alex_hoang

Hôm nay, ngày 27 tháng 08 là ngày sinh nhật supermember, một ĐHV 2011, người đã gắn bó lâu dài với VMF. Anh ấy sắp phải đi xa, không thể tiếp tục đóng góp nhiều hơn cho VMF được nữa. Đây thật sự là một tổn thất của VMF.

Vì những đóng góp không mệt mỏi của supermember cho VMF, mình lập tôpic này như là một lời tri ân tới anh ấy. Mong các bạn cùng viết bài.

P/s: Chúc Lộc mạnh khỏe, may mắn và thành công

Khi đọc được tin nhắn của anh Supermember mình thật sự cảm thấy buồn một người năng nổ tài giỏi và góp những ý kiến chân thành cho diễn đàn từ nay không trở lại diễn đàn nữa đó là một tổn thất to lớn của diễn đàn ta trong thời gian ở trên diễn đàn anh Supermember dã có quá nhiều đóng góp quá nhiều bài viết và quá nhiều những lời giải tinh tế cho những bài toán khó.Mình không hiểu được lí do anh không trở lại mình cũng không hiểu được vì sao mà gần đến ngày sinh nhật anh lại buồn như vậy giờ thì đã phần nào hiểu được rồi
Các thành viên của diễn đàn cần cố gắng hết sức để có thể khôi phục lại VMF đó cũng là điều mà anh ấy mong chờ.chúng ta sẽ cố gắng hết sức cùng nhau xây dựng lại VMF chứ?

Bài Toán :
Cho các số không âm $ a ; b ; c $ thỏa mãn : $ 0< ab + bc + ca \ \ ; a + b + c = 1$

Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức :

$ \left( bc + \dfrac{a}{b+c} \right) \left( ca + \dfrac{b}{c+a} \right)\left( ab + \dfrac{c}{a+b} \right) \le \dfrac{1}{4}$
Bài này hình như có trong sách rồi nên ai biết lời giải thì post lẹ nha ^^

Đúng là bài này có tong cuốn sách của anh Cẩn rồi lời giải khá dài anh ạ nên em đưa cuốn đó lên thôi

Bài 8Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}{\left(x+2 \right)}^{2}+{\left(y+3 \right)}^{2}=-\left(y+3 \right)\left(x+z-2 \right) & & \\ {x}^{2}+5x+9z-7y-15=-3yz& & \\ 8{x}^{2}+18{y}^{2}+18xy+18yz=-84x-72y-24z-176& & \end{matrix}\right.$
Bài 9Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}2z\left(x+y \right)+1={x}^{2}-{y}^{2}& & \\ {y}^{2}+{z}^{2}=1+2xy+2xz-2yz& & \\ y\left(3{x}^{2}-1 \right)=-2x\left({x}^{2}+1 \right) & & \end{matrix}\right.$

Bài 7: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}2{y^3} + 2x\sqrt {1 - x} = 3\sqrt {1 - x} - y\\y = 2{x^2} - 1 + 2xy\sqrt {1 + x} \end{array} \right.$

Điều kiện $ - 1 \le x \le 1$
Phương trình thứ nhất tương đương
$2{y^3} + y = 2(1 - x)\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 - x} $
Ta có hàm số $f(t) = {t^3} + t$ là hàm đòng biến do $f'(t) = 3{t^2} + 1 > 0$
Vậy $y = \sqrt {1 - x} $
Thay vào pt 2 ta dễ có kết quả

Bài 3: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}16\left( {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}}} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right) = xy\\16\left( {\sqrt[3]{{{x^8}}} + {x^2} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + 1} \right) + 15\sqrt[3]{{{x^4}}} = 2y\sqrt[3]{{{x^4}}}\end{array} \right.$

P/s: Mong các bạn khi post đề hãy đánh số thứ tự của bài. Thân!

Bài này tôi làm như sau
Dễ thấy $x=0$ không là nghiệm của hệ phương trình
Với $x \neq 0$ Đặt $t= \sqrt[3]{x} $ ta được
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16({t^6} + {t^4} + {t^2} + 1) = {t^3}y}\\{16({t^8} + {t^6} + {t^2} + 1) + 15{t^4} = 2y{t^4}}\end{array}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16({t^3} + \dfrac{1}{{{t^3}}} + t + \dfrac{1}{t}) = y}\\{16({t^4} + \dfrac{1}{{{t^4}}} + {t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}) + 15 = 2y}\end{array}} \right.} \right.$
Lấy phương trình thứ $2$ trừ đi $2$lần phương trình thứ nhất ta có
$16({t^4} + \dfrac{1}{{{t^4}}}) - 32({t^3} + \dfrac{1}{{{t^3}}}) + 16({t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}}) - 32(t + \dfrac{1}{t}) + 15 = 0(*)$
Bây giờ ta đặt $t + \dfrac{1}{t} = a(\left| a \right| \ge 2)$ r�ồi phân tích đa thức thành nhân tử được
$(2a - 5)(2a + 3)(2a - 1 - \sqrt 2 )(2a - 1 + \sqrt 2 ) = 0$
Từ điều kiện của $a$ ta suy ra $a=\dfrac{5}{2} $ đến đây ta dễ dàng tìm được $ (x,y)=(8,170);( \dfrac{1}{8} ,170)$

