Đến nội dung

vietfrog

vietfrog

Đăng ký: 14-03-2011
Offline Đăng nhập: 14-06-2015 - 00:53
****-

#333818 MỘT SỐ TOPIC BẤT ĐẲNG THỨC HAY ( trước 2012)

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 21:32

Mọi người có thể đóng góp link những Topic về BĐT THPT hay ngay tại đây.
Có thể là những Topic cũ,sôi động, đã bị chìm từ lâu hay nhưng bài BĐT hay độc đáo.
Xin cảm ơn!


#333803 MỘT SỐ TOPIC BẤT ĐẲNG THỨC HAY ( trước 2012)

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 21:16




#333721 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 18:21

$sin3x+cos3x-sinx+cosx=\sqrt{2}cos2x$
$3sinx-4sin^{3}x+4cos^{3}x-3cosx-sinx+cosx=\sqrt{2}cos2x$
$\Leftrightarrow 2sinx-4sin^{3}x+4cos^{3}x-2cosx=\sqrt{2}cos2x$
$\Leftrightarrow 2sinx(1-2sin^{2}x)+2cosx(2cos^{2}x-1)=\sqrt{2}cos2x$
$\Leftrightarrow 2sinx.cos2x+2cosx.cos2x=\sqrt{2}cos2x$
$cos2x(2sinx+2cosx-\sqrt{2})=0$
Với:
\[\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\]
Với:

\[\begin{array}{l}
2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0\\
\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]


#333719 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 18:16

Câu 8a:
Ta có:

\[\begin{array}{l}
d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.3 + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 3 = d\\
\Rightarrow {R_I} = \sqrt {{d^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\\
\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25
\end{array}\]


#333716 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 18:11

Câu 1.
2)
Ta có:

\[\begin{array}{l}
y' = 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)\\
y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - mx - \left( {3{m^2} - 1} \right) = 0
\end{array}\]
Để hàm số có 2 cực trị thì:
\[\Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4\left( {3{m^2} - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{4}{{13}}\]
Mặt khác: Theo bài:

\[\begin{array}{l}
{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow 1 - 3{m^2} + 2m = 1\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\left( L \right)\\
m = \frac{2}{3}\left( {TM} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow m = \frac{2}{3}
\end{array}\]


#333710 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 18:04

Câu 9a. :
Ta có:

\[\begin{array}{l}
\left( {2 + i} \right)z + \frac{{2\left( {1 + 2i} \right)}}{{1 + i}} = 7 + 8i\\
\Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)z = 7 + 4i\\
\Leftrightarrow z = 3 + 2i\\
\Rightarrow w = z + 1 + i = 4 + 3i\\
\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5
\end{array}\]


#333707 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 17:52

Câu 3:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
xy + x - 2 = 0\left( 1 \right)\\
2{x^3} - {x^2}y + {x^2} + {y^2} - 2xy - y = 0\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 2 \right):2{x^3} - {x^2}y + {x^2} + {y^2} - 2xy - y = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {2xy + y} \right) - \left( {{x^2}y - {y^2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 1} \right) - y\left( {2x + 1} \right) - y\left( {{x^2} - y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - y} \right) - y\left( {{x^2} - y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - y} \right)\left( {2x - y + 1} \right) = 0\\
\left[ \begin{array}{l}
{x^2} = y\\
2x - y + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\]
Với $x^2=y$, thay vào $(1)$:

\[\begin{array}{l}
{x^3} + x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1
\end{array}\]
Với $2x-y+1=0$, thay vào $(1)$ ta được:

\[\begin{array}{l}
x\left( {2x + 1} \right) + x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2} \to y = \pm \sqrt 5
\end{array}\]

Thử lại.

P/s: Mọi người test hộ nhé!


#333702 [TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối D

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 17:45

Câu 4:

\[\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x\left( {1 + \sin 2x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {x\sin 2xdx} \\
= \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} + A
\end{array}\]
Đặt : \[dv = \sin 2xdx \to v = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x\]
\[A = \left. {\frac{{ - x}}{2}\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \left( { - \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xd\left( {2x} \right)} } \right) = \frac{1}{4}\]
Suy ra: \[I = \frac{{{\pi ^2}}}{{32}} + \frac{1}{4}\]


#333650 $\left\{\begin{matrix} x(x+2y-4)+4k^{2}=8+4y-y^{2} &...

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 16:38

Cái này suy ra k=1 chứ ạ?

Thanks em. Anh đã sửa. :D
Suy ra $k$ thì thế này:

\[\left\{ \begin{array}{l}
- 4{k^2} + 12 \ge 0\\
2{k^2} + 2k - 3 \ge 0\\
k \in Z
\end{array} \right. \Rightarrow k = 1\]


#333641 $\left\{\begin{matrix} x(x+2y-4)+4k^{2}=8+4y-y^{2} &...

Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 16:28

Tìm tất cả k nguyên để hệ này có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} x(x+2y-4)+4k^{2}=8+4y-y^{2} & \\ y^{2}-2y+2=4x(y-x-1)+2k^{2}+2k & \end{matrix}\right.$

Lời giải
Hệ đã cho tương đương:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y - 2} \right)^2} = - 4{k^2} + 12\\
{\left( {2x - y + 1} \right)^2} = 2{k^2} + 2k - 3
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow k = 1\]


#333185 Tìm GTLN, GTNN $P = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begi...

