Nguyen Hung Phong

Chứng minh rằng với a, b, c là số dương thì :
$\frac{{ab}}{{a + 3b + 2c}} + \frac{{bc}}{{b + 3c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + 3a + 2b}} \le \frac{{a + b + c}}{6}$

Mod. Chú ý tiêu đề viết phải thật ngắn gọn.

Cho a, b, c là các số dương và a + b + c = 1 . CMR:

$\frac{{ab + c}}{{c + 1}} + \frac{{bc + a}}{{a + 1}} + \frac{{ca + b}}{{b + 1}} \le 1$

Bạn giải sai rồi, dễ thấy n =3 thỏa mãn mà

MÌnh xin giải như sau:
Không mất tính tổng quát, giả sử $0< x\leq y\leq z$
$\Rightarrow \frac{1}{x}\geq \frac{1}{y}\geq \frac{1}{z}$
$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{3}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{1995}\leq \frac{3}{x}\Rightarrow x\leq 598500$
Đến đây chắc bạn tự làm được!nhưng có vẻ như hơi nhiều giá trị nhỉ?????

Đến đây thì làm tiếp thê nào nhỉ, chỗ khó là bước này !!!!!!!!!!!!!!!!!

Phương trình đã cho tương đương với
$x^{2}=x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}\Leftrightarrow x^{2}-x-2x=0$ ( do có n dấu căn)
$\Leftrightarrow x^{2}-3x=0\Leftrightarrow x=0\vee x=3$
Thử lại cả hai nghiệm này đều thỏa phương trình

Mình tưởng phải vô số căn thì mới làm được như bạn !

CMR : $\frac{{{5^{125}} - 1}}{{{5^{25}} - 1}}$ là hợp số

Giải phương trình :
$\sqrt {x + 2\sqrt {x + 2\sqrt {x + ...... + 2\sqrt {x + 2\sqrt {3x} } } } } = x$
( có n dấu căn)

CMR :


$\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4...\sqrt {2011\sqrt {2012\sqrt {2013} } } } } } < 3$

Tìm x, y, z nguyên dương sao cho :


\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{1995}}\]