Tìm kiếm
Bí mật
Gửi bởi Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 3.CMR
\[\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}\]
Pài này của mình , mình xin chém vậy
Ta có :
$\sum \frac{a}{b+c^2}=\sum \frac{a^2(a+b)^2}{a(b+c^2)(a+b)^2}\geq \frac{[\sum a^2+\sum ab]^2}{\sum a(b+c^2)(a+b)^2}$
Vậy Ta cần CM: $2[\sum a^2+\sum ab]^2\geq 3[\sum a(b+c^2)(a+b)^2](*)$
$VT=2\sum a^4+6\sum a^2b^2+8abc(a+b+c)+4\sum ab(a^2+b^2)$
$VP=3\sum ab(a^2+b^2)+3\sum a^3c^2+6\sum a^2b^2+9abc(ab+bc+ca)$
Vậy $(*)<=>2\sum a^4+\sum ab(a^2+b^2)+8abc(a+b+c)\geq 3\sum a^3c^2+9abc(ab+bc+ca)$
Do$a+b+c=3=>a+b+c\geq ab+bc+ca=>8abc(a+b+c)\geq 8abc(ab+bc+ca)$
nên ta chỉ cần CM: $2\sum a^4+\sum ab(a^2+b^2)\geq 3\sum a^3c^2+abc(ab+bc+ca)$
$<=>(a+b+c)[2\sum a^4+\sum ab(a^2+b^2)]\geq 9\sum a^3c^2+3abc(ab+bc+ca)$
$<=>2\sum a^5+3\sum a^4(a+b)+\sum a^3b^2\geq 8\sum a^3c^2+abc(ab+bc+ca)(**)$
(**) đúng do:
$2\sum a^5+2\sum ab^4\geq 4\sum a^3b^2$
$\sum ab^4+2\sum a^4b\geq 3\sum a^3b^2$
$\sum a^4b+\sum a^2b^3\geq 2\sum a^3b^2$
$\sum a^2b^3\geq abc(a+b+c)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Suy ra đpcm !!
hjx pài làm gian nan quá @@!
- perfectstrong, Ispectorgadget, le_hoang1995 và 30 người khác yêu thích
