởi Zaraki trong 06-01-2017 - 20:07

Một ý tưởng khác cho câu 6b ?

 

Bài 6 câu b nhìn vào vế trái ta cũng có thể liên tưởng đến đẳng thức quen thuộc

$$\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^k\binom{n}k=(-1)^{m-1}\binom{n-1}{m-1}.$$

Ta đưa về việc chứng minh $(-1)^{(p-1)/4} \binom{p-1}{(p-1)/4}-1 \equiv 3(2^{p-1}-1) \pmod{p^2}$. Nhìn nó đơn giản hơn cái ban đầu nhưng mình vẫn chưa có ý tưởng khai thác gì. Mong các bạn có thể cho ý kiến thêm.