Bài giảiBài toán.
Ch0 $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên thỏa mãn $deg_{P}=n$. Chứng minh rằng $P(P(n))-n$ không có quá $n$ nghiệm nguyên.
Giả sử $f(f(x))-x$ có $k$ nghiệm $a_1;a_2...a_k$
Như vậy thì ta có
\[\left. {\left. {{a_1} - {a_2}} \right|f({a_1}) - f({a_2})} \right|f(f({a_1})) - f(f({a_2})) = {a_1} - {a_2}\]
Vậy
$$f(a_1)-a_1=f(a_2)-a_2=...=f(a_k)-a_k$$
Do đó Vậy phương trình $f(x)=x$ có nhiều nhất $k$ nghiệm mà $ k \le n$
Nên ta có ĐPCM
- perfectstrong, hxthanh, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích