vietfrog

Với từng biến thì làm như thế nào ạ?

Chứng minh rằng hàm:

\[z = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}\,\,\,khi\,\,{x^2} + {y^2} \ne 0 \\
0\,\,khi\,x = y = 0 \\
\end{array} \right.\]
liên tục trên mỗi biến riêng biệt, nhưng không liên tục đối với cả 2 biến tại $(0;0)$.

C3: Đặt $x=t$. Sau đó giải hệ 2 ẩn $y,z$ tham số $t$ để tìm $y;z$ theo $t$. Ta được PT tham số.
P/s: Cách 1 là nhanh gọn nhất!

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Tài liệu lý thú hơn anh nghĩ .

giải các phương trình sau:
1)$4^{log_{7}(x+3)}=x$
2)$log_{2}(1+\sqrt x)=log_{3}x$
3)$(\sqrt3-\sqrt2)^x+(\sqrt3+\sqrt2)^x=(\sqrt5)^x$
............................................................................

Ý 1,2 tương tự nhau.
Xét ĐK rồi đưa về :

\[
\begin{array}{l}
1.\log _4 7 = \log _x \left( {x + 3} \right) \\
2.\log _2 3 = \log _x \left( {1 + \sqrt x } \right) \\
\end{array}
\]
Sau đó xét hàm và suy ra nghiệm duy nhất .
Ý 3. Biến đổi thành:

\[
\left( {\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x + \left( {\frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^x = 1
\]

Cho gọn thì a đặt : \[
\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} = a = const
\]
Ta có:

\[
a^x + \left( {\frac{1}{{5a}}} \right)^x = 1
\]
Với a đã biết ta tìm được x.

Đề bài. Giải hệ phương trình sau

$$\left\{\begin{matrix} 3x^2-2x-5+2x\sqrt{x^2+1}=2(y+1)\sqrt{y^2+2y+2} \\ x^2+2y^2=2x-4y+3 \end{matrix}\right.$$

Trích đề thi thử diễn đàn boxmath.vn

______

Dạng hệ kiểu này đã xuất hiện trong Câu 5, đề ĐH - A -2010 ( Câu của bộ có vẻ đơn giản hơn câu này )

Biến đổi:

\[
\left\{ \begin{array}{l}
2x^2 - 5 + 2x\sqrt {x^2 + 1} = 2\left( {y + 1} \right)^2 - 5 + 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {\left( {y + 1} \right)^2 + 1} \\
x^2 + 2y^2 = 2x - 4y + 3 \\
\end{array} \right.
\]
Xét hàm : \[
f\left( x \right) = 2x^2 - 5 + 2x\sqrt {x^2 + 1}
\]

\[
f'\left( x \right) = 4x + 2\sqrt {x^2 + 1} + \frac{{2x^2 }}{{\sqrt {x^2 + 1} }} \ge 4x + \left| {4x} \right| \ge 0
\]
Đến đây đơn giản rồi!

Chứng minh với mọi số tự nhiên n>2 thì

$$n^{n}.(n-2)^{n-2}>(n-1)^{2(n-1)}$$

BĐT cần chứng minh tương đương:

\[
\frac{{n^n }}{{\left( {n - 1} \right)^{n - 1} }} > \frac{{\left( {n - 1} \right)^{n - 1} }}{{\left( {n - 2} \right)^{n - 2} }}
\]
Xét hàm: $
f\left( x \right) = \frac{{x^x }}{{\left( {x - 1} \right)^{x - 1} }}/x > 2
$
Ta có:

\[
f'\left( x \right) = \frac{{x^x \left( {x - 1} \right)^{x - 1} \left( {\ln x + 1} \right) - x^x \left( {x - 1} \right)^{x - 1} \left( {\ln \left( {x - 1} \right) + 1} \right)}}{{\left( {\left( {x - 1} \right)^{x - 1} } \right)^2 }} > 0\left( {do\,\ln x > \ln \left( {x - 1} \right)\,\forall x > 2\,} \right)
\]
Suy ra $f(x)$ đồng biến.
Ta có đpcm!

Chuyên đề này rất hay. Cách đây nửa năm, mình và anh vuthanhtu_hd đã từng hợp tác và viết về chuyên đề này. Do nhiều lý do nên chuyên đề chưa post lên diễn đàn được.
Sau khi đọc Topic này mình thấy rất hứng thú.
Mình muốn ngỏ lời với bạn WhjteShadow về việc hợp tác viết chuyên đề này.