Cảm ơn các bạn nha .Trước hết hãy tổng hợp các link hệ phương trình trong diễn đàn đã tiện cho việc giải quyết những bài chưa giải được và tránh trùng lặp
http://diendantoanho...showtopic=58153
http://diendantoanho...showtopic=61764
http://diendantoanho...showtopic=60115
http://diendantoanho...?...c=61413&hl=
http://diendantoanho...?...c=60823&hl=
Còn thiếu link hệ phương trình nào hay thì bổ xung nha

Hệ phương trình của diễn đàn toán học

Mình mở topic này mong các bạn đóng góp các hệ phương trình hay tạo một file tài liệu của diễn đàn rất mong được giúp đỡ

Đây là cuốn STBDT bằng tiếng Anh của anh Hùng nhưng thiếu phần các phương pháp (100 trang cuối )ai biết thì post lên cho đủ nha

Típ!
Cho các số thực dương a,b,c .CMR:
$ (a+\dfrac{b^2}{c})^2 + (b+\dfrac{c^2}{a})^2+(c+\dfrac{a^2}{b})^2 \geq 12\dfrac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$

Bài 37 là một bất đẳng thức rất khó của anh Phạm Kim Hùng trong sáng tạo bất đẳng thức nếu bạn có một các tiếp cận khác hay hơn lời giải bằng SOS thì post lên cho mọi người cùng xem với.Thân

Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

Bài 1.Giải phương trình sau:
$x+\sqrt{x^2-9}=\dfrac{2(x+3)}{(x-3)^2}$
Bài 2. Giải phương trình:
$\dfrac{2}{3}\sqrt{4x+1}-9x^2+26x-\dfrac{37}{3}=0$
Bài 3: Giải phương trình sau trên tập số thực:
$\sqrt{5x^2-5x+3}+4x^2+1=\sqrt{7x-2}+6x$
Bài 4. Giải bất phương trình sau:
$\sqrt{1-2x}+\sqrt{1+2x}=\sqrt{\dfrac{1-2x}{1+2x}}+\sqrt{\dfrac{1+2x}{1-2x}}$
Bài 5. Giải phương trình trên tập số thực
$16(x-\sqrt{x-2})=-16x^4+72x^3-81x^2+28$
Bài 6. Giải phương trình
$\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$
Bài 7.Giải phương trình:
$\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+4x}+\sqrt{1-2x}=4x^3-4x^4+x+1$
Bài 8. Giải phương trình
$x+4\sqrt{x+3}+2\sqrt{3-2x}=11$
Bài 9. Giải phương trình
$\dfrac{3\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x}-1}=\dfrac{2{{x}^{2}}+x+3\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-x-1}$

Bài 1(THTT-2001)Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm nguyên
${x^3} + {y^3} + {z^3} + {t^3} = 2{S^3} - 1$
Trong đó$ S $là tổng của n số nguyên dương đầu tiên

Phương trình Pell là một phần rất hay và khó của toán học phổ thông nó xuất hiện trong các kì thi Olimpic dưới nhiều hình thức khác nhau và chính vì thế việc tập hợp lại những bài toán đó thành một file là cần thiết mình lập ra topic này mong các bạn đóng góp những bài toán là ứng dụng của phương trình Pell mà các bạn biết(các bạn nên ghi rõ nguồn) để trao đổi và tổng hợp thành một tài liệu bổ ích của diễn đàn.Vì mục đích của topic này là tuyeent tập các bài toán xung quanh phương trình Pell nên các bạn post bài nên có lời giải trong tay và đưa ra lời giải trong vòng 2 đến 3 ngày nếu vẫn chưa có mem nào làm được.Mong các bạn giúp đỡ

Thử sức với bài Bất đẳng thức này nữa (dùng AM-GM)
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn :$21ab + 2bc + 8ac \le 12$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge \dfrac{{15}}{2}$

Bài này là đề thi hsg quốc gia bài toán tổng quát là đề thi VMEO

Tiếp theo là một Bất đẳng thức đơn giản, có nhiều cách làm bài này. Mọi người làm nhiều cách vào nhé.
Chỉ dùng AM-GM
1)Cho $a,b,c > 0$
Chứng minh rằng
$\[(1 + a)(1 + b)(1 + c) \ge {(1 + \sqrt[3]{{abc}})^3}\]$
Sau đó mọi bài toán tổng quát hơn cũng sẽ giải đựơc bằng nhiều cách
( Bất đẳng thức Holder)
2)Cho ${a_i} > 0,i = \overline {1,n} $
Chứng minh rằng:
$\sum\limits_{i = 1}^n {(1 + {a_i})} \ge {(1 + \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }})^n}$
Mọi người tham gia nhiệt tình nhé!

Ta có bất đẳng thức thứ nhất tương đương với
$a + b + c + ab + bc + ca \ge 3\left( {\sqrt[3]{{abc}} + \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} \right)$
Nó đúng bởi AM GM
Bất đẳng thức tổng quát cần sử dụng AM GM tinh tế hơn các bạn thử suy nghĩ vì suy cho cùng nó cũng không quá khó có thể tìm được dựa vào cách cm BCS bởi AM GM