345

vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC , lấy A' trên đường tròn sao cho cung BA' = 60 suy ra tam giác OBA' đều ,từ A' kẻ đường thẳng vuông góc  với  OB tại H ,chứng minh  được AH đi qua M rồi suy ra A' trùng A

a/  BC cắt AD tại S thì SN vuông góc AB ( tc trực tâm ) Gọi M' là trung điểm của SN , chứng minh M'C và M'D là 2 tiếp tuyến  suy ra M' trùng M

AO cắt DE tại K

góc DQP = góc DEC ; góc DKP = góc DEH suy ra DQP bù với DKP nên DQPK nội tiếp

suy ra DQK= DPK= 90  suy ra QKA =QEA (=QDK)

nên AQKE nội tiếp cho QAK=ADQ (=QEK)

suy ra AO là tiếp tuyến 

Vẽ hình bình hành  ANBM  suy ra tam giác NBM đồng dạng  tam giác  EHF

và tam giác OMB đồng dạng tam giác NHF  suy ra NM:EF = OM:NH

b/OE.OT=OH.OA m à OH.OA=OB² suy ra OE.OT= ON ² 

c/MHA=MNO=OMN=OHN  suy ra OHN=OHL nên OH vuông góc NL

d/ MQ cắt BN tại Z , BC cắt MN tại  V từ V kẻ đường thẳng song song MZ cắt BM v à BN lần lượt tại P v à Q , HV và HA là phân giác trong và ngoài góc MHN nên PV/AB=MV/MA=NV/NA=QV/AB suy ra PV=VQ

suy tiếp ra  QM=QZ suy ra NQ đi qua trung điểm AB