Đến nội dung

namcpnh

namcpnh

Đăng ký: 24-04-2011
Offline Đăng nhập: 19-10-2023 - 16:10
****-

Trong chủ đề: Đề thi không chuyên TPHCM

03-06-2019 - 12:22

Đáp án tham khảo.

Người thực hiện: Lưu Giang Nam - Cao Hoàng Đức - Trần Ngọc Bách

 

https://drive.google.com/file/d/1zQeG_XF7frq6llv_QgrFFnnh5G32UCJO/view?usp=sharing


Trong chủ đề: $f(mn)=f(m)f(n)\,\forall m,n$

12-02-2018 - 18:11

Giả sử hàm số $f$ thoả mãn đề bài.

Có: $f(1)<f(2)=2\rightarrow f(1)=1$
$2=f(2)<f(3)<f(4)=f(2)f(2)=4$
$\Rightarrow f(3)=3$
Giả sử $f(n)=n$ với mọi số tự nhiên $n\leq m$. Cần chứng minh $f(m+1)=m+1$
Nếu $m+1$ chẵn: $f(m+1)=f(\frac{m+1}{2})f(2)=\frac{m+1}{2}.2=m+1$
Nếu $m+1$ lẻ$\Rightarrow m+2$ chẵn, do đó $f(m+2)=f(\frac{m+2}{2})f(2)=\frac{m+2}{2}.2=m+2$
Lại có: $m=f(m)<f(m+1)<f(m+2)=m+2\Rightarrow f(m+1)=m+1$
Vậy $f(n)=n$ 

Trong chủ đề: $f(a^n)=nf(a)\,\forall n$ khi và chỉ khi $f(a^2)...

10-02-2018 - 09:14

Giả sử hàm số $f$ thoả mãn đề bài và $f(x^2)=2f(x)$ với mọi số nguyên $x\Rightarrow f(x)$ là hàm số chẵn, do đó ta chỉ cần xét $x>0$

Như vậy $f(x^n)\geq f(x^{n-1})+f(x)\geq f(x^{n-2})+2f(x)\geq ...\geq nf(x)\,\forall n\geq 0$
Cũng có: $f(x^{2^k})=2f(x^{2^{k-1}})=...=2^kf(x)\,\forall k\geq 0$
Đặt $n=2^tq$, khi đó $f(x^n)=f((x^q)^{2^t})=2^tf(q)$
Đặt $q=2^m-c$ với $c>0$, khi đó $2^mf(x)=f(x^{2^m})\geq f(x^q)+f(x^c)\geq qf(x)+cf(x)=(q+c)f(x)=2^mf(x)$
Do đó mọi dấu bằng đều xảy ra hay $f(x^n)=nf(x)$

Trong chủ đề: $f(x^2-y^2)=f(x)f(y)\,\forall x>y$

05-02-2018 - 22:13

Giả sử hàm số $f:\mathbb{N}^*\Rightarrow\mathbb{N}^*$

thỏa mãn:
$$f(x^2-y^2)=f(x)f(y)\,\forall x>y$$
Đặt $a=x+y,\,b=x-y$, ta có: $f(ab)=f(\frac{a+b}{2})f(\frac{a-b}{2})$ với $a\geq b,\,a\equiv b(mod2)$(1)
$T_{(1)}(a,a)\Rightarrow f(a^2)=f(a)f(0)$
Cho $a=0$, ta được: $f(0)=0$ hay $f(0)=1$
Nếu $f(0)=1$:
Ta chứng minh $f(n)=1$ với mọi n:
Giả sử $f(n)=1$ với mọi $n\leqslant m$:
Nếu $m+1=2a$:
$T_{(1)}(2a,0)\Rightarrow f(0)=f(2a)^2\Rightarrow f(2a)=1$
Nếu $m+1=2a+1:$
$T_{(1)}(2a+1,1)\Rightarrow f(2a+1)=f(a+1)f(a+1)=1$
Vậy $f(n)=1$, cmtt khi $f(0)=0$.
Kết luận: $f(n)=1\forall n\,\text{hay}\,f(n)=0\forall n$

Trong chủ đề: $f(x+f(y))=f(x)-y\,\forall x,\,y$

05-02-2018 - 21:57

phải cm đc f là toàn ánh mới có thể thay f(y) bởi y được

 

Thế $x=0$ là có toàn ánh rồi nha


  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Bài viết: namcpnh