bexiu

$\dfrac{\sqrt{3}sin2x-cos2x-5sinx+%282-\sqrt{3}%29cosx+3+\sqrt{3}}{2cosx+\sqrt{3}}=1$

nhớ đặt đk nha bạn!
$ \sqrt{3}sin2x-cos2x-5sinx-\sqrt{3}cosx+3=0 \\ \sqrt{3}cosx(2sinx-1)+2 sin^{2}x-1+3-5sinx=0\\ \sqrt{3}cosx(2sinx-1)+2(sinx-2)(sinx- \dfrac{1}{2} )=0$
có nhân tử chung rùi!!

hic....sai căn bản ...thanks mấy bạn nha!!! Để mình coi lại

$sin3x+ \sqrt{3}cos3x+sin2x+ \sqrt{3}cos2x=sinx+ \sqrt{3} cox\\ \Leftrightarrow 2sin(3x+ \dfrac{ \pi }{3})+ 2sin(2x+ \dfrac{ \pi }{3}) = 2sin(x+ \dfrac{ \pi }{3}) \\ \Leftrightarrow sin(3x+ \dfrac{ \pi }{3})+ sin(2x+ \dfrac{ \pi }{3}) = sin(x+ \dfrac{ \pi }{3}) \\ \Leftrightarrow sin(3x+ \dfrac{ \pi }{3})- sin(x+ \dfrac{ \pi }{3}) = -sin(2x+ \dfrac{ \pi }{3}) \\ \Leftrightarrow 2cos( \dfrac{3x+x+ \dfrac{2 \pi }{3} }{2})sin( \dfrac{3x-x}{2}) =-sin(2x+ \dfrac{ \pi }{3} ) \\ \Leftrightarrow 2cos(2x+ \dfrac{ \pi }{3})sinx= -sin(2x+ \dfrac{ \pi }{3} ) (1) $

Xét TH:$sin(2x+ \dfrac{ \pi }{3})=0 $ xem x có phải là nghiệm của(1)
xét $sin(2x+ \dfrac{ \pi }{3}) \neq 0 $
$(1) \Leftrightarrow -2 \dfrac{cos(2x+ \dfrac{ \pi }{3}) }{sin(2x+ \dfrac{ \pi }{3})} .sinx=0\\ \Leftrightarrow cot(2x+ \dfrac{ \pi }{3} ).sinx=0$
tới đây xong rùi !!!!!

Chứng minh đẳng thức sau:
$ sin^2 \dfrac{A}{2}+sin^2 \dfrac{B}{2}+sin^2 \dfrac{C}{2}+2sin \dfrac{A}{2} sin \dfrac{B}{2} sin \dfrac{C}{2}=1$
Với A,B,C là ba góc của 1 tam giác
Cố gắng cách ngắn nhất mọi người nha

$ \dfrac{1-cosA}{2}+ \dfrac{1-cosB}{2}+ \dfrac{1-cosC}{2}+2sin \dfrac{A}{2} sin \dfrac{B}{2} sin \dfrac{C}{2}=1\\ \Leftrightarrow 4sin \dfrac{A}{2} sin \dfrac{B}{2} sin \dfrac{C}{2}+1=cosA+cosB+cosC $
$VP=cosA+cosB+cosC= 2cos \dfrac{A+B}{2}cos \dfrac{A-B}{2} +1-2 sin^{2} \dfrac{C}{2}\\=1+2sin \dfrac{C}{2}(cos \dfrac{A-B}{2}-cos \dfrac{A-B}{2})\\=1+2sin \dfrac{C}{2}(-2)sin \dfrac{ \dfrac{A-B}{2}+ \dfrac{A+B}{2} }{2}sin\dfrac{ \dfrac{A-B}{2}- \dfrac{A+B}{2} }{2}\\=1-4sin \dfrac{C}{2}sin \dfrac{A}{2} sin \dfrac{-B}{2} \\=1+4sin \dfrac{C}{2}sin \dfrac{A}{2} sin \dfrac{B}{2} \\= VT $

$l. cosA + cosB + cosC = sin\dfrac{A}{2} + sin\dfrac{B}{2} + sin\dfrac{C}{2} $



$cosA+cosB=2cos \dfrac{A+B}{2}cos \dfrac{A-B}{2}=2sin \dfrac{C}{2}cos \dfrac{A-B}{2} \leq 2sin \dfrac{C}{2} (1) $
dấu "=" xảy ra$ \Leftrightarrow cos \dfrac{A-B}{2}=1 \Leftrightarrow \widehat{A} = \widehat{B} $
tương tự:$ cosB+cosC \leq 2sin \dfrac{A}{2} (2)\\ cosC+cosA \leq 2sin \dfrac{B}{2} (3)$
cộng (1) (2) (3) vế theo vế , ta có
$ 2(cosA + cosB + cosC) \leq 2(sin\dfrac{A}{2} + sin\dfrac{B}{2} + sin\dfrac{C}{2})\\ \Rightarrow cosA + cosB + cosC \leq sin\dfrac{A}{2} + sin\dfrac{B}{2} + sin\dfrac{C}{2} $

dấu "=" xảy ra$ \Leftrightarrow \widehat{A}= \widehat{B}= \widehat{C} $

suy ra tg ABC đều