alex_hoang

Cho $a,b$ là 2 số thực thuộc khoảng $(0,1)$, dãy số $(u_n),(n=0,1,2,3...,n)$ được xác định như sau:

$$u_0=a,u_1=b; {u_{n + 2}} = \dfrac{1}{{2010}}u_{n + 1}^4 + \dfrac{{2009}}{{2010}}\sqrt[4]{{{u_n}}}, \forall n \geq 1 $$

Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 2(Ngày thi thứ 2)
Nó là sự kết hợp gượng ép của 2 bất đẳng thức sau
$\dfrac{1}{{a(1 + b)}} + \dfrac{1}{{b(1 + c)}} + \dfrac{1}{{c(1 + a)}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}$
và
$3({a^8} + {b^8} + {c^8}) \ge \left( {{a^5} + {b^5} + {c^5}} \right)({a^3} + {b^3} + {c^3})$

Bài 4
Ta có bất đẳng thức tương đương
$\sum {\dfrac{{{a^3}({b^7} + c + 1)}}{{{b^7}(b + 1)(c + 1)}} = \sum {\dfrac{{{a^{10}}{c^7}(a + 1)({b^7} + c + 1)}}{{(b + 1)(c + 1)(a + 1)}}} } \ge \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow \sum {\left( {{a^4} + {a^3} + {a^{11}}{c^8} + {a^{11}}{c^7} + {a^{10}}{c^8} + {a^{10}}{c^7}} \right) \ge \dfrac{9}{4}(a + 1)(b + 1)(c + 1)} $
Bất đẳng thức cuối đúng theo AM GM

Sử dụng Cauchy Schwarz
$\sqrt {a + 2} + \sqrt {b + 2} \le \sqrt {2(a + b + 4)} $
Thay vào đẳng thức rồi bình phương 2 vế đc kết quả

Cho x,y,z dương thỏa $xyz=1. CMR: \sum \dfrac{1}{(x+1)^{2}+y^{2}+1}\leqslant \dfrac{1}{2}$

Đây không phải là một bài toán khó nó rất dễ mình cm như sau
$\sum {\dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2} + {y^2} + 1}} = \sum {\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2} + 2x + 2}} \le \sum {\dfrac{1}{{2xy + 2x + 2}}} = } } \dfrac{1}{2}$

Cho minh hỏi đề có phải thế này không
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm min
$S = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{c} + \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{a} + \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{b}$
Nếu đề thế này thì
Ta sẽ chứng minh như sau
$S = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{c} + \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{a} + \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{b} = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{c} + \dfrac{{{b^2}}}{a} + \dfrac{{{c^2}}}{b}} \right) + \left( {\dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} + \dfrac{{{a^2}}}{b}} \right)$
$\ge \left( {a + b + c} \right) + \left( {a + b + c} \right) = 2$

Theo em một diễn đàn phát triển được khi nó thỏa mãn được nhu cầu và mục đích của nhiều người nhất
Diễn đàn toán học lập ra để làm gì?Để làm nơi thảo luận các bài toán không thôi thì chỉ khi nào không làm được các thành viên mới post lên đây mà thôi như vậy ít người là phải rồi
Những diễn đàn khác (đặc biệt là bothmath và math.vn)họ chú trọng vào 2 phần chính cho toán THPT đó là luyện thi đâị học và luyện thi HSG thậm chí ở bothmath người ta còn khích lệ các thành viên viết các chuyên đề về vật lý ,hóa học nữa.
Không phải là em thế này thế nọ muốn so sánh diễn đàn ta với các diễn đàn khác mà em chỉ muốn nói rằng trong lần thay đổi này thì diễn đàn ta cũng lên tiến tới như các diễn đàn khác
Mong ban quản trị xem xét

Nó là thế này cơ Didier
$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{{a^2} + a + 1}}} \ge 1$

Đây là bất đẳng thức của Vasile Citoaje lời giải sử dụng Cauchy Schwarz
Vói cách đặt
$a = \dfrac{{kxy}}{{{z^2}}}$
$b,c$ tương tự