Gửi bởi vietfrog trong 08-07-2012 - 16:08

Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn $x+y+z=0$ và $\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \neq 0$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P = $\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}}$

Xin trích dẫn một lời giải.

Như đã biết tư tưởng để chứng minh một bài toán bất đẳng thức của chúng ta đó là đưa bài toán về dạng đơn giản nhất có thể từ một bai toán có nhiều biến ta sẽ tìm cách đưa về dạng ít biến hơn. Và đối với bài toán này cũng dậy ta cũng sẽ tìm cách đưa bài toán từ ba biến về hai biến hoặc một biến thì càng tốt.

Nhưng trước hết, ta hãy chú ý đến nhận xét sau đây

" Trong ba số $x,y,z$ luôn có hai số cùng dấu. Ta có thể giả sử đó là $x,y.$ "


Bây giờ, quay trở lại bài toán. Biểu thức cần tìm cực trị có ba biến, trong khi đó giả thiết lại cho ta $x+y+z=0.$ Điều này gợi cho ta rút $z=-x-y$ để thay vào $P,$ và được $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{|x|+|y|+|x+y| }.\quad (1)$$ [HINT] Có thể nói đây là một bước tiến lớn trong lời giải vì ta đã đưa được bài toán tìm cực trị hàm ba biến về hai biến :D chỉ là rút ra rồi thay vào thôi mà.[/HINT]

Mặt khác, trong $(1)$ nếu ta thay $(x,y)$ bởi $(-x,-y)$ thì bài toán không đổi, nên ta chỉ cần xét trường hợp $x,y$ không âm là được. Khi đó ta được $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }. \quad (2)$$
Sử dụng hai đánh giá hiển nhiên $x^2+y^2\le(x+y)^2,$ ta có $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }\le \frac{\sqrt{(x+y)^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Mặt khác theo bát đẳng thức Cauchy-Schwarz, thì $x^2+y^2\ge \dfrac{(x+y)^2}{2},$ nên $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }\ge \frac{\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{2}+(x+y)^2}}{2(x+y) }=\sqrt{\frac{3}{8}}.$$ Vậy ta có kết quả cần tìm. $\Box$

Nhận xét. Thông thường đối với các bài toán bất đẳng thức ba biến, đẳng thức của bài toán thường xảy ra khi $a=k_1b=k_2c.$ Trong bài toán này sau khi đưa $P$ về dạng hai biến như $(2)$ ta có thể nhờ vào dự đoán đảng thức sẽ xảy ra khi $y=kx$ với k là một số thự nào đó. Từ đó gợi cho ta phép đặt $y=kx$ và viết $P$ lại thành $$P=\frac{\sqrt{x^2+k^2x^2+(x+kx)^2}}{2(x+kx) }=\frac{\sqrt{1+k^2+(1+k)^2}}{2(1+k) }.$$ Đây là bài toán một biến có thể giải quyết dễ dàng bằng nhiều cách.

Bằng cách làm tương tự, ta chứng minh được bài toán tổng quát sau đây

Nguồn: onluyentoan.vn




#333175 Giải PT:$7\cos^2{x}+37\sin^{28}{x}=37$

Gửi bởi vietfrog trong 08-07-2012 - 15:43

Giải phương trình: $7cos^{2}x+37sin^{28}x=37$

Lời giải
Cách này thì đặc trưng hàm số.
Đặt :\[a = {\sin ^2}x \Rightarrow a \in \left[ {0;1} \right]\]
Ta có PT :\[37{a^{14}} - 7a - 30 = 0\]
Xét: \[f\left( a \right) = 37{a^{14}} - 7a - 30/a \in \left[ {0;1} \right] \to f'\left( a \right) = 518.{a^{13}} - 7\]
Ta có: \[Maxf\left( a \right) = Max\left\{ {f\left( 0 \right);f\left( {\sqrt[{13}]{{\frac{7}{{518}}}}} \right);f\left( 1 \right)} \right\} = f\left( 1 \right) = 0\]
Như vậy: \[f\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \]


#332952 Giải phương trình $27^{x^2}=(6x^2-4x+1)9^x$

Gửi bởi vietfrog trong 07-07-2012 - 21:46

nhận tiện đây anh có thể cho em link về định lí roll được không
p\s có spam không nhỉ

Định lý Roll không được dùng khi thi ĐH. Nhưng hoàn toàn có thể chứng minh điều áp dụng trên bằng bảng biến thiên. :D


#332948 "Phao" cứu sinh cho Môn Ngữ Văn

Gửi bởi vietfrog trong 07-07-2012 - 21:43

GIƠ TAY LÊN. TẤT CẢ ĐÃ BỊ BẮT !!!!!!! :icon10:


#332945 Giải phương trình: $ \sqrt{2x+x+9} + \sqrt{2x-x+1} = x+4$

Gửi bởi vietfrog trong 07-07-2012 - 21:38

Giải phương trình: $ \sqrt{2x^2+x+9} + \sqrt{2x^2-x+1} = x+4$

Lời giải
Đặt \[\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + x + 9} = a;\sqrt {2{x^2} - x + 1} = b\\
\Rightarrow x + 4 = \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{b^2}
\end{array}\]
Ta có PT:

\[a + b = \frac{1}{2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a + b = 0\\
a - b = 2
\end{array} \right.\]
Đến đây quá đơn giản rồi.