BMinh_93

Cho a+b+c=1
tìm min,max

$P=\dfrac{a}{9b^2+1} + \dfrac{b}{9c^2+1} + \dfrac{c}{9a^2+1}$

Ta có $ \dfrac{a}{9b^2+1} =a-\dfrac{9ab^2}{9b^2+1} \geq a-\dfrac{9ab^2}{6b}=a- \dfrac{3}{2}ab$
CM tương tự cho $ \dfrac{b}{9c^2+1}$ và $\dfrac{c}{9a^2+1}$
Cộng lại được P $ \geq a+b+c- \dfrac{3(ab+bc+ca)}{2} \geq 1- \dfrac{(a+b+c)^2}{2}= \dfrac{1}{2} $

Bài này ở trong cuốn sáng tạo BĐT của anh Pham Kim Hùng

Nằm ở phần nào vậy bạn

giải:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(2x - y)(x + 2y) + (2x - y) + (x + 2y) = 7}\\{{{(2x - y)}^2} + {{(x + 2y)}^2} = 10}\end{array}} \right.\\\\2x - y = a;x + 2y = b\\ \Rightarrow \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{ab + a + b = 7}\\{{a^2} + {b^2} = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 6\\x + 2y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 4\\x + 2y = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}$

đến đây thì dễ rồi

Làm sao mà bạn phát hiện được (2x-y) và (x+2y) hay vậy

Tiếp lun: Cho x,y,z >0. CMR
$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}+\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}>3$

CM
$ \dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y} \geq \dfrac{3}{2} $ (BĐT nebsit)
CM:$ \sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2$ (1)
Ta có$ \sqrt{\dfrac{x}{y+z}}= \dfrac{x}{\sqrt{x (y+z)}} > \dfrac{x}{ \dfrac{x+y+z}{2} } = \dfrac{2x}{ x+y+z } $
CMTT cho$ \sqrt{\dfrac{y}{z+x}}$ và $ \sqrt{\dfrac{z}{x+y}}$ rồi cộng ba cái lại được (1)