Apollo Second

chém bài 1 vậy
(1) - (2) ta được : $(y^2+1)(4xy-1)=0<=>y=\frac{1}{4x}$
thế vào (2) ta được: $4x^2+\frac{1}{2x^2}-3=0<=>8x^4-6x^2+1=0$
tới đây song rồi ^^!

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3.CMR
\[\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}\]

Pài này của mình , mình xin chém vậy
Ta có :
$\sum \frac{a}{b+c^2}=\sum \frac{a^2(a+b)^2}{a(b+c^2)(a+b)^2}\geq \frac{[\sum a^2+\sum ab]^2}{\sum a(b+c^2)(a+b)^2}$
Vậy Ta cần CM: $2[\sum a^2+\sum ab]^2\geq 3[\sum a(b+c^2)(a+b)^2](*)$
$VT=2\sum a^4+6\sum a^2b^2+8abc(a+b+c)+4\sum ab(a^2+b^2)$
$VP=3\sum ab(a^2+b^2)+3\sum a^3c^2+6\sum a^2b^2+9abc(ab+bc+ca)$
Vậy $(*)<=>2\sum a^4+\sum ab(a^2+b^2)+8abc(a+b+c)\geq 3\sum a^3c^2+9abc(ab+bc+ca)$
Do$a+b+c=3=>a+b+c\geq ab+bc+ca=>8abc(a+b+c)\geq 8abc(ab+bc+ca)$
nên ta chỉ cần CM: $2\sum a^4+\sum ab(a^2+b^2)\geq 3\sum a^3c^2+abc(ab+bc+ca)$
$<=>(a+b+c)[2\sum a^4+\sum ab(a^2+b^2)]\geq 9\sum a^3c^2+3abc(ab+bc+ca)$
$<=>2\sum a^5+3\sum a^4(a+b)+\sum a^3b^2\geq 8\sum a^3c^2+abc(ab+bc+ca)(**)$
(**) đúng do:
$2\sum a^5+2\sum ab^4\geq 4\sum a^3b^2$
$\sum ab^4+2\sum a^4b\geq 3\sum a^3b^2$
$\sum a^4b+\sum a^2b^3\geq 2\sum a^3b^2$
$\sum a^2b^3\geq abc(a+b+c)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Suy ra đpcm !!
hjx pài làm gian nan quá @@!

Bài toán gốc đây ạ:
$$\left\{\begin{matrix} 3^{\sqrt[3]{x}+2}-27.9^{y^{2}}=2(\sqrt{2y^{2}+1}-\sqrt[6]{x})(1)\\x^{2}-2x-x\sqrt[3]{3-2x^{2}}+2+y^{2}=0(2) \end{matrix}\right.$$
em đặt:
$\left\{\begin{matrix} u=\sqrt[6]{x}\\v=\sqrt{2y^{2}+1} \end{matrix}\right.$
và khai thác pt (1) để đưa về đẳng thức như trên

xét 2 vế là thấy ngay mà
ta có (1) $3^{u^2+2}-3-3^{v^2+2}=2(v-u)$
khi $u>v$ ta có $VT>0$ và $VP<0$ $=>PTVN$
khi $u<v$ ta có $VT<0$ và $VP>0$ $=>PTVN$
khi $u=v$ PT đúng
vậy (1) $<=>u=v$
khi đó $\sqrt[3]{x}=\sqrt{2y^2+1}\geq 1=>x\geq 1$
xét PT (2) : $<=>x^2-x-x-x\sqrt[3]{3-2x^2}=-2-y^2$
$<=>x(x-1)-x(-1+\sqrt[3]{2x^2-3})=-2-y^2$
xét VT ta có
$x(x-1)\geq 0,\forall x\geq 1$
$\sqrt[3]{2x^2-3}\geq -1,\forall x\geq 1$
Suy ra $VT\geq 0+1(-1-1)=-2$
dễ dàng thấy $VP=-2-y^2\leq -2$
vậy $VT=VP$ $\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=0 & \end{matrix}\right.$
Vậy nghiệm của hệ PT là $(x,y)=(1,0)$
Bạn up bài này lên từ đâu phải nhanh hơn không @@! hj2 ^^

2/ Trong không gian $Oxyz$, cho $3$ mặt phẳng: $(P) 2x-y+z+1=0$, $(Q) x-y+2z+3=0$, ® $x+2y-3z+1=0$ và đường thẳng ($\Delta_{1}): \frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{3}$.
Gọi ($\Delta_{2}$) là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$.
Viết phương trình đường thẳng $(d)$ vuông góc với ® và cắt $(\Delta_{1}), (\Delta_{2})$
-------

($\Delta_{2}$) là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. $=>\Delta_{2}\left\{\begin{matrix} x=1+t & & \\ y=3+3t & & \\ z=t & & \end{matrix}\right.$,$t\epsilon \mathbb{R}$
gọi $M\epsilon (\Delta_{1})\cap (d)$, $N\epsilon (\Delta_{2})\cap (d)$
Suy ra : $M(1+m,3+3m,m),N(2-n,-1+n,3n)=>\vec{MN}=(1-m-n,-4-3m+n,3n-m)$
và $vec{MN}$ cùng phươngc $\vec{n}=(1,2,-3)$ là vectơ chỉ phương của mp $(R)$
Suy ra: ta được hệ: $\left\{\begin{matrix} 1-m-n=k & & \\ -4-3m+n=2k & & \\ 3n-m=-3k & & \end{matrix}\right.$
$=>\left\{\begin{matrix} m=\frac{3}{4} & & \\ n=\frac{9}{4} & & \\ k=-2 & & \end{matrix}\right.$
tời đây song rồi ^^ bạn kiếm giúp mình xem mình giải có nhầm chỗ nào không tkz

1/ Trong không gian $Oxyz$, cho $M(1; -1; 1)$ và $2$ đường thẳng $d: \frac{x}{1}= \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{-3}$ ; $d_{1}: \frac{x}{1}= \frac{y - 1}{2} = \frac{z-4}{5}$
CMR: $M, d, d_{1}$ cùng nằm trên một mặt phẳng.

bạn ơi cho mình hỏi tí , không biết mình có làm sai không mà 2 đường thắng đó không cắt nhau thì làm sao mà đồng phẳng được hả bạn @@!