Có thể là những Topic cũ,sôi động, đã bị chìm từ lâu hay nhưng bài BĐT hay độc đáo.
Xin cảm ơn!
- bugatti và PolarBear154 thích
Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn!
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 21:32
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 21:16
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 18:21
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 18:16
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 18:11
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 18:04
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 17:52
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 17:45
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 16:38
Thanks em. Anh đã sửa.Cái này suy ra k=1 chứ ạ?
Gửi bởi vietfrog trong 09-07-2012 - 16:28
Lời giảiTìm tất cả k nguyên để hệ này có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} x(x+2y-4)+4k^{2}=8+4y-y^{2} & \\ y^{2}-2y+2=4x(y-x-1)+2k^{2}+2k & \end{matrix}\right.$
Gửi bởi vietfrog trong 08-07-2012 - 16:08
Xin trích dẫn một lời giải.Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn $x+y+z=0$ và $\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix} \neq 0$ . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = $\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}}$
Như đã biết tư tưởng để chứng minh một bài toán bất đẳng thức của chúng ta đó là đưa bài toán về dạng đơn giản nhất có thể từ một bai toán có nhiều biến ta sẽ tìm cách đưa về dạng ít biến hơn. Và đối với bài toán này cũng dậy ta cũng sẽ tìm cách đưa bài toán từ ba biến về hai biến hoặc một biến thì càng tốt.
Nhưng trước hết, ta hãy chú ý đến nhận xét sau đây" Trong ba số $x,y,z$ luôn có hai số cùng dấu. Ta có thể giả sử đó là $x,y.$ "
Bây giờ, quay trở lại bài toán. Biểu thức cần tìm cực trị có ba biến, trong khi đó giả thiết lại cho ta $x+y+z=0.$ Điều này gợi cho ta rút $z=-x-y$ để thay vào $P,$ và được $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{|x|+|y|+|x+y| }.\quad (1)$$ [HINT] Có thể nói đây là một bước tiến lớn trong lời giải vì ta đã đưa được bài toán tìm cực trị hàm ba biến về hai biến chỉ là rút ra rồi thay vào thôi mà.[/HINT]
Mặt khác, trong $(1)$ nếu ta thay $(x,y)$ bởi $(-x,-y)$ thì bài toán không đổi, nên ta chỉ cần xét trường hợp $x,y$ không âm là được. Khi đó ta được $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }. \quad (2)$$
Sử dụng hai đánh giá hiển nhiên $x^2+y^2\le(x+y)^2,$ ta có $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }\le \frac{\sqrt{(x+y)^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Mặt khác theo bát đẳng thức Cauchy-Schwarz, thì $x^2+y^2\ge \dfrac{(x+y)^2}{2},$ nên $$P=\frac{\sqrt{x^2+y^2+(x+y)^2}}{2(x+y) }\ge \frac{\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{2}+(x+y)^2}}{2(x+y) }=\sqrt{\frac{3}{8}}.$$ Vậy ta có kết quả cần tìm. $\Box$
Nhận xét. Thông thường đối với các bài toán bất đẳng thức ba biến, đẳng thức của bài toán thường xảy ra khi $a=k_1b=k_2c.$ Trong bài toán này sau khi đưa $P$ về dạng hai biến như $(2)$ ta có thể nhờ vào dự đoán đảng thức sẽ xảy ra khi $y=kx$ với k là một số thự nào đó. Từ đó gợi cho ta phép đặt $y=kx$ và viết $P$ lại thành $$P=\frac{\sqrt{x^2+k^2x^2+(x+kx)^2}}{2(x+kx) }=\frac{\sqrt{1+k^2+(1+k)^2}}{2(1+k) }.$$ Đây là bài toán một biến có thể giải quyết dễ dàng bằng nhiều cách.
Bằng cách làm tương tự, ta chứng minh được bài toán tổng quát sau đây
Nguồn: onluyentoan.vn
Gửi bởi vietfrog trong 08-07-2012 - 15:43
Lời giảiGiải phương trình: $7cos^{2}x+37sin^{28}x=37$
Gửi bởi vietfrog trong 07-07-2012 - 21:46
Định lý Roll không được dùng khi thi ĐH. Nhưng hoàn toàn có thể chứng minh điều áp dụng trên bằng bảng biến thiên.nhận tiện đây anh có thể cho em link về định lí roll được không
p\s có spam không nhỉ
Gửi bởi vietfrog trong 07-07-2012 - 21:43
Gửi bởi vietfrog trong 07-07-2012 - 21:38
Lời giảiGiải phương trình: $ \sqrt{2x^2+x+9} + \sqrt{2x^2-x+1} = x+4$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học