mathprovn

Tham khảo hướng dẫn giải tại đây: https://jantho.violet.vn/

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN 10 TỈNH TIỀN GIANG NĂM HỌC 2019-2020

Bài I: (3đ)

1. Cho $x = \sqrt[3]{2+2\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-2\sqrt{3}}- 1$. Tìm giá trị của biểu thức: P = x³(x² + 3x + 9)³ 

2. Giải phương trình: $x^2+ 6x + 5 = \sqrt{x+7}$

3. Giải hệ phương trình:  $\left\{\begin{matrix} (3x-y-1)\sqrt{y+1}+3x-1=y\sqrt{3x-y}&\\ x^2+y^2=5 & \end{matrix}\right.$

Bài II: (3đ)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x² và đường thẳng d₁: $y = -\frac{1}{4}x$. Viết phương trình của đường thẳng d₂, biết d₂^ d₁ và d₂ cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho$\sqrt{5}AB = \sqrt{17}OI$ , với I là trung điểm của đoạn thẳng AB.

2. Cho phương trình:x²+ 5x + 4 – 9m = 0 (1), với m là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn $x_1(x_1^2 - 1) - x_2(8x_2^2+1)=5$

3. Cho hai số dương x, y thỏa mãn 2(x³ + y³) + 6xy(x + y – 2) = (x + y)²(xy + 4). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T = \frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1)$

Bài III: (1đ)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn (2x + 5y + 1)(2^|x|-1 + y + x² + x) = 65

Bài IV. (3đ)

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O). Trên (O), lấy điểm C (CA < CB) và trên đoạn thẳng OA lấy điểm D (D khác O, A). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần lượt tại E, F. AC cắt DE tại G, BC cắt DF tại H, OC cắt GH tại I.

1. Chứng minh rằng 2 tam giác AGE, FHC đồng dạng và I là trung điểm của GH.

2. Gọi J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

3. Gọi M là giao điểm của JO và DK. Chứng minh rằng DJOK vuông và 3 đường thẳng DE, IM, KO đồng quy.

Bài 3:

 $\begin{array}{l}
P\left( x \right) = {x^4} + a\left( {{x^3} - x} \right) + b\left( {{x^2} - x} \right) + \left( {a + b + c} \right)x + d\\
P\left( x \right) = {x^4} + 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b + c} \right)x + d\,\,\left( 1 \right)
\end{array}$

Vì x(x + 1)(x – 1) chia hết cho 6; x(x – 1) chia hết cho 2 với mọi x nguyên.

Do đó P(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên của x. Ta có thể chọn một trong các giá trị của x sau:

* Chọn x = 0 thì (1) trở thành P(0) = d. Vì P(0) nguyên nên d nguyên.

Þ${P_1}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \left( {a + b + c} \right)x\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x = 1 thì (2) trở thành: P₁(1) = a + b + c, vì P(1) là 2 số nguyên nên a + b + c nguyên.

Þ ${P_2}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6} + 2b.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x =  -1 thì (3) trở thành: P₂(-1) =  2b là số nguyên.

Þ ${P_3}\left( x \right) = 6a.\frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{6}\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$ là số nguyên.

* Chọn x = 2 thì (4) trở thành P₃(2) = 6a là số nguyên.

Ngược lại: giả sử 6a, 2b, a + b + c và d là các số nguyên thì (1) cũng là số nguyên với mọi x nguyên.

Làm giúp câu 2b với!

