viet 1846

Cho $G$ là nhóm với phép nhân ma trận, được sinh bởi hai ma trận hệ số thực $A = \left( \begin{array}{l}
 \,\,\,0\,\,\,\,\,\,1 \\
  - 1\,\,\,\,\,\,0 \\
 \end{array} \right);B = \left( \begin{array}{l}
 0\,\,\,\,\,\,1 \\
 1\,\,\,\,\,\,0 \\
 \end{array} \right)$

1) Xác định các phần tử của nhóm $G$

2) Tìm tất cả các nhóm con của $G$

Cho $G$ là một nhóm nhân. Gọi $G'$ là nhóm con của $G$ sinh bởi các giao hoán tử $[x;y]=x^{-1}y^{-1}xy$ với $x,y\in G$

1) Chứng minh $G'$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G$

2) Xác định $S'_3$ trong đó $S_3$ là nhóm các hoán vị của ba số $1,2,3$

3) Chứng minh rằng $S_3/S'_3 \cong Z_2$

 

 

Cho mình hỏi là việc chọn $a=b=1$ là là dựa vào điều kiện dấu đẳng thức xảy ra phải không ạ ?
Thêm nữa, việc chia trường hợp và chứng minh các trường hợp đó phải chăng lúc nào cũng có thể phân tích được về nhân tử $(a-b)^2$ ? Nếu dấu bằng không đạt được tại tâm thì việc biến đối và chứng minh sẽ như thế nào ạ

Việc có thế phân tích thành $M.(a-b)^2$ là điều chắc chắn làm được em ak.
Còn dấu bằng không đạt tại tâm thì cũng làm tương tự thôi. Anh cố tình không cho ví dụ dạng này, coi như vấn đê mở để các bạn còn sáng tạo.

Chưa hiểu lắm ạ!

Chưa cần hiểu ngay thấy nick mới 98 mà.

Cuộc hội ngộ thật cảm động và đầy nước mắt :o3

 

 

 

Đau bụng vcc =))))))))))))))))))))))))))))))

Vãi cả mod cmt.

 

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{e^xsinx}{1+sin2x}dx$ (Thi thử đợt 1 - THPT Ứng Hoà Hà Nội)

Nhận thấy: 

 

\[\left( {\frac{{{e^x}}}{{2\left( {sinx + cosx} \right)}}} \right)' = \frac{{sinx}}{{1 + sin2x}}\]

 

Nên: 

 

\[\int {\frac{{sinx}}{{1 + sin2x}}dx = } \frac{{{e^x}}}{{2\left( {sinx + cosx} \right)}} + const\]

Mình lập topic để các mem đăng ảnh chụp về cuộc thi Olympic 30-4 lần XIX năm 2013.Bắt đầu là ảnh chụp của 2 mem ( có mình )

 

Béo và hơi già.

Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của  $P=\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |$

 

Bài 2:  Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |=1$.

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

Làm bài 1: Theo BĐT Cauchy-Schwarz: (Có ông Lagrange hậu thuẫn)

 

\[9{P^2} = {\left[ {\sum {a\left( {3{a^2} - bc} \right)} } \right]^2} \le \left( {\sum {{a^2}} } \right)\left( {\sum {{{\left( {3{a^2} - bc} \right)}^2}} } \right) =  \cdots  \le 9\]

Cho ${a}_{o}=1 , {a}_{n+1}=\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{a}_{n}+1}$. Tìm công thức tổng quát của dãy số

Các bài toán hàm liên tục hay hàm khả vi thường có ít dữ kiện,nên khi làm bài thường dựa vào đáp án để suy ngược lên, tìm 1 hàm mới để sử dụng, ai biết cách tìm, chỉ giúp mình với.
ví dụ bài sau:
cho f khả vi trên [0,1], f(0)=0, f(1)=1
chứng minh rằng tồn tại $a,b\in (0,1)$ với $a\neq b$ sao cho $\frac{1}{f(a)}+\frac{2}{f(b)}=3$
thanks!

Là $\frac{1}{f'(a)}+\frac{2}{f'(b)}=3$ chứ anh bạn.

Nếu đề là thế này thì mình giải nó như sau:

Xét hàm \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - x - \sqrt {x - {x^2}} \,\left( {x \in \left[ {0;1} \right]} \right)\]

Ta có: $g\left( 0 \right).g\left( 1 \right) < 0$ nên tồn tại $c\in (0;1)$ sao cho:

\[f\left( c \right) = c + \sqrt {c - {c^2}} \]

Áp dụng Định lý $Lagrange$ ta có tồn tại $a\in (0;c)$ $b\in (c;1)$ sao cho:


\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{f\left( c \right) - f\left( 0 \right)}}{{c - 0}} = f'\left( a \right) \Rightarrow f'\left( a \right) = \frac{{f\left( c \right)}}{c} \\
\frac{{f\left( 1 \right) - f\left( c \right)}}{{1 - c}} = f'\left( b \right) \Rightarrow f'\left( b \right) = \frac{{1 - f\left( c \right)}}{{1 - c}} \\
\end{array} \right.\]

Ta có: \[\frac{1}{{f'\left( a \right)}} + \frac{2}{{f'\left( b \right)}} = \frac{c}{{f\left( c \right)}} + \frac{{1 - c}}{{1 - f\left( c \right)}} = \frac{{c + f\left( c \right) - 2cf\left( c \right)}}{{f\left( c \right)\left( {1 - f\left( c \right)} \right)}} = 1\]

----------------------------------------------------------------------

Mình nhìn nhầm là $\frac{1}{f'(a)}+\frac{1}{f'(b)}=3$, hi, nhưng ngại chữa lại.

Giải phương trình:
$$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.

Nhận thấy $x=1$ không là nghiệm phương trình.

Ta có: \[x + {x^2} + \cdots + {x^{n + 1}} = x\left( {1 + x + {x^2} + \cdots {x^n}} \right) = \frac{{x\left( {1 - {x^{n + 1}}} \right)}}{{1 - x}}\]

Nên \[ \Rightarrow 1 + 2x + \cdots + \left( {n + 1} \right){x^2} = \left( {\frac{{x - {x^{n + 1}}}}{{1 - x}}} \right)' = \frac{{\left[ {1 - \left( {n + 1} \right){x^n}} \right]\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - {x^n}} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\]

Nên phương trình đã cho trở thành:

\[\left[ {1 - \left( {n + 1} \right){x^n}} \right]\left( {1 - x} \right) + x\left( {1 - {x^n}} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow - \left( {n + 1} \right){x^n} + n{x^{n + 1}} = 0\]


\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = \frac{{n + 1}}{n} \\
\end{array} \right.\]

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $x=0;x=\dfrac{n+1}{n}$

Tính tổng A=$a_1+a_2+a_3+...+a_{2003}$, biết :
$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}(n+1)+n\sqrt{(n+1)}}$ $(n\epsilon N^{*})$

\[{a_n} = \frac{1}{{\sqrt n (n + 1) + n\sqrt {(n + 1)} }} = \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt n (n + 1) + n\sqrt {(n + 1)} }} = \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\]

Nên
\[A = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt {2003} }}\]

Phương trình đã cho tương đương với:
\[ \sqrt[3]{3x{}^{2}-3x+3}-x-(\sqrt{\dfrac{x{}^{3}}{3}-\dfrac{3}{4}}-x+\dfrac{1}{2})=0\]
Nhân liên hợp ta được:
\[ \Leftrightarrow \dfrac{-x^3+3x^2-3x+3}{(\sqrt[3]{3x{}^{2}-3x+3})^2+x.\sqrt[3]{3x{}^{2}-3x+3}+x^2}-\dfrac{\dfrac{x{}^{3}}{3}-\dfrac{3}{4}-x^2-\dfrac{1}{4}+x}{\sqrt{\dfrac{x{}^{3}}{3}-\dfrac{3}{4}}+x-\dfrac{1}{2}}=0\]
Đến đây là có nhân tử chung: $-x^3+3x^2-3x+3=0$

$$\Leftrightarrow x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = 2 \Leftrightarrow (x - 1)^3 = 2$$

$I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx}$.

$I=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\sin x}{\sin (x+\frac{\pi}{4})}\ dx}$

Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}\Rightarrow dt=dt$

$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{2}\sin (t-\frac{\pi }{4})}{\sin t}\ dt$

$I=\frac{1}{2}\int _{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin t-\cos t}{\sin t}\ dt}$

$I=\frac{1}{2}(1-\ln(\sin t))\: |_\frac{\pi }{4}^{\frac{\pi }{2}}=...............$

Một kĩ thuật nhỏ của dạng tích phân này là có thể xét thêm :

\[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{cosx}}{{\sin x + \cos x}}dx} \]

Em làm cách suýt cổ điển ạ :">
CHuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có bất đẳng thức tương đương:
$$\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{a+b}{b+2c+a}+\frac{b+c}{c+2a+b}+\frac{c+a}{a+2b+c}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+3\geq \frac{6}{b+2c+a}+\frac{6}{c+2a+b}+\frac{6}{a+2b+c}$$
Quy đồng và chuyển bất đẳng thức về ngôn ngữ pqr ta cần chứng minh:
$$12q^2+7qr-243q-3r^2+117r+486\geq 0$$
Xét đây là hàm the0 $r$ ta có $f''®=-6<0$ nên đây là hàm lồi the0 $r$, đạt cực tiểu tại biên, nghĩa là $r=0$ hoặc $1$.
Nếu $r=1$ thì hiển nhiên $a=b=c=1$, đẳng thức xảy ra.
Nếu $r=0$. Ta có $q\leq \frac{9}{4}$, bất đẳng thức tương đương:
$$3(4q-9)(q-19)\geq 0$$
Hiển nhiên đúng. Ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị $\blacksquare$

:-?? cổ điển ở đâu vậy Đạt.

Đề

Bài 10: Cho các số thực dương $a,\ b,\ c$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=4(a^2+b^2+c^2).$ Chứng minh rằng
\[a^3(c+4)+b^3(a+4)+c^3(b+4)\ge ab^2+bc^2+ca^2+15abc\]

Ps: Chỉ được sử dụng $AM-GM,\ Cauchy-Schwarz,$ khảo sát hàm sơ cấp

Bài 11: Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực dương và $n \in N$. Chứng minh rằng $$\dfrac{(a+b+c)^3}{27abc}\geq \dfrac{(a^n+b^n+c^n)(a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2})}{(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})^2}$$

Tổng quát của bài sau: http://www.artofprob...890017#p2890017

Bài 12: Cho $x,\ y,\ z$ là các số không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$.
Đặt $a=2-x^2,\ b=2-y^2,\ c=2-z^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức $$P=abc-\sqrt{(2-a^2)(2-b^2)(2-c^2)}$$

Bài 13: Cho $a,\ b,\ c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$a\sqrt{\dfrac{a+b}{c}}+ b\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}+ c\sqrt{\dfrac{c+a}{b}} \geq 3\sqrt{2}$$

Có một chút nhận xét thế này, nói chung đề thi năm nay khó hơn năm ngoái, Có 3 bài cơ bản thì khá dễ còn những bài khó thì lại quá khó. Hi vọng cuộc thi này sẽ được tiếp diễn trong những năm tiếp và tiếp tục thành công.

=)) Năm nay không tham gia gia đề nên không giám chém gió mạnh.