Yagami Raito

Ngày nay, từ lớp Một, học sinh đã biết một số kì hiệu phép tính toán học như cộng (+), trừ (-), bằng nhau ( = ),…Nhưng nhân loại phải mất hàng nghìn năm mới có được các kí hiệu đơn giản mà cần thiết đó.
Trước khi có các kì hiệu phép tính, người ta đã phải dùng lời, dùng chữ để diễn tả quan hệ số lượng và hình dạng. Ví dụ, để diễn ta (a + b) – c người ta phải biết : ” a cộng với b, rồi lấy kết quả trừ đi c”. Đây là cách mà người Hi Lạp còn dùng mãi về sau.

Người Ai Cập vào những năm 1700 trước Công nguyên dùng cách đánh dấu bằng hai cẳng chân nằm cùng điều để chỉ phép cộng và hai cẳng chân nằm khác chiều để chỉ phép trừ.

Người Hi Lạp cổ đại và người Ấn Độ cổ đại đều coi việc viết hai số liền nhau là phép cộng, ví dụ có nghĩa là 3 cộng

Người Hindu thì phép cộng được thể hiện bằng cách ghép, còn phép trừ thể hiện bằng việc đặt một chấm lên số bị trừ.

Nhà toán học Lý Thiện Lan nhười Trung Hoa đã dùng kí hiệu và để chỉ phép cộng và phép trừ.
L. Pasoli ( cuối thế kỉ XV) người Italia, đã dùng kí hiệu chữ Latinh p từ chữ plus (nghĩa là cộng), ví dụ 5 p 3, nghĩa là 5 cộng 3 và chữ m, từ chữ minus ( nghĩa là trừ) thay cho phép trừ, ví dụ 7 m 5, nghĩa là 7 trừ 5.

Cuối thời Trung Cổ, thương nghiệp ở châu Âu phát triển, một số nhà buôn thường vạch dấu ” +” và dấu ” – ì lên thùng hàng để đánh dấu ìtrọng lượng hơi thừa” và ìtrọng lượng hơi thiếu”

Thời Phục Hưng (thế kỉ XV – XVI), Leonardo de Vinci (1452 – 1519) người Italia bậc thầy của nghệ thuật, nhất là hội họa, nhưng rất mê toán, đã dùng kí hiệu ì+” và ì-” trong một số tác phẩm của mình.

Năm 1489, trong một cuốn sách số học của J. W d’Eges người Đức, xuất hiện dấu ” +” và dấu ” -” để chỉ phép cộng và phép trừ. Sau đó đến năm 1514, nhà toán học Van der Hoecker người Hà Lan, năm 1524 Christoffel Rudofl( khoảng 1500 – 1545), đã dùng kí hiệu ì+” và ” -” thay cho phép cộng và phép trừ.

Về sau, nhờ đóng góp tích cực của nhà toán học Fracois Viete( người Pháp, 1540 – 1603, được biết đến ở chương trình phổ thông với định lí Viete về nghiệm của phương trình bậc 2) thì dấu ” +” và ” -” mới được phổ cập và đến năm 1630 mới được mọi người công nhận. Do vậy ông được cho là ông tổ của kí hiệu toán học.

Đối với phép nhân, người Hindu đã dùng cách viết bha( âm đầu của từ bhavita là tích) sau các nhân tử. Năm 1631 William Oughtred(1574 – 1660) người Anh, đã dùng dấu ìx” trong các tác phẩm của mình và người ta đã dùng nó cho đến ngày nay.

Dấu ì.” thay cho phép nhân đã được Thomas Harriot (1560 – 1621) dùng nhưng sau đó người ta ít dùng, chỉ đến khi (năm 1684) Gottfried Wilhelm Leibnizt ( 1646 – 1716) người Đức chấp nhận nó thì người ta mới dùng nhiều. Hiện nay dấu ì.” vẫn được dùng cho phép nhân trong SGK của một số nước.

Dấu ì” được G. W. Leibnizt dùng cho phép nhân và ngày nay dấu này được dùng để chỉ phép giao trong tập hợp.

Đối với phép chia, người Hindu thể hiện bằng cách viết số chia dưới số bị chia. Nhà toán học Mohammed Ibn Musa Al – Khowarizmi ( khoảng 780 – khoảng 850) người Uzbekistan,đã dùng để chỉ 3:4

Đến năm 1630, John Pell ( 1610 – 1685) người Anh đã dùng dấu ”: ” và sau đó năm 1659 Johann Heirich Rahn (1622 – 1676) người Thụy Sĩ, năm 1684 G.W. Leibnizt cũng dùng dấu ” :” để chỉ phép chia.
Đối với phép khai căn, trước khi có dấu thì người ta dùng R.q thay cho , R.c thay cho . :sqrt[3]{a}

Người Hindu thể hiện phép khai căn bằng cách viết ka (âm tiết đầu của từ karana là vô tỉ) trước đại lượng lấy căn.

Đến năm 1525, trong cuốn ìDie Coss”, Ch.Rudolff đã đưa ra dấu . sở dỉ được ông kí hiệu như vậy vì có lẽ nó giống chữ r trong từ radical là dấu căn.

Tất nhiên còn nhiều kí hiệu phép tính toán học nữa, như tích phân

Cờ vua là một trong những trò chơi xa xưa nhất.Nó đã có từ nhiều thế kỷ và lẽ tất nhiên, có nhiều chuyện cổ tích liên quan tới nó. Những chuyện đó có đúng hay không, vì đã quá xa xưa nên không thể kiểm tra được. Tôi muốn kể một trong những huyền thoại đó. Muốn hiểu chuyện, nói chung không cần thiết biết chơi cờ: chỉ cần biết là trò chơi này được thực hiện trên bàn cờ có chia làm 64 ô (các ô đen và trắng xen kẻ tiếp nhau)




I. Cờ vua được nghĩ ra ở An Độ và khi vua An Độ Sêram làm quen với cờ, ông khâm phục sự sắc xảo và sự đa dạng của các tình huống trên bàn cờ.

Được biết cờ vua do một trong những người có quốc tịch của nước ông sáng chế, nhà vua ra lệnh gọi người đó đến để tự mình tặng thưởng về công lao phát minh.

Nhà sáng chế, tên ta Sêta, đến ngai vua. Đó là một nhà bác học ăn mặc khiêm tốn, sống bằng các phương tiện do các học trò của ông cung cấp.

- Ta muốn tặng thưởng cho ông một cách xứng đáng, ông Sêta, vì trò chơi tuyệt vời mà ông đã nghĩ ra – nhà vua nói.

Nhà thông thái cúi chào.

- Ta rất giàu có, có thể thực hiện điều mong muốn mạnh dạng nhất của ông – nhà vua tiếp tục.

- Ong hãy nói phần thưởng mà ông thỏa mãn, và ông sẽ nhận được phần thưởng đó.

Sêta im lặng.

- Đừng có nhút nhát – nhà vua động viên ông ta – hãy trình bày ý muốn của ông. Ta không có tiếc gì cả để thực hiện ước vọng đó.

- Thưa ngài, lòng tốt của ngài thật là vĩ đại. Nhưng ngài hãy cho tôi thời gian để suy nghĩ. Ngày mai, sau khi suy nghĩ kỹ, tôi sẽ thông báo với ngài yêu cầu của tôi.

Ngày hôm sau, khi Sêta lại xuất hiện ở các bậc thềm của ngai rồng, ông ta đã làm cho nhà vua ngạc nhiên vì tính cực kỳ khiêm tốn về lời yêu cầu của ông.

- Thưa ngài – Sêta nói – Ngài hãy ra lệnh cho tôi một hạt lúa mì vào ô thứ nhất của bàn cờ.

- Chỉ một hạt lúa mì đơn giản thế thôi ư? – nhà vua rất đỗi ngạc nhiên.

- Vâng, thưa ngài. Đối với ô bàn cờ thứ hai, ngài hãy ra lệnh cho 2 hạt; ô thứ ba, 4 hạt; ô thứ tư, 8 hạt; ô thứ năm, 16; ô thứ sáu, 32…

- Được rồi – nhà vua ngắt lời với vẻ bực tức – Ong sẽ nhận được các hạt lúa mì đối với 64 ô bàn cờ theo nguyện vọng của ông: đối với mỗi ô, số hạt lúa mì sẽ gấp đôi ô trước. Nhưng ông hãy biết là yêu cầu của ông không xứhg đáng với lòng hào hiệp của ta – đòi hỏi một phần thưởng ít ỏi như vậy, ông đã coi thường sự ân cần của ta. Như một nhà giáo, phải chăng ông đã nêu một tấm gương về sự kính trọng đối với lòng tốt của hoàng đế của ông. Thôi đi đi, người hầu của ta sẽ mang cho ông cả túi lúa mì.

Sêta mỉm cười, rời phòng và bắt đầu chờ đợi ở cửa cung điện.



II. Sau bữa cơm, nhà vua nhớ tới người sáng chế ra bàn cờ và muốn biết là Sêta khinh xuất đã mang cái phần thưởng bé nhỏ của mình đi chưa.

- Thư ngài – có tiếng trả lời – lệnh của ngài đang được thực hiện. Các nhà toán học cung đình đang tính toán số lượng hạt lúa mì tiếp theo.

Nhà vua cau mài. Nhà vua không thích mệnh lệnh của ngài được thực hiện một cách lề mề như vậy.

Chiều tối, lúc đi ngủ, nhà vua còn hỏi lại là Sêta với cái túi lúa mì đã rời hàng rào cung điện lâu chưa.

- Thưa bệ hạ – các quần thần trả lời vua – các nhà toán học của bệ hạ làm việc không mệt mỏi và hy vọng trước lúc rạng đông mới kết thúc việc tính toán.

- Tại sao họ lại chậm trễ công việc đó như thế? – nhà vua thốt lên một cách tức giận – ngày mai trước khi ta thức giấc, thì tất cả, cho tới hạt lúa mì cuối cùng phải được giao cho Sêta. Ta không có ra lệnh lần thứ hai.

Sáng đến, có người tâu với nhà vua rằng người già nhất trong đám các nhà toán học ở cung đình yêu cầu nhà vua nghe tờ trình quan trọng.

Nhà vua ra lệnh đưa ông ta vào.

- Trước hết ông hãy nói về công việc của ông – Sêram tuyên bố – ta muốn nghe, cuối cùng, cái phần thưởng bé nhỏ mà Sêta tự yêu cầu đã được giao cho ông ta chưa.

- Chính vì việc đó mà tôi đánh bạo đến gặp ngài vào giờ quá sớm như vậy – ông già trả lời – chúng tôi đã tận tâm, tận lực tính toán tất cả số lượng hạt lúa mà Sêta muốn nhận. Số lượng đó vĩ đại quá.

- Sao? Số lượng ấy lại vĩ đại à – nhà vua ngắt lời một cách kêu hãnh – vựa lúa mì của ta không cạn được. Phần thưởng đã được hứa thì phải được giao.

- Thưa ngài, trong quyền lực của ngài, không thể thực hiện được những ý muốn như vậy. Trong tất cả các kho lúa mì của ngài, không đủ số lượng hạt lúa mì mà Sêta yêu cầu. Trong các vựa lúa mì của toàn vương quốc cũng không đủ. Cũng không tìm được số lượng hạt đó trong khắp trái đất này. Và nếu ngài nhất định muốn tặng cái phần thưởng đã hứa, thì ngài hãy ra lệnh chuyển tất cả các vương quốc trên trái đất thành những cánh đồng cày cấy được, ngài hãy ra lệnh làm cạn các biển và đại dương, ngài hãy ra lệnh làm tan băng tuyết đang bao phủ các vùng hoang vu ở miền bắc xa xôi. Hãy để cho tất cả các khoảng không gian đó được gieo trồng kín lúa mì. Và tât cả những gì được sản sinh ra trên những cánh đồng đó, ngài hãy ra lệnh ban cho Sêta. Khi đó, ông ấy mới nhận được đầy đủ phần thưởng của mình.

Nhà vua xửng sốt, chú ý những lời nói của nhà toán học già nua.

- Hãy nói cho ta con số quái gỡ đó – nhà vua nói với vẻ trầm ngâm.

- Ồ thưa ngài, 18 tỉ tỉ 446 triệu tỉ 744 ngàn tỉ 73 tỉ 709 triệu 551 ngàn 615 hạt!



III. Câu chuyện là như vậy. Có thực hay không, người ta không biết nhưng cái phần thưởng mà chuyện cổ tích nói tới, nên được biểu thị bằng con số mà chính chúng ta có thể thấy rõ nhờ cách tính toán kiên trì.

Bắt đầu từ 1 (đơn vị), cần phải cộng các số: 1, 2, 4, 8 v.v… kết quả của sự gấp đôi lần thứ 63 sẽ chỉ rõ phải trả bao nhiêu hạt cho nhà sáng chế đối với ô thứ 64 của bàn cờ. Việc tính toán được rút gọn bằng cách chỉ việc nhân 64 lần số 2:

2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * … (64 lần)

Để rút ngắn, chúng ta chia 64 thừa số này thành 6 nhóm, mỗi nhóm có 10 số 2 và một nhóm cuối cùng có 4 số 2. Tích số của 10 số 2, ta dễ dàng thấy rõ bằng 1.024, còn 4 số 2 bằng 16. Nghĩa là kết quả cần tìm bằng:

1.024 * 1.024 * 1.024 * 1.024 * 1.024 * 1.024 * 16.

1.024 * 1.024 ta được 1.048.576

Bây giờ còn tìm:

1.048.576 * 1.048.576 * 1.048.576 * 16.

Đem kết quả trừ đi một đơn vị, ta sẽ biết được số lượng hạt lúa cần tìm:

18.446.744.073.709.551.615

Nếu bạn muốn hình dung tất cả sự to lớn của con số vĩ đại đó, bạn hãy ước lượng kích thước của kho lúa lớn như thế nào cần để chứa một lượng lúa mì như vậy. Được biết rằng 1m3 lúa mì chứa khoảng 15 triệu hạt. Nghĩa là phần thưởng của người sáng chế ra bàn cờ vua phải chiếm một thể tích chừng 12.000.000.000.000m3 hoặc 12.000km3. Nếu kho lúa cao 4m và rộng 10m thì chiều dài của kho phải kéo dài tới 300.000.000km. Nghĩa là gấp đôi đoạn đường từ trái đất đến mặt trời!

Ong vua An Độ đã không thể trao cái phần thưởng như vậy. Nhưng nếu ông giỏi về toán học thì ông có thể dễ dàng thoát khỏi tình trạng bí lối ấy. Muốn thế, chỉ cần đề nghị Sêta tự đếm cho mình lần lượt từng hạt cho đến hết tất cả số lượng lúa mì phải trả cho ông ta.

Thực tế, nếu như Sêta bắt tay vào việc đếm, tiếng hành liên tục ngày đêm và mất mỗi hạt mất một giây, thì trong một ngày đêm, ông đếm được tất cả 86.400 hạt. Để đếm 1 triệu hạt, ông cần không dưới 10 ngày làm việc không nghỉ. Một mét khối lúa mì, ông phải đếm trong khoảng nữa năm. Đếm liên tục trong 10 năm, ông chỉ đếm được khoảng 20m3. Đấy bạn thấy chưa, nếu Sêta dành cả phần đời còn lại của mình để đếm lúa mì thì ông ta cũng chỉ có thể nhận được một phần rất nhỏ của phần thưởng mà ông yêu cầu.

Nếu muốn đề cập đến những thiên tài có những cống hiến vĩ đại cho con người thì không thể bỏ qua nhà toán học yểu tử Évariste Galois (1811-1832). Nhưng điều đáng buồn hơn là cuộc đời cuả ông – một tấn bi kịch, một gia tài hiếm có cuả nhân loại – đã hầu như bị vùi dập không thương tiếc bởi sự vô tình cuả những bậc trí giả đương thời và bởi sự vô tâm cuả xã hội phong kiến lúc bấy giờ.
Galois, nhà toán học Pháp người đã phát triển nhũng kỹ thuật mới nghiên cứu về khả năng giải được cuả các phương trình mà ngày nay còn gọi là lý thuyết nhóm (hay đặc biệt hơn ìlí thuyết Galois”). Cùng lúc với Abel, ông đã chỉ ra được rằng có những phương trình tổng quát bậc 5 hay cao hơn sẽ không thể giải đuợc bằng căn thức (tức là nghiệm nếu có cuả chúng sẽ không biểu thị được bằng một số hữu hạn các phép toán hữu tỉ)

Đôi nét về cuộc đời Galois

Galois sinh ra trong 1 gia đình gia giáo. Tuy vậy thật bất hạnh cha ông đã tự sát vì một lá thư nặc danh cuả kẻ thù. Bản thân ông thường hay bị trượt trong các kì thi ở trường học trong khi mà ông lại có khả năng đọc và hiểu thấu đáo Hình học cuả Legendre. Ngay cả trong kì thi ở trường Preparatory, thầy giáo vật lí Pélet đã đánh giá miả mai: ìHắn ta tuyệt đối không biết gì hết. Tôi đã được nghe rằng hắn có khả năng toán học; Tôi hoàn toàn ngạc nhiên về điểm này. Khi chấm bài thi cuả anh ta, dường như anh ta có một tí hơi hớm thông minh hay là cái trí khôn này đã được giấu quá kỹ đến nổi tôi không cách chi tìm ra nó!”. Ông cũng đã bị loại khỏi trường Bách khoa Kỹ thuật, một đại học nổi tiếng cuả Paris, tới những hai lần (điểm này chỉ có thể so sánh nổi với cụ Tú Xương nhà ta) Lí do bị loại trong lần thi thứ hai (năm 1929) là vì ông đã ném miếng giẻ vào mặt giám khảo M.Dinet (có tài liêu cho là Lefébure de Forcy) do một câu hỏi về logarithm mà ông cho là ngớ ngẩn và ngu ngốc

Thêm vào sự thiếu may mắn đó, nhiều công trình cuả ông chẳng những bị bỏ xó mà còn, trong nhiều trường hợp, chúng hoàn toàn bị cất vào không đúng chỗ bởi những người hữu trách. Khi Galois giao cho Cauchy (1789-1857) tài liệu chưá đựng những kết quả tối quan trọng (mà chính Galois lại không lưu lại bản sao), thì Cauchy lại đánh mất. Một bản luận văn khác cuả ông cũng đã được đệ trình cho giải thưởng lớn về toán học cuả Viện Hàn Lâm, chính Fourier (1768-1830) lấy bản văn đó về nhà nhưng lại qua đời một thời gian ngắn sau đó và tài liệu này cũng bị thất lạc. Dưới cái nhìn cuả Galois, thì việc mất mát này không thể là tình cờ va cho rằng có thể Fourier đã hoặc không hiểu nổi nội dung bản văn hay là đã cố ý đánh mất nó. Ngoài Fourier ra, những người có trách nhiệm đọc qua bản văn trong hội đồng iám khảo giải thưởng còn có Lacroix, Poisson, Lengendre and Poinsot . Còn nữa Poisson (1781-1840) sau khi nhận đưọc bản luận văn (bản thứ 3) thì đã từ chối lấy lí do là không đúng thời hạn nhưng thực sự là vì các hành vi chính trị cuả Galois. Cuối cùng thì Poisson cũng đã đánh giá công việc cuả Galois nhưng với một thái độ bảo thủ: ìHis arguments are neither sufficiently clear nor developed for us to judge their rigor, … One should rather wait for the author to publish his work in entirety before forming a definite opinion” (tạm dịch những luận lí cuả anh ta chẳng những không đủ rõ mà còn không được phát triển ra để cho chúng ta đánh giá sự chính xác cuả chúng …)

Galois, luôn luôn là một người trọng căn (radical), đã tham gia Vệ Binh quốc gia, nhưng hậu quả là bị bỏ tù trong năm 1831 vì tội được ìdiễn dịch” là gây nguy hại cho nhà vua khi mà ông đã cầm bánh cùng với 1 con dao đem đến cho vua Louis Phillips. Ông được tha sau đó 3 tháng vi còn quá nhỏ tuổi.

Đêm cuối trước khi chết (29 tháng 5 năm 1832), do bị bắn trong 1 cuộc đấu súng, Galois đã để lại lá thư tuyệt mệnh cho Auguste Chevalier, trong đó có nêu lên phát hiện về sự liên hệ giưã lí thuyết nhóm và lời giải cuả các đa thức bằng căn thức. Người ta đã không biết chắc những gì đã xảy ra lúc ông bị bắn gục nhưng có nhiều giả thuyết tin rằng ông vì 1 cô gái và đã thách đấu với một quân nhân hoàng gia người bất đồng chính kiến với ông hoặc giả có thể ông bị giết vì một nhân viên an ninh cua cảnh sát.

Lần thi rớt thứ hai tại Polytechnique

Vài tuần sau khi cha mất, Galois dự thi vô trường Polytechnique lần thứ hai và lại bị rớt trước sự ngạc nhiên vô cùng của vịgiáo sư dạy ông.
Lý do bị đánh trượt là vi ông đã ném miếng giẻ lên đầu một vị giám khảo (có thể là Dinet hay là Lefébure de Forcy) khi được hỏi một câu mà ông cho là ngớ ngẩn và ngu xuẩn về logarithme
Học tại Ecole Préparatoire (trường Ecole Normale Supérieure cũ), năm 19 tuổi, thầy Toán cuả ông đã đánh giá:: ìNgười học trò này đôi khi diễn tả ý tưởng không sáng sủa, nhưng thông minh và tỏ ra một trí óc tổng hợp lỗi lạc”. Giáo sư Văn chương thì ngược lại: ìÐây là sinh viên duy nhất trả chỉ trả lời tôi vừa phải. Anh ta chẳng biết gì hết. Tôi tưởng anh ta có khả năng phi thường về toán. Ðiều này gây cho tôi vô cùng ngạc nhiên, vì sau kỳ thi này, tôi nghĩ rằng anh ta là người sinh viên thật sự kém thông minh”
Những nghiên cứu về phương trình của ông được Auguste Cauchy khảo sát. Hình như chính Cauchy cũng làm việc trên đề tài về”nhóm” nên rất thích và đề nghị Galois tổng quát hóa các công trình này và phải soạn thảo một bản báo cáo đề xuất cho Giải Thưởng Lớn về Toán Học của Viện Hàn Lâm Khoa học. Bản báo cáo đó đã được giao cho Fourier lúc bấy giờ là thư ký Viện Hàn lâm, nhưng sau cái chết của Galois, người ta mất hết dấu vết của những công trình này.
Năm sau ông soạn một bản báo mới về cách giải phương trình bằng căn số và bị cho là khó hiểu. Ông không hề được công nhận bởi nền giáo dục lúc bấy giờ.

Những di tích cuối cùng của Evariste Galois
Ngày 14 tháng 7 năm 1831 kỷ niệm ngày Bastille (cách mạng Pháp), Galois bị bắt một lần nữa tại cầu le Pont-Neuf vì xử dụng đồng phục của đội Pháo Vệ Binh Quốc gia vốn đã bị giải tán vì lý do đó là mối đe dọa cho ngai vàng. Sau ba tháng giam cứu (détention préventive), ông bị kết án sáu tháng tù và bị giam tại nhà tù Sainte-Pélagie vì tội tái phạm. Chính trong tù ông mới làm việc bằng trí óc. Ông viết về tích phân đại số và thuyết đa trị (théorie de l’ambiguïté) mà hiện nay không còn dấu vết
Tháng Ba năm 1832, bệnh thổ tả hoành hành tại Paris. Ngày 16 tháng Ba Galois được chuyển tới một dưõng đường gần Place d’Italie. Ông được thả về ngày 1 tháng 6 và đãyêu Stéphanie-Félice du Motel, con gái của một bác sĩ tại nơi này. Cô ta có vẻ không ưng thuận nên ông tự cắt đứt quan hệ vào ngày 14 tháng Năm. Galois cũngkhông biết rằng Stéphanie đã hứa hôn với Perscheux d’Herbinvil , một thanh niên trong gia đình khá giả. Sau khi biết Stéphanie không chung thủy, Perscheux d’Herbinvil đã gây sự và thách đấu với Galois.
Nhận thấy mình không phải là đối thủ nên đêm trước ngày thi đấu súng, Galois viết cho các bạn để giải thích tình trạng của mình và khẩn cấp tóm lược lại công trình khoa họcđã làm.
Sáng ngày 30 tháng Năm, Galois (khác với đối thủ của ông, là không có nhân chứng) bị Perscheux d’Herbinvil đánh bại. Ông bị thương nặng và bị bỏ rơi. Lâu sau đó mới được một người nông dân (hay em ông?) chở đến nhà thương Cochin, ngày 31 tháng Năm, ông đã chết trong vòng tay của Alfred, em ông, vì bị viêm màng bụng: ìEm đừng khóc, anh cần can đảm để chết ở tuổi hai mươi”.
Ông được an táng ở nghĩa địa Montparnasse.

Bản chúc thư của Galois
Ðêm 29 tháng Năm, biết rằng mình sắp chết, ông viết một bức thư di chúc gởi cho Auguste Chevalier trong đó nhắn bạn mình phải cho các nhà toán học thời bấy giờ biết những khám phá khác nhau của mình


Paris, ngày 29 tháng Năm 1832,
Bạn thân mến,
Tôi đã làm
được vài phát hiện mới mẻ trong ngành giải tích. Điều đáng chú ý đầu tiên
là lý thuyết cuả các phương trình, và những điều thứ đến là về các hàm số tích
phân. Trong lý thuyết cuả các phương trình, tôi đã nghiên cứu các điều kiện để
các phương trình có thể giải được bằng căn thức; bởi vậy tôi có thêm một dịp để
đào sâu thêm về lý thuyết này (lý thuyết cuả các phương trình — người dịch) và
để mô tả tất cả phép biến đổi khả dĩ cho một phương trình mặc dù nó không thể
giải được bằng căn thức. Tất cả những điều đó sẽ được tìm thấy trong ba
bản luận văn (kèm theo) ở đây …
Những suy gẫm chính của tôi gần
đây hướng về sự áp dụng phân tích siêu nghiệm của thuyết đa trị
(những diện tích Riemann, viết thành nhiều tờ, sẽ trong lý thuyết này)…
Nhưng tôi không có thì giờ và ý tưởng của tôi chưa
được khai triền lắm trên lĩnh vực quá rộng này…”


Những đóng góp toán học của Galois mãi đến năm 1843 mới được hiểu và Joseph Liouville khi xem bản thảo của ông đã tuyên bố là Galois đã giải được bài toán do Niels Henrik Abel đưa ra lần đầu tiên. Bản thảo của ông cuối cùng được công bố toàn bộ trong Journal des mathématiques pures et appliquées (Tạp chí toán lý thuyết và ứng dụng) vào khoảng tháng 10-11 năm 1846

Fibonacci

Dãy số Fibonacci rất đặc biệt này được một người Ý tên là Leonardo Fibonacci công bố năm 1202 và được biến hóa hầu như vô tận. Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó.
Vậy dãy số Fibonacci là dãy số như thế nào?
Ban đầu, ông Fibonacci xét bài toán sau:
Giả sử có một cặp thỏ mắn đẻ cứ cuối mỗi tháng lại sinh ra một cặp mới. Nếu mỗi cặp mới đó cũng lại đẻ sau một tháng và nếu không có con nào bị chết cả thì sau một năm có bao nhiêu cặp thỏ?
Và đó là tiền thân của dãy số được xác định bằng cách liệt kê các phần tử như sau:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 …
Trong đó: các phần tử nằm trong dãy số này luôn luôn bằng tổng của 2 số liền trước nó. Nếu lấy tổng hay hiệu của các số liên tiếp bạn sẽ được một dãy số tương tự.
Vậy dãy số Fibonacci này có gì đặc biệt? Này nhé:
1. Điều đặc biệt đầu tiên:
Gọi An là số hạng thứ n trong dãy số, ta có:
A(n) x A(n+1) = A(n-1) x A(n+2) ± 1
A(n) x A(n+1) = A(n-2) x A(n+3) ± 2
A(n) x A(n+1) = A(n-3) x A(n+4) ± 6
A(n) x A(n+1) = A(n-4) x A(n+5) ± 15
Chúng ta hãy thử lại đẳng thức đầu tiên bằng cách chọn một số An bất kỳ (An là số ở vị trí thứ n của chuỗi), chẳng hạn 34. Ở đây, An = 34 (n = 9), An+1 = 55 , An-1 = 21 , An+2 = 89 . Ta có: 34 x 55 = 21 x 89 + 1. Các đẳng thức này được áp dụng trong toàn dãy số.
Lấy một cặp số bất kỳ khác, chẳng hạn 3 x 5 = (2 x 8 ) - 1.
Nếu lấy thêm các ví dụ khác nữa, bạn sẽ nhận ra rằng nếu n là số chẵn ta cộng 1. Nếu n là số lẻ ta trừ đi 1.
Bây giờ, ta xem xét đẳng thức thứ hai:
An x An+1 = An-2 x An+3 ± 2
Chọn An = 8, do đó 8 x 13 = 3 x 34 + 2. Tiếp theo chọn An = 34, ta có 34 x 55 = 13 x 144 - 2. Cũng tương tự như trên ta trong trường hợp An= 8 thì n =6 (chẵn) nên cộng 2, còn An = 34 thì n = 9 (lẻ), do đó trừ đi 2.
Những đẳng thức còn lại có thể kiểm chứng dễ dàng theo cách tương tự. Chú ý rằng, trong những số trên, những con số mà chúng ta thêm hay bớt theo thứ tự là:
±1 ±2 ±6 ±15 ±40 ±104 …
Hiệu số giữa những số này sẽ là:
1 4 9 25 64 …
Hay:
12 22 32 52 82
Đây lại là một điều thú vị nữa, bởi từ kết quả trên ta thấy hiệu của những con số được thêm vào (hay bớt đi) ở các đẳng thức trên không gì khác hơn là bình phương của các số hạng của dãy Fibonacci.
2. Sự ngạc nhiên đến từ cách nhìn khác:
Bây giờ, nếu bạn đem nhân đôi một số hạng bất kỳ rồi trừ đi số hạng kế tiếp nó thì kết quả sẽ bằng số hạng đứng trước nó 2 vị trí:

Này nhé: với A5 = 5: 2 x 5 - 8 = 2 = A3
3. Điều thú vị có tên bình phương:
Bây giờ từ dãy Fibonacci ta tạo một dãy mới bằng cách đem bình phương các số hạng có trong dãy đó.
Với dãy Fibonacci:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 …
Ta có dãy số mới là:
1 1 4 9 25 64 169 441 1156 3025 7921 20736 54289 …
Bây giờ, cộng mỗi cặp số liên tiếp trong dãy số mới. Ta có:
2 5 13 34 89 233 610 1597 …
dãy số sau cùng này chính là các số có mặt trong dãy Fibonacci ở các vị trí lẻ.
Tiếp theo, cũng từ dãy số bình phương , ta lấy hiệu của hai số cách nhau 1 số ở giữa, ta tiếp tục có:
3 8 21 55 144 377 987 …
đây cũng chính là những số có mặt trong dãy Fibonacci ở vị trí chẵn.
5. Ma thuật đến từ trò chơi tính nhẩm:
Nếu bạn biết được điều thú vị sau đây của dãy Fibonacci thì bạn sẽ luôn luôn thắng trong mọi cuộc đố vui tính nhẩm liên quan đến dãy số này. Và, vì thế, trò chơi này thường được gọi tên là tính nhẩm Fibonacci.
Viết dãy Fibonacci (F) theo dạng cột, và gạch dưới 1 số bất kỳ trong cột này. Tổng của các số nằm ở phía trên đường kẻ luôn luôn bằng số hạng thứ 2 sau đường kẻ trừ đi 1.
Giả sử bạn gạch dưới số 21. thì tổng các số phía trên đường kẻ là : 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54 . Còn số hạng đứng dưới đường kẻ 2 vị trí là 55.
Hay bạn gạch dưới số 233 thì chắc chắn tồng các chữ số từ số ở vị trí đầu tiên đến số 233 sẽ phải bằng 610 - 1 = 609.
Do vậy, trò chơi này chắc chắn sẽ làm ngơ ngẩn những ai không quen thuộc với dãy số Fibonacci. Các con số ở đây dường như được chọn ngẫu nhiên, nhưng bí mật của trò ảo thuật nằm ở chỗ đáp số luôn luôn bằng số thứ hai sau nó trừ đi 1.
5. Định lý Pitagore trong dãy Fibonacci (F):
Bây giờ, nếu ta ký hiệu 4 số liên tiếp trong dãy F là a, b, c, d và gọi n là vị trí của a trong dãy số thì ta luôn có công thức tuyệt đẹp liên quan đến định lý Pitagore nổi tiếng

HẰNG SỐ KAPREKAR - MỘT CON SỐ THẦN KỲ - Con số thần kỳ (magic number) này có giá trị 6174. Một con số tầm thường, chẳng có gì là ấn tượng phải không các bạn? Nhưng khoan đã, mình xin bạn hãy làm các bước sau:

1- Chọn một con số bất kỳ gồm 4 chữ số (dĩ nhiên với điều kiện cả 4 chữ số này không được trùng nhau như 1111, 2222,...) Ví dụ mình thử chọn ngày tháng hôm nay là 1401 đi.

2- Đảo lộn thứ tự các chữ số sao cho mình chọn được 2 con số lớn nhất và nhỏ nhất thu được từ việc đảo lộn này. Trong ví dụ của mình là hai số 4110 và 0114.

3- Lấy số lớn nhất trừ đi số nhỏ nhất:
4110 - 0114 = 3996

4- Lặp lại bước 2 và 3 đối với hiệu số vừa thu được. Như vậy ta có các bước sau:
9963 - 3699 = 6264
6642 - 2466 = 4176
7641 - 1467 = 6174
7641 - 1467 = 6174 ...

Bạn đã thấy gì chưa? Hằng số Kaprekar xuất hiện sau phép trừ thứ 4 ! Dĩ nhiên là bắt đầu từ đây bạn sẽ dậm chân tại chỗ, không thu được số nào khác ngoài hằng số này.

Có thể điều này chỉ là sự trùng hợp, không có gì đáng lạ lắm. Nhưng điều kỳ diệu chính là: nếu ngay từ đầu bạn chọn một số bất kỳ nào khác thì cuối cùng bạn cũng sẽ phải dậm chân tại hằng số Kaprekar chứ không phải một số nào khác! Nếu không tin bạn cứ thử xem. Và bạn sẽ không phải mất thời gian tính toán vì với bất kỳ số nào, bạn cũng sẽ chỉ mất tối đa 7 bước (7 phép trừ) để đi đến kết quả cuối cùng.

Kaprekar là tên của một nhà toán học nghiệp dư người Ấn Độ đã phát hiện ra hằng số này vào năm 1946.

Quy luật này không chỉ dành cho các số 4 chữ số, mà còn có các "hằng Kaprekar" khác dành cho các số có 3, 5, 6,... chữ số. Bạn thử tìm các hằng số này xem!
NHỮNG CON SỐ THẦN KÌ
-Trong toán học có nhiều điều kì lạ với những quy luật riêng .Xin giới thiệu với các bạn một vài quy luật bất ngờ để bạn có ít phút tiêu khiển bằng toán học.
Đầu tiên là con số 1089,xin bạn chú ý đến hàng dọc chúng đều tăng giảm đúng trật tự quy định:

1089*1=1089
1089*2=2178
1089*3=3267
1089*4=4356
1089*5=5445
1089*6=6534
1089*7=7623
1089*8=8712
1089*9=9801

Số 142857 cũng là một con số kỳ lạ,nhân với 7 bạn sẽ thấy

142857*7=999999

Nhân với các số 2,3,4,5,6 bạn sẽ thấy tích số mà trong đó con số chỉ lẩn quẩn ,loanh quanh, đảo lên đảo xuống

142857*1=142857
142857*2=285714
142857*3=428571
142857*4=571428
142857*5=714285
142857*6=857142

Tiếp theo con số tự nhiên sắp xếp rất đặc biệt

0*9+1=1
01*9+2=11
012*9+3=111
0123*9+4=1111
01234*9+5=11111
012345*9+6=111111
0123456*9+7=1111111
01234567*9+8=11111111
012345678*9+9=111111111
0123456789*9+10=1111111111
Con số 12345679 nhân với bội của 9

12345679*9=111111111
12345679*18=222222222
12345679*27=333333333
12345679*36=444444444
12345679*45=555555555
12345679*54=666666666
12345679*63=777777777
12345679*72=888888888
12345679*81=999999999

Cuối cùng là con số 2519

2519:10 dư 9
2519:9 dư 8
2519:8 dư 7
2519:7 dư 6
2519:6 dư 5
2519:5 dư 4
2519:4 dư 3
2519:3 dư 2
2519:2 dư 1
2519:1 dư 0
Bạn tính lại xem,quy luật trên có đúng không?Phát hiện ra sao Hải Vương bằng phương pháp Toán học

-Chín hành tinh lớn trong hệ mặt trời, mỗi một phát hiện ra chúng hầu như đầu bao hàm những câu chuyện rất cảm động về việc không ngừng thăm dò của các nhà khoa học.

Thời cổ đại con người bằng mắt thường đã tìm ra được các sao Thủy, Kim, Mộc, Thổ và Hỏa trong vô vàn các vì sao. Năm 1781, Will Hulxin, nhà thiên văn học của Anh đã dựa vào ống kính thiên văn có độ phóng đại cao do ông sáng chế đã quan sát và phát hiện ra một vì sao mới trong hệ mặt trời, đó là sao Thiên Vương. Sự phát hiện ra ngôi sao này đã đặt cơ sở chắc chắn cho việc phát hiện ra sao Hải Vương sau đó. Điều thú vị là sao Hải Vương không phải do quan trắc phát hiện ra mà do hai nhà thiên văn học dùng phương pháp toán học tính toán mà ra.

Từ sau khi Will Hulxin dùng kính viễn vọng ngẫu nhiên phát hiện ra sao Thiên Vương, vì sao này đã mang lại cho các nhà thiên văn học rất nhiều điều lý thú và đầy bí ẩn, bởi vì con người ngày càng cảm thấy vì sao này ngày càng "vượt quỹ đạo" một cách nghiêm trọng. Sao Thiên Vương giống như một kẻ say rượu đi lại, luôn lắc la lắc lư, hết va vàp cái này lại va vào cái khác.

Năm 1845 sau khi nghe được tin này, nhà thiên văn học người Pháp Leverrive nghieen cứu rất cẩn thận lại toàn bộ những tư liệu đã quan trắc được và căn cứ vào số liệu của nhiều lần quan trắc được đã xây dựng nên một phương trình 9 điều kiện và cuối cùng, ngày 31/8/1846 bằng cách sử dụng phép nhân đôi nhỏ nhất đã tính ra được các tham số quỹ đạo của một hành tinh chưa được biết đến cùng với khối lượng và vị trí của nó. Về sau, kết luận này đã được phó giám đốc đài thiên văn Berlin chú ý tới và phát hiện ra sao Hải Vương.

Thực ra người tính toán ra sao Hải Vương sớm nhất không phải là Leverrive mà là Adams của Anh. Ngay từ thang 9/1845 đến tháng 10 cùng năm ông đã dùng phương pháp tiếp cận ngược chiều và Toán học - Vật lý học rồi thông qua tính toán dự đoán ra ngôi sao chưa biết này. Ông đã lần lượt kêu gọi đài thiên văn trường đại học Cambridge và đài thiên văn Greenwich cùng tham gia tìm kiếm ngôi sao mới này. Nhưng lúc đó, giới thiên văn học vẫn làm thinh, do vậy, những phát hiện của ông chưa đủ để mọi người coi trọng.

Về sau, cuộc tranh chấp về việc ai trong hai nước Anh và Pháp phát hiện ra ngôi sao này vẫn dai dẳng không ngừng. Nhưng hai ông Leverrive và Adams đã thoát ra khỏi cuộc cãi vã đó và trở thành đôi bạn thân thiết.

Sự thực về việc dùng toán học để tìm ra sao Hải Vương một lần nữa đã kiểm chứng được sức mạnh của Toán học./.

Bài 2:
Giải:
Giả sử N gồm a chục, b đơn vị : $N = 10a + b$ trong đó a, b là các chữ số khác 0. Ta cần chứng minh: N chia hết cho 17 khi và chỉ khi số $ M = 3a + 2b$ chia hết cho 17
Ta có :

$ M + 17a = 3a + 2b + 17a = 2(10a+b) = 2N$

- Nếu N chia hết 17 thi 2N chia hết cho 17, do đó M + 17a chia hết cho 17, suy ra M chia hét cho 17 (đpcm)

Bài 2. Chứng minh:
Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 17 là tổng của 3 lần chữ số hàng chục và 2 lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 17 (Thanks).

PA-XCAN
(1623-1662)
Blaise Pascal , (19 tháng 6 năm 1623–19 tháng 8 năm 1662) là một nhà toán học, nhà vật lý học, triết gia người Pháp. Ông được tiếp thu nền giáo dục từ người cha của ông. Ngay từ thời trẻ ông đã nổi tiếng là thần đồng. Các tác phẩm ban đầu của ông là về tự nhiên và các khoa học ứng dụng, nơi ông đã có những đóng góp quan trọng vào việc xây dựng một máy tính cơ khí, các nghiên cứu về chất lỏng, trình bày các khái niệm về áp suất và chân không bằng việc khái quát tác phẩm của Evangelista Torricelli.

Trong lĩnh vực toán học, Pascal đã giúp tạo ra hai lĩnh vực nghiên cứu mới. ông đã viết một luận án quan trọng về đối tượng của hình học ánh xạ ở độ tuổi 16. Cùng với Pierre de Fermat xây dựng lý thuyết xác suất, đây là công trình có ảnh hưởng lớn tới sự phát triển của kinh tế học hiện đại và các khoa học xã hội.

Sau đó ông đã từ bỏ lĩnh vực khoa học, ông dành tâm sức vào triết học và thần học. Ông đã viết hai tác phẩm nổi tiếng trong thời kỳ đó.

Pascal đã phải chịu đựng các ốm đau trong suốt cuộc đời và đã chết ở độ tuổi 39, chỉ hai tháng sau lần sinh nhật thứ 39 của ông.

Tuổi trẻ và sự giáo dục

Blaise Pascal sinh ra ở Clermont-Ferrand, trong vùng Auvergne của Pháp, ông mất mẹ khi ba tuổi. Cha của ông, Étienne Pascal (1588–1651), là một quan toà của địa phương, cũng có các quan tâm về khoa học và toán học.

Năm 1631, hai tháng sau cái chết của vợ, Étienne Pascal đã đưa các con của ông đến Paris. Étienne không lập gia đình nữa, quyết định ở vậy để nuôi dưỡng và giáo dục các con để họ có được khả năng trí tuệ tuyệt vời, đặc biệt là người con trai của ông, Blaise.


MỘT SỐ MẨU CHUYỆN VỀ NHÀ TOÁN HỌC BLAISE PASCAL

1. Hồi nhỏ Pascal rất ham mê Hình Học. Nhưng vì Pascal rất yếu nên cha ông không muốn cho ông học Toán. Cha ông dấu hết sách vở và những gì liên quan đến Toán. Thế là Pascal phải tự mày mò xây dựng nên môn hình học cho riêng mình. Ông vẽ các hình và tự đặt tên cho chúng. Ông gọi đường thẳng là cây gậy, đường tròn là cái bánh xe, hình tam giác là thước thợ, hình chữ nhật là mặt bàn… Ông đã tìm ra và chứng minh được rất nhiều định lí về Hình Học trong đó có định lí : Tổng các góc của một thước thợ bằng nửa tổng các góc của mặt bàn. Năm đó Pascal mới 12 tuổi.

2. Năm 16 tuổi, Pascal công bố một công trình toán học : Về thiết diện của đường cônic, trong đó ông đã chứng minh một định lí nổi tiếng (sau này mang tên ông) và gọi là Định lí về lục giác thần kì. Ông rút ra 400 hệ quả từ định lí này. Nhà toán học và triết học vĩ đại lúc bấy giờ là Descartes đánh giá rất cao công trình toán học này và nói : Tôi không thể tưởng tượng nổi một người đang ở tuổi thiếu niên mà lại có thể viết được một tác phẩm lớn như thế.

3. Năm 17 tuổi, thấy cha, một kế toán, phải làm nhiều tính toán vất vả, Pascal đã nảy ra ý định chế tạo một chiếc máy tính. Sau 5 năm lao động căng thẳng và miệt mài, ông đã chế tạo xong chiếc máy tính làm được bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia, tuy rằng chưa nhanh lắm. Đó là chiếc máy tính đầu tiên trong lịch sử nhân loại. Để ghi nhớ công lao này, tên của ông đã được đặt cho một ngôn ngữ lập trình, đó là ngôn ngữ Pascal.

4. Vào năm 1651, ông nhận được bức thư của nhà quý tộc Pháp, De Méré, nhờ ông giải quyết các rắc rối nảy sinh trong trò chơi đánh bạc. Pascal đã toán học hoá các trò trơi đánh bạc này, nâng lên thành những bài toán phức tạp hơn và trao đổi với Phéc-ma, một nhà toán học. Những cuộc trao đổi đó đã nảy sinh ra Lí thuyết xác suất – Lí thuyết toán học về các hiện tượng ngẫu nhiên.

5. Sau khi cha mất, chị gái bỏ đi tu, lại thêm ốm đau bệnh tật, Pascal chán trường tất cả. Ông bỏ toán học, đắm chìm vào những suy nghĩ tín ngưỡng và nghiên cứu Thần học. Vào một đêm đầu mùa xuân năm 1658, một cơn đau răng dữ dội làm Pascal không ngủ được. Để quên đi cơn đau, ông tập trung suy nghĩ về bài toán đường xycloit, một bài toán khó đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học lúc bấy giờ. Kì lạ thay, ông đã giải được bài toán đó và sáng hôm sau cũng khỏi luôn bệnh đau răng. Ông nghĩ rằng đây là một thông điệp của Chúa nhắc nhở rằng ông không được quên và rời bỏ Toán học.

6. Không chỉ là một nhà toán học thiên tài, Pascal còn là một nhà vật lí học nổi tiếng, nhà văn và là nhà tư tưởng lớn. Ngày nay người ta thường nhắc đến các câu nói nổi tiếng của ông như : Con người chỉ là một cây sậy, một vật rất yếu đuối của tự nhiên nhưng là một cây sậy biết suy nghĩ. Pascal mất khi mới 39 tuổi. Ông được coi là một trong những nhà bác học lớn của nhân loại.