Tọa độ của A(-2;0) và B(0;2m)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): $x^2 - mx - 2m = 0$

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt C(c;mc+2) và D(d;md+2) khi $m^2 + 8m > 0$ hay $ m >0$ hoặc $m < - 8$

theo đề c < 0; d > 0 và c + d = m; cd = - 2m (Vi-et) 

$BD = 2AC \Leftrightarrow BD^2 = 4AC^2 \Leftrightarrow d^2 + [2m - (md + 2m)]^2 = 4[(-2-c)^2 + (-mc-2m)^2]$

$\Leftrightarrow (1 + m^2)d^2 = 4(m^2 + 1)(c+2)^2$

$\Leftrightarrow d^2 = 4(c+2)^2$

$\Leftrightarrow d = 2(c + 2); d=-2(c+2)$

*$ c + d = m$ và $d = 2(c + 2)$ suy ra: $c=\frac{m-4}{2}; d=\frac{m+4}{2}$

mà $cd = - 2m$ nên $\frac{m-4}{2}.\frac{m+4}{2} = -2m \Leftrightarrow m^2 + 8m - 16 = 0$

$\Leftrightarrow m = -4 + 4\sqrt{2}$(thỏa) hoặc $ m = -4 - 4\sqrt{2}$ (không thỏa d > 0)

* $c + d = m$ và $d = - 2(c + 2)$ suy ra $c = -m - 4; d = 2m + 4.$

cd = - 2m nên $(-m-4)(2m+4)=-2m \Leftrightarrow m^2 + 5m + 8 = 0 $. Pt vô nghiệm

Vậy $m = - 4 + 4\sqrt{2}$

ĐK: x , y > 0. Dễ thấy $(x;y)=(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$ là nghiệm của hệ.

Để ý: với x > 0, y > 0 thì x + y + xy + 2012 > 0.

* Nếu x > y thì từ phương trình 2 suy ra VT > 0; VP < 0 nên vô nghiệm => hệ vô nghiệm

* Nếu x < y thì từ phương trình 2 suy ra VT < 0, VP > 0 nên vô nghiệm => hệ vô nghiệm.

Vậy hệ chi có 1 nghiệm duy nhất.

Đề thi HSG cấp huyện 2017-2018

Từ $x =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ tính $x^2 + x - 1 = 0$. Phân tích các nhóm biểu thức trên về dạng $x^2 + x - 1$. Kết quả $ A = 0$

Gọi C(m, 0) thuộc Ox. Ta có Chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC có AB không đổi. Do đó chu vi nhỏ nhất Û CA + CB nhỏ nhất.

Gọi $A’(1;\frac{-1}{2})$  đối xứng A qua Ox. Khi đó CA = CA’ Þ CA + CB = CA’ + CB ≥ A’B.

CA + CB nhỏ nhất Û A’, C, B thẳng hàng. Khi đó C là giao điểm của A’B với Ox.

phương trình đường thẳng A’B: $y = \frac{5}{2} - 3$

Giao điểm của A’B và Ox là $C(\frac{6}{5};0)$

Bài 1: 2) ax² + by² = 7 Þ ax² = 7 – by²; by² = 7 – ax²

ax³ = x. ax² = x(7 – by²) = 7x – bxy²; by³ = y. by² = 7y – ax²y

 Þ ax³ + by³ = 7(x+y) – xy(ax + by) = 7(x + y) – 3xy = 16 (1)    (do ax + by = 3)

ax⁴ + by⁴ = 16(x + y) – xy(ax² + by²) = 16 (x + y) – 7xy = 42 (2)

(1), (2) suy ra x + y = -14; xy = - 38

Do đó: ax⁵ + by⁵ = 42(x + y) – xy(ax³ + by³) = 42.(-14) – (- 38). 16 = 20.

Vì x, y, z nguyên dương nên $[y] = y $ là số nguyên dương; {z} = 0. Do đó x + [y] + {z} là số nguyên dương. Mà x + [y] + {z} = 13,2 mâu thuẫn.

Vậy không tồn tại x.

Tính $(\sqrt[3]{2015}+\sqrt[5]{2015}+\sqrt[7]{2015}+\sqrt[10]{2015}).10^{17}$ rồi dùng kỹ thuật tính toán tràn màn hình với lệnh $\times10^x$

Tìm 17 chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy của $\sqrt[3]{2015}+\sqrt[5]{2015}+\sqrt[7]{2015}+\sqrt[10]{2015}$