alex_hoang

Bài toán.
Ch0 $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên thỏa mãn $deg_{P}=n$. Chứng minh rằng $P(P(n))-n$ không có quá $n$ nghiệm nguyên.

Bài giải
Giả sử $f(f(x))-x$ có $k$ nghiệm $a_1;a_2...a_k$
Như vậy thì ta có


\[\left. {\left. {{a_1} - {a_2}} \right|f({a_1}) - f({a_2})} \right|f(f({a_1})) - f(f({a_2})) = {a_1} - {a_2}\]

Vậy
$$f(a_1)-a_1=f(a_2)-a_2=...=f(a_k)-a_k$$
Do đó Vậy phương trình $f(x)=x$ có nhiều nhất $k$ nghiệm mà $ k \le n$
Nên ta có ĐPCM

Chứng minh bất đẳng thức sau mà không dùng căn:
$\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^3 \geqslant abc$

Bất đẳng thức trên là không đúng.Nếu cho $a=-10;b=c=0$

Bài toán:
Cho đa thức $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức monic thỏa mãn $P(P(x))=Q(Q(x))$.Chứng minh rằng $P(x)\equiv Q(x)$

Đạt, cái này là mình chú em làm hay là "cặp đôi" của chú em làm

Làm gì có cặp đôi làm.Đêm hôm trước 2h còn thức ngồi cày cái đề này mà.Bạn kia là bạn gái hờ thôi,14/2 khi Đạt em đang say xưa giải bài thì chắc bạn ấy đi chơi với người yêu
Tội.Khổ thân Đạt.Anh mà như em tự tử cho rồi

Bài toán:
Giả sử rằng $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực,có tất cả các nghiệm đều là số ảo.Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực

Sao lại $2^n$, bấm $n^n$ luôn cho nhanh.

Em chưa hiểu được sự kì diệu của nút like.Nếu like số lần chẵn thì nó là ..........

Bài toán:Timg tất cả các đa thức $P$ có $DegP=n$ và có $n$ nghiệm thực $x_1;x_2...;x_n$ (không nhất thiết phải khác nhau) thỏa mãn


\[\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{P(x) - {x_i}}} = \frac{{{n^2}}}{{xP'(x)}}} \]

Với tất cả các số thực $x$ khác $0$

Đang trăng thanh gió mát.lục lục lại mấy cái tài liệu cũ thì bài toán này lại đập vô mắt "Sư huynh" dark templar post lên đây muốn nhờ "sư đệ" perfecstrong xem thử

Bài toán: Cho tam giác ABC bất kỳ. Gọi $m_{a};m_{b};m_{c}$ là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh của tam giác ABC và $a,b,c$ độ dài 3 cạnh tam giác.Chứng minh :
$$m_{a}+m_{b}+m_{c} \le \frac{\sqrt{7(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}}{2}$$

Đời vẫn có những thằng nó đi ăn tranh .Ta cũng ăn tranh 1 bài coi sao
Sử dụng công thức tính đường trung tuyến chỉ cần chứng minh


\[\sqrt {2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} + \sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} + \sqrt {2{c^2} + 2{a^2} - {b^2}} \le 7({a^2} + {b^2} + {c^2}) + ab + bc + ca\]

Bình phương hai vế ta có


\[\sum {\sqrt {(2{a^2} + 2{b^2} - {c^2})(2{b^2} + 2{c^2} - {a^2})} } \le 2({a^2} + {b^2} + {c^2}) + ab + bc + ca\]
Mà ta có


\[ (2a^2+2b^2-c^2)(2b^2+2c^2-a^2)= 4{b^4} + 2{b^2}{(a - c)^2} - 2{(a + c)^2}{(a - c)^2} + 4{b^2}ac + {a^2}{c^2} \le {(2{b^2} + ac)^2}\]
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng vế với vế ta có ĐPCM

@ supermember: giỏi quá Hoàng ơi :X

Nộp vào đâu vậy anh?

3 lão trong BGK.Nộp cho ai cũng được em

Thưa anh ba0 h thì hết thời hạn nộp bài ạ ? Em phải về quê hết ngày nay với đi chùa ngày mai nữa ~~ Không biết làm kịp không đây ...

Hết mùng 5 em

Tìm $\lim_{x \to0}\frac{(1+x)(1+2x)...(1+nx)-1}{x}$

Giải
$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)(1+2x)...(1+nx)-1}{x}$
$=\lim_{x\to0}\frac{(1+2+..+n)x+x^2R(x)}{x}$
$=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

cho a,b,c là các số khác nhau thuộc đoạn [0;2]. CMR:
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{4}$

Giả sử $a>b>c$
Đặt $b=c+x;a=c+x+y(x,y>0)$
BĐT cần chứng minh tương đương
$$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \ge \frac{9}{(x+y)^2)} $$
Do $ a,b,c$ trọng đoạn $[0,2]$ nên $x+y \le 2$
Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2) $ và các hoán vị
Như vậy ta có thể suy ra ĐPCM

Năm mới tới rồi chúc toàn thể thầy cô bạn bè trên VMF mạnh khỏe và công tác tốt.Chúc VMF phát triển mạnh mẽ hơn nữa

Chuẩn bị có đề toán nhé

Giờ thỳ cái pic này cũng đã 18 trang rồi ghê quá...á..á..á..á
Khổ thân cái đời F.A

Pic chém gió mà thế này là còn ít ấy chứ em