Mất nick một thời gian may nhờ anh Galois nên lấy lại được giờ mới lên có vẻ muộn màng
Mình đăng kí làm điều hành viên Olympic
Họ tên:Vũ Huy Hoàng
Sinh năm 1994
Trường THPT Tây Thụy Anh
Lớp 12A1
Nick trên diễn đàn :Alex_hoang

Bài 37.Cho $ a,b,c>0$ và $ abc=1 $. Chứng minh rằng:
$ \dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}} \le 1 $

Bài 1: $1)$ Giải phương trình: ${(5x - 6)^2} - \dfrac{1}{{\sqrt {5x - 7} }} = {x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} }}$

$2)$ Tìm $m$ để bpt sau có nghiệm ${x^3} + 3{x^2} - 1 \le m{(\sqrt x - \sqrt {x - 1} )^3}$

Bài 2: Giả sử $M$ là điểm nằm trong $\Delta ABC\$ thỏa mãn $\hat {MAB} = \hat {MBC} = \hat {MCA} = \alpha \$ CMR $\\cot A + \cot B + \cot C = \cot \alpha \$
Bài 3: Cho $O$ cố định và số $a$ không đổi. Một hình chóp $S.ABC$ thay đổi thoả mãn $OA=OB=OC$ và $SA \bot OA,SB \bot OB,SC \bot OC$ $\hat {ASB} = {90^0}\$ $\hat {BSC} = {60^0}\$ $\hat {CSA} = {120^0}$
$1)$ CM $\Delta ABC\$ Không vuông
$2)$ $SO$ không đổi

Bài 4: Tính tổng sau $C_{2010}^0 + 2C_{2010}^1 + \cdots + 2011C_{2010}^{2010}$

Bài 5: Cho hai số thực dương $x,y$ thoả mãn điều kiện $x+y+1=3xy$.

Tìm giá trị lớn nhất của $ \dfrac{3x}{y(x + 1)} + \dfrac{3y}{X(y + 1)} - \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{y^2}$

Bài 20: Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} - {a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{x_n} - {a_n}}}{{{b_n}}}\\{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = c\end{array} \right.\,,\,\,\,{b_1},{b_2},...,{b_n} \ne 0,\,\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} \ne 0$

Mình chém thử không biết thế nào
Bài20
Từ pt thứ nhất ta có
$\dfrac{{{x_1} - {a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{x_2} - {a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{x_n} - {a_n}}}{{{b_n}}} = \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^n {({x_i} - {a_i})} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }} = \dfrac{{c - \sum\limits_{i = 1}^n {({a_i})} }}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} }}$
Từ đây ta có thể tìm được kết quả

Bài 49:Cho $a,b,c,d > 0 : a+b+c+d =1 $:
CMR: $ab+bc+cd+da +\dfrac{2}{ (a+b)(c+d) } \leq \dfrac{1}{ \sqrt{ab} }+\dfrac{1}{ \sqrt{cd} }+\dfrac{a+b+c+d}{4}$

Mod:Đánh số thứ tự bài+gõ Latex rõ ràng hơn.

Bài này mình cảm thấy khá kì lạ
Đã cho điều kiện $a+b+c+d=1$ lại còn để biểu thức $a+b+c+d$ ở vế phải
Tuy nhiên nó hiển nhiên đúng do
$ab + bc + cd + da \le \dfrac{{{{(a + b + c + d)}^2}}}{4}$ và $\dfrac{2}{{(a + b)(c + d)}} \le \dfrac{1}{{\sqrt {ab} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {cd} }}$

Cho $m,n,p$ là $3$ nghiệm thực của phương trình $a{x^3} + b{x^2} + cx - a = 0(a \ne 0)$,Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{m} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{n} - \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{p} \le {m^2} + {n^2} + {p^2}$

Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

Đây không phải là một bài quá khó các bạn sao vậy
Bước 1: chứng minh dãy số là dãy giảm
Bước 2:chứng minh dãy số bị chặn dưới bởi 2