Đến nội dung

ohmymath

ohmymath

Đăng ký: 12-03-2011
Offline Đăng nhập: 23-05-2015 - 22:07
***--

#450212 bài hình siêu khó

Gửi bởi ohmymath trong 14-09-2013 - 16:31

tam giác ABC . Tiếp tuyến tại B,C cắt tại M . AM cắt (O) (O là tâm đt ngoại tiếp ABC ) tại H . tiếp tuyến tại A và H cắt tại S . X thuộc (S, SA) . cmr đường thẳng nối tâm hai đường tròn bàng tiếp Tam giác ABX , ACX tại góc A đi qua điểm cố định

 




#279287 CMR với mọi $a, b, c >0 ; abc=1$ ta có: $$ \dfr...

Gửi bởi ohmymath trong 17-10-2011 - 15:37

À bài này của anh Cẩn.
Đây là 1 hệ quả của bài toán sau:
Nếu x;y;z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1 thì:
$$ \sum \dfrac{1}{x^2+x+1} \geq 1 $$ (Bá Cẩn; Vasile)

Thêm 1 gợi ý:
$$\dfrac{2a}{2a^3+1}-\dfrac{a^2+1}{a^4+a^2+1} \leq 0 $$


Và 1 gợi ý cuối cùng:


$$1-\dfrac{a^2+1}{a^4+a^2+1}= \dfrac{1}{a^4+a^2+1}$$

P/S: mod sửa giùm em với; sao tự dưng bị lỗi thế này, Ơ mà em cũng có thể tự like bài em là sao :ukliam2:


#277378 phương trình nghiệm nguyên

Gửi bởi ohmymath trong 29-09-2011 - 14:14


Các bài toán này chủ yếu dùng phương pháp lùi vô hạn.

1. Nhận thấy $x,z$ có cùng tính chẵn lẻ. Ta xét 2 trường hợp.

+ $x,y$ cùng chia hết cho $2$. Khi đó đặt $x_0=2x_1, \ z_0=2z_1$ thì $(x_1,z_1)$ nguyên dương và có
$$4x_{1}^{2}+2y_0^2=4z_1^2 \implies 2x_1^2+y_0^2=2z_1^2 $$ Hình đã gửi
Từ đây dẫn đến $y_0 \ \vdots \ 2$, và lại đặt $y_0=2y_1$ ($y_1$ nguyên dương), thì từ Hình đã gửi lại đi đến
$$x_1^2+2y_1^2=z_1^2$$
Quá trình đó cứ lặp lại và đến một lúc nào đó ta có
$$x_k^2+2y_k^2=z_k^2$$

Và nghiệm tìm được từ đây là $\boxed{(x,y,z)=(0,0,0)}$.

+ $x,z$ không cùng chia hết cho $2$.
Bạn có thể dễ dàng chứng minh TH này vô lí.


Tương tự với bài còn lại.



Em cũng làm theo cách này nhưng đến trường hợp cùng ko chia hết 2 thì bế tắc.
Lúc đầu em cũng nghĩ là vô lí nhưng không phải. Em tìm được nghiệm (1;2;3).
May sao em vừa mới giải được.

Đương nhiên ta chỉ xét trường hợp nguyên tố cùng nhau.
Từ x ; z cùng lẻ dễ dàng chứng minh y chẵn.
Ta áp dụng đúng cách tìm nghiệm pt pi-ta-go.
$$2(\dfrac{y}{2})^2=\dfrac{z+x}{2}.\dfrac{z-x}{2}$$
Từ đó suy ra $$z=2m^2+n^2 ; x=2m^2-n^2 ; y=2mn$$
Đó là bộ nghiệm tổng quát của pt.


Bài còn lại thì làm tương tự .
Nếu z; x cùng số dư khi chia 3 thì:
$$y^2=\dfrac{z-x}{3}.(z+x)$$
Từ đây ra nghiệm.
Nếu x;z khác số dư ~> có 1 số chia 3 dư 2 và 1 số chia 3 dư 1 (vì ko thể cùng chia hết 3)~>x+z chia hết 3.
Tách: $$y^2=(z-x).\dfrac{z+x}{3}$$
Từ đây lại ra 1 bộ nghiệm nữa.


Em còn chưa làm được bài này:
Chứng minh rằng nếu a;b;c là các số nguyên ; (a;b)=1 thì tồn tại n nguyên sao cho (an+b; c)=1.
Em nghĩ dùng định lý phần dư TH nhưng em kém phần này.