GaoHu_F

Bài 1: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a, b, c>0 \\ 2 \leq n \in N \end{array}\right. $. CMR:
$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b} \geq \dfrac{3}{2} . \dfrac{a^n+b^n+c^n}{a+b+c}$
Bài 2: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$3(a^3+b^3+c^3)+2abc \geq 11\sqrt{\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\right)^3}$
Bài 3: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \leq 27abc+10\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3} $
Bài 4: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$\dfrac{\sqrt{2(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}{abc}+\dfrac{4(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} \geq 8$
Bài 5: Cho $ \left\{\begin{array}{l}a,b,c \in R \\ a+b+c=3 \end{array}\right. $. CMR: $(3+2a^2)(3+2b^2)(3+2c^2) \geq 125$.
Bài 6: Cho $a,b,c \geq 0$. CMR:
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3}+\dfrac{10abc}{9(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \dfrac{1}{4}$
Bài 7: Cho $a,b,c>0$. CMR:
$\dfrac{a}{(b+c)^n}+\dfrac{b}{(c+a)^n}+\dfrac{c}{(a+b)^n} \geq \left(\dfrac{3}{2}\right)^n . \dfrac{1}{(a+b+c)^{n-1}}$
Bài 8: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^2+5b^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{b^2+5c^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{c^2+5a^2}} \geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Đề bài: CMR: $\sum \dfrac{a}{b+c} +\dfrac{2}{3}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \geq \dfrac{13}{6} \forall a,b,c>0$
Chứng minh:
BĐT tương đương $\sum \dfrac{a}{b+c}-\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3}.\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \Leftrightarrow \sum\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} \geq \dfrac{2}{3}.\dfrac{\sum (a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}$
Ta có:
$(c+a)(c+b) \leq [\dfrac{(c+a)+(c+b)}{2}]^2 = \dfrac{1}{4}.[2c+(a+b)]^2 \\ \leq \dfrac{1}{4}.[(\sqrt{2})^2+1^2][(c\sqrt{2})^2+(a+b)^2] = \dfrac{3}{4}[2c^2+(a+b)^2] \leq \dfrac{3}{4}[2c^2+2(a^2+b^2)] \\ =\dfrac{3}{2} (a^2+b^2+c^2)$
Suy ra $\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} \geq \dfrac{2}{3}.\dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2} \Rightarrow (dpcm)$.
--------
Ở đây chúng ta nhận thấy điều kiện xảy ra dấu bằng của BĐT là $ \left\{\begin{array}{l}a=2b=2c\\2a=b=2c\\2a=2b=c\end{array}\right. \Leftrightarrow a=b=c=0$ trái với giả thiết mà thực ra BĐT xảy ra khi $a=b=c>0$ vẫn đúng!!! Vậy là như thế nào??? Mọi người cho ý kiến nhé!

Câu 1 (7.0 đ):
a) Giải phương trình:
$\sqrt{3x} + \sqrt{15-3x} = \sqrt{8x-5} $
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} xy + x + y = 3 \\ \dfrac{1}{x^2+2x} + \dfrac{1}{y^2+2y} =\dfrac{2}{3} \end{array} \right. $
Câu 2 (3.0 đ):
Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn:
$ 5x^2 + 2xy + y^2 - 4x -40 = 0$
Câu 3 (6.0 đ):
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ( (O) và d không có điểm chung).M là điểm di động trên d. Vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD của (O) (A, B là các tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB. Chứng minh rằng:
a)$\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{BC}{BD}$ và IA=IB.
b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 4 (2.0 đ):
Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc + \sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 (2.0 đ):
Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính $\dfrac{1}{4}$ chứa đa giác đó.

Mình mới viết bài này, mong các bạn góp ý.
Các bạn download ở đây:
Bản doc (Word 2003): http://www.mediafire...432vlfc5k8x3iy3
Bản docx (Word 2007): http://www.mediafire...duo9kaaikfixel3