Trước tiên mọi người cho tớ lời giải bài này
Tìm GTNN của biểu thức
a.$A=\sqrt{x^{2}-2x+5}+\sqrt{x^{2}-6x+25}$
b.$B=\sqrt{x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}-2cx+c^{2}+d^{2}}$$(a,b,c,d \epsilon R)$

Cả 2 ý đều sử dụng BĐT Minkowsky:

\[
A = \sqrt {\left( {x - 1} \right)^2 + 2^2 } + \sqrt {\left( {3 - x} \right)^2 + 4^2 } \ge \sqrt {\left( {3 - 1} \right)^2 + \left( {4 + 2} \right)^2 } = \sqrt {2^2 + 6^2 } = \sqrt {40}
\]
Dấu = khi $
x = \frac{5}{3}


$

Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[10]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

BĐT đúng phải là:

\[
\begin{array}{l}
\frac{{a + b + c}}{3} \le \sqrt[{10}]{{\frac{{a^3 + b^3 + c^3 }}{3}}} \\
\Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)^{10} \le 3^9 .\left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right) \\
\Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)^{10} \le \left( {1 + 1 + 1} \right)^9 \left( {a^3 + b^3 + c^3 } \right)\,\,\left( * \right) \\
\end{array}
\]
Dễ thấy $( *)$ luôn đúng theo BĐT Holder. Dấu $=$ khi $a=b=c=1$
P/s: ĐK: $abc=1$ có vẻ hơi vô duyên.

Chém nhanh bài này :
Đặt:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
Giờ chỉ việc quy đồng lên là ra thôi!!@


----------------------------------Vũ Minh Tân-------------------------------

Đang $x$ sao lại là $a$ thế em.

Cho $a,b\neq 0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+4\geq 0$

Đặt : $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \Rightarrow \left| t \right| \ge 2$.
BĐT tương đương: \[
t^2 - 3t + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \ge 0
\]
Cái này đúng $\forall \left| t \right| \ge 2$

-Do dạng $\frac{0}{0}$ của giới hạn, ta hoàn toàn có thể dùng đạo hàm để giải:
$I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{x^x - \sqrt[3]{{60 + x^2 }}}}{{x - 2}}} \right)\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{x^x - \sqrt[3]{{60 + x^2 }}-2^2+\sqrt[3]{{60 + 2^2 }}}}{{x - 2}}} \right)=r'(2)$
Với $r(x)=x^x - \sqrt[3]{{60 + x^2 }}$
-Ta có: $r'(x)=x^x(lnx+1)-\frac{2x}{3\sqrt[3]{{(60 + x^2)^2}}}$
Nên $I=r'(2)=4ln2+4-\frac{1}{12}$

Em chưa hiểu dòng thứ 2.
Anh cho em hỏi có còn cách tính thuần túy nào mà không dùng đạo hàm không ạ?

Cho x,y,z >0 và $x + y + z \leq 1$. Chứng minh$P=\sqrt{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{y^{2} + \frac{1}{y^{2}}} + \sqrt{z^{2} + \frac{1}{z^{2}}} \geq \sqrt{82}$

Lời giải
Bất đẳng thức tương đương:\[

\sqrt {1^2 + 9^2 } .\sum {\sqrt {\left( {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} \right)} } \ge \sqrt {82} .\sqrt {1^2 + 9^2 } = 82
\]
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM :


\[
\sqrt {1^2 + 9^2 } .\sum {\sqrt {\left( {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} \right)} } \ge \sum {\left( {x + \frac{9}{x}} \right)} = \sum {\left( {x + \frac{1}{{9x}} + \frac{{80}}{{9x}}} \right)} \ge \sum {2\sqrt {\frac{{x.1}}{{9x}}} } + \frac{{80}}{9}.\frac{9}{{\sum x }} = 3.2.\frac{1}{3} + 80 = 82
\]

Chắc thêm trường dự thi cho có thêm thông tin nhỉ. Đọc mấy bài về offline của VMF thì anh biết Vương với Hoàng thi trường dược. Còn Việt với Lâm thi trường gì thế 2 em?

Lâm thi Khoa Kinh tế đối ngoại_ĐH Ngoại Thương anh ạ. Em thi Khoa Kiểm toán_Học viện Tài chính. . 2 thằng theo Kinh tế.

A Vương 29đ chắc thủ khoa ĐH rồi quá

Thủ khoa không tính điểm cộng. Tiếc cho Vương quá