mathprovn

Tham khảo hướng dẫn giải tại đây: https://jantho.violet.vn/

Bài 3:

 $\begin{array}{l}
P\left( x \right) = {x^4} + a\left( {{x^3} - x} \right) + b\left( {{x^2} - x} \right) + \left( {a + b + c} \right)x + d\\
P\left( x \right) = {x^4} + 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b + c} \right)x + d\,\,\left( 1 \right)
\end{array}$

Vì x(x + 1)(x – 1) chia hết cho 6; x(x – 1) chia hết cho 2 với mọi x nguyên.

Do đó P(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. Ta có thể chọn một trong các giá trị của x sau:

* Chọn x = 0 thì (1) trở thành P(0) = d. Vì P(0) nguyên nên d nguyên.

Þ${P_1}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b + c} \right)x\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x = 1 thì (2) trở thành: P₁(1) = a + b + c, vì P(1) là 2 số nguyên nên a + b + c nguyên.

Þ ${P_2}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x =  -1 thì (3) trở thành: P₂(-1) =  2b là số nguyên.

Þ ${P_3}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6}\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x = 2 thì (4) trở thành P₃(2) = 6a là số nguyên.

Ngược lại: giả sử 6a, 2b, a + b + c và d là các số nguyên thì (1) cũng là số nguyên với mọi x nguyên.

Làm giúp câu 2b với!

Tọa độ của A(-2;0) và B(0;2m)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): $x^2 - mx - 2m = 0$

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt C(c;mc+2) và D(d;md+2) khi $m^2 + 8m > 0$ hay $ m >0$ hoặc $m < - 8$

theo đề c < 0; d > 0 và c + d = m; cd = - 2m (Vi-et) 

$BD = 2AC \Leftrightarrow BD^2 = 4AC^2 \Leftrightarrow d^2 + [2m - (md + 2m)]^2 = 4[(-2-c)^2 + (-mc-2m)^2]$

$\Leftrightarrow (1 + m^2)d^2 = 4(m^2 + 1)(c+2)^2$

$\Leftrightarrow d^2 = 4(c+2)^2$

$\Leftrightarrow d = 2(c + 2); d=-2(c+2)$

*$ c + d = m$ và $d = 2(c + 2)$ suy ra: $c=\frac{m-4}{2}; d=\frac{m+4}{2}$

mà $cd = - 2m$ nên $\frac{m-4}{2}.\frac{m+4}{2} = -2m \Leftrightarrow m^2 + 8m - 16 = 0$

$\Leftrightarrow m = -4 + 4\sqrt{2}$(thỏa) hoặc $ m = -4 - 4\sqrt{2}$ (không thỏa d > 0)

* $c + d = m$ và $d = - 2(c + 2)$ suy ra $c = -m - 4; d = 2m + 4.$

cd = - 2m nên $(-m-4)(2m+4)=-2m \Leftrightarrow m^2 + 5m + 8 = 0 $. Pt vô nghiệm

Vậy $m = - 4 + 4\sqrt{2}$

ĐK: x , y > 0. Dễ thấy $(x;y)=(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$ là nghiệm của hệ.

Để ý: với x > 0, y > 0 thì x + y + xy + 2012 > 0.

* Nếu x > y thì từ phương trình 2 suy ra VT > 0; VP < 0 nên vô nghiệm => hệ vô nghiệm

* Nếu x < y thì từ phương trình 2 suy ra VT < 0, VP > 0 nên vô nghiệm => hệ vô nghiệm.

Vậy hệ chi có 1 nghiệm duy nhất.

Bai 5 giup ty a e

Gọi N là trung điểm của CD. Đặt AD + BC = x => CD = 17 - x, MN = 1/2 x

Tam giác CMN vuông có NC² + NM² = MC² => (17 - x)² + x² = 169 => x = 12 hoặc x = 5 => S = 30 (cm²⁾