Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Zaraki

Đăng ký: 07-03-2011
Offline Đăng nhập: 11-02-2020 - 05:59
****-

#729269 Thảo luận kì thi tuyển chọn quốc tế ENS

Gửi bởi Zaraki trong 23-01-2020 - 12:34

$2$. Cũng như Hoàng, ý tưởng phần này sử dụng định nghĩa định thức, tuy nhiên mình chưa nghĩ ra cách làm thật chặt chẽ.

 

Cái này tớ lập luận thế này.

 

 

Phần 2.
 
Ta biểu diễn định thức bằng tổng của $n!$ thành phần, sau đó chú ý khai triển
 
$(\sum a_i)^2= \sum a^2_i + 2\sum_{i \neq j}a_ia_j$ 
 
Các $a_ia_j$ tương ứng của các $\det(M)^2$ (khi viết dưới dạng tổng $n!$ thành phần) khi lấy tổng (theo M) sẽ triệt tiêu nhau (do đổi dấu), để lại các $a^2_i$. Chú ý mỗi ma trận $M$, đại lượng này có tổng là $n!$, và do có $2^{n^2}$ ma trận $M$, nên có kết quả là $2^{n^2}n!$.

 

Giống như tvhoang viết, ta muốn ghép cặp $B_{\sigma,\tau}(M)=(-1)^{\sigma+\tau} \prod M_{i,\sigma(i)} \prod M_{i,\tau(i)}$ sao cho khi cộng lại thì triệt tiêu nhau. 

Với mỗi cặp $(\sigma,\tau)$ trong $S_n$, do $\sigma \ne \tau$, tồn tại số $i\in [n]$ nhỏ nhất sao cho $\sigma(i) \ne \tau(i)$. Gọi map $f_{\sigma,\tau}: \mathcal{B}_n \to \mathcal{B}_n$ gửi $M$ tới $M'$ sao cho hệ số của $M'$ giống với $M$, chỉ trừ $M'_{i,\sigma(i)} = -M_{i,\sigma(i)}$. Khi đó $B_{\sigma,\tau}(M)+B_{\sigma,\tau}(M')=0$. Nhận xét là $f_{\tau,\sigma}$ bijective và $f_{\sigma,\tau}^2=1$ nên ta ghép cặp thành công. 




#722636 Hư Trúc Truyền Kì

Gửi bởi Zaraki trong 31-05-2019 - 07:59

Toán học có dòng chính, gặp thầy khủng và bản thân có khả năng tiềm tàng thì không còn gì bằng.

 

Nếu là cái này thì GS Ngô Bảo Châu và GS Gérard Laumon có lẽ cũng là một ví dụ khác. 

 

https://mathwithbadd...hematical-life/




#712014 gửi đến MoMo123

Gửi bởi Zaraki trong 05-07-2018 - 19:12

Đồng ý với MoMo123. Việc gửi tin nhắn là quyền của bạn nhưng việc đọc hay trả lời tin nhắn là quyền của người nhận. Bạn không có lí do gì phải phàn nàn về những vấn đề này cả. 




#699833 Chứng minh bđt

Gửi bởi Zaraki trong 06-01-2018 - 05:43

Khoá topic. Bài trên tạp chí THTT chưa hết hạn.




#699779 Cho tam giác ABC nhọn...

Gửi bởi Zaraki trong 05-01-2018 - 18:19

Khoá topic. Bài này trên tạp chí THTT chưa hết han gửi bài.




#699776 cos⁡〖A/2〗+ cos⁡〖B/2〗+ cos⁡〖C/2〗≥ √(3/2) (√(sin⁡〖A/2〗 )+√(sin⁡〖B/2〗 )+ √(sin⁡〖...

Gửi bởi Zaraki trong 05-01-2018 - 18:11

Bài trên tạp chí THTT chưa hết hạn. Khoá topic.




#698055 Các bài toán hình học hàng tuần: Tuần 2 tháng 12 năm 2017

Gửi bởi Zaraki trong 10-12-2017 - 19:57

Như vậy các lời giải các bài toán Tuần 1 tháng 12/2017 đã được đưa ra tại đây kèm theo đó là các bài toán mới. Lời giải cho các bài toán đề nghị, các phát triển cũng như mọi thảo luận xin gửi về địa chỉ analgeomatica.[a còng]. gmail.com (ở đây [a còng] thay bằng @). Các bạn cũng có thể trao đổi trong topic này.

 

----------------------------

 

Lời giới thiệu về chuyên mục Các bài toán hình học hàng tuần ở trên blog Hình học sơ cấp của thầy Trần Quang Hùng:

 

"Đây sẽ là một chuyên mục hàng tuần trên blog "Hình học sơ cấp". Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên những lời giải hay cho ít nhất một bài toán được đề nghị ở trong các tuần trước và đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một số bài toán cho tuần sau. Các bài toán hình học được đề nghị có thể do tôi sáng tác, từ các bạn đọc sáng tác gửi tới hoặc được chọn lọc từ các cuộc thi Olympic trên toàn thế giới, tất cả đề bài và lời giải sẽ đều được ghi rõ nguồn gốc. Lời giải cho bài toán đề nghị, các phát triển cũng như mọi thảo luận và trao đổi xin gửi về địa chỉ email [email protected]"




#697229 Tuần 5 tháng 11/2017: $L_a,L_b$ và $L_c$ thẳng hàng.

Gửi bởi Zaraki trong 26-11-2017 - 19:06

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 4 tháng 11/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Tiến Dũng. Xin được trích dẫn lại bài toán:

 

Bài 1. (Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ và $P$ bất kỳ. $D$ đối xứng $P$ qua $BC$. $O_a$ là tâm ngoại tiếp tam giác $PBC$. $K_a$ là tâm ngoại tiếp tam giác $O_aBC$. $DO_a$ cắt $PK_a$ tại $X$. $L_a$ thuộc $PA$ sao cho $XL_a \perp XK_a$. Tương tự có $L_b,L_c$. Chứng minh rằng $L_a,L_b$ và $L_c$ thẳng hàng.

 

Screen Shot 2017-11-26 at 10.03.08 PM.png

 

Bài 2. (Trần Quang Hùng, Nguyễn Tiến Dũng) Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định và $A$ thay đổi. Dựng ra ngoài các tam giác vuông tại $A$ là $AEC$ và $ÀB$ đồng dạng và có góc không đổi. $M,N$ là trung điểm $CE,BF$. $P,Q$ đối xứng với $M,N$ qua $CA,AB$. $FP$ cắt $EQ$ tại $R$. Chứng minh rằng đường thẳng $AR$ đi qua điểm cố định khi $A$ thay đổi.

 

Screen Shot 2017-11-26 at 10.03.18 PM.png




#696830 Tuần 4 tháng 11/2017: đường thẳng $AM$ luôn đi qua một điểm cố định...

Gửi bởi Zaraki trong 19-11-2017 - 19:10

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 11/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Phạm Thị Hồng Nhung. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ cố định với $B, C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$. $E,F$ lần lượt đối xứng $B,C$ qua $CA,AB$. $M$ là trung điểm $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $AM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.

 

Screen Shot 2017-11-19 at 10.06.47 PM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. $O$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$. $K$ là trực tâm tam giác $DEF$. $Q,L$ lần lượt đối xứng với $D,I$ qua $EF$. $DI$ cắt $KL$ tại $P$. $QL$ cắt $OI$ tại $R$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ đi qua $I$. 

 

Screen Shot 2017-11-19 at 10.06.58 PM.png




#696474 Tuần 3 tháng 11/2017: tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$ nằm trên $...

Gửi bởi Zaraki trong 12-11-2017 - 19:32

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 2 tháng 11/2017 đã được đưa lên tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với trung tuyến $AM$. Lấy $P$ thuộc trung trực $AB$ sao cho $AP \perp AC$. Lấy $Q$ sao cho $QP \perp AO$ và $QO \perp AM$. Trung trực $CA$ cắt $AB$ tại $E$. $QE$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$ nằm trên $AM$.

 

Screen Shot 2017-11-12 at 10.29.56 PM.png

 

Bài 2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $S$ thuộc đoạn $CD$ sao cho $\angle DSA= \angle CSB$. $M,N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $AS, BS$ và $(O)$. $P,Q$ theo thứ tự là điểm đối xứng xủa $M,N$ qua $CD$. $T$ là giao điểm của $AP$ và $BQ$. $U,V$ theo thứ tự là giao điểm của $CT, DT$ và $AB$. Chứng minh rằng $AU=BV$.

 

Screen Shot 2017-11-12 at 10.30.06 PM.png




#696108 Tuần 2 tháng 11/2017:$KN_a,KN_b,KN_c$ lần lượt cắt $EF,FD,DE...

Gửi bởi Zaraki trong 05-11-2017 - 20:00

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 1/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $P$ và $Q$ là hai điểm đẳng giác trong tam giác. $K$ là trung điểm $PQ$. Các điểm $D,E,F$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ sao cho $KD \parallel QA, KE \parallel QB, KF \parallel QC$. Gọi $N_a,N_b,N_c$ lần lượt là tâm đường tròn Euler của tam giác $PBC,PCA,PAB$. Chứng minh rằng $KN_a,KN_b,KN_c$ lần lượt cắt $EF,FD,DE$ theo ba điểm thẳng hàng.

 

Screen Shot 2017-11-05 at 10.59.16 PM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$, $(O),(I)$ theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp. $E,F$ theo thứ tự là tiếp điểm của $(I)$ và $AC,AB$. $M,N$ là các giao điểm của $EF$ và $(O)$. $P,Q$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $BI,CI$ và $(O)$. $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến với $(O)$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$.




#695777 Tuần 1 tháng 11/2017: $CS$ và $BT$ cắt nhau trên đường tr...

Gửi bởi Zaraki trong 29-10-2017 - 17:41

Như vậy lời giải cho hai bài toán Tuần 4 tháng 10/2017 đã được đưa ra tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Tiến Dũng. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với trực tâm $H$. $AH$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $A$. $PB,PC$ lần lượt cắt $OC,OB$ tại $Q,R$. $K$ đối xứng với trực tâm tam giác $PQR$ qua $BC$. $LA$ cắt $HB.HC$ tại $S,T$. Chứng minh rằng $CS$ và $BT$ cắt nhau trên đường tròn $(BHC)$.

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có phân giác $AD$, tâm nội tiếp $I$ và trực tâm $H$. $P,Q$ là các điểm nằm trong tam giác sao cho $PA=PI, \angle PBA= \angle PCB = \angle QBC$ và $DQ \parallel CP$. $(K)$ là đường tròn có tâm thuộc $AD$ và tiếp xúc với đường tròn $(BDQ)$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường tròn $(K)$ tiếp xúc với đường tròn $(BHC)$.

 

Screen Shot 2017-10-29 at 8.38.52 PM.png




#695252 Các bài toán Đại số hay trong Đề thi HSG năm 2017

Gửi bởi Zaraki trong 23-10-2017 - 04:01

Khoá topic lí do tất cả những bài viết trên đều được chép từ MathScope mà không ghi nguồn. Để đảm bảo sự trong sáng trong thảo luận toán, hy vọng các bạn hãy viết lời giải của bạn cho bài toán trong từng topic đề thi tỉnh. Nếu bạn muốn cho các thành viên DDTH xem lời giải của người khác, hãy trích dẫn link tới lời giải đó.




#695222 Tuần 4 tháng 10/2017:đường thẳng qua $P$ vuông góc $QR$ l...

Gửi bởi Zaraki trong 22-10-2017 - 19:02

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 4 tháng 10/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Trịnh Huy Vũ. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $P$ di chuyển trên phân giác trong góc $\angle BAC$. $E,F$ là hình chiếu của $P$ lên $CA,AB$. $EF$ cắt $(O)$ tại $M,N$. $MP,NP$ cắt lại $(O)$ tại $Q,R$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $P$ vuông góc $QR$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển.

 

Screen Shot 2017-10-22 at 10.00.25 PM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $(O)$. $K$ là tâm của đường tròn $(BOC)$. Đối xứng của $AK$ qua $BH,CH$ cắt nhau tại $L$. Chứng minh rằng $AH=AL$. 

 

Screen Shot 2017-10-22 at 10.00.11 PM.png




#695168 ĐĂNG KÍ LÀM ĐHV DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC VMF

Gửi bởi Zaraki trong 21-10-2017 - 16:15

Chào mừng bạn MoMo123 lên ĐHV THCS.