NGOCTIEN_A1_DQH

 

Câu 5 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ khả tích và thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)dx=2013$ và:

$$\left | f(x_1)-f(x_2) \right |< \left | x_1^3 +x_2^3 -x_1x_2^2-x_2x_1^2 \right |, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$$

Xác định hàm số đã cho.

 

 

mới đi thi về, cơ mà làm ăn chán quá, chắc lỡ hẹn rồi 

 

điều kiện đề bài tương đương với: 

 

$ |\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}| \leq |x_1^2-x_2^2| $

 

cho $ x_1 $ tiến đến $ x_2 $ và lấy giới hạn 2 vế ta được:

 

$ \lim_{x_1 \rightarrow x_2}|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}| \geq  \lim_{x_1 \rightarrow x_2}|x_1^2-x_2^2| $

 

$ \Leftrightarrow |f'(x_2)|  \leq 0 \forall x_2 \in \mathbb{R} $

 

$ \Rightarrow f'(x)=0 \forall x \in \mathbb{R} $

 

hay $ f(x) $ là hàm hằng, kết hợp với $ \int_0^1f(x)dx=2013 $ ta tìm đc hàm $ f(x)=2013 \forall x \in \mathbb{R} $, thử lại thấy thỏa

 

vậy hàm số cần tìm là $ f(x)=2013 \forall x \in \mathbb{R} $

cho a,b,c$\geq$0 và a+b+c=3.CMR:

$\frac{a}{2a+bc}+\frac{b}{2b+ca}+\frac{c}{2c+ab}\leq 1$

$ BĐT \Leftrightarrow 1-\frac{2a}{2a+bc}+1-\frac{2b}{2b+ca}+1-\frac{2c}{2c+ab} \geq 1 $

 

$ \Leftrightarrow \frac{bc}{2a+bc}+\frac{ca}{2b+ca}+\frac{ab}{2c+ab} \geq 1 $

 

ta có: 

 

$ VT =\frac{b^2c^2}{2abc+b^2c^2}+\frac{c^2a^2}{2abc+c^2a^2}+\frac{a^2b^2}{2abc+a^2b^2} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{6abc+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

 

ta sẽ chứng minh $ \frac{(ab+bc+ca)^2}{6abc+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 1$

thật vậy BĐT trên tương đương với $ 2abc(a+b+c) \geq 6abc $ (luôn đúng vì $ a+b+c=3 $)

 

vậy BĐT được chứng minh, dấu bằng xảy ra khi $ a=b=c=1 $

$\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{5x-7}+\sqrt[4]{7x-5}+\sqrt[5]{13x-7}\leq 8$

 

Có thể dùng PP đạo hàm

điều kiện: $ x \geq \frac{5}{7} $

 

xét hàm số $ f(x)= \sqrt{x+1}+\sqrt[3]{5x-7}+\sqrt[4]{7x-5}+\sqrt[5]{13x-7} $với $ x \geq \frac{5}{7} $

 

ta có: $ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{5}{3\sqrt[3]{(7x-5)^2}}+\frac{7}{4\sqrt[4]{(7x-5)^3}}+\frac{13}{5\sqrt[5]{(13x-7)^4}} >0 \forall x $

 

mà ta có $ f(3)=8 $

 

$ \Rightarrow f(x) \leq f(3)=8 \forall x \in [\frac{5}{7};3] $

 

$ f(x) \geq f(3) \forall x \geq 3 $

 

vậy BPT có tập nghiệm là $  [\frac{5}{7};3] $

đề thi toán khối D


I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y = 2x^3 – 3mx^2 + (m-1)x + 1\,\,\left( 1 \right),\,\,\,m$ là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m=1$.
2. Tìm $m$ để đường thẳng $y=-x+1$ cắt đồ thị hàm số $(1)$ tại ba điểm phân biệt.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin 3x + \cos 2x - \sin x =0$.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình $2\log_2x+\log_{\frac{1}{2}}(1-\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(x – 2\sqrt{x}+2)$.

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 \frac{(x+1)^2}{x^2+1}dx$
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $\widehat{BAD}=120^o$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $\widehat{SMA}=45^o$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $xy \leq y - 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P = \frac{x+y}{\sqrt{x^2-xy+3y^2}}-\frac{x-2y}{6(x+y)}$$

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có điểm $M\left( -\frac{9}{2};\frac{3}{2} \right)$ là trung điểm cạnh $AB$, điểm $H(-2;4)$ và điểm $I(-1;1)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và tâm đường trong ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(-1;-1;-2), B(0;1;1)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y +z-1= 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A,B$ và vuông góc với $(P)$.
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1+i)(z-i)+2z=2i$. Tìm môđun của số phức $w= \frac{\overline z – 2z + 1}{z^2}$.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right): (x-1)^2+(y-1)^2 = 4$ và đường thẳng $\Delta :y-3=0$. Tam giác $MNP$ có trự tâm trùng với tâm của $\left( C \right)$, các đỉnh $N$ và $P$ thuộc $\Delta$, đỉnh $M$ và trung điểm cạnh $MN$ thuộc $\left( C \right)$. Tìm tọa độ điểm $P$.
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( -1; 3;-2 \right)$ và mặt phẳng $(P): x -2y -2z+5 = 0$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ trên đoạn $[0;2]$

---Hết---

Tam giác ABC có sinA+sinC=2sinB
Chứng minh rằng: $tan\frac{A}{2}+tan\frac{C}{2}\geq \frac{2\sqrt{3}}{3}$

lâu lắm mới post bài

đặt $ tan\frac{A}{2}=x; tan\frac{B}{2}=y; tan\frac{C}{2}=z $ (với $ x,y,z>0 $)

dễ chứng minh đẳng thức quen thuộc trong tam giác sau:

$ tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1 $

hay $ xy+yz+zz=1 $

mà từ đề bài ta có:

$ sinA+sinC=2sinB $

$ \Leftrightarrow \frac{x}{1+x^2}+\frac{z}{1+z^2}=\frac{2y}{1+y^2}$

$ \Leftrightarrow \frac{x}{xy+yz+zx+x^2}+\frac{z}{xy+yz+zx+z^2}=\frac{2y}{xy+yz+zx+y^2} $

$ \Leftrightarrow \frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}=\frac{2y}{(y+x)(y+z)}$

$ \Leftrightarrow x(y+z)+z(x+y)=2y(z+x) $

$ \Leftrightarrow 2zx=yz+xy=1-zx $

$ \Leftrightarrow zx=\frac{1}{3} \Rightarrow z+x \geq \frac{2\sqrt{3}}{3} $

vậy bđt được chứng minh dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều.