Momochan

Mình có cách khác như sau:

$2cos^2x+2\sqrt{3}sinx.cosx+1=3sinx+3\sqrt{3}cosx$

$\Longleftrightarrow \sqrt{3}sin2x+cos2x-3(sinx+\sqrt{3}cosx)+2=0$

$\Longleftrightarrow cos(2x-\dfrac{\pi }{3})-3cos(x-\dfrac{\pi}{6})+1=0$

Đặt:

$x-\dfrac{\pi}{6}=t$

Cách bạn sử dụng phương pháp vectơ, còn đây là mình dùng luôn bđt sau:

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Bạn có thể mở rộng với nhiều số hơn.

Mà cách dù giống nhau nhưng nhìn vào cách trình bày khác nhau cũng khơi gợi nhiều thứ khác nhau chứ!

Tiếp:
1. Cho các số thực a,b,c thỏa a+b+c=3 tìm min của: $\sqrt{a^2+ab+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

2. Cho các số thựuc dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=abc$, chứng mnih rằng: $\dfrac{{\sqrt {b^2 + 2a^2 } }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {c^2 + 2b^2 } }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {a^2 + 2c^2 } }}{{ac}} \ge \sqrt 3 $

1) $A= \sqrt{a^2+ab+c^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

$= \sqrt{(a+\dfrac{b}{2})^2+(\dfrac{b\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(b+\dfrac{c}{2})^2+(\dfrac{c\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(c+\dfrac{a}{2})^2+(\dfrac{a\sqrt{3}}{2})^2}$

$\geq \sqrt{(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2})^2+[\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)]^2}=3\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra tại $a=b=c=1$

Vậy $MinA=3\sqrt{3} \Leftrightarrow a=b=c=1$

2) Đặt $a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z}$

Sau đó sử dụng Bunhiacoxky hoặc phương pháp vectơ.

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c= :sqrt{3}
CMR: :sqrt{ a^{2} +ab+ b^{2} } + sqrt{ b^{2} +bc+ c^{2} } + sqrt{ c^{2} +ac+ a^{2} } 3

$A= \sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}$

$= \sqrt{(a+\dfrac{b}{2})^2+(\dfrac{b\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(b+\dfrac{c}{2})^2+(\dfrac{c\sqrt{3}}{2})^2}+\sqrt{(c+\dfrac{a}{2})^2+(\dfrac{a\sqrt{3}}{2})^2}$

$\geq \sqrt{(a+b+c+\dfrac{a+b+c}{2})^2+[\dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)]^2}=3$

Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra tại $a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$

Mình k pít đề chính xác của bạn là gì, nhưng mình tìm trong forum có 1 bài gần gần như thế
Đây là lời giải, mình trích dẫn lại như của bạn ý, còn đây là link trực tiếp:
http://diendantoanho...?...39003&st=30

Bài 1 có thể dùng bdt côsi cho $4$ số dương: Ta có $3(1+x)=3+x+x+x \geq 4\sqrt[4]{3x^{3}};$ $ 1+\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{y}{3x}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{y^3}{27x^3}};$ $(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2=(1+\dfrac{3}{\sqrt{y}}+\dfrac{3}{\sqrt{y}}+\dfrac{3}{\sqrt{y}})^2\geq (4\sqrt[4]{\dfrac{27}{(\sqrt{y})^3}})^2$. Sau đó lấy tích theo từng vế suy ra ok. Dấu bằng xảy ra khi $x=3, y=